Gál László A KIJELENTÉSEK LOGIKÁJA

Átírás

1 Gál László A KIJELENTÉSEK LOGIKÁJA

2 Kiadói tanács Dr. Benedek József egyetemi tanár (Kolozsvár) Dr. Péntek János egyetemi tanár (Kolozsvár) Dr. Rostás Zoltán egyetemi tanár (Bukarest) EGYETEMI JEGYZETEK Megjelent az Apáczai Közalapítvány támogatásával

3 GÁL LÁSZLÓ A kijelentések logikája EGYETEMI MŐHELY KIADÓ Bolyai Társaság Kolozsvár 2009

4 A jegyzet elkészítését az Apáczai Közalapítvány 606/21. nyilvántartási számú programja támogatta. Gál László; Bolyai Társaság, 2009 Lektorálta: dr. Szigeti Attila egyetemi adjunktus Szaknyelvi lektorálás: dr. Ungvári Zrínyi Imre egyetemi adjunktus Kiadja az Egyetemi Mőhely Kiadó Bolyai Társaság, Kolozsvár Felelıs kiadó: A kiadvány felelıs szerkesztıje: Veress Károly Korrektúra: András Zselyke Borítóterv: Makkai Bence Az ábrákat készítette: Gál Theodor Eduárd Számítógépes tördelés: Czompó Csaba Nyomta az AmGraphis, Kolozsvár ISBN, ISBN Descrierea CIP a Bibliotecii NaŃionale a României

5 TARTALOM ELİSZÓ Elsı fejezet. BEVEZETÉS 1. Hagyományos logika és szimbolikus logika 2. A nyelv fogalma 3. A kijelentés Második fejezet. INTUITÍV KIJELENTÉSLOGIKA 1. A kijelentések intuitív logikája 2. A kijelentéslogika nyelve 3. Szimbolizálás a kijelentések logikájában Harmadik fejezet. AZ IGAZSÁGFÜGGVÉNY 1. Az igazságfüggvény fogalma 2. Az igazságfüggvények logikai jelentése és fontosabb törvényeik Negyedik fejezet. AZ ELDÖNTÉS 1. Az eldöntés kérdése a kijelentések logikájában 2. Eldöntési módszerek 1. Az értéktáblázatos módszer 2. Az eldöntés rövidített módszere 3. A normál (kanonikus) formák módszere Ötödik fejezet. A KÖVETKEZTETÉS 1. A következmény reláció 2. A deduktibilitási viszony 3. Az ekvivalencia reláció Hatodik fejezet. A KIJELENTÉSEK LOGIKÁJÁNAK AXIOMATIZÁLÁSA 1. A kijelentések logikájának axiomatikus felépítése Függelék

6 1. függelék. Logikai szimbolizálás és értelmezés (részlet), in Gál László (2003), Társadalom és logikusság, Kriterion Könyvkiadó, Kolozsvár, függelék. A H1 rendszer tulajdonságai 3. függelék. ERNEST NAGEL, JAMES R. NEWMAN: A GÖDEL-BIZONYÍTÁS *, in Gál László, Szigeti Attlia (2001), Logika (szöveggyőjtemény), Studium Kiadó, Kolozsvár. 4. függelék. Gál László (2003) Gödeli kérdés *, in Társadalom és logikusság, Kriterion Könyvkiadó, Kolozsvár, IRODALOM Tárgymutató A könyvben használt fontosabb szimbólumok * E. Nagel J. R. Newman: Gödel s Proof. Copyright 1956 by Scientific American, Inc. Minden jog fenntartva. Változatlan új kiadás a Scientific American, Inc. engedélyével. Magyarul megjelent: Copi I.M., Gould J.A. (1985) Kortárs tanulmányok a logikaelmélet kérdéseirıl. Budapest, Gondolat * Eredeti megjelenés angol nyelven (Gödelian question) Studia Universitatis Babeş-Bolyai, Philosophia, 2001,XLVI, 1-2,

7 Elıszó E könyv elsısorban azoknak szól, akik másodéves filozófus hallgatókként tantervük követelményei szerint kötelesek levizsgázni logikából. Viszont haszonnal kézbe vehetik az egyetem többi szakain hallgató diákok is, amennyiben tantervükben szerepel a logika. De bárkinek, aki a logika iránt érdeklıdik, remélem, nem okoz majd csalódást. Miért A kijelentések logikája e könyv címe? Több érv szól e mellett. Egyrészt 2007-ben az egyetemi kiadó megjelentette a Hagyományos logika címő könyvemet. A könyv a következtetésnek nem egy logikatörténeti megközelítése volt. Hanem elsısorban annak a célnak rendelıdött alá, hogy megadja azokat a logikai eszközöket, melyek segítségével a filozófiatörténet, de általában véve a eszmetörténet problematikája iránt érdeklıdnek sikeres vezérfonalat, vagy gondolati támogatást nyújtson a különbözı korok megértésében. Például elég nehezen lehet megérteni azt, hogy miért Isten a legfelsı és legvégsı szubsztancia, ha nem ismerjük a fogalmak elméletének hagyományos logikai elsısorban extenzionális megközelítését. Azaz a fogalmak közötti alá- és fölérendelési viszonyokat. A történet viszont nem állt meg itt. A XIX. század végén és a XX. században a szekularizáció kiteljesedése, a modern társadalom komplexitásának növekedése, valamint mindazok a folyamatok, amelyek az utóbbi 150 év folyamán lejátszódtak végeredményben az arisztotelészi fogantatású hagyományos logika megkérdejelzıdése felé vezettek. Megkérdejelızése, de nem elfelejtése fele. A végbemenı matematizálási folyamatnak az lett az eredménye, hogy a diszciplinarizálódó tudományok egyre átfogóbb és komplexebb matematikát építettek be saját elméleteikbe. A logikában George Boole, Augustus De Morgan és nagymértékben Gottlob Frege e folyamat elindítói a XIX. században. Nekik köszönhetı a logikai függvényfogalom, a logikai kalkulus és a szimbolikus logikai nyelv kialakulása. A XX. század elsı felében Bertrand Russell, Alfred North Whitehead valamint Ludwig Wittgenstein munkássága révén megszületik az új logika elsı két paradigmatikus elmélete: a kijelentések logikája és a predikátumok logikája. Az új logika megjelenése a hagyományos logikával szembeni ellenszenvet és tagadását idézte elı. A változás a múlt század 20 éveinek végén következett be. Jan Lukasiewicz lengyel logikus ekkor alkalmazta sikerrel a hagyományos logika tematikájának kifejtésében a szimbolikus logika adta eszközöket és ezzel felhívta a figyelmet arra, hogy bizonyos értelemben folytonosság van elméleteik között, következésképpen nem kell a történelem lomtárába dobni. A század második felében Rudolf Carnap, Alfred Tarski, Willard van Orman Quine, de nem kevésbé Saul Kripke, Alonzo Church vagy Kurt Gödel jelentıs hozzájárulásokkal véglegesítették és bıvítették az új logika elméleteit és dolgoztak ki oktathatósági mintát. Következésképpen e könyv a szimbolikus logika alapvetı elméletét tartalmazza, nevezetesen a kijelentések logikáját. Azért nevezem alapvetınek, mert ezen elmélet eszköztára bizonyos értelemben beépül a predikátumok logikájának, a többértékő logikák, a modális logika, az idı logikája, a kérdések logikája, a logikai szemantika stb. elméleteibe is és nélküle szinte érthetetlenek. Az idık folyamán a kijelentések logikájának elmétét több megnevezéssel illeték meg. A XX. század közepén logisztikának nevezték. Utólag e szó kikerült az új logika megnevezései közül. Jelenleg e szó egészen más értelemmel rendelkezik. Vele illetik meg azt a komplex ellátási folyamatot amit a harcban levı hadseregek ígényelnek (kezdve a felszereléssel, folytatva az étkeztetéssel, a mozgékonyság biztosításával, a kommunikációs rendszerek kidolgozásával és használatával stb.). De szintén logisztikának nevezhetı a civil szférában lezajló komplex termelésellátási folyamatot is.

8 A múlt század második felében kijelentések logikájának (logic of propositions, logique des proposition) nevezték. Újabban egyre inkább teret hódít a nullarendő logika megnevezés, utalva ezzel ennek alapvetı voltára. Gál László Kolozsvár, Zsobok 2009 január március E mail: laszlo_galro@yahoo.com

9 Elsı fejezet BEVEZETÉS 4. Hagyományos logika és szimbolikus logika 5. A nyelv fogalma 6. A kijelentés E bevezetı fejezetben kapcsolatot teremtünk a hagyományos logika, illetve a szimbolikus logika, nevezetesen a kijelentések logikája között. A második részben bemutatunk egy általánosított nyelvfogalmat. Ez képezi a kijelentésslogika mesterséges nyelvének kidolgozási alapját. Végül pedig megvizsgáljuk, hogy az új logika mit tekint kijelentésnek. A téma célja bemutatni a hagyományos és a szimbolikus logika közötti kapcsolatot, valamint azokat az alapvetı különbségeket, amelyek a következtetés tárgyalásának hagyományos logikai és szimbolikus logikai eszközeinek másságából fakadnak A téma átvétele után képes kell legyél világosan látni a következtétés fele való közelítés eszközökbeni különbségeit. 1. Hagyományos logika és szimbolikus logika A hagyományos logika keretei között a logikát a helyes következtetés tudományaként határoztuk meg. A logika ezen új fejezete, a szimbolikus logika keretei között a megadott meghatározás érvényes marad. Viszont mi az ami alapvetıen új? Elsısorban az, hogy a kijelentések logikája más eszközökkel közelít a következtetés problematikájához. Ezen eszköz pedig a szimbolikus nyelv. A szimbólumok alkalmazása a hagyományos logikában sem volt ismeretlen. Így a kijelentések szubjektumát és predikátumát S-el és P-vel jelöltük, vagy a szillogizmus középsı terminusára az M jelet használtuk. A feltételes és szétválasztó szillogizmusokban A, B és C-vel jelöltük a benne részt vevı kijelentéseket. A kijelentéskalkulus szimbolikus nyelvében viszont a szimbólumok alkalmazása teljes és átfogó lesz. Miért van erre szükség? Azért mert ebbıl több elıny származik. Így logika kifejezésmódja gazdaságosabbá válik, más szóval kevesebb jel használatával többet fejezhetünk ki. Továbbá, nagyrészt lemondhatunk a folytonos természetes nyelvi

10 példázásokról. Valamint, és ez a legfontosabb, lehetıvé válik a logikai kalkulus végzése. Emiatt a következtetések helyességének vizsgálata többé nem túlnyomórészt intuitíven történik, hanem a logikai kalkulus sokkal szigorúbb és megbízhatóbb eszköze segítségével. A szimbolikus nyelv használata egyben a természetes nyelven kifejezett következtetések új modelljét nyújtja és ez sokban különbözik a hagyományos logikai megközelítésmód nyújtotta modelltıl. Ez nem jelenti viszont azt, hogy a szimbolikus és a hagyományos logika között nincs semmilyen folytonosság. A bevezetı kezdetén mondtuk már, hogy a tárgyunk ugyanaz, a következtetés. Csakhogy a szimbolikus logika a következtetés egy általánosabb és elvontabb tárgyalását jelenti, ahol az érvényesség vizsgálata a lehetséges szintjén történik, eltekintve konkrét tartalmaktól és így a konkrét kijelentések igazságértékétıl, ami miatt az érvényesítı logikai formákra koncentrálhatunk. Az általános logikai formák visszahelyezhetık az emberi pszihikum kognitív szerkezetébe, mint mentális logika. A mentális logika fogalma, amely a kognitív információt feldolgozó legfontosabb eszköz egyben lehetıvé teszi az emberi pszichikum ilyen jellegő modellálását és így egy mély és elválaszthatatlan kapcsolat kialakítását a logika és a pszichológia tudományai között. Ebben az esetben a pszichológia elemzési és értelmezési eszköze a logikából átvett. Ezt tette például J. Piaget amikor a gyermeki kognitív fejlıdést vizsgáló kísérleteiben az eredményeket a kijelentéskalkulus segítségével értelmezte és megállapította ennek szakaszait. A kép világossá tételéhez nézzük meg milyen "szintek" között fogunk mozogni. Megkülönböztettük eddig a következtetést, mint a logika tárgyát. A következtetések nem vizsgálhatók csak nyelvi megnyilvánulásaikban (ez az állítás persze nem kizárólagos, mert a pszichológusok elfogadottnak tekintik a "képi gondolkodást", ami a logika szempontjából a képekkel való következtetést jelenti). Leggyakoribb megnyilvánulási helye pedig a természetes nyelv. Ezt vizsgálni lehet a hagyományos logika eszközeivel és ekkor a következtetés hagyományos logikai modellje alakul ki. Továbbá ugyanazokat a természetes nyelvi következtetéseket vizsgálni lehet a szimbolikus logika eszközeivel. Ebben az esetben a következtetés szimbolikus logikai modellje alakul ki. Ezt a modellt pedig alkalmazni lehet az emberi pszichikum formális oldalának értelmezésében. Ez azt jelenti, hogy a szintek a következık: természetes nyelvi következtetés, a hagyományos logika vagy a szimbolikus logika eszközei (nyelvei) és az innen adódó különbözı modellek. Természetes nyelvi Következtetés A hagyományos logika eszközei A következtetés hagyományos logikai modellje A szimbolikus logika eszközei (nyelve) A következtetés szimbolikus logikai modellje

11 Természetes nyelvi Következtetés A hagyományos logika eszközei A következtetés hagyományos logikai modellje A szimbolikus logika eszközei (nyelve) A következtetés szimbolikus logikai modellje Alkalmazás 1. ábra. A következtetések elemzési szintjei Ezen ábrából kiderül, hogy az elemzés alapszintjét a természetes nyelven kifejezett következtetés képezi. A természetes nyelven megfogalmazott következtetést viszont csakis egy tıle különbözı, rajta kívül álló nyelvbıl lehet vizsgálni, mivel egyetlen tudományos nyelv sem mondhat semmit önmagáról, azaz nem lehet autoreferenciális. E két nyelvet két névvel illetik meg. Az egyik a tárgynyelv, a másik a metanyelv. Tárgynyelven itt azt a nyelvet értjük, amelyen a következtetést megfogalmazzuk. A metanyelv, pedig az, amelyen kijelentéseket fogalmazunk meg a tárgynyelvrıl, az a nyelv amelyben elhelyezkedve mi a tárgynyelvet, végül is a természetes nyelvi következtetéseket vizsgáljuk. Az elemzés eredményeképpen nyert modellek pedig különbözı területeken alkalmazhatóak. Ez történt a következtetés szimbolikus logikai modelljével is, amikor J. Piaget, J. Fodor stb. e modellben a mentális formát vélték felfedezni és így a kognitív pszichológia magyarázataiban használták fel. Az alkalmazási lehetıségek viszont nem állnak meg csak itt. A számítógépek végeredményben a kijelentések logikájának mőszaki alkalmazásai. Ennek hosszabbtávú eredménye pedig az amit jelenleg mi már digitális világnak nevezünk. Összefoglalás. A következtetés központi logikai kérdése fele különbözı eszközökkel lehet közelíteni. A hagyományos logikán kívül ilyen eszköket szolgáltat a szimbolikus logika. Ebben a megközelítésben a természetes nyelvi következtetés tárgynyelvet, a hagyományos logikai és a szimbolikus logikai elemzése pedig a metanyelvet jelenti. 2. A nyelv fogalma A téma célja bemutatni a nyelvek felépítési módját. A téma átvétele után képes kell legyél megérteni mind a természetes, mind a mesterséges nyelvek szintaktikai és szemantikai szerkezetét. A fentiekben elmondottak feltételezik egy adott nyelvfogalom meglétét. Ahhoz, hogy ezt kialakítsuk vizsgáljuk meg a nyelvek általános szerkezetét. A természetes nyelv szerkezetébıl kiindulva a következı elemeket azonosíthatjuk. Elıször is minden nyelvben megvannak a jelek, vagy szimbólumok. Ha idegen nyelveket

12 tanulunk, akkor azzal kezdjük, hogy elsajátítjuk az illetı nyelv ábécéjét (A). A nyelvben meglévı jelek kimondott-, vagy írott formái a hangok és a betők. Tehát egyetlen nyelvet sem lehet elképzelni ábécé nélkül. Az ábécéhez hozzáadódnak aztán jeleinek használati szabályai. E szabályok alkalmazása által nyerünk helyes vagy jólformált kifejezéseket az illetı nyelven. A jelhasználati szabályok összessége képezi adott nyelv szintaxisát. E szabályok az illetı nyelv grammatikájához (G) tartoznak. A szintaxis természetes nyelvenként különbözik. Elsajátítása adott esetben elég nagy erıfeszítést igényel. Tehát minden nyelv alapvetıen ábécébıl és grammatikából tevıdik össze. Nyelv = Ábécé (A) Grammatika (G), ahol az jele az egyesítést jelenti. Ezzel viszont nem merítettük ki a nyelv összes elemét, mivel minden nyelvnek megvannak azon szabályai is amelyek segítségével külön választhatjuk a megfogalmazható kijelentések közül azokat, amelyek értelmesek és jelentenek. például a magyar nyelv szintaktikai szabályai szerint jólformált a krimpusz szó, ellenben hozzá nem társul sem értelem, sem jelentés. Tehát a grammatikában a szabályok egy másik csoportja is elkülöníthetı, éspedig a szemantikai szabályok. A szemantika, a jelentés kérdését tekinti központinak. Következésképpen a nyelvek grammatikája két szabálycsoportot foglal magába a szintaktikai és a szemantikai szabályok csoportját. Grammatika = Szintaktikai szabályok (Szi) Szemantikai szabályok (Sze). Sorra véve most a szabályokat a következı csoportok azonosíthatók. 1. A szintaktikai szabályok csoportja. a. A kialakítási szabályok. E csoport azt szabályozza, hogy az ábécé jeleibıl miként nyerhetünk jólformált kifejezéseket. Például a "mαmα" szó nem jólformált a magyar nyelvben, mivel benne a görög ábécé "alfa" betője szerepel és ez nem tartozik a magyar nyelv ábécéjéhez. Tehát mint nem jólformáltat el kell utasítanunk. b. Az átalakítási szabályok csoportja megmondja, hogy jólformált kifejezésekbıl miként nyerhetünk újabb jólformált kifejezéseket. Például a "tehetséges"-bıl a "legtehetségesebb" kifejezést. Viszont a "legmegtehetségesebb" kifejezés nem jólformált a magyar nyelvben mivel nem tartja be a felsıfok képzésének nyelvtani, azaz szintaktikai szabályát. Emiatt el kell utasítanunk. c. A leválasztási szabályok szerint kapjuk meg a jólformált kifejezések egy adott halmazából az összes lehetésges újabb jólformált kifejezést. Például abból a kijelentésbıl, hogy "Minden ember halandó." azt, hogy "Szókrátész halandó." Ha visszagondolunk a hagyományos logika keretei között tárgyaltakra, akkor világos, hogy itt egy következtetésrıl van szó az általánostól az egyedi fele, amit érvényesen meg lehet tenni. A leválasztási szabályok csoportja, tehát a következtetés szintaktikai oldalára vonatkozik. 2. A szemantikai szabályok csoportja. a. Az értelemkeltı szabályok segítségével választhatjuk külön az értelmes kifejezéseket az értelmetlenektıl. Az értelmes kifejezések közül egyeseknek megvannak a maguk jelöletei. A jelöletek azonosítása a jelölési szabályok szerint történik. b. Az igazságszabályok szerint tulajdonítunk igazságértéket kijelentéseinknek. Ezt leggyakrabban az igaz vagy a hamis igazságérték valamelyikének tulajdonításával

13 tesszük. Megtörténik viszont, hogy az igazságérték odarendelése nem oldható meg egy kétértékő logika keretei között és ekkor több igazságértéket tekintünk elfogadottnak és ezek közül rendelünk hozzá egyet kijelentésünkhöz. Továbbá az igazságszabályok szerint teremtünk kapcsolatot az igaz kijelentéseink között. Logikailag a szemantikai szabályok csoportja a következtetésben részt vevı kijelentések igazságértékeinek összefüggéseit szabályozza. Mindkét szabálycsoport megfogalmazása a nyelv szintaktikai és szemantikai oldalára próbál fényt vetni. A természetes nyelv viszont egy nagyon bonyolult társadalmi, kultúrahordozó és egyben kultúrspecifikus jelenség. E szabályok nem meríthetik ki a maga teljességében. A XX. században a természetes nyelvek felépítési mintájára alkották meg az eszperantó nyelvet. E mesterséges nyelv szerkezete nagyon közel állt a természetes nyelvekhez. Ennek ellenére nem terjedt el és nem tudta betölteni azt a szerepet amit neki szántak. Nem vált az emberiség általánosan ismert kommunikációs eszközévé ezáltal megkönnyítve az emberek és kultúrák közötti kapcsolatokat. Hiányossága éppen abban állt, hogy az eszperantó nyelvhez nem tartozott egyetlen specifikus kultúra sem, hanem csak különbözö nyelvek szavait tartalmazta, anélkül az a többérrtelmőség és kifejezıképesség is benne lett volna ami a kultúrahordozó természetes nyelvekben megvan. A múlt század mesterséges nyelvalkkotási kíséreltei viszont nem voltak mind sikertelenek. Erre példa a szimbolikus logika nyelve. Emellett viszont ott vannak mindazok a mesterséges nyelvek amelyek a számítógépek 1940-töl kezdıdı történetével kapcsolatosak. A szoftok fejlıdése egyben a számítógépnyelvek fejlıdését is jelentették, persze a hozzájuk tartozó szemantikák egészen más jellegőek és sokkal gyngébb kifejezıerejőek mint a természetes nyelvek. Ilyen nyelvek az informatika területérıl ismert Cobol, Fortran, Algol stb. Ahhoz, hogy a kép valamennyire teljes legyen a szintaktikai és szemantikai oldalon kívül feltétlenül meg kell említenünk a pragmatikai oldalt is. Ez arra vonatkozik, hogy mikét használnak egy nyelvet. Ugyanazon kijelentés különbözı kontextusokban különbözı értelemmel és jelentéssel rendelkezhet. A nyelv segítségével, az emberi tevékenységen keresztül környezetünket, a természetet és társadalmat vagyunk képesek módosítani. Vagy, az ember a nyelven keresztül projektálja, vetíti ki magát. Azaz, belsı "világát" nagyrészt a nyelven keresztül teszi külsıvé, mások által is érzékelhetıvé és megérthetıvé. A tudományos kutatás, általában a tudomány nem fogható fel a nyelven kívül. És amennyiben ez így van tisztában kell lenni szerkezetével. Tisztában kell lenni továbbá azzal is, hogy a pszichológiai diskurzus tárgynyelvi vagy metanyelvi szintjén helyezkedünk-e el. Ha ezt nem látjuk világosan, akkor a félreértések és fölösleges viták meddı területére kerülünk. 3. A kijelentés A hagyományos logikában a kijelentést úgy határoztuk meg, hogy az az alapvetı logikai forma, amelyben valamirıl állítunk valamit és hozzárendelhetı vagy az igaz, vagy

14 a hamis logikai igazságérték. 1 A kijelentés megnevezése a magyar kijelentı mondat megnevezésbıl származik. A kettı valamelyike között választhatunk mostani megnevezésében. A mondat szava nem kielégítı, mivel nem minden kijelentı mondat egyben logikai értelemben is az. Például a z İ jött el éjfélkor. kijelentı mondat logikai értelemben nem az, mivel nem tudjuk ki az az İ, aki éppen eljött. Emiatt nem tudunk hozzárendelni semmilyen logikai igazásgértéket. Ha viszont tudjuk, hogy az említett İ, Pista vagy Tibor, akkor az igazságérték kérdése megoldható. Emiatt rögzíteni kell az İ kontextuális értelmét. Így már meg lehet állapítani a kijelentés igazságértékét, azaz állításunk tárgya egyértelmővé és megkérdıjelezhetetlenné vált. Szerkezetében pedig megkülönböztettük a logiai szubjektumot és predikátumot. E meghatározásnak a mostani szempontunkból számos elégtelensége van. Szerinte eléggé nehéz megkülönböztetni a szubjektumot és predikátumot, mivel az e funkciót betöltı fogalmak felcserélhetık, azaz a szubjektumként szereplı fogalom predikátummá válhat és fordítva. Emiatt a kettı megkülönböztetése viszonylagos. Továbbá a hagyományos logika nem tud mit kezdeni azzal a kijelentéssel, hogy Mária anyja vízért ment., mivel az anyaság reláció. És végül ebben a logikában nincs semmilyen különbség a között, hogy A macska állat. és A narancssárga kellemes szín., annak ellenére, hogy az elsı a macskákat besorolja az állatok osztályába, a második pedig tulajdonságot fejez ki. Számos gond van azzal is, hogy a kijelentésben az állítás mirıl szól és milyen igazságértéket rendelünk hozzá. Például senkit sem lep meg ha a következıket állíjuk: (1) Ma szép idı van. (2) A világ politikai viszonyai kiélezıdtek. (3) A fák mőanygból vannak. (4) A Discovery őrrepülıgép megérkezett a világ közepébe. (5) A hétfejő sárkány ötödik fején kalap van. Az elsı két állítás megszokott, elvárásainknak megfelelı. Ezzel szemben azt állítani a fákról, hogy mőanyagból vannak teljesen meglepı és váratlan. Ez azért van így, mert egyáltalán nem felel meg a valóságnak az, hogy a fák és a mőanyag együtt alkotnának egy dolgot. Emiatt az állítást egyszerően hamisnak tekinthetjük. Ez az az alapvetı különbség ami szerint különbözıképpen értékeljük egyrészt az elsı két állítást, valamint a harmadikat. Másszóval az elsı két állítás pozitív értéket jelenthet számunkra akkor amikor kiválasztjuk öltözékünket, vagy a világ politikai állapotáról akarunk tájékozódni. Innen adódik igaz voltuk. Ellenben a fáról azt állítottuk, hogy mi nem és nem azt, hogy valójában mi. Emiatt hamisnak tekinthetjük. A három állításban van azonban valami közös. Éspedig az, hogy mind a mai nap, mind a szép idı, mind a világ politikai viszonyai, mind a kiélezıdés, és mind a fák és mind mőanyagok valóban létezı dolgokat megnevezı szavak és ezek összekapcsolásából jöttek létre a mondatok, azaz az állítások. Csakhogy egyeseket igazként, másokat pedig hamisként értékeltünk. A (4)-es és az (5)-ös mondatokban a létezı Discovery őrrepülıgéprrıl állítottuk azt, hogy megérkezett a világ nemlétezı közepébe, illetve a nemlétezı hétfejő sárkányról állítottuk azt, hogy nemlétezı ötödik fején kalap van. Hogyan értékeljük az ezen mondatokkal kifejezett állításokat? Az egyik lehetıségünk az, hogy egyszerően hamisaknak tekintsük ıket, azon az alapon, hogy nemlétezı dolgokról állítanak. A másik 1 Gál László (2007) Hagyományos logika, Egyetemi Mőhely Kiadó, Bolyai Társaság, Kolozsvár, 50.

15 lehetıségünk az, hogy mivel nemlétezı dolgokró állítanak ne is tekintsük ıket mondatoknak a szó logikai értelmében. Az utolsó lehetıségünk pedig az, hogy rendeljünk referenciát a nemlétezıt jelölı szóhoz és így igazzá válik. Melyek lehetnek ezek a referenciák? A világ közepe esetében a referenciát a nullaentitás képezhetné. A hétfejő sárkány esetében pedig az a mesefigura, amelyet bármely óvódás gyerek képes lerajzolni. Tehát ez utóbbi két mondatunk lehet igaz, vagy lehet hamis, vagy nem tekinthetı mondatnak és így igazságértékkel sem rendelkezik. Melyiket válasszuk ezen három lehetıség közül? Valyon van-e valamilyen logikai szabályszerőség arra, hogy választásunkat vezérelje? Ilyen szabályszerőség sajnos nincs. Emiatt a válsztás alapját csakis az egyéni hit vagy meggyızıdés képezheti. Vagyis igaznak tekinthetjük ezen mondatokat akkor, ha meg vagyunk gyızıdve a világ közepének, valamint a hétfejő sárkánynak a létezésérıl. Következésképpen elsı három mondatunk létezıkrıl állít, míg az utolsó kettı pedig nemlétezıkrıl. Ezt általánosítva állapíthatjuk meg, hogy a létezés nem képezi az állíthatóság korlátját. A létezés az emberi elmén kívül elhelyezkedı dolgokból áll össze. Persze maga az emberi elme is a létezık körébe tartozik. Az emberi elmét a szavak, azaz a fogalmak sokasága népesíti be, amelyekkel mind létezıket, mind nemlétezıket meg lehet nevezni. Azt, hogy e szavak, azaz fogalmak miképpen állanak össze állításokká nem szabályozza semmi, vagy amint azt az elıbb konkrétabban megállapítottuk, ennek nincsenek logikai korlátai. Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy elvileg bármi állítható. Sıt a bárminek az állítása képezi az emberi szabadság egyik alapvetı dimenzióját. Az egyedüli korlát ami itt határt szab az állíthatóságnak az az, hogy például a magyar nyelv szókincsének mely részével rendelkezem. Azaz az, hogy egyáltalnán mibıl képezhetek állításokat. De hogy a dolog még bonyolultabb legyen, a bármi állításához az emberi elme referenciát is tulajdoníthat. Emiatt valóknak tekinthetık a boszorkányok, a mindent oldó folyadék vagy a filozófusok köve. Összefoglalva, a logikát a mondat mint igazságértékkel rendelkezı állítás érdekli. Csakhogy nem konkrét állítások konkrét igazságértékei azok, amelyek a logikai vizsgálódás tárgyát képezik. Ez azért van így, mert ha a logika lenne az, amely módszert tudna nyújtani arra, hogy mindenik konkrét mondat igazságértékét miként lehet megállapítani, akkor egyetlen univerzális tudomány létezne és ez a logika lenne. A dolgok viszont egyáltalán nem így állnak. A tudományos és a mindennapi élet mondatainak igazságértékeit a tudósok, illetve a mindenannapi életüket élı emberek állapítják meg. A logika csak annyit tud mondani, hogy mondatainkkal mindig állítunk valamit és ezen állításhoz feltétlenül igazságértéket rendelünk. A logikai kikötés itt az, hogy minden mondatnak van igazságértéke és adott körülmények között csakis egyetlen igazságértéke lehet. Mindennapi életünkben legtöbbször az igaz vagy a hamis igazságértéket rendeljük állításainkhoz. Ez azt jelenti, hogy egy kétértékő logika keretei között helyezkedünk el. Viszont adódnak olyan esetek is amikor adott állítás igazságértéke nem oldható meg a kétértékő logika keretei között. Ilyenek a jövıre vonatkozó állításaink. Például azon állításnak, hogy Szerdán esni fog az esı.

16 szinte lehetetlen az igaz vagy a hamis igazságértéket tulajdonítani, mivel egyáltalán nem vagyunk biztosak abban, hogy az úgy is lesz. Emiatt ezen állításról azt fogjuk mondani, hogy valószinő. Viszont ez egyben azt is jelenti, hogy kiléptünk a kétértékő logika keretei közül és átléptünk egy három igazságértéket elfogadó logikába. Azt tudni, hogy szerdán valószinüleg esni fog az esı többet jelent annál mintha semmit sem tudnánk a szerdai idıjárásról, viszont sokkal kevesebbet annál, hogy igaz az, hogy szerdán esni fog az esı. Emiatt sokkal értékesebb számunkra az igaz állítás mint a valószinő. Ehhez hasonló az igaz és a hamis állítás értékelése is. Azaz bennünket elsısorban az igaz állítások érdekelnek és nem a hamisak. Levonhatjuk tehát azt a következtetést, hogy egyrészt az igaz és másrészt a hamis, illetve a valószinő igazságértékek nem szimmetrikusak. Másszóval az igaz igazságértéke kitüntetett helyet foglal el az igazságértékek között. Általánosítva, ha a kétértékő logika keretei között helyezkedünk el, akkor az 1 és a 0 értékek szerepelnek az igazásgértékek halamazában. Lé: {1, 0}, és 1 0 =, mivel a kizárt harmadik alaptörvénye tiltja a harmadik logikai igazságérték odarendelését, és az ellentmondásmentesség alaptörvénye szerint nem lehetséges mindkét logikai igazságérték szimultán odarendelése. Ezt nevezzük a logikai érték elvének, ami általánosítja a kétértékőség elvét. Tehát a kijelentések logikájában a kijelentések mint igazásgértékkel rendelkezık jelennek meg, és ez képezi logikai jelentésüket, másszóval verifunkcionálisak. E logikában az fog érdekelni bennünket, hogy több kijelentés igazságértékeitıl miként függ az összetett kijelentés igazságértéke. Összefoglalás. A logikai következtetés modellek különböznek a hagyományos logikában és a szimbolikus logikában. A szimbolikus logika nyelve metanyelv a természetes nyelv tárgynyelvéhez képest. A természetes nyelv alapvetıen ábécébıl és grammatikából áll. A grammatika a szintaktikai és a szemantikai szabályok csoportját foglalja magába. E modell szerint vannak felépítve a mesterséges nyelvek is. Szemben a természetes nyelvvel a mesterséges nyelvek nem kultúrahordozók. Kulcsfogalmak nyelv, szintaxis, szemantika, tárgynyelv, metanyelv, mesterséges nyelv, természetes nyelv. Gyakorlatok 1. Miben különbözik a hagyományos logika következtetési modellje a szimbolikus logikaitól? 2. Miért nem vált az eszperantó nyelv a XX. század latinjává? 3. Milyen szabálycsoport ellen vét a varcig a magyar nyelv ábécéjén megfogalmazott kifejezése? 4. A szimbolikus logika nyelvének van-e metanyelve? 5. Milyen szerepe volt az informatika által alkotott mesterséges nyelveknek az ember-számítógép párbeszédben?

17 6. Mibıl áll a magyar nyelv szintaxisa? 7. Milyen elınyei vannak a szimbolikus nyelv használatának a logikában? 8. Mit mond ki a logikai érték elve?

18 Második fejezet INTUITÍV KIJELENTÉSLOGIKA 4. A kijelentések intuitív logikája 5. A kijelentéslogika nyelve 6. Szimbolizálás a kijelentések logikájában A fejezet keretei között megtesszük az elsı lépést a természetes nyelvtıl a kijelentések logikájának szimbolikus nyelve fele. Ez a folyamat az elvonatkoztatások sorozatára épül, amelynek eredményeképpen kialakítjuk az igazságfüggvény fogalmát. 1. A kijelentések intuitív logikája A téma célja megvizsgálni a természetes nyelv legfontosabb kijelentésközi kapcsolatainak sokféleségét. A téma átvete után képes kell legyél az elıbb említett természetes nyelvi sokféleséget valamelyest egységesíteni a kijelentések logikájának nyelvén. A szimbolikus logika egyik klasszikus fejezete a kijelentések logikája. Azért nevezik klasszikusnak, mert egyrészt az egyik elsıként kidolgozott fejezete, másrészt pedig a XX. századi logika minta értékő elmélete. A kijelentéskalkulus illetve a predikátumok logikája volt az, amelyek kidolgozása révén a hagyományos logika megújult eszközeiben, eljárásaiban és nem utolsó sorban eredményeiben. A kijelentések logikája a kijelentést irreduktibilisnek tekinti és a velük végezhetı állandó logikai mőveleteket tanulmányozza. Azaz azt, hogy adott összetett kijelentés igazságértéke miként függ az ıt alkotó kijelentések igazságértékeitıl. A predikátumok logikája ezzel szemben azt vizsgálja, hogy a kijelentéseken belül milyen állandó logikai kapcsolatok léteznek. Tehát elsı pillantásra a két elmélet egymástól eltér. A valóságban ez nem így van, mivel mint látni fogjuk a predikátumok logikája feltételezi, magába építi a kijelentéskalkulust. Továbbá mindkét elmélet alapvetıen a következtetés központi logikai kérdését tárgyalja közös és egymástól különbözı eszközökkel. A kijelentések logikájának felépítése az egyre magasabb absztrakciós szintek elérését jelenti. Kiindulópontját a természetes nyelven megfogalmazott összetett kijelentések képezik, amelyek aztán a következtetésekbe épülnek bele. Az elvonatkoztatás célja olyan állandó kapcsolatokat azonosítani a kijelentések között, amelyeket aztán logikai szempontból pontosan definiálhatunk. Ezen alfejezet pontosan ezen abstrakciós út elsı lépését hivatott el végigvinni. Kiindulópontunkat a kijelentések közötti leggyakoribb állandó, természetes nyelven kifejezett kapcsolatok képezik. Példáinkat, a közérthetıség kedvéért a mindennapi élet egyik legismertebb és

19 kézenfekvıbb kifejezéseibıl választjuk, a közmondások közül. Vegyük tehát sorra a leggyakoribb állandó logikai kijelentésközi kapcsolatokat. a. A konjunktív kijelentés. Szabványos nyelvi formában a konjunktív kapcsolatot az és szócska segítségével fejezzük ki. A természetes nyelvben viszont ez nem mindig explicit. Például. Ígérni könnyő, megtenni nehéz. A példában szereplı két kijelentést összekötı vesszı konjunktív kapcsolatot takar. E kapcsolat nem jelenik meg expliciten. Azt, hogy konjunktív kapcsolatról van-e szó onnan lehet megállapítani, hogy a két állítást helyez egymás mellé. Az egymás mellé helyezés intuitív jelentése többféle lehet. Konjunktívan fejezhetünk ki egyszerő egymásmellettiséget (Kívül fényes, belül férges.), helyzeteket (A kakastól elfut, oroszlánra talál.), állapotok tulajdonságait (Feje mint egy hordó, esze mint egy dió.), térbeliséget (A hazugág világot kerül, az igazság egy helyben ül.), egyidejőséget és egymásutániságot (Farkast emlegettünk, a kert alatt jár., Nincs olyan hosszú nap, hogy estéje ne volna.) Ilyen jellegő kapcsolatot változatos nyelvi formában lehet kifejezni. A magyar nyelvben a következı kifejezési lehetıségek állnak rendelkezésünkre: de, hogy, ilyenformán, habár, mégis stb. A konjunktív kapcsolat változatos és adott esetben többértelmő, intuitív természetes nyelvi jelentését egyértelmősíti rögzített logikai jelentése. Ezen jelentés eltekint a kijelentések konkrét tartalmától és csakis igazságértékeiket, valamint a közöttük fennálló kapcsolatot veszi figyelembe. Eszerint: ha a konjunktív kijelentés igaz, akkor mindkét tagja igaz, ha a konjunktív kijelentés hamis, akkor legalább egyik tagja hamis. A logikai jelentés tehát azt veszi figyelembe, hogy milyen állandó logikai kapcsolat van a kijelentések között és eltekint a konkrét tartalmuktól. Más szóval nem az érdekli, hogy valami valóban kívül fényes -e vagy sem és belül férges -e vagy sem és eszerint igaz-e a kijelentés vagy sem, hanem az, hogy ha az egyik igaz és a másik is igaz, akkor a konjunktívan összetett kijelentés is igaz. b. A megengedıen diszjunktív kijelentés szabványos nyelvi formája a vagy. Ezen kívül még kifejezhetjük az akár szócska segítségével is. A természete nyelv távolról sem biztosítja annyi lehetséges kifejezésmódját, mint ez a konjunkció esetében teszi. Például: Elmegyek a moziba, vagy veszek magamnak egy fagylaltot. A két diszjunktívan összekötött kijelentés intuitívan választást fejez ki két alternatíva közül. Ez egyben egyezik a diszjunktív kijelentés általános intuitív jelentésével. E választásban viszont benne van az is, hogy az alternatívák közül az egyiket, a másikat vagy egyszerre mindkettıt is választhatom. Más szóval a moziba menetel nem zárja ki

20 azt, hogy vegyek magamnak egy fagyit. Emiatt a diszjunktív kijelentés e formáját megengedınek 2 is nevezik. A megengedıen diszjunktív kijelentés logikai jelentése a következı: ha a diszjunktív kijelentés igaz, akkor legalább egyik tagja igaz, ha a diszjunktív kijelentés hamis, akkor mindkét tagja hamis. Ezen logikai jelentés is kizárólagosan a tagok, valamint az összetett kijelentés igazságértékeit veszi figyelembe. c. A kizáróan diszjunktív kijelentés szabványos nyelvi kifejezési eszköze a vagy...vagy szócskák. Ezen kívül kifejezhetjük még az akár...akár szavak segítségével is. A természetes nyelven viszont nem mindig fejezzük ki expliciten a két vagy-ot. Megtörténhet, hogy egyetlen vagy-nak is kizáró jelentése van. Például: A holtakról vagy jót, vagy semmit. közmondásban a diszjunkció kizáró jelentéső és ezt nyelvileg is expliciten kifejezi. Az állított alternatívák közül csak az egyiket választhatjuk, mivel a társadalmi normák szerint tilos a holtakat káromolni. Mindkét alternatívát pedig nem lehet választani, mivel nem lehet a semmit mondva jót mondani, vagy jól mondva a semmit. A diszjunkciót kifejezhetjük egyetlen vagy segítségével, de megtörténik, hogy kizáró jelentése van. Például: Kimész az udvarra, vagy bennmaradsz a házban. Itt az egyetlen vagy kizáró jelentéső, mivel fizikai lehetetlenség egyszerre az udvaron is lenni és a házban is maradni. Tehát a kizáró vagy megengedı diszjunkció azonosítása feltételezi azt, hogy pontosan definiált logikai jelentéssel rendelkezzünk. A kizáróan diszjunktív kijelentés logikai jelentése tehát a következı: ha a kizáróan diszjunktív kijelentés igaz, akkor tagjai igazságértékei különböznek, ha a kizáróan diszjunktív kijelentés hamis, akkor tagjai igazságértékei megegyeznek. A kizáró és megengedı diszjunkció logikai jelentéseit összehasonlítva kiderül a közöttük levı különbség, ami abban áll, hogy az elıbbi mindkét tagja nem lehet egyszerre igaz, míg a másik tagjai lehetnek egyszerre igazak. d. A kondicionális kijelentés szabványos nyelvi formája a ha...akkor. Megnevezése szerint is feltételt fejez ki. A ha szócska által bevezetett feltétel mellett teljesül az akkor szócska által bevezetett következmény. Emiatt a feltételt a kondicionális elıtagjának, a következményt pedig utótagnak nevezzük. A megkülönböztetés azért 2 Az utóbbi idıben magyar logikai terminológia is átvette a nemzetközileg használt alternáció megnevezést. A megengedı diszjunkció régebbi és az alternáció mostani megnevezései szinonímáknak tekinthetık, azaz logikai értelmük megegyezik. A késıbbiekben majd mi is az utóbbi megnevezést fogjuk hassználni.

21 fontos, mert a kettıt nem lehet felcserélni, mint az a konjunktív, vagy diszjunktív kijelentésekben lehetséges. A természetes nyelv a kondicionális kapcsolat kifejezésének széles skáláját biztosítja. A kijelentésközi kapcsolatok ezen típusát lehet kifejezni a: mert, tehát, emígy, így, emiatt, amiatt, hogyha stb. szavak segítségével. Például Ha beköszön a szükség, vége a szeretetnek. közmondásban nem jelenik meg expliciten az utótagot bevezetı akkor szócska, hanem a vesszı helyettesíti. Ennek ellenére világos a kondicionális kapcsolat. Szintén kondicionális kapcsolat van jelen a következı közmondásban is Akkor beteg az orvos, mikor mások egészségesek. azzal a különbséggel, hogy itt elıbb állítja az utótagját, majd csak utána az elıtagját. Ha egyértelmővé akarjuk tenni, akkor a következıképpen fejeznénk ki Ha mások egészségesek, akkor az orvos beteg. A kondicionális kijelentés intuitív értelme szerint a következıket fejezheti ki: oksági összefüggést (Özönvíz ha tombol, hegyeket lerombol.), szükségszerőséget (Ha János magasabb mint Béla és Béla magasabb mint Péter, akkor János magasabb mint Péter.), térbeliséget (Ha nincs otthon a macska, táncolnak az egerek.), idıbeliséget (Ha a jót most elveted, késıbb sírva keresed.) és helyzeteket (Hol az ember egész nap csak furulyál, ott az asszony csak éhesen sírdogál.). Logikai jelentése szerint ha a kondicionális kijelentés igaz, akkor nem igaz hogy elıtagja igaz és utótagja hamis. ha a kondicionális kijelentés hamis, akkor elıtagja igaz és utótagja hamis. Ezen jelentése szerint ismerhetjük fel, hogy melyik az utótagja és melyik az elıtagja, valamint így különböztethetjük meg az összetett kijelentések többi típusától. e. A bikondicionális kijelentés szabványos nyelvi formáját az... akkor és csakis akkor, ha..., vagy az...akkor és csak akkor ha... kifejezéssel kapjuk meg. Természetes nyelvünkben kifejezhetı még az olyan mint, csakolyan, ugyanaz, ugyanolyan stb. szavak segítségével. Például a Amilyen az ember, olyan a munkája. közmondás az embert azonosítja munkájával. Ha kitöltjük kitöltetlen helyeit és teljesen explicitté tesszük, akkor a következıképpen fogalmazhatjuk át: Jó munkát végzel, akkor és csakis akkor, ha jó szakmai tudásod van.

22 vagy János munkája jó eredményő, akkor és csakis akkor, ha jó szakmai tudása van. A bikondicionális kijelentés intuitív értelme szerint azonosságig menı hasonlóságot (Pénteki nevetés, vasárnapi sírás.), elengedhetetlen feltételt (A definíció akkor és csakis helyes, ha betartja az idevonatkozó szabályokat.), egyenlıséget (Sok beszéd szegénység.) fejez ki. A bikondicionális kijelentés logikai jelentése szerint ha a bikondicionális kijelentés igaz, akkor tagjai igazságértékei megegyeznek. ha a bikondicionális kijelentés hamis, akkor tagjai igazságértékei különböznek. Egyértelmő logikai jelentése világosan megkülönböztethetıvé teszi az összetett kijelentések többi típusától. f. A negált kijelentéseket szabványos formáját úgy kapjuk meg, hogy eléjük a Nem igaz, hogy... kifejezést helyezzük. Természetes nyelven ez többféleképpen fejezhetı ki a nem, sem, ne szavakkal. Továbbá, mindennapi életünkben szinte egyáltalán nem fordul elı az hogy a negáció szabványos nyelvi formáját használjuk. Általában véve a negáló szó a kijelentés belsejében fordul elı, a következıképpen: Elvesztett becsületet nem találni meg. E közmondás szabványos formája a következı lenne Nem igaz, hogy az elvesztett becsületet meg lehet találni. A negációt alkalmazni lehet nemcsak egyedi kijelentésekre, hanem összetettekre is. Például a Halat szálka nélkül, embert hiba nélkül nem lehet találni. közmondásban három negáció található. Kettı a konjunktív kijelentés tagjain és a harmadik magán a konjunktív kijelentésen. Szabványossá alakítva Nem igaz, hogy a halnak nincs szálkája és az embernek nincs hibája. kifejezést kapjuk. A negáció logikai és intuitív jelentése megegyezik abban, hogy megváltoztatják a kijelentés igazságértékét. Ellenben a negáció logikai értelme egyértelmőbb és világosabban azonosíthatóvá teszi. ha a kijelentés igaz, akkor a negáltja hamis, ha a kijelentés hamis, akkor a negáltja igaz, a kettıs negáció a kijelentés igazságértékét változatlanul hagyja.

23 g. Az inkompatibilis kijelentést nyelvileg a vagy sem...vagy sem kifejezéssel szoktuk megfogalmazni. Például: Vagy én se megyek korcsolyázni, vagy te se mész. Intuitívan azt fejezi ki, hogy az összetett kijelentés elemi kijelentéseiben állítottak legalább egyike nem következik be. Tehát igazságfeltételeit a következıképpen fogalmazhatjuk meg: ha az inkompatibilis kijelentés igaz, akkor legalább az egyik tagja hamis. ha az inkompatibilis kijelentés hamis, akkor akkor mindkét tagja igaz. A természetes nyelvi kifejezésekben eléggé ritkán találkozunk vele. h. Vannak a nyelvnek olyan összetett mondatai is, amelyekben az összetétel a sem...sem kifejezéssel valósul meg. Például: Sem hal szálka nélkül, sem ember hiba nélkül. Intuitív jelentése abban áll, hogy a benne szereplı elelmi kijelentések állításai közül egyik sem valósul meg. Az inkompatibilis kijelentésektıl abban különbözik, hogy ez esetben nem lehet szó arról, hogy valamelyik tagja igaz lehessen. Azaz igazságfeltételei: ha a sem...sem kijelentés igaz, akkor mindkét tagja hamis. ha a sem...sem kijeletés hamis, akkor legalább egyik tagja igaz. A következı fejezetben meg fogjuk látni, hogy e kijelentéstípusnak is külön igazságfüggvény felel meg, a Scheffer-funktor. Összefoglalás. A kijelentésközi állandó logikai kapcsolatok feltérképezésében az elsı lépést az intuitív közelítés jelenti. Ebben a helyzetben egyben már elértük az elsı absztrakciós szintet azon az úton, amelynek végén a kijelentésközi álladó logikai kapcsolatokat formálisan és átfogóan szimbolikus formában fogjuk tárgyalni. Kulcsfogalmak: intuitív értelem, szabványosított értelem, konjunktív, diszjunktív (alternatív), kizáróan diszjunktív, kondicionális, bikondicionális, negált kijelentés Gyakorlatok 1. Keressetek példát konjunktív, diszjunktív (alternatív), kizáróan diszjunktív, kondicionális, bikondicionális, negált kijelentésekre. 2. Mi az összefüggés az összetett kijelentések természetes nyelvi és logikai értelemben vett igazságértékei között? 3. Alkossatok példátákat a konjunktív, diszjunktív (alternatív), kizáróan diszjunktív, kondicionális, bikondicionális, negált, inkompatibils és sem...sem kijelentésekre.

24 4. Miben különbözik az összetett kijelentések intuitív (természetes nyelvi) és logikai értelme? 2. A kijelentések logikájának nyelve A kijelentések logikájának nyelve egy mesterségesen megalkotott nyelv. Saját ábécével, grammatikával és szemantikával rendelkezik. E részben e mesterséges nyelv két egymástól különbözı írásmódját fogjuk tárgyalni, azaz ábécéjét és grammatikáját. Ehhez szemantikát csak valamivel késıbb fogunk rendelni, mivel a nyelv elsajátítása fokozatosan fog történni. A téma célja bemutatni a kijelentéslogika mesterséges nyelvének ábécéjét és grammatikáját. A téma átvétele után képes kell legyél helyesen írni a logikát a Peano és a Lukasiewicz féle írásmódban. Mint minden nyelv, e nyelv is ábécé-bıl és grammatikából tevıdik össze. A kijelentéskalkulus ábécéjében a következı jelcsoportok szerepelnek: 1. a kijelentésváltozók jelei, amire a magyar nyelv ábécéjének második felébıl való mássallhagzókat használjuk: p, q, r, s, t és abban az esetben ha nagyon sok változót kell felhasználnunk, akkor indexel láthatjuk el: p1, p2,..., pn. 2. a logikai állandók vagy mőveletek jelei: & a konjunkció jele, v a megengedı diszjunkció, az alternáció jele, + a kizáró diszjunkció jele, a kondicionális jele, a bikondicionális jele és a ~, a negáció jele. 3. kisegítı jelek szerepét a zárójelek töltik be: ( ) a kerek zárójel, [ ] a szögletes zárójel és {} a kapcsos zárójel. A zárójelek szerepe az, hogy a kijlentések logikájában megfogalmazható kifejezésekben szereplı logikai állandók, vagy mőveletek erısségét meghatározzák. A következı módon: a legerısebb a kerek zárójel és a benne szereplı logikai mőveletet végezzük elıször, folytatva a szögletes- és a kapcsos zárójellel. A kijelentések logikája ábécéjének használatát szabályozó szintaktikai szabályok a következık: 1. A kijelentésváltozó jólformált.

25 2. A kijelentésváltozókat összekötı logikai állandó, vagy mővelet jólformált. Például: p & g, p v q, p + q, p q, p q. Az így nyert kifejezéseket, vagy sémákat A- val, B-vel, C-vel stb. is jelölhetjük. 3. Két kijelentésváltozó között mindig kell lennie egy állandónak. 4. Ha a kijelentésváltozó jólformált, akkor jólformált a ~p, ~q, ~r stb. kifejezés is. 5. Ha az A, B, C stb. séma, vagy kifejezés jólformált, akkor jólformált a ~A, ~B, ~C stb. séma is. A kijelentések logikájának szemantikai szabályai az állandók pontos logikai jelentését rögzítik. Mivel mi egy kétértékő logikában helyezkedünk el, az állandók logikai jelentése az igazságértékek terminusaiban való meghatározásukat feltételezi. Erre egy következı részben kerül majd sor. Megjegyzés. Az ábécében szereplı jelek nem azonosak minden logikusnál. Az eddig bemutatott írásmód G. Peano-tól származik és a legelterjedtebb. Használatos még, elsısorban a fejledtebb logikákban a Lukasiewicz-féle írásmód is. A következıkben ezt mutatjuk be. A Lukasiewicz-féle írásmód ábécéjében a változók szimbólumai megegyeznek a Peano-féle írásmód jeleivel. Így a változókat szintén p, q, r, valamint p 1, p 2,..., p n-el jelöljük. A különbség a logikai állandók és a szintaktikai szabályok terén adódik. K A C E N a konjunkció jele az alternáció a kondicionális jele a bikondicionális jele és a negáció jele. A többi logikai állandónak nincs külön jele, mivel, mint ezt késıbb látni fogjuk az állandók szemantikailag kifejezhetık egymással, azaz egymással ekvivalensek. Megfigyelhetjük, hogy ezen ábécében az állandók szimbólumai megyegyznek a megnevezésük kezdıbetőjével. Kivétel a kikondicionális. Ellenben akkor amikor Lukasiewicz kidolgozta írásmódját ezt ekvivalenciának is nevezték. Miért volt szüksége Lukasiewicznek ezen írásmódra? Azok számára akik logikát írtak a klasszikus, mechanikus írógépen világos, hogy mennyire nehéz, adott esetben szinte lehetetlen ilyen jellegő szöveget alkotni. A nehézség fı forrását pontosan a Peanoféle írásmódban használt logikai állandók szimbólumai jelentik. Ezeket helyettesítik megnevezésük kezdıbetői. Az ide tartozó szintaktikai szabályok a következık: 1. A kijelentésváltozó jólformált. 2. A kifejezéseket, vagy sémákat úgy írjuk, hogy a változók szimbólumai a mővelet szimbólumát követik: Kpq, Apq, Cpq stb. Sorrendben e kifejezéseknek a Peanoféle írásmódban a következı sémák felelnek meg: p & q, p v q, p q. 3. A negációt úgy írjuk, hogy a negált változót vagy a mőveletet az N bető elızi meg: Np, Nq, NApq, NCNpNq. Sorrendben a Peano-féle írásmódban a következı sémák felelnek meg: ~p, ~q, ~ (p v q), ~ (~p ~q)

26 4. Ha a kondicionális vagy a bikondicionális a séma fımővelete, akkor szimbóluma elırehozható: CKpqq, ENKpq ANpNq. Az elıre nem hozott fımővelető sémának a Peano-féle írásmódban a következı sémák felelnek meg: (p & q) q, ~ (p & q) (~p v ~q). Mint látjuk a Lukasiewicz-féle írásmód nem használ kisegítı jeleket, a mőveletek jelei pedig nem ikonszerőek, hanem a magyar nyelv ábécéjének nagybetői. Emiatt sokkal könnyebben lehet ezen írásmód jeleit használva logikát írni. Az írásmód hátránya viszont az, hogy egy Lukasiewicz-féle írásmódbeli sémának gyakran több Peano-féle írásmódbeli átírás felel meg. Emiatt a logika írásának tapasztalata kell a hátunk mögött álljon, ahhoz hogy a két írásmód megfeleltetéseit helyesen értelmezzük. Összefoglalás. A kijelentések logikája ábécéjében szereplı szimbólumok (jelek) és a hozzájuk tartozó szintaktikai szabályok függvényében többféleképpen lehet a kijelentések logikájának szimbolikus nyelvén írni. Ezek közül megismertétek a Peano- és a Lukasiewicz-féle írásmódot. Kulcsszavak logikai állandók, logikai változók, Peano-féle írásmód, Lukasiewiczféle írásmód Gyakorlatok 1. Írjátok át a Peano-féle írásmódból Lukasiewicz-féle írásmódba a következı sémákat: a. (p & q ) p b. (p v q) (q v p) d. ~p (p v q) e. (p q) (~q ~p) f. [ p v (q & r) ] [ (p v q) & (p v r) ] g. [ ~ (~p ~ q) ] (q v r) h. (p v p) ~p i. (~p v ~q v ~r) ~ (p & q & r) 2. Írjátok át a Lukasiewicz-féle írásmódból a Peano-féle írásmódba a következı sémákat: a. Apq C Kpq b. Cpq C Cqr C Cpr c. Kpq E Kqp d. NANpNq E KNpNq e. ECpq K Crq Kpr Cq h. CKpq Apq i. KNpNqKNr C NApqAr 3. Melyek a Lukasiewicz-féle írásmód elınyei és hátrányai a Peano-féle írásmóddal szemben? 3. Szimbolizálás a kijelentések logikájában

27 A kijelentések logikájának nyelve metanyelv a természetes nyelv tárgynyelvéhez képest. Ennek az a következménye, hogy a természetes nyelv kifejezéseit le kell fordítanunk a kijelentéslogika nyelvére. Így a természetes nyelv kijelentésközi többértelmő szavai a fordítás eredményeképpen egyértelmő logikai jelentést nyernek. A természetes nyelvi kifejezések pedig logikai kifejezésekké alakulnak, vagyis ezen logika által eszközeivel vállnak kezelhetıkké. A téma célja világossá tenni a kijelentések logikájának metanyelvi és a természetes nyelv tárgynyelvi státusát. Konkrétabban a célunk az, hogy alkalmazzuk a kijelentések logikájának ábécéjét és szintaktikai szabályait a természetes nyelvi kifejezésekre. A téma átvétele után képes kell legyél a természetes nyelvi összetett kijelentések és következtetések lefordítására a kijelentések logikájának metanyelvére. Ahhoz, hogy a természetes nyelven kifejezett következtetések elemezhetıek legyenek a kijelentéslogika eszközeivel feltétlenül meg kell teremtenünk e két nyelv közötti kapcsolatot. A szimbolizálás éppen e kérdésre ad választ. Szimbolizálni tehát azt jelenti, hogy a kijelentések logikájának szimbolikus nyelvét, azaz ábécéjét és grammatikáját használjuk fel a természetes nyelven megfogalmazott kifejezések lefordítására. Például. A következı természetes nyelvi kifejezést a következıképpen írhatjuk át a kijelentéskalkulus nyelvére. A tudósok között is vannak vallásosok, vannak ateisták és vannak, akiket ez a probléma egyáltalán nem érdekel. 3 Felhasználva a már ismert kijelentésfogalmunkat lássuk elıször, hogy ezen összetett kijelentésben hány elemi kijelentés van. Ehhez viszont szabványos formájúakra kell ıket hoznunk. Irányadó az, hogy mindenik kijelentésben állításnak kell lennie. Így a mostaniban a következıket azonosíthatjuk: A tudósok között vannak vallásosak. p A tudósok között vannak ateisták. q Egyes tudósokat ez a probléma egyáltalán nem érdekli. ~ r. A három kijelentést jobboldalt szimbólumokkal láttuk el. Ez azt jelenti, hogy a konkrét kijelentések helyett a változók állnak. Láthatjuk, hogy a harmadik kijelentés negált és emiatt a negációjel szerepel az r kijelentésváltozó elıtt. A következı lépésben az érdekel, hogy a kijelentésváltozók között milyen logikai állandók vannak. A fenti szövegben a kijelentéseket egyszerően vesszı választja el. Emiatt nem mindig nyelvi kifejezés köti össze és így nincs semmilyen nyelvi utalás sem 3 Mérı László (1989), Észjárások, Akadémiai Kiadó, Optimum Kiadó, Budapest, o.