1. Mozgás elektomágneses térben

Átírás

1 1. Mozgás elektomágneses térben 1.1. Klasszikus elektrodinamika kivonatos ismétlés) Gauss mértékegységrendszer Konstansok: ε 0 = µ 0 = 1 Elektromos eltolásvektor, térerősség és polarizáió: D = E + 4πP Mágneses térerősség, indukió és mágnesezettség: H = 4πM Lorentz-erő: F = E + v ) Maxwell egyenletek: D = 4πρ 1) E = 1 t ) = 0 3) H = 4π j + 1 td 4) Vákuumban: D = E, H = Lagrange formalizmus A Lagrange függvény: L r, ṙ) = m 1 ṙ + A r, t) ṙ φ r, t). 5) Konjugált, kanonikus impulzus: p = = ahol K az ún. kinetikus impulzus: L r, ṙ) ṙ m ṙ = ) 1 ṙ + A r, t) = mṙ + A r, t) = K + A r, t), 6) 1 ṙ K = mṙ 1 ṙ = p A. 7) Mozgásegyenlet: L r, ṙ) r d L r, ṙ) = 0 8) dt ṙ 1

2 ahol A mágneses indukióvektor: azaz melyből tehát és Másrészt amiből illetve ahol A Hamilton függvény: Mivel következik, hogy dp dt = L r, ṙ) r = A) ṙ φ, 9) [ A) ṙ] i = i A j ẋ j. 10) = A, 11) k = ε kij i A j, 1) ε kij k = ε kij ε knm n A m = δ in δ jm δ im δ jn ) n A m = i A j j A i, 13) m 4 dp dt = i A j = ε kij k + j A i, 14) A) ṙ = ṙ + ṙ ) A. 15) da dt = A + ṙ ) A, 16) t da dt A t φ + ṙ ), 17) dk dt = A t φ + ṙ ) = E + ṙ ), 18) H = ṙ p L r, ṙ) E = 1 = ṙ K + A ṙ + m = mṙ + m 1 ṙ A t φ. 19) 1 ṙ A ṙ + φ = m 4 + mṙ = m 4 + K = m ṙ 1 ṙ H r, p ) = 1 ṙ + φ = m + φ. 0) 1 ṙ p A ), 1) m 4 + p A ) + φ. ) Amennyiben így nem-relativisztikus tárgyalásban p G A) m 1, 3) p H m + A) + φ, 4) m H = p A) + φ. 5) m

3 1.. Kvantummehanikai tárgyalás A kinetikus impulzus serereláiói A koordináta és kanonikus impulzus közötti felserélési reláió [p i, x j ] = i δ ij 6) alapján koordináta reprezentáióban) megtartjuk a p = i 7) defíniiót. Következésképpen: K = i A. 8) A kinetikus impulzus operátorok felserélési reláiója: [K i, K j ] = i [ i, A j ] + [A i, j ]) = i ia j A j i + A i j j A i ) ) Aj = i x i A i x j Innen egyből következik l. impulzusmomentum operátorok), hogy A kinetikus impulzus és a koordináta operátorok felserélési reláiója: = i ε ijk k. 9) K K = i. 30) [K i, x j ] = [p i, x j ] = i δ ij. 31) 1... A Shrödinger-egyenlet A következőkben a H = K + φ 3) m Hamilton operátor koordinátareprezentáióbeli alakját vizsgáljuk: ezért Coulomb mértékben diva = 0) i ) A = + A A + A ) 33) i i A i + A i i = A i x i + A i i A + A = diva + A, 34) H = m + φ + azaz az időtől függő Shrödinger egyenlet i t Ψ r, t) = Ψ r, t) + φψ r, t) + m Megjegyzés: elektronra = e, ahol e az elemi töltés.) m A + i m A, 35) m A Ψ r, t) + i A Ψ r, t). 36) m 3

4 1.3. Paramágneses és diamágneses kölsönhatás Homogén térben állandó nagyságú és irányú) mágneses tér esetén, Coulomb mértékben a vektorpoteniál felírható az A = 1 r 37) alakban. Ugyanis valamint diva = i A i = 1 ε ijk j i x k = 1 ε ijk δ ik j = 1 ε kjk j = 0 38) A) i = 1 ε ijk ε klm j l x m ) = 1 δ ilδ jm δ im δ jl ) δ jm l = 1 3 i i ) = i. 39) Ezt nevezzük szimmetrikus mérték nek. Ekkor az 35) Hamilton operátor utolsó tagja i i i A = r) = {r ) = ) r p m m m m = m L = M L, 40) alakra hozható, ahol ismételten a = e választással) M L = m L = µ L, 41) e az elemi töltés, m az elektron tömege és µ = e m = J/T a ohr-magneton. Ezt hívjuk Pauli paramágneses tagnak, mely a spin figyelembevételével H para = M L + M S ) = µ L + S). 4) Közönséges Zeemann effektus: Homogén, z irányú mágneses térben a H-atom energianívói a perturbáiószámítás első rendjében a következőképpen hasadnak fel: E nlml m s = E 0) n + µ m l + m s ). 43) Érdekes, hogy a felhasadás mértéke µ / = m éppen az elektrodinamikából ismert Larmour körfrekvenia. A felhasadás tehát a pályamomentum szerint l + 1-szeres, a spinmomentum szerint -szeres, így l + 1) nívó alakulhatna ki. A pályamomentum és spin kvantumszámok fenti kombináiójából azonban kiderül, hogy összesen l+3 nívó alakul ki, melyek közül 4 nívó egyszeresen, l 1 nívó pedig kétszeresen elfajult: l 1) + 4 = l + 1). Valójában ezt a felhasadást a relativisztikus spin-pálya kölsönhatás erősen módosíthatja, l. Relativisztikus kvantummehanika). Páratlan rendszámú atomok esetében külső mágneses tér nélkül is megfigyelhető az atomi pályák felhasadása. Ezt anomális Zeemann efektusnak hívjuk. A 35) Hamilton operátor második tagja m A = 8m r) = 8m r r) ) = x 8m + y ) 44) az ún. Langevin diamágneses tag, ahol az utolsó kijezést z irányú mágneses tér esetében kapjuk. Ez a legtöbb esetben elhanyagolható a paramágneses járulékhoz képest. Ugyanis δe dia = e ) 1 e x + y δe para 8m m L z + S z ea e/a = E = e, 45) 4

5 ami általában igen kisiny érték. A fenti beslésben kihasználtuk, hogy atomokban x + y a 0, valamint L z + S z és E e/a 0 az elektromos térerősség átlagértéke.) Amennyiben viszont a paramágneses tag eltűnik, L z + S z = 0, a diamágneses járulék dominál. Könnyen kiszámítható az is, hogy az atomi energiaszinteken fellépő paramágneses korrekió T) nagyságrendű. Vegyük észre, hogy a paramágneses járulék a már meglevő µ = µ L + S atomi mágneses momentumnak a mágneses indukió irányába való fordulása miatt lép föl. Ezzel szemben a Langevin diamágnesség a mágneses tér hatására indukált mágneses momentummal kapsolatos: µ dia = E dia = e r) 8m = e r 4m r r) ) = e 4m x + y e z, 46) amely tehát a külső mágneses tér nagyságával egyenes arányos, de vele ellentétes irányú. válaszelmélet keretein belül tárgyalva bevezethetjük a diamágneses szuszeptibilitás tenzort ahol I a 3x3-as egységmátrix), mellyel és χ = e r dia 4m I r r ) µ dia = χ dia δe dia = 1 µ dia = 1 χ dia. A lineáris 1.4. A valószínűségi áramsűrűség elektromágneses tér jelenlétében A korábbi tárgyaláshoz hasonlóan, elektromágneses tér jelenlétében is levezethető egy kontinuitási egyenlet, mely lehetővé teszi a hullámfüggvény valószínűségi értelmezését. Induljunk ki a i t Ψ = m Ψ + m A Ψ + i m div A + A ) Ψ + φψ + µ σ Ψ 47) időtől függő Pauli-Shrödinger egyenletből, ahol figyelembe vettük a mágneses tér és az elektron spin közötti kölsönhatást és ) Ψ1 Ψ = 48) Ψ a kétkomponensű hullámfüggvény. Komponensenként kiírva i t Ψ r = m Ψ r + m A Ψ r + i m div A + A ) Ψ r + φψ r + µ i σi rs Ψ s r = 1, ). 49) ahol σi rs az i-ik i = x, y, z) Pauli mátrix komponenseit jelöli r, s = 1, ), melyekre természetesen fennáll, hogy σi rs = σi sr ). A fenti egyenletet konjugálva nyerjük i t Ψ r = m Ψ r + m A Ψ r i m div A + A ) Ψ r + φψ r + µ i Ψ sσi sr r = 1, ), 50) amit írhatunk a i t Ψ + = m Ψ+ + m A Ψ + i m div A + A ) Ψ+ + φψ + + µ Ψ + σ 51) kompakt formában is, ahol Ψ + = Ψ 1, Ψ A 47) és 51) egyenletek felhasználásával adódik, hogy ) ) i Ψ + t Ψ + [ t Ψ] + Ψ = Ψ + Ψ [ Ψ +] Ψ ) m + i [ A] Ψ + Ψ + A Ψ + [ Ψ] + A [ Ψ +] Ψ ) m, 5). 5

6 ahol a szögletes zárójelek most expliiten azt jelzik, hogy a megfelelő differeniáloperátorok mely függvényekre hatnak. Figyelemreméltó, hogy a Pauli-Shrödinger egyenlet spinoperátort tartalmazó része kiesett. A fenti egyenlet mindkét oldalán átalakításokat végezve: illetve a következő kontinuitási egyenlethez jutunk: ahol Ψ + t Ψ + [ t Ψ] + Ψ = t Ψ + Ψ ), Ψ + Ψ [ Ψ +] Ψ = Ψ + Ψ [ Ψ +] Ψ ), [ A] Ψ + Ψ + A Ψ + [ Ψ] + A [ Ψ +] Ψ = [ A Ψ + Ψ ], t ρ + j = 0, 53) ρ = Ψ + Ψ 54) és j = i [ Ψ + ] Ψ Ψ + Ψ ) m m A Ψ+ Ψ. 55) Látható, hogy a valószínűségsűrűség kifejezése megegyezik az elektromágneses tér vektorpoteniál) nélkül levezetett eredménnyel, míg viszont a valószínűségi áramsűrűségben expliiten megjelenik a vektorpoteniál hatása. Ezt úgy érthetjük meg, hogy az áramsűrűséget a kinetikus és nem a kanonikus) impulzussal hozzuk kapsolatba: j = 1 m Re Ψ + KΨ ) = i m {Ψ+ [ Ψ] Ψ + [ Ψ] ) + }{{} } = [ Ψ + ]Ψ m AΨ+ Ψ. 56) Megjegyezzük, hogy az áramsűrűséghez egy divergeniamentes mágnesezettségi) tagot hozzáadva a kontinuitási egyenlet érvényben marad. Az itt közölt levezetés nem ad informáiót arra nézve, hogy a spin mágnesezettségnek milyen áramsűrűség feleltethető meg. Erre a problémára a Dira egyenlet nemrelativisztikus határesetének tárgyalásakor vissza fogunk térni Mértéktranszformáió Az elektromos térerősség és a mágneses indukió az E = 1 A t φ 57) = A 58) A r, t) = A r, t) + Λ r, t) φ r, t) = φ r, t) 1 tλ r, t) 59) mértéktranszformáió erejéig meghatározottak. A [ 1 i t Ψ r, t) = m i ) A r, t) + φ r, t)] Ψ r, t) 60) időtől függő Shrödinger egyenlet a mértéktranszformáió hatására a [ i t Ψ 1 r, t) = m i ) A r, t) + φ r, t)] Ψ r, t) [ 1 = m i A r, t) ) ] Λ r, t) + φ r, t) tλ r, t) Ψ r, t) 61) alakba megy át. 6

7 Állítás: ) i Ψ r, t) = Ψ r, t) exp Λ r, t) 6) izonyítás: A ) ] ) i i i t [exp Λ r, t) Ψ r, t) = exp Λ r, t) i t ) tλ r, t) Ψ r, t) 63) azonosságot behelyettesítve a 61) egyenletbe, majd némi átrendezés után kapjuk, hogy [ 1 i i t Ψ r, t) = Λr,t) i A r, t) ) ] Λ r, t) e i Λr,t) + φ r, t) Ψ r, t). 64) m e Felhasználva a ) e i fr) i + g r) f r) e i fr) = + g r) 65) i ill. e i fr) i + g r) f r) ) e i fr) = ) i + g r) 66) azonosságokat, az f r) = Λ r, t) és g r) = A r, t) választással a 60) Shrödinger egyenlethez jutunk Az Aharonov-ohm effektus Időben állandó mágneses tér esetén Ugyanakkor r t Λ r, t) = 0 és φ r, t) = φ r, t). 67) r 0 A s) ds = r r 0 A s) ds + Λ r) Λ r 0 ). 68) Zérus mágneses tér esetén megválaszthatjuk a mértéktranszformáiót úgy, hogy a vektorpoteniál is zérus legyen, r Λ r) = A s) ds, 69) r 0 ahol a Λ r 0 ) = 0 integrálási konstants rögzítettük. Nyilvánvaló, hogy a fenti konstrukió sak rotáiómentes vektorpoteniál azaz zérus mágneses tér) esetén értelmes, hiszen ez biztosítja Λ r) integrál előállításának egyértelműségét. Ezenfelül fel kell tennünk, hogy a = 0-val jellemzett tértartomány jelöljük ezt Ω 0 -lal) egyszeresen összefüggő. Ha ugyanis Ω 0 körbefog egy olyan tértartományt Ω ), ahol 0, akkor Λ r) sak a körbeölelt fluxus, Φ = A s) ds 70) egésszámszorosáig meghatározott. Legyen r Ω 0 esetén a vektorpoteniál A r), a hullámfüggvényt pedig jelöljük Ψ r, t)-vel. Amennyiben a mágneses tér az Ω tartományban tehát mindenütt) zérus, a vektorpoteniál zérusnak választható, a hullámfüggvény pedig legyen Ψ 0 r, t). Ekkor a fentiekben leírt mértéktranszformáió alapján, a hullámfüggvények között fennáll a ) i Ψ 0 r, t) = Ψ r, t) exp Λ r) = Ψ r, t) exp i ) r A s) ds r 0, 71) illetve a Ψ r, t) = Ψ 0 r, t) exp ) i r A s) ds r 0. 7) 7

8 összefüggés, ami arra utal, hogy a mágneses tér változása a vektorpoteniálon keresztül hat a hullámfüggvényre. Ugyanakkor tudjuk, hogy a mágneses tér indukió) a mérhető fizikai mennyiség. Másrészt, mivel a hatás a hullámfüggvényben egy fázisfaktorként jelentkezik, nem triviális tény, hogy kísérletileg kimutatható a mágneses tér jelenléte a részeske mozgásában kvantumos viselkedésében) azon tartományban, ahol zérus a mágneses tér. Az A kísérlet egy tipikus kétréses elektron interferenia kísérlet, melyben a két rés közötti zárt térrészben, az elrendezésre merőleges irányú mágneses tér szolenoid tekers) van. Legyen r 0 a forrás helye, r pedig az ernyő egy pontja. Az egzakt kvantummehanikai megoldás helyett az ernyőn kialakuló intenzitás leírására használjuk a rések szelektív letakarásával számítható hullámfüggvények, Ψ 1 r, t) és Ψ r, t), interfereniáját. Ez azért jelent nagyfokú egyszerűsítést, mert ekkor a a vizsgált tértartomáyok egyszeresen összefüggőek nem ölelik át a szolenoid fluxusát) és használható 7) egyenlet. Eszerint a két hullámfüggvény, ) i Ψ 1 r, t) = Ψ 10 r, t) exp A s) ds 73) 1 és ) i Ψ r, t) = Ψ 0 r, t) exp A s) ds 74) alakban írható. A ernyőn ezen hullámfüggvények szuperpozíiójának abszolútérték négyzetével arányos intenzitás jelenik meg, Ψ r, t) = 1 Ψ 1 r, t) + Ψ r, t) = 1 [ ]) i Ψ 10 r, t) exp A s) ds A s) ds + Ψ 0 r, t) 1 = 1 ) i Ψ 10 r, t) exp A s) ds + Ψ 0 r, t) 75) = 1 ) i Ψ 10 r, t) exp Φ + Ψ 0 r, t). 76) A hullámfüggvényekre szabad síkhullámokat feltételezve kvantitatív beslést is adhatunk az ernyőn megjelenő erősítési vagy kioltási) vonaltávolságokra, I r) 1 exp ikl 1 + i ) Φ + exp ikl ) = exp = 1 + os [ i kl 1 kl + ]) Φ ), 77) kl 1 kl + Φ ahol l 1 és l az 1-es és -es pályák hosszát jelölik. Az elekroninterferenia maximumainak vagy minimumainak) egymáshoz viszonyított pozíiói megfelelnek annak, amikor k l 1 l ) e Φ = πn l 1 l = λ n + Φ ) = λ n + Φ ), 78) h/e Φ 0 ahol n Z, k = π λ, λ = h mv a de roglie hullámhossz és Φ 0 = h/e = T m az elemi fluxus. Az ernyőn kialakuló vonalak pozíiója tehát a szolenoid mágneses fluxusának változtásával eltolódik, amit a kísérletileg valóban igazolható. Az Aharonov-ohm effektus itt közölt magyarázata erősen kvalitatív jellegű. A kísérletben ugyanis mindkét rés nyitva van, tehát a hullámfüggvényt egy nem összefüggő tértartományban kell megkonstruálni. Teljesen nyilvánvalóvá válik ez a probléma akkor, amikor egy síkhullám szórását vizsgáljuk egy áramjárta szolenoid tekersen. Az ernyőn kialakuló intenzitáskép hasonló függést mutat a Φ fluxustól, mint a kétréses interferenia kísérletben, viszont a 7) hullámfüggvény transzformáió nem alkalmazható. Sir Mihael V. erry és mtsi. megmutatták [M.V. erry és mtsi., Eur. J. Phys. 1, ), M.V. erry, Eur. J. Phys. 1, )], hogy az Ω 0 tartományban megkonstruálható egy egyértékű egzakt) szórási hullámfüggvény, melynek aszimptotikus alakja jól magyarázza a kísérleti megfigyelést. 8

9 Az egyszerűség kedvéért tekintsünk egy vonalszerű Φ mágneses fluxust. Hengerkoordinátákat r, ϕ, z) használva a vektorpoteniál lehetséges reprezentáiója, A ϕ = Φ πr, A r = A z = 0. 79) Másik egyszerűsítésünk az, hogy a töltött részeske mozgását sak egy a sugarú körpályán igen vékony gyűrűben) engedjük meg, ezért a Hamilton operátort a H = 1 1 m i a ϕ ) A ϕ = ma ϕ i ) h Φ 80) ) = ma ϕ iφ 81) Φ 0 alakban írhatjuk. A Shrödinger egyenlet triviális megoldása, ahol a hullámfüggvény egyértékűségét a összefüggés biztosítja. A sajátállapot energiája tehát a hullámfüggvény pedig E = C ma 8) ψ ϕ) = 1 [ exp i C + Φ ] ) ϕ 83) π Φ 0 E n = C + Φ Φ 0 = n Z 84) ma n Φ Φ 0 ), 85) ψ n ϕ) = 1 π e inϕ. 86) Az eredményt úgy is interpretálhatjuk, hogy egy adott E energiához tartozó hullámfüggvényben, ψ E; ϕ) = 1 ) ma E exp i ϕ exp i Φ ) ϕ, 87) π Φ 0 expliiten megjelenik az A effektusnál megismert mágneses fázisfaktor. Az energia függését a Φ fluxustól megérthetjük a következő módon. A mágneses tér bekapsolása Faraday indukiós törvénye alapján E r t) = 1 dφ t) 88) πa dt elektromos teret indukál, melynek következtében a töltött részeskére ható erő az energia időbeli változása pedig amiből de t) dt F r t) = πa = 1 m p r t) dp r t) dt = πam me t) dφ t) dt dφ t) dt = πam p r t) dφ t) dt = π, 89) E t) dφ t) ma dt 90) 91) de = ) 1/ E dφ π ma 9) következik. Ez teljesen összhangban van a sajátállapotok energiájára kapott 85) kifejezéssel. A fenti gondolatmenet E. Merzbaher, Am. J. Phys. 30, ) ikkéből származik.) 9

10 1.7. Fluxuskvantálás elsőfajú szupravezetőben A Meissner-Ohsenfeld effektus következtében egy mágneses térbe tett elsőfajú szupravezetőből kiszorul a mágneses tér. Képzeljünk el egy szupravezető gyűrűt, mely belsejében a gyűrű síkjára merőleges mágneses tér van. Kísérletileg kimutatták [. S. Deaver, Jr. és W. F. Fairbank, Phys. Rev. Lett. 7, ); R. Doll és M. Näbauer, Phys. Rev. Lett. 7, )], hogy a bezárt mágneses tér fluxusa kvantált. A jelenség megértéséhez az elsőfajú szupravezető sajátos tulajdonságait kell felhasználni. Mivel a szupravezető ideális diamágnes, belsejében a mágneses indukió értéke zérus. Staionárius esetben a rot = 4π j + 1 Maxwell egyenletből következik, hogy a szupravezető belsejében a j áramsűrűség zérus. Az áram egy behatolási tartományban sak a szupravezető határán folyik.) elátható, hogy szupravezető állapotban a töltéssűrűség térben is homogén, azaz a szupravezető állapot hullámfüggvénye a E t 93) ψ r) = ϱe iϑr) 94) alakban vehető fel, ahol ϱ a szupravezető részeskék sűrűsége és ϑ r) a szupravezető állapot fázisa. Az áramsűrűség kifejezése ekkor, j r) = ϑ r) ) m A r) ϱ 95) és j = 0 miatt fennáll, hogy ϑ r) = A r). 96) Most kell kihasználnunk a hullámfüggvény egyértékűségét, azaz, hogy körbejárás esetén a fázis változása legfeljebb π egészszámú többszöröse lehet: πn = ϑ s) ds = Φ 97) azaz Φ = h n. 98) Mivel a szupravezető = e töltésű Cooper párok kondenzátuma, az elsőfajú szupravezető gyűrű által bezárt mágneses fluxus Φ 0 / egészszámú többszöröse lehet Szabad elektronok mozgása homogén mágneses térben: Landau nívók A klasszikus elektrodinamika szerint a z irányú homogén mágneses térben, a térre merőleges síkban egy töltött részeske ω = 99) m körfrekveniájú körmozgást végez. Mivel ekkor a rendszer energiája E = 1 mr ω, 100) a ohr-sommerfeld kvantál ási feltétel alapján, L z dϕ = πmrv = πmr ω = hn mr ω = n E n = 1 n ω, 101) megsejthető, hogy a kvantummehanikai tárgyalás a síkbeli mozgás következtében kvantált energianívókat eredményez. Vegyük fel koordinátarendszerünk z tengelyét irányában: használva a vektorpoteniál A = 1 y, 1 ) x, 0 = 0, 0, ). Szimmetrikus mérték et, 10) 10

11 a kinetikus impulzus pedig K = K x, K y, K z ) = p x e y, p y + e ) x, p z = p x mω y, p y + mω ) x, p z alakú elektronra = e!) és fennáll a 103) 104) serereláió. A Hamilton operátor sajátfüggvényei, [K x, K y ] = e i = i mω 105) H = 1 K m x + Ky) p + z m 106) Hψ = Eψ, 107) ψ r) = ϕ k x, y) e ikz 108) alakban írhatók, ahol k R és a ϕ k x, y) függvény teljesíti az 1 K m x + Ky ) ϕk x, y) = E k ) ϕ k x, y) 109) m sajátértékegyenletet. evezetve az operátorokat, a 105) serereláióból egyrészt következik, hogy X = K y e = K y mω és P = K x 110) [P, X] = i, 111) másrészt pedig 109) a P m + 1 ) mω X ϕ k x, y) = E k ) ϕ k x, y) 11) m oszillátor egyenletbe megy át. A tanult algebrai megoldás alapján bevezethetjük az mω a = X + i ) P mω 113) = 1 LH 1 mω K x + ik y ) 114) és a + = mω X i ) P mω 115) = 1 LH 1 mω K x ik y ) 116) léptetőoperátorokat, ahol ehelyettesítve a, és e értékeket, L H = mω = e L H = 5.66 [T ] nm 117) 11

12 adódik, ahol a mágneses indukiót teslában mérjük. Szokványos terek esetén a karakterisztikus mágneses) hossz több nagyságrenddel nagyobb az atomi távolságoknál. A Hamiltonoperátor nyilvánvalóan H = 1 mω X + P m + p z m = ω a + a + 1 ) + p z 118) m alakot ölti. Következésképpen a sajátenergiák, E = E n,k = ω n + 1 ) + k m, 119) ahol az n = 0, 1,,... index az ún. Landau-nívókat jelölik. A kvantummehanikai probléma megoldható az aszimetrikus ún. Landau-) mérték ben A = y, 0, 0), 10) is. A megoldás ψ n,kx,k z x, y, z) exp ik z z) exp ik x x) exp 1 ) y L kx L ) y kx L ) H H H n H L H, 11) ahol H n Hermite polinom. Innen is látható, hogy a hullámfüggvény karakterisztikus y irányú kiterjedése L H. Mivel az energia nem függ a k x kvantumszámtól, a Landau nívók elfajultak. Szimmetrikus mértékben, az algebrai levezetésből ez úgy látszik, hogy az x, y, p x és p y operátorokból konstruálhatók olyan b és b + léptetőoperátorok - ezek a részeske tömegközéppontjának helyével és sebességével kapsolatosak -, melyek kommutálnak az a és a + operátorokkal, így H-val is. Ezért ezek a léptetőoperátorok egy Landau nívón belüli állapotok között léptetnek.) Ha a rendszer véges L x, L y ) kiterjedésű, akkor k x = π L x m m N) 1) és mivel y irányban a Landau pályák k x L H távolságban helyezkednek el egymástól, fennáll az L H π M = L y M = L xl y L } x πl {{} H max k x = A h = Φ Φ 0 13) összefüggés, ahol M egy Landau nívó degeneráltsága, A a minta felülete és Φ a mágneses indukió fluxusa. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy egy Landau pálya egy elemi fluxust képvisel és a mintában kialakuló Landau pályák száma Landau nívók degeneráltsága) a fluxussal egyenes arányban nő. Ha kváziklasszikus közelítésben egy Landau állapotot egy L H sugarú körön történő mozgásnak feleltetünk meg, és figyelembe vesszük az állapotfüggvény kiszélesedését r L H ), úgy az egy állapot felületére vett fluxus: Φ = πl H = h mω = h e = Φ 0! 14) 1