A kurzus során először az Abel-csoportokkal kapcsolatos algoritmikus kérdésekkel
|
|
- Róbert Németh
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1. fejezet Abel-csoportok 1.1. Algoritmikus kérdések Abel-csoportokban A kurzus során először az Abel-csoportokkal kapcsolatos algoritmikus kérdésekkel foglalkozunk. Abel-csoportokban általában additív jelölést használunk, tehát a csoportműveletet a + szimbólum jelöli Szabad Abel-csoportok A szabad objektumok fontos szerepet játszanak az algebrában, hiszen belőlük faktorképzés segítségével előállítható az összes algebrai struktúra. Például egy tetszőleges csoport felírható egy alkalmas szabad csoport faktorcsoportjaként. Az Abel-csoportok családjában a szabad Abel-csoportok játsszák ezt a szerepet. Definíció Legyen F egy Abel-csoport, X pedig az F csoport egy részhalmaza. Az X halmazt szabad generátor-rendszernek nevezzük, ha X = F, valamint tetszőleges G Abel-csoport és tetszőleges f : X G leképezés esetén létezik pontosan egy homomorfizmus f : F G, úgy hogy f X = f. Egy G Abelcsoportot szabad Abel-csoportnak mondunk, ha van neki szabad generátorrendszere. 1
2 2 Abel-csoportok Példa Tekintsük az egész számok Z csoportját az összeadásra nézve. Nyilván az X = {1} halmaz generálja a csoportot. Legyen G egy tetszőleges Abel-csoport, és tekintsünk egy f : X G leképezést; tegyük fel, hogy f(1) = g. Ha létezik f : Z G homomorfizmus melyre f X = f teljesül, akkor n Z esetén ( ) f(n) = f } {{ } n-szer = f(1) + + f(1) } {{ } n-szer = g + + g = ng. } {{ } n-szer Tehát, ha a kívánt homomorfizmus létezik, akkor az egyértelmű. A létezés igazolásához meg kell mutatni, hogy a fenti f leképezés homomorfizmus. Mivel, ng + mg = (n + m)g, így f(n + m) = (n + m)g = ng + mg = f(n) + f(m). Tehát f egy homomorfizmus, továbbá f(1) = 1g = g = f(g). Mivel f választása tetszőleges volt, X egy szabad generátor-rendszer, a Z csoport pedig szabad csoport. Példa Legyen Z 2 = {0 2, 1 2 }, a 2-vel való osztás maradékainak kételemű csoportja. Ennek generátor-rendszere az X = {1 2 } halmaz. Állítjuk, hogy az X halmaz nem szabad generátor-rendszer. Legyen például Z 3 = {0 3, 1 3, 2 3 } a háromelemű maradékosztály csoport, és legyen f : Ha f a f egy kiterjesztése, akkor f(0 2 ) = 0 3 kell, hogy teljesüljön. Viszont, f(0 2 ) = f( ) = f(1 2 ) + f(1 2 ) = = 2 3. Tehát X nem szabad generátor-rendszer. Hasonló gondolatmenet mutatja, hogy Z 2 -ben nincs szabad generátor-rendszer, így az nem szabad Abel-csoport. Lemma Legyen F egy Abel-csoport és legyenek X, Y szabad generátorrendszerek F-ben. Ekkor X = Y. BIZONYÍTÁS. Jelölje Z 2 a kételemű Abel-csoportot. A szabad generátorrendszerek definíciója szerint az f : F Z 2 homomorfizmusok száma megegyezik az X Z 2, illetve az Y Z 2 leképezések számával. Ezek száma 2 X, illetve 2 Y. Így, X = Y.
3 Csoportelméleti algoritmusok 3 Egy szabad Abel-csoportban, a szabad generátor-rendszerek számosságát a csoport rangjának mondjuk. A lemma szerint a rang egy jól definiált fogalom. Az példában szereplő csoport rangja 1. Az példa gondolatmenetét használva nem nehéz látni, hogy véges Abel-csoportok nem lehetnek szabadok. Valójában a végesen generált szabad Abel-csoportok egyszerűen meghatározhatók, a következőképpen. Jól ismert, hogy az egész számok Z halmaza Abel-csoportot alkot az összeadásra nézve. Tekinthetjük ennek a csoportnak az önmagával vett k-szoros Descartes szorzatát, a Z k = Z Z csoportot. Ennek a csoportnak az elemei rendezett k-asok (a 1,...,a k ) ahol az a i elemek egészek. Az (a 1,...,a k ) és a (b 1,..., b k ) elemek összege (a 1 + b 1,...,a k + b k ). Ennek a csoportnak a zéró-eleme a (0,...,0) elem, az (a 1,...,a k ) elem inverze pedig a ( a 1,..., a k ). A csoportok direkt szorzatának definíciója miatt, két csoportbeli elem (a 1,..., a k ) és (b 1,...,b k ) akkor és csakis akkor egyenlő, ha a i = b i teljesül minden i-re. Tétel Legyen F egy Abel-csoport és legyen X egy véges szabad generátor-rendszer X-ben. Ekkor F izomorf a Z k csoporttal, ahol k = X. BIZONYÍTÁS. Legyen i {1,..., k} és jelölje e i a Z k csoportnak azt az elemét amelynek minden koordinátája 0, kivéve az i-dik koordinátát, ami 1. Legyenek x 1,...,x k az X elemei, és legyen f : x i e i. Mivel X szabad generátorrendszer, a f leképezés kiterjeszthető egy f homomorfizmussá. Állítjuk, hogy f egy bijekció. Mivel az {e 1,...,e k } halmaz generálja a Z k csoportot és benne van az f képében, f szürjektív. Tegyük fel, hogy α 1,...,α k Z esetén az x = α 1 x α k x k elem benne van, az f magjában. Ekkor (0,...,0) = f(x) = f(α 1 x α k x k ) = α 1 f(x 1 ) + + α k f(x k ) = α 1 e α k e k = (α 1,...,α k ). Tehát α 1 = = α k = 0 és így x = 0. Ezért, ker f = 0, ami azt jelenti, hogy f injektív. Tehát f valóban bijekció. Következmény A fenti {e 1,...,e k } halmaz szabad generátor-rendszere a Z k csoportnak, így a Z k csoport szabad Abel-csoport, melynek rangja k.
4 4 Abel-csoportok BIZONYÍTÁS. Továbbra is használjuk az előző bizonyítás jelöléseit, és legyen Y = {e 1,...,e k }. Tegyük fel, hogy G egy tetszőleges Abel-csoport, és legyen ḡ : Y G egy tetszőleges leképezés. Mivel X = {x 1,...,x k } szabad generátorrendszere az előző tételben szereplő F csoportnak, a h : x i ḡ(e i ) leképezés kiterjeszthető egy h : F G homomorfizmussá. Definiáljuk az g leképezést a következőképpen: ha x Z k, akkor legyen g(x) = h(f 1 (x)), ahol f az előző bizonyításban definiált izomorfizmus. Mivel, az f és a h homomorfizmus, a g leképezés is az. Továbbá, g(e i ) = h(f 1 (e i )) = h(x i ) = ḡ(e i ). Ezért g kiterjesztése a ḡ leképezésnek és így a kívánt leképezés létezik. Tegyük fel, hogy g 1, g 2 : Z k G homomorfizmusok melyek kiterjesztik a ḡ leképezést. Ekkor az fg 1, fg 2 leképezések kiterjesztik a x i g(e i ) leképezést. Mivel X szabad generátor-rendszer, fg 1 = fg 2, azaz g 1 = g 2. Tehát a ḡ leképezés kiterjesztése egyértelmű, a {e 1,...,e k } halmaz szabad generátor-rendszer, az Z k pedig szabad csoport. van. Természetesen a Z k csoportnak sok más szabad generátor-rendszere is Általában a Z k szabad generátor-rendszereit bázisoknak mondjuk, az {e 1,...,e k } rendszert pedig standard bázisnak nevezzük. Következmény Egy k elem által generált Abel-csoport előáll mint a Z k csoport faktorcsoportja. BIZONYÍTÁS. Legyen X = {x 1,...,x k } egy k elemű generátor-rendszere a G csoportnak, és definiáljuk az f : Z k G homomorfizmust a e i x i leképezés kiterjesztéseként. Mivel X generálja a G csoportot, f szürjektív, és így, a homomorfizmus tétel szerint, G = Z k /(ker f). Példa Legyen G = Z 3 Z 5 = a b. Legyen f : Z k G az e 1 a, e 2 b leképezés kiterjesztése. Ekkor f(α 1, α 2 ) = α 1 a + α 2 b, azaz f(α 1, α 2 ) = 0, akkor és csakis akkor, ha 3 α 1 és 5 α 2. Tehát ker f = {(α3, β5) α, β Z} = (3, 0), (0, 5). Így G = Z 2 / (3, 0), (0, 5).
5 Csoportelméleti algoritmusok 5 A szabad generátor-rendszer definíciója nem teszi lehetővé, hogy egyszerűen ellenőrizzük, hogy egy szabad Abel-csoportbeli halmaz szabad generátor-rendszer-e. A következő lemma, egy könnyebben kezelhető szükséges és elegendő feltételt ad. Lemma Legyen F egy Abel-csoport, és legyen X = {x 1,...,x k } egy véges részhalmaza F-nek. Ekkor X szabad generátor-rendszer akkor és csakis akkor, ha F minden eleme pontosan egyféleképpen írható α 1,...,α k egész számok segítségével α 1 x α k x k alakban. BIZONYÍTÁS. Tegyük fel először, hogy X egy szabad generátor-rendszer. Ebben az esetben az F minden eleme felírható α 1 x α k x k alakban. Legyen f : F Z k a tételben definiált izomorfizmus. Tegyük fel, hogy α 1,...,α k és β 1,...,β k egész számok úgy hogy α 1 x α k x k = β 1 x β k x k. Mivel f izomorfizmus, (α 1,...,α k ) = f(α 1 x α k x k ) = f(β 1 x β k x k ) = (β 1,...,β k ). Amiből α 1 = β 1,...,α k = β k következik. Tehát az α 1 x α k x k elem felírása egyértelmű. Tegyük most fel, hogy X rendelkezik a tételben megkövetelt tulajdonsággal. Legyen G egy Abel-csoport, és legyen ḡ : X G egy leképezés. Definiáljuk az f : F Z k leképezést: f(α 1 x α k x k ) = (α 1,..., α k ). A feltétel szerint, f jól-definiált, és egyszerű számolás mutatja, hogy f homomorfizmus. Mivel f(x i ) = e i, a standard bázis elemek benne vannak az f képében, így f szürjektív. Ha f(α 1 x α k x k ) = (0,..., 0), akkor az f definíciója miatt, α 1 = = α k = 0, azaz α 1 x α k x k = 0. Tehát, ker f = 0, és így f egy izomorfizmus. Tekintsük az e i standard bázis elemeket Z k -ban és legyen Y = {e 1,...,e k }. Jelölje h : Y G azt a leképezést melyre h(e i ) = ḡ(x i ). Ekkor a h kiterjeszthető egy h : Z k G homomorfizmussá, és definiálhatjuk a g leképezést a következőképpen: x F esetén legyen g(x) = h(f(x)). Mivel h és f homomorfizmusok, a g is az, továbbá g X = ḡ. Ha g 1, g 2 : F G melyekre g 1 X = g 2 X = ḡ, akkor g 1 f 1 és g 2 f 1 olyan leképezések, melyekre g 1 f 1 Y = g 2 f 1 Y. Mivel Y szabad generátor-rendszer, g 1 f 1 = g 2 f 1 következik, tehát g 1 = g 2.
6 6 Abel-csoportok 1.3. Szabad Abel-csoportok részcsoportjai Egy szabad Abel-csoport minden részcsoportja is szabad Abel-csoport. Mi ezt az eredményt csak végesen generált szabad Abel-csoportok esetén bizonyítjuk. Tétel Egy k rangú szabad Abel-csoport tetszőleges részcsoportja is egy legfeljebb k rangú szabad Abel-csoport. BIZONYÍTÁS. A tétel miatt, elegendő belátni, hogy az F = Z k csoport tetszőleges H részcsoportja szabad Abel-csoport melynek rangja legfeljebb k. Legyen i {0,..., k} és jelölje F i azon k-asok halmazát, amelyekben az első i koordináta 0. Ezzel definiáltuk következő F-beli részcsoportláncot: F = F 0 > F 1 > > F k 1 > F k = 0; továbbá i {0,..., k 1} esetén F i /F i+1 = Z. Legyen Hi = H F i. Ekkor, ha i {0,..., k 1}, akkor H i H i+1 = H F i H F i+1 = H F i H F i F i+1 = (H F i ) + F i+1 F i+1, és ezért H i /H i+1 izomorf a F i /F i+1 = Z csoport egy részcsoportjával. A Z egy részcsoportja vagy triviális, vagy pedig izomorf Z-vel, ezért vagy H i /H i+1 = 0 vagy H i /H i+1 = Z. A fentiek szerint a H csoportban definiáltunk egy H 0 = H H 1 H k 1 H k = 0 részcsoportláncot amelynek faktorai vagy triviálisak vagy pedig izomorfak a Z csoporttal. A láncból hagyjuk el az ismétlődéseket, és alkossunk egy H 0 = H > H 1 > > H m 1 > H m = 0 részcsoportláncot amelyben minden faktor izomorf a Z csoporttal. Jegyezzük itt meg, hogy m k. Válasszunk, i {1,..., m} esetén, egy a i H i 1 elemet úgy, hogy a i + H i = H i 1 /H i. Ilyen elem létezik, hiszen H i 1 /H i egy ciklikus csoport. Mivel H i 1 /H i = Z, H i 1 /H i = {k(a i + H i ) k Z} = {ka i + H i k Z},
7 Csoportelméleti algoritmusok 7 továbbá k 1 a i + H i = k 2 a i + H i akkor és csakis akkor, ha k 1 = k 2. Legyen x H i 1. Az x elem a H i részcsoport pontosan egy mellékosztályában található, ezért egyéretelműen léteznek k Z és y H i melyekkel x = ka i + y teljesül. Azt állítjuk, hogy a {a 1,...,a m } halmaz szabad generátor-rendszer a H csoportban. Legyen x H. Az előző bekezdés állítása szerint létezik pontosan egy α 1 Z és pontosan egy y 1 H 1 úgy hogy x = α 1 a 1 + y 1. Hasonlóan, létezik pontosan egy α 2 Z és pontosan egy y 2 H 2 úgy hogy y 1 = α 2 a 2 + y 2, és így y = α 1 a 1 +α 2 a 2 +y 2. Ezt a sort folytatva, azt találjuk, hogy egyértelműen léteznek α 1,...,α m Z amelyek kielégítik az y = α 1 a α m a m egyenletet. Az lemma szerint a {a 1,...,a m } halmaz szabad generátor-rendszer a H csoportban, és így a H csoport szabad Abel-csoport. Továbbá a H csoport rangja m, ami nem nagyobb mint k Sorműveletek egész mátrixokkal Jelölje M m,k (Z) az m sorból és k oszlopból álló Z feletti mátrixok halmazát. A Z k csoport egy G részcsoportját megadhatjuk egy A M m,k (Z) mátrix segítségével, melynek a sorai generáljak a G csoportot. Szimbólumokkal ezt a tényt úgy fejezzük ki, hogy G = A. A fenti tétel szerint, feltehetjük, hogy m k. Világos, hogy az A csoport megegyezik az A mátrix soraiból álló egész együtthatós lineáris kombinációk a halmazával. Ebben a szakaszban olyan módszereket ismertetünk, amik az alábbi kérdésekre választ adnak: (i) Ha A M m,k (Z) és B M n,k (Z), akkor vajon igaz-e, hogy A = B. (ii) Ha A és B a fenti mátrixok, akkor igaz-e, hogy Z k / A = Z k / B. (iii) Ha A M m,k (Z) és a Z k, akkor vajon igaz-e, hogy a A. A M m,k (Z)-beli mátrixok körében a következő műveleteket elemi (egész) sorműveleteknek nevezzük: (i) két sor felcserélése; (ii) egy sor szorzása 1-gyel;
8 8 Abel-csoportok (iii) egy sor valamely egész többszörösének hozzáadása egy másik sorhoz. Példa Tekintsük az alábbi mátrixot Az első és a harmadik sor felcserélése után a mátrixot kapjuk. Szorozzuk meg a második sort 1-gyel: Végül pedig adjuk a második sor 2-szeresét a harmadik sorhoz: Ha A, B M m,k (Z), akkor az A és B mátrixokat sor-ekvivalensnek mondjuk,. ha a B megkapható az A-ból sorműveletek segítségével. Lemma A sor-ekvivalencia egy ekvivalencia reláció az M m,k (Z) halmazon. Továbbá, ha A és B sor-ekvivalens mátrixok, akkor A = B. BIZONYÍTÁS. Világos, hogy a reláció reflexív, mert az A mátrixból önmagát kapjuk, ha például egy sorát kétszer megszorozzuk 1-gyel. A reláció nyilván tranzitív is, mert ha az A mátrixból megkapható a B, a B-ből pedig a C sorműveletek segítségével, akkor ezeket a sorműveleteket egymás után elvégezve az A mátrixból a C-t nyerjük. tehát csak a szimmetriát kell belátni. Az ekvivalencia reláció igazolásához Először megmutatjuk, hogy a fenti
9 Csoportelméleti algoritmusok 9 sorműveletek megfordíthatóak, azaz ha B megkapható A-ból egyetlen sorművelet segítségével, akkor A is megkapható B-ből szintén egyetlen sorművelet segítségével. Az állítás nyilvánvaló, ha a sorművelet két sor felcserélése, vagy pedig egy sor 1-gyel való szorzása. Ha a B-t úgy kaptuk, hogy az A mátrix i-dik sorához hozzáadtuk a j-dik sor α-szorosát, (i j) akkor a B-ből visszanyerjük az A-t, ha a B mátrix i-dik sorához hozzáadjuk az j- dik sor α-szorosát. Tehát ha most feltesszük, hogy A és B sor-ekvivalens mátrixok, akkor a B mátrix megkapható az A-ból elemi sorműveletek egy sorozatát végrehajtva. A fenti okoskodás miatt, ha most a B-ből indulunk ki, és a sorműveletek ellentettjét hajtjuk végre fordított sorrendben, akkor visszakapjuk az A mátrixot. Tehát a reláció szimmetrikus. A második állítás bizonyításához először belátjuk, hogy ha a B mátrix megkapható az A mátrixból egy sorművelet segítségével, akkor B A. Az állítás nyilvánvaló, ha a sorművelet két sor felcserélése vagy pedig egy sor 1-gyel való szorzása. Tegyük fel, hogy B-t úgy kaptuk, hogy az A mátrix i-dik sorához hozzáadtuk a j-dik sor α-szorosát. Ekkor az i-dik sor kivételével, a B mátrix minden sora szerepel az A mátrixban is. Ezek a sorok tehát benne vannak az A részcsoportban. A B mátrix i-dik sora felírható a i + αa j alakban, ahol a i és a j jelöli az A mátrix i-dik és j-dik sorát. Ebből a felírásból látszik, hogy ez a sor is benne van az A sorai által generált A részcsoportban, tehát valóban B A. Ha most feltesszük, hogy B megkapható az A-ból egyetlen sorművelet segítségével, akkor az előző bekezdésben bizonyítottak miatt, B A. Ekkor azonban A is megkapható az B mátrixból egy hasonló sorművelet segítségével, így A B. Tehát A = B következik. Végül, ha A és B ekvivalens mátrixok, akkor B megkapható az A-ból sorműveletek egy sorozatának segítségével. Ezek a sorműveletek azonban nem változtatják meg a sorok által generált részcsoportot. Így A = B teljesül. A példában szereplő négy mátrix egymással páronként sor-ekvivalens.
10 10 Abel-csoportok 1.5. A Hermite normál forma Az előző fejezetben láttuk, hogy az elemi sorműveletek nem változtatnak egy M m,k (Z)-beli mátrix sorai által generált részcsoporton. Így ha A M m,k (Z), akkor elemi sorműveletek segítségével szeretnénk egy szép B M m,k (Z) mátrixot kapni melyre A = B teljesül. Lássunk erre egy példát. Példa Legyen A a következő mátrix: Az első sor megfelelő skalárszorosait hozzáadva a többi sorhoz, elérhetjük, hogy az első oszlopban csak az első sorbeli elem nem-nulla: Vegyük az első sor ellentettjét, hogy vezéreleme (a sorbeli első nem-nulla elem) pozitív legyen: A második sor megfelelő skalárszorosait hozzáadva a többi sorhoz, csökkenthetjük a második oszlopban, a második sortól lefelé lévő elemek abszolút
11 Csoportelméleti algoritmusok 11 értékét: A negyedik sort használva, lenullázhatjuk a második oszlop második, harmadik, és ötödik sorában lévő elemeit: Cseréljük fel második és negyedik sorokat: A második sor 2-szeresét az első sorhoz adva elérjük, hogy a második sor vezéreleme felett az első sorban 0 legyen: A fenti eljáráshoz hasonlóan, a negyedik sor segítségével lenullázzuk a harmadik oszlop harmadik és ötödik sorában lévő elemeit, felcseréljük a negyedik és a harmadik sorokat, majd gondoskodunk róla, hogy a harmadik sor vezéreleme felett csak a vezérelemnél kisebb abszolút értékű elemek legyenek.
12 12 Abel-csoportok Így a következő mátrixot kapjuk: A negyedik és ötödik sorokat addig adogatjuk egymáshoz, vagy vonogatjuk egymásból, míg az egyikben a negyedik oszlopban lévő elem 0 lesz. Aztán sorcserével elérjük, hogy a negyedik sorban és negyedik oszlopban lévő elem nem-nulla, majd a negyedik sor vezéreleme feletti elemeket redukáljuk: Végül az ötödik sor segítségével redukáljuk az ötödik oszlopban lévő elemeket: Az eljárás végeredménye egy felső háromszög mátrix, melyben a vezérelemek nem-negatívak, illetve a vezérelemek felett tőlik kisebb abszolút értékű nemnegatív számok vannak. Definíció Azt mondjuk, hogy egy A M m,k (Z) mátrix Hermite normál formában (HNF) van ha a következők teljesülnek: (i) Valamely r-re az első r sor nem-nulla, az utolsó m r sor pedig nulla. Azaz a nulla sorok a mátrix alján találhatók.
13 Csoportelméleti algoritmusok 13 (ii) Ha i r és A i,ji az i-dik sor első nem-nulla eleme, akkor j 1 < j 2 < < j r. Azaz, a nem-nulla sorok vezérelemei (a sorban lévő első nem-nulla elem) egyre beljebb találhatók, és így a mátrix felső háromszög alakú. (iii) Ha i r, akkor A i,ji > 0. Azaz a nem-nulla sorok vezéreleme pozitív. (iv) Ha k < i r akkor 0 A k,ji < A i,ji. Azaz, a egy nem-nulla sor vezéreleme felett kisebb, nem-negatív elemek találhatók. Az példában az számolás végén kapott mátrix HNF alakú. A példa jól szemlélteti, azt az eljárást, amivel bármely egész értékű mátrix HNF alakra hozható. Az eljárás egy leírását adja a HNF algoritmus, mely egy tetszőleges mátrixot Hermite normál formájúvá konvertál. Az algoritmus leírásában M i jelöli az M mátrix i-dik sorát, M i,j pedig az i-dik sor j-dik elemét. Ha a, b Z, akkor egyértelműen léteznek q és r egész számok melyekre a = qb + r és 0 r < b (euklideszi osztás) és a div b jelöli az osztás q hányadosát. Sajnos a HNF algoritmus nem túlságosan hatékony. Tekintsük például az alábbi mátrixot: Ennek HNF alakja az algoritmus GAP implementációja segítségével megkapható: Míg az input mátrix elemei viszonylag kicsik (legfeljebb 5 abszolút értékűek), és az eredmény maximális abszolút értékű eleme is 2073, addig a közbülső mátrixokban előforduló legmagasabb abszolút értékű elem Mivel, nagyobb mátrixokban ez a probléma még élesebben jelentkezik, fontos feladat, hogy olyan HNF algoritmusokat tervezzünk, amelyekben a közbülső mátrixok elemei nem nőnek túlzottan nagyra. Ez jelenleg is egy aktív kutatási terület.
14 14 Abel-csoportok 1. algoritmus: HNF Input: M M m,n (Z) Output: HNF of M set i := 1; j := 1; while i m and j n if M i,j = = M m,j = 0 then else set j := j + 1 while k l {i,...,m} : 0 < M k,j M l,j do set q := M l,j div M k,j set M l := M l qm k end while set k {i,...,m} : M k,j 0 /* k egyértelmű */ if k i then set M i M k end if if M i,j < 0 then set M i := M i end if for l {1,..., i 1} set q := M l,j div M i,j set M l := M l qm i end if set i := i + 1; j := j + 1 end if end while return M Algorithm 1: A HNF kiszámítása
15 Csoportelméleti algoritmusok 15 Tétel A HNF program outputja az egy olyan HNF alakú mátrix amely sorekvivalens az M M m,n (Z) input mátrixszal. BIZONYÍTÁS. Mivel a programban csak elemi sorműveleteket hajtottunk végre, a program futása során minden lépés az eredetivel sor-ekvivalens mátrixot eredményez. Tehát a végső mátrix szintén sor-ekvivalens lesz az eredeti M mátrixszal. Ha i {1,..., n}, akkor jelölje M (i) azt a mátrixot melyet az M első i oszlopából kapunk. Teljes indukcióval belátjuk, hogy a következő állítások teljesülnek. (i) A j változó számlálja, hogy a külső while ciklus hányszor futott le. Továbbá, a külső while ciklus j lefutása után M (j) HNF alakú. (ii) A külső while ciklus j lefutása után az M (j) mátrixban a nem-nulla sorok száma i 1, továbbá i j teljesül. A fenti állításokat j szerinti indukcióval bizonyítjuk. Az j = 0 esetben nincs mit belátnunk. Tegyük fel, hogy az állítás igaz a ciklus j 1 elvégzése után, és lássuk be, hogy az j-dik lefutás után is igaz marad. A while utáni if utasítás feltétele pontosan akkor teljesül, ha a j-dik oszlopban az i-dik sortól lefelé, nincs nem-nulla elem. Ekkor, ha M (j 1) HNF alakú, akkor M (j) is az, továbbá, a nem-nulla sorok száma M (j 1) -ben és M (j) -ben megegyezik. Tehát a j változót eggyel megnöveljük, az i változót nem változtatjuk, és a while ciklus végére ugrunk. Így ebben az esetben a fenti (i) (ii) állítások továbbra is fennállnak. Ezt tesszük egészen addig, míg az if utasítás feltétele hamissá nem válik, azaz a j-dik oszlopban az i-dik sortól kezdődően található egy nem-nulla elem. Tegyük fel most, hogy ebben az esetben vagyunk. A belső while ciklus mindaddig fut, míg M k,j 0 legalább két különböző k {i,...,m} esetén. Amennyiben ez a feltétel teljesül, úgy az algoritmus kiválaszt ezen elemek közül két nem-nullát, mondjuk M k,j -t és M l,j -t, úgy hogy a M k,j M l,j teljesüljön. Ezekkel az elemekkel maradékos osztást végzünk: M l,j = qm k,j + r, ahol q és r egész számok és 0 r < M k,j. Ezután kivonjuk az l-dik sorból a k- dik sor q-szorosát. A művelet után az M l,j = r teljesül, így sikerült csökkenteni az M l,j elem abszolút értékét. A belső while ciklus minden iterációja után az M i,j + + M m,j összeg csökken, így a ciklus véges sok lépés után véget ér.
16 16 Abel-csoportok A fentiek miatt, a belső while ciklus befejezése után M k,j 0 pontosan egy k {i,...,m} esetén. Ha k i akkor felcseréljük az i-dik és k-dik sorokat, majd pedig, ha ez az elem negatív, akkor negáljuk az i-dik sort. Ezután az M (j) mátrix i-dik sorának vezéreleme M i,j, amelyre teljesül, hogy j i, M i,j > 0, és az is, hogy a vezérelem alatt csupa nulla elem található. Tehát a definíció (i) (ii) feltételeit beláttuk. A (iii) feltétel az algoritmus végén található for ciklus miatt teljesül. Ha ugyanis, valamely l {1,..., i 1} esetén M l,j -re az (iii) feltétel nem teljesül, akkor ismét maradékos osztást végzünk, M l,j = qm i,j + r ahol 0 r < M i,j, és kivonjuk az i-dik sor q-szorosát az l-dik sorból. Ezután az M l,j elem kielégíti a definíció (iii) feltételét is. Ha a mátrix oszlopainak száma n, akkor a while ciklus n lefutása után M (n) = M HNF alakú lesz. Következmény Minden egész mátrix sor-ekvivalens egy Hermite normál formában lévő mátrixszal. BIZONYÍTÁS. Az előző tétel szerint, a HNF algoritmus outputja épp megfelelő. Emlékezzünk, hogy a tétel szerint a Z n csoport minden részcsoportja szabad csoport, így egy A M m,n (Z) mátrix esetén is igaz, hogy A szabad. A HNF segítségével meghatározhatjuk ennek a csoportnak egy bázisát. Tétel Ha A egy HNF mátrix, akkor A nem-nulla sorai az A csoport egy bázisát alkotják. BIZONYÍTÁS. Tegyük fel, hogy A M m,n (Z) egy HNF mátrix, és legyen v A. A lemma szerint elegendő belátni, hogy v pontosan egyféleképpen írható fel az A mátrix nem-nulla sorainak egész együtthatós lineáris kombinációjaként. Legyen r az A-beli nem-nulla sorok száma, és i {1,..., r} esetén legyen A i,ji az i-dik sor vezéreleme. Ha feltesszük, hogy v = (v 1,...,v n ) A, akkor v felírható v = α 1 A α r A r (1.1) alakban, ahol A 1,...,A r az A mátrix első r sora, α 1,...,α r pedig egész számok. A (1.1) egyenletből r számú v ji elemre az alábbi r egyenletből álló egyenletrend-
17 Csoportelméleti algoritmusok 17 szert kapjuk: v j1 = α 1 A 1,j1 v j2 = α 1 A 1,j2 + α 2 A 2,j2. v jr = α 1 A 1,jr + α 2 A 2,jr + + α r A r,jr. Tekintsük ezt az egyenletrendszert a Q test felett. Az egyenletrendszer mátrixa négyzet alakú alsó háromszög mátrix, így ennek a mátrixnak a determinánsa nem-zéró. Ezért, ennek az egyenletrendszernek pontosan egy Q k -beli megoldása van: (α 1,..., α r ). Következésképp, a (1.1) felírás egyértelmű, tehát az A nem-nulla sorai az A csoport egy bázisát adják. Ha A M m,k (Z), akkor szeretnénk eldönteni például, hogy egy Z k -beli v elem benne van-e az A csoportban. A tétel bizonyítása azt sugallja, hogy a Hermite normál forma segítségével ezt a problémát is hatékonyan meg tudjuk oldani. Példa Legyen A a következő mátrix: és legyen v = (2, 1, 2, 4, 4). Kérdés, hogy a v vektor eleme-e az A csoportnak. Egy A mátrixszal ekvivalens HNF mátrix a HNF algoritmus segítségével könnyen kiszámítható: Az lemma szerint feltehetjük, hogy A a fenti HNF mátrix. Legyenek A 1, A 2, A 3, A 4 az A mátrix sorai, és tegyük fel hogy v A, azaz a v vektor felírható v = α 1 A 1 +α 2 A 2 +α 3 A 3 +α 4 A 4 alakban valamely α 1, α 2, α 3, α 4 Z számok segítségével. A fenti lineáris kombináció első koordinátája mindenképp 2α 1.
18 18 Abel-csoportok Mivel v első koordinátája 2, így α 1 = 1 kell, hogy teljesüljön. Ugyanez a gondolatmenet mutatja, hogy a v második koordinátája α 2, így α 2 = 1, és hasonlóan α 3 = 2. A v vektor negyedik koordinátája α 3 + 2α 4. Emiatt, α 4 = 3. Ezek után könnyű számolás mutatja, hogy valóban v = A 1 A 2 + 2A 3 3A 4, tehát v A. A fenti példa alapján könnyű egy általános algoritmust létrehozni. Az algoritmus leírásában a HNF algoritmusnál használt jelölést alkalmazzuk, a v vektor i-dik komponensét pedig v i jelöli. 2. algoritmus: ISMEMBER Input: A M m,n (Z) HNF mátrix és v Z n Output: (x 1,...,x m ) ha v A ; egyébként false set r := a nem-nulla sorok száma for i {1,...,r} do set A i,j := az i-dik sor vezéreleme if A i,j v j then return false end if set x i := v j /A i,j set v := v x i A i end for if v 0 then return false else return (x 1,...,x r, 0,..., 0) Z n end if Algorithm 2: Tartalmazási algoritmus Tétel Legyen A M m,n (Z) egy HNF mátrix, legyenek A 1,...,A m az A mátrix sorai, és legyen v Z n. Ha v A, akkor az IsMember algoritmus outputja egy vektor (x 1,...,x m ) amelyre teljesül a v = x 1 A x m A m ; (1.2) egyébként az output false.
19 Csoportelméleti algoritmusok 19 BIZONYÍTÁS. Az r változó jelöli a nem-nulla sorok számát. A for ciklus belsejében A i,j az i-dik sor első nem nulla eleme. Tegyük fel először, hogy v A és így v = x 1 A x m A m, ahol x 1,...,x m Z. Az tétel szerint az A mátrix első r sora az A csoport egy bázisát adja, ezért az x 1,...,x r együtthatók egyértelműen meghatározottak. Továbbá, mivel az utolsó m r sor nulla, az x r+1,...,x m együtthatók tetszőlegesek, tehát feltehetjük, hogy x r+1 = = x m = 0. Legyen, i {0,...,r 1} esetén, v i = x i+1 A i x r A r, és legyen v r = 0. Állítjuk, hogy ha for ciklus i-szer sikeresen végigfut (azaz a ciklusbeli return utasítás nem hajtódik végre), az x 1,...,x i együtthatók értéke helyes, az algoritmusbeli v változó értéke pedig v i. Az i = 0 esetben nincs mit belátni. Tegyük fel, hogy az állítás igaz a for ciklus i 1 lefutása után, és igazoljuk, hogy i lefutás után is igaz marad. Legyen A i,j az i-dik sor első nem-nulla eleme. Ekkor a v i 1 vektor első j 1 komponense szükségszerűen 0, v j pedig az A i,j elem x i -szerese kell, hogy legyen. Tehát ha A i,j v j, akkor v A és az output false. Másrészről, ha A i,j v j, akkor x i = v j /A i,j, és így a x i skalárt megtaláltuk. Az ezt követő set parancs miatt, v = v i 1 x i A i = v i. Ha a v vektor nem eleme a A csoportnak akkor két eset lehetséges. Az első esetben a for cikluson belüli if feltétele nem teljesül, és így az output false. Ha ez nem igaz, akkor a for ciklus elvégzése után a v vektor nem lehet nullvektor, mert ebben az esetben a v A teljesülne. Tehát az algoritmus outputja ebben az esetben is false. Korábban láttuk, hogy minden egész mátrix sor-ekvivalens egy HNF mátrixszal. Most igazoljuk, hogy ez a mátrix lényegében egyértelműen meghatározott. Tétel Ha H a Z n csoport egy részcsoportja, akkor létezik pontosan egy HNF mátrix A melynek nincsenek zéró sorai, és amelyre H = A teljesül. BIZONYÍTÁS. Legyenek A és B HNF mátrixok zéró sorok nélkül melyekre H = A = B teljesül. Az tétel szerint, az A sorai és a B sorai is bázisát adják az A = B csoportnak, így az lemma szerint, az A sorainak száma megegyezik a B sorainak számával. Jelöljük ezt a számot m-mel. Az állítást m szerinti indukcióval igazoljuk.
20 20 Abel-csoportok Ha m = 1, akkor mátrixaink mindössze egy sorból állnak. Mivel, A B, létezik α Z, melyre A = αb teljesül. Hasonlóan, B = βa valamely β Z egész számra. Tehát, A = αb = αβa. Mivel A-nak van nem-nulla eleme, azt kapjuk, hogy αβ = 1, tehát vagy α = β = 1, vagy pedig α = β = 1. Mivel az A és B mátrixok vezérelemei nem-negatívak, α = β = 1 következik. Tehát, ebben az esetben A = B, így az állítást az m = 1 esetben igazoltuk. Tegyük most fel, hogy m > 1. Legyenek a és b az A és B mátrixok első sorainak vezérelemei. Tegyük fel, hogy a a j 1 -dik oszlopban található, a b pedig a j 2 -dik oszlopban. Ekkor, a HNF definíciója miatt, a A csoport minden elemében az első j 1 1 koordináta 0, tehát a b elem oszlopszáma legalább j 1. Tehát j 1 j 2. Az érvelést megfordítva kapjuk, hogy j 2 j 1, azaz j 1 = j 2 következik; jelölje j ezt a számot. Legyen A 1 az a mátrix melyet A-ból kapunk az első sor törlése után; képezzük a B 1 mátrixot hasonlóan. A A 1 csoport a A csoport pontosan azon elemeiből áll, melyekben a j-dik komponens 0. Hasonlóan, a B 1 csoport a B csoport pontosan azon elemeiből áll, melyekben a j-dik komponens 0. Mivel A = B, következik, hogy A 1 = B 1. Jelölje H 1 ezt a csoportot. Mivel az A 1 és B 1 mátrixok HNF alakúak, az indukciós feltevés miatt, A 1 = B 1. Legyen u az A első sora, v pedig a B első sora. Jelölje D a H-beli elemek j-dik komponenseinek a halmazát. A D halmaz a Z egy részcsoportja, melyet a is és b is generál. Ezért a = ±b, de mivel a is és b is pozitív, a = b következik. Tehát u v H 1. Tegyük fel, hogy u v, és legyen c az u v vektor első nem-nulla komponense. Tételezzük fel, hogy c a k-dik oszlopban van. Ekkor az A 1 mátrix egyik sorának vezéreleme d szintén a k-dik oszlopban van, és d c. Azonban a HNF definíciója szerint, a d felett csak d-nél kisebb nem-negatív elemek lehetnek, ezért az u és v mátrixok k-dik komponense kisebb mint d, így a különbségük abszolút érteke is legfeljebb d 1, ami ellentmondás. Tehát u = v, és így A = B. Következmény Minden egész mátrix sor-ekvivalens pontosan egy HNF mátrixszal. BIZONYÍTÁS. Korábban láttuk, hogy létezik egy ilyen HNF mátrix. Tegyük fel, hogy A és B ilyen mátrixok, és jelölje  és ˆB a nulla sorok elhagyása után
15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste
13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
Részletesebben3. Feloldható csoportok
3. Feloldható csoportok 3.1. Kommutátor-részcsoport Egy csoport két eleme, a és b felcserélhető, ha ab = ba, vagy átrendezve az egyenlőséget, a 1 b 1 ab = 1. Ezt az [a,b] = a 1 b 1 ab elemet az a és b
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
Részletesebben1. Mellékosztály, Lagrange tétele
1. Mellékosztály, Lagrange tétele 1.1. Definíció. Legyen (G, ) csoport, H G részcsoport és g G tetszőleges elem. Ekkor a {gh h H} halmazt a H részcsoport g elem szerinti baloldali mellékosztályának nevezzük
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenVizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenJuhász Tibor. Lineáris algebra
Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenAlapvető polinomalgoritmusok
Alapvető polinomalgoritmusok Maradékos osztás Euklideszi algoritmus Bővített euklideszi algoritmus Alkalmazás: Véges testek konstrukciója Irodalom: Iványi Antal: Informatikai algoritmusok II, 18. fejezet.
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. A kétszer kettes determináns
1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenItt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
RészletesebbenHHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenAlgebra és számelmélet blokk III.
Algebra és számelmélet blokk III. 2008/2009 tavasz Károlyi Gyula órái alapján Molnár Attila 2. óra 2009. március 10. 1. Generált, normális és karakterisztikus részcsoportok 1.1. Definíció (Generált részcsoport).
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenCsoportok II március 7-8.
Csoportok II 2014 március 7-8. 1. Mellékosztályok 2. Lagrange tétele 3. Kompatibilis osztályozás, kongruenciareláció 4. Normálosztó, faktorcsoport 5. Konjugálás 6. Homomorfizmus, homomorfiatétel 7. Permutációcsoportok
Részletesebben11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal
11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
RészletesebbenXI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenSzámelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenMatematika A2a LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA
LINEÁRIS ALGEBRA NAGY ATTILA 20160515 Tartalomjegyzék 1 Algebrai struktúrák 5 2 Lineáris tér (vektortér) 13 21 A vektortér fogalma 14 22 Vektorok lineáris függetlensége és függősége 18 23 Generátorrendszer,
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
RészletesebbenMátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal
fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Részletesebbenn =
15. PÉLDÁK FÉLCSOPORTOKRA ÉS CSOPORTOKRA 1. Az R 3 tér vektorai a derékszög½u koordinátarendszerben az a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) alakban adottak az a 1 ; a 2 ; a 3 2 R valós számokkal. A vektoriális szorzás
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
RészletesebbenLineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat
Részletesebben