A kurzus során először az Abel-csoportokkal kapcsolatos algoritmikus kérdésekkel

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A kurzus során először az Abel-csoportokkal kapcsolatos algoritmikus kérdésekkel"

Átírás

1 1. fejezet Abel-csoportok 1.1. Algoritmikus kérdések Abel-csoportokban A kurzus során először az Abel-csoportokkal kapcsolatos algoritmikus kérdésekkel foglalkozunk. Abel-csoportokban általában additív jelölést használunk, tehát a csoportműveletet a + szimbólum jelöli Szabad Abel-csoportok A szabad objektumok fontos szerepet játszanak az algebrában, hiszen belőlük faktorképzés segítségével előállítható az összes algebrai struktúra. Például egy tetszőleges csoport felírható egy alkalmas szabad csoport faktorcsoportjaként. Az Abel-csoportok családjában a szabad Abel-csoportok játsszák ezt a szerepet. Definíció Legyen F egy Abel-csoport, X pedig az F csoport egy részhalmaza. Az X halmazt szabad generátor-rendszernek nevezzük, ha X = F, valamint tetszőleges G Abel-csoport és tetszőleges f : X G leképezés esetén létezik pontosan egy homomorfizmus f : F G, úgy hogy f X = f. Egy G Abelcsoportot szabad Abel-csoportnak mondunk, ha van neki szabad generátorrendszere. 1

2 2 Abel-csoportok Példa Tekintsük az egész számok Z csoportját az összeadásra nézve. Nyilván az X = {1} halmaz generálja a csoportot. Legyen G egy tetszőleges Abel-csoport, és tekintsünk egy f : X G leképezést; tegyük fel, hogy f(1) = g. Ha létezik f : Z G homomorfizmus melyre f X = f teljesül, akkor n Z esetén ( ) f(n) = f } {{ } n-szer = f(1) + + f(1) } {{ } n-szer = g + + g = ng. } {{ } n-szer Tehát, ha a kívánt homomorfizmus létezik, akkor az egyértelmű. A létezés igazolásához meg kell mutatni, hogy a fenti f leképezés homomorfizmus. Mivel, ng + mg = (n + m)g, így f(n + m) = (n + m)g = ng + mg = f(n) + f(m). Tehát f egy homomorfizmus, továbbá f(1) = 1g = g = f(g). Mivel f választása tetszőleges volt, X egy szabad generátor-rendszer, a Z csoport pedig szabad csoport. Példa Legyen Z 2 = {0 2, 1 2 }, a 2-vel való osztás maradékainak kételemű csoportja. Ennek generátor-rendszere az X = {1 2 } halmaz. Állítjuk, hogy az X halmaz nem szabad generátor-rendszer. Legyen például Z 3 = {0 3, 1 3, 2 3 } a háromelemű maradékosztály csoport, és legyen f : Ha f a f egy kiterjesztése, akkor f(0 2 ) = 0 3 kell, hogy teljesüljön. Viszont, f(0 2 ) = f( ) = f(1 2 ) + f(1 2 ) = = 2 3. Tehát X nem szabad generátor-rendszer. Hasonló gondolatmenet mutatja, hogy Z 2 -ben nincs szabad generátor-rendszer, így az nem szabad Abel-csoport. Lemma Legyen F egy Abel-csoport és legyenek X, Y szabad generátorrendszerek F-ben. Ekkor X = Y. BIZONYÍTÁS. Jelölje Z 2 a kételemű Abel-csoportot. A szabad generátorrendszerek definíciója szerint az f : F Z 2 homomorfizmusok száma megegyezik az X Z 2, illetve az Y Z 2 leképezések számával. Ezek száma 2 X, illetve 2 Y. Így, X = Y.

3 Csoportelméleti algoritmusok 3 Egy szabad Abel-csoportban, a szabad generátor-rendszerek számosságát a csoport rangjának mondjuk. A lemma szerint a rang egy jól definiált fogalom. Az példában szereplő csoport rangja 1. Az példa gondolatmenetét használva nem nehéz látni, hogy véges Abel-csoportok nem lehetnek szabadok. Valójában a végesen generált szabad Abel-csoportok egyszerűen meghatározhatók, a következőképpen. Jól ismert, hogy az egész számok Z halmaza Abel-csoportot alkot az összeadásra nézve. Tekinthetjük ennek a csoportnak az önmagával vett k-szoros Descartes szorzatát, a Z k = Z Z csoportot. Ennek a csoportnak az elemei rendezett k-asok (a 1,...,a k ) ahol az a i elemek egészek. Az (a 1,...,a k ) és a (b 1,..., b k ) elemek összege (a 1 + b 1,...,a k + b k ). Ennek a csoportnak a zéró-eleme a (0,...,0) elem, az (a 1,...,a k ) elem inverze pedig a ( a 1,..., a k ). A csoportok direkt szorzatának definíciója miatt, két csoportbeli elem (a 1,..., a k ) és (b 1,...,b k ) akkor és csakis akkor egyenlő, ha a i = b i teljesül minden i-re. Tétel Legyen F egy Abel-csoport és legyen X egy véges szabad generátor-rendszer X-ben. Ekkor F izomorf a Z k csoporttal, ahol k = X. BIZONYÍTÁS. Legyen i {1,..., k} és jelölje e i a Z k csoportnak azt az elemét amelynek minden koordinátája 0, kivéve az i-dik koordinátát, ami 1. Legyenek x 1,...,x k az X elemei, és legyen f : x i e i. Mivel X szabad generátorrendszer, a f leképezés kiterjeszthető egy f homomorfizmussá. Állítjuk, hogy f egy bijekció. Mivel az {e 1,...,e k } halmaz generálja a Z k csoportot és benne van az f képében, f szürjektív. Tegyük fel, hogy α 1,...,α k Z esetén az x = α 1 x α k x k elem benne van, az f magjában. Ekkor (0,...,0) = f(x) = f(α 1 x α k x k ) = α 1 f(x 1 ) + + α k f(x k ) = α 1 e α k e k = (α 1,...,α k ). Tehát α 1 = = α k = 0 és így x = 0. Ezért, ker f = 0, ami azt jelenti, hogy f injektív. Tehát f valóban bijekció. Következmény A fenti {e 1,...,e k } halmaz szabad generátor-rendszere a Z k csoportnak, így a Z k csoport szabad Abel-csoport, melynek rangja k.

4 4 Abel-csoportok BIZONYÍTÁS. Továbbra is használjuk az előző bizonyítás jelöléseit, és legyen Y = {e 1,...,e k }. Tegyük fel, hogy G egy tetszőleges Abel-csoport, és legyen ḡ : Y G egy tetszőleges leképezés. Mivel X = {x 1,...,x k } szabad generátorrendszere az előző tételben szereplő F csoportnak, a h : x i ḡ(e i ) leképezés kiterjeszthető egy h : F G homomorfizmussá. Definiáljuk az g leképezést a következőképpen: ha x Z k, akkor legyen g(x) = h(f 1 (x)), ahol f az előző bizonyításban definiált izomorfizmus. Mivel, az f és a h homomorfizmus, a g leképezés is az. Továbbá, g(e i ) = h(f 1 (e i )) = h(x i ) = ḡ(e i ). Ezért g kiterjesztése a ḡ leképezésnek és így a kívánt leképezés létezik. Tegyük fel, hogy g 1, g 2 : Z k G homomorfizmusok melyek kiterjesztik a ḡ leképezést. Ekkor az fg 1, fg 2 leképezések kiterjesztik a x i g(e i ) leképezést. Mivel X szabad generátor-rendszer, fg 1 = fg 2, azaz g 1 = g 2. Tehát a ḡ leképezés kiterjesztése egyértelmű, a {e 1,...,e k } halmaz szabad generátor-rendszer, az Z k pedig szabad csoport. van. Természetesen a Z k csoportnak sok más szabad generátor-rendszere is Általában a Z k szabad generátor-rendszereit bázisoknak mondjuk, az {e 1,...,e k } rendszert pedig standard bázisnak nevezzük. Következmény Egy k elem által generált Abel-csoport előáll mint a Z k csoport faktorcsoportja. BIZONYÍTÁS. Legyen X = {x 1,...,x k } egy k elemű generátor-rendszere a G csoportnak, és definiáljuk az f : Z k G homomorfizmust a e i x i leképezés kiterjesztéseként. Mivel X generálja a G csoportot, f szürjektív, és így, a homomorfizmus tétel szerint, G = Z k /(ker f). Példa Legyen G = Z 3 Z 5 = a b. Legyen f : Z k G az e 1 a, e 2 b leképezés kiterjesztése. Ekkor f(α 1, α 2 ) = α 1 a + α 2 b, azaz f(α 1, α 2 ) = 0, akkor és csakis akkor, ha 3 α 1 és 5 α 2. Tehát ker f = {(α3, β5) α, β Z} = (3, 0), (0, 5). Így G = Z 2 / (3, 0), (0, 5).

5 Csoportelméleti algoritmusok 5 A szabad generátor-rendszer definíciója nem teszi lehetővé, hogy egyszerűen ellenőrizzük, hogy egy szabad Abel-csoportbeli halmaz szabad generátor-rendszer-e. A következő lemma, egy könnyebben kezelhető szükséges és elegendő feltételt ad. Lemma Legyen F egy Abel-csoport, és legyen X = {x 1,...,x k } egy véges részhalmaza F-nek. Ekkor X szabad generátor-rendszer akkor és csakis akkor, ha F minden eleme pontosan egyféleképpen írható α 1,...,α k egész számok segítségével α 1 x α k x k alakban. BIZONYÍTÁS. Tegyük fel először, hogy X egy szabad generátor-rendszer. Ebben az esetben az F minden eleme felírható α 1 x α k x k alakban. Legyen f : F Z k a tételben definiált izomorfizmus. Tegyük fel, hogy α 1,...,α k és β 1,...,β k egész számok úgy hogy α 1 x α k x k = β 1 x β k x k. Mivel f izomorfizmus, (α 1,...,α k ) = f(α 1 x α k x k ) = f(β 1 x β k x k ) = (β 1,...,β k ). Amiből α 1 = β 1,...,α k = β k következik. Tehát az α 1 x α k x k elem felírása egyértelmű. Tegyük most fel, hogy X rendelkezik a tételben megkövetelt tulajdonsággal. Legyen G egy Abel-csoport, és legyen ḡ : X G egy leképezés. Definiáljuk az f : F Z k leképezést: f(α 1 x α k x k ) = (α 1,..., α k ). A feltétel szerint, f jól-definiált, és egyszerű számolás mutatja, hogy f homomorfizmus. Mivel f(x i ) = e i, a standard bázis elemek benne vannak az f képében, így f szürjektív. Ha f(α 1 x α k x k ) = (0,..., 0), akkor az f definíciója miatt, α 1 = = α k = 0, azaz α 1 x α k x k = 0. Tehát, ker f = 0, és így f egy izomorfizmus. Tekintsük az e i standard bázis elemeket Z k -ban és legyen Y = {e 1,...,e k }. Jelölje h : Y G azt a leképezést melyre h(e i ) = ḡ(x i ). Ekkor a h kiterjeszthető egy h : Z k G homomorfizmussá, és definiálhatjuk a g leképezést a következőképpen: x F esetén legyen g(x) = h(f(x)). Mivel h és f homomorfizmusok, a g is az, továbbá g X = ḡ. Ha g 1, g 2 : F G melyekre g 1 X = g 2 X = ḡ, akkor g 1 f 1 és g 2 f 1 olyan leképezések, melyekre g 1 f 1 Y = g 2 f 1 Y. Mivel Y szabad generátor-rendszer, g 1 f 1 = g 2 f 1 következik, tehát g 1 = g 2.

6 6 Abel-csoportok 1.3. Szabad Abel-csoportok részcsoportjai Egy szabad Abel-csoport minden részcsoportja is szabad Abel-csoport. Mi ezt az eredményt csak végesen generált szabad Abel-csoportok esetén bizonyítjuk. Tétel Egy k rangú szabad Abel-csoport tetszőleges részcsoportja is egy legfeljebb k rangú szabad Abel-csoport. BIZONYÍTÁS. A tétel miatt, elegendő belátni, hogy az F = Z k csoport tetszőleges H részcsoportja szabad Abel-csoport melynek rangja legfeljebb k. Legyen i {0,..., k} és jelölje F i azon k-asok halmazát, amelyekben az első i koordináta 0. Ezzel definiáltuk következő F-beli részcsoportláncot: F = F 0 > F 1 > > F k 1 > F k = 0; továbbá i {0,..., k 1} esetén F i /F i+1 = Z. Legyen Hi = H F i. Ekkor, ha i {0,..., k 1}, akkor H i H i+1 = H F i H F i+1 = H F i H F i F i+1 = (H F i ) + F i+1 F i+1, és ezért H i /H i+1 izomorf a F i /F i+1 = Z csoport egy részcsoportjával. A Z egy részcsoportja vagy triviális, vagy pedig izomorf Z-vel, ezért vagy H i /H i+1 = 0 vagy H i /H i+1 = Z. A fentiek szerint a H csoportban definiáltunk egy H 0 = H H 1 H k 1 H k = 0 részcsoportláncot amelynek faktorai vagy triviálisak vagy pedig izomorfak a Z csoporttal. A láncból hagyjuk el az ismétlődéseket, és alkossunk egy H 0 = H > H 1 > > H m 1 > H m = 0 részcsoportláncot amelyben minden faktor izomorf a Z csoporttal. Jegyezzük itt meg, hogy m k. Válasszunk, i {1,..., m} esetén, egy a i H i 1 elemet úgy, hogy a i + H i = H i 1 /H i. Ilyen elem létezik, hiszen H i 1 /H i egy ciklikus csoport. Mivel H i 1 /H i = Z, H i 1 /H i = {k(a i + H i ) k Z} = {ka i + H i k Z},

7 Csoportelméleti algoritmusok 7 továbbá k 1 a i + H i = k 2 a i + H i akkor és csakis akkor, ha k 1 = k 2. Legyen x H i 1. Az x elem a H i részcsoport pontosan egy mellékosztályában található, ezért egyéretelműen léteznek k Z és y H i melyekkel x = ka i + y teljesül. Azt állítjuk, hogy a {a 1,...,a m } halmaz szabad generátor-rendszer a H csoportban. Legyen x H. Az előző bekezdés állítása szerint létezik pontosan egy α 1 Z és pontosan egy y 1 H 1 úgy hogy x = α 1 a 1 + y 1. Hasonlóan, létezik pontosan egy α 2 Z és pontosan egy y 2 H 2 úgy hogy y 1 = α 2 a 2 + y 2, és így y = α 1 a 1 +α 2 a 2 +y 2. Ezt a sort folytatva, azt találjuk, hogy egyértelműen léteznek α 1,...,α m Z amelyek kielégítik az y = α 1 a α m a m egyenletet. Az lemma szerint a {a 1,...,a m } halmaz szabad generátor-rendszer a H csoportban, és így a H csoport szabad Abel-csoport. Továbbá a H csoport rangja m, ami nem nagyobb mint k Sorműveletek egész mátrixokkal Jelölje M m,k (Z) az m sorból és k oszlopból álló Z feletti mátrixok halmazát. A Z k csoport egy G részcsoportját megadhatjuk egy A M m,k (Z) mátrix segítségével, melynek a sorai generáljak a G csoportot. Szimbólumokkal ezt a tényt úgy fejezzük ki, hogy G = A. A fenti tétel szerint, feltehetjük, hogy m k. Világos, hogy az A csoport megegyezik az A mátrix soraiból álló egész együtthatós lineáris kombinációk a halmazával. Ebben a szakaszban olyan módszereket ismertetünk, amik az alábbi kérdésekre választ adnak: (i) Ha A M m,k (Z) és B M n,k (Z), akkor vajon igaz-e, hogy A = B. (ii) Ha A és B a fenti mátrixok, akkor igaz-e, hogy Z k / A = Z k / B. (iii) Ha A M m,k (Z) és a Z k, akkor vajon igaz-e, hogy a A. A M m,k (Z)-beli mátrixok körében a következő műveleteket elemi (egész) sorműveleteknek nevezzük: (i) két sor felcserélése; (ii) egy sor szorzása 1-gyel;

8 8 Abel-csoportok (iii) egy sor valamely egész többszörösének hozzáadása egy másik sorhoz. Példa Tekintsük az alábbi mátrixot Az első és a harmadik sor felcserélése után a mátrixot kapjuk. Szorozzuk meg a második sort 1-gyel: Végül pedig adjuk a második sor 2-szeresét a harmadik sorhoz: Ha A, B M m,k (Z), akkor az A és B mátrixokat sor-ekvivalensnek mondjuk,. ha a B megkapható az A-ból sorműveletek segítségével. Lemma A sor-ekvivalencia egy ekvivalencia reláció az M m,k (Z) halmazon. Továbbá, ha A és B sor-ekvivalens mátrixok, akkor A = B. BIZONYÍTÁS. Világos, hogy a reláció reflexív, mert az A mátrixból önmagát kapjuk, ha például egy sorát kétszer megszorozzuk 1-gyel. A reláció nyilván tranzitív is, mert ha az A mátrixból megkapható a B, a B-ből pedig a C sorműveletek segítségével, akkor ezeket a sorműveleteket egymás után elvégezve az A mátrixból a C-t nyerjük. tehát csak a szimmetriát kell belátni. Az ekvivalencia reláció igazolásához Először megmutatjuk, hogy a fenti

9 Csoportelméleti algoritmusok 9 sorműveletek megfordíthatóak, azaz ha B megkapható A-ból egyetlen sorművelet segítségével, akkor A is megkapható B-ből szintén egyetlen sorművelet segítségével. Az állítás nyilvánvaló, ha a sorművelet két sor felcserélése, vagy pedig egy sor 1-gyel való szorzása. Ha a B-t úgy kaptuk, hogy az A mátrix i-dik sorához hozzáadtuk a j-dik sor α-szorosát, (i j) akkor a B-ből visszanyerjük az A-t, ha a B mátrix i-dik sorához hozzáadjuk az j- dik sor α-szorosát. Tehát ha most feltesszük, hogy A és B sor-ekvivalens mátrixok, akkor a B mátrix megkapható az A-ból elemi sorműveletek egy sorozatát végrehajtva. A fenti okoskodás miatt, ha most a B-ből indulunk ki, és a sorműveletek ellentettjét hajtjuk végre fordított sorrendben, akkor visszakapjuk az A mátrixot. Tehát a reláció szimmetrikus. A második állítás bizonyításához először belátjuk, hogy ha a B mátrix megkapható az A mátrixból egy sorművelet segítségével, akkor B A. Az állítás nyilvánvaló, ha a sorművelet két sor felcserélése vagy pedig egy sor 1-gyel való szorzása. Tegyük fel, hogy B-t úgy kaptuk, hogy az A mátrix i-dik sorához hozzáadtuk a j-dik sor α-szorosát. Ekkor az i-dik sor kivételével, a B mátrix minden sora szerepel az A mátrixban is. Ezek a sorok tehát benne vannak az A részcsoportban. A B mátrix i-dik sora felírható a i + αa j alakban, ahol a i és a j jelöli az A mátrix i-dik és j-dik sorát. Ebből a felírásból látszik, hogy ez a sor is benne van az A sorai által generált A részcsoportban, tehát valóban B A. Ha most feltesszük, hogy B megkapható az A-ból egyetlen sorművelet segítségével, akkor az előző bekezdésben bizonyítottak miatt, B A. Ekkor azonban A is megkapható az B mátrixból egy hasonló sorművelet segítségével, így A B. Tehát A = B következik. Végül, ha A és B ekvivalens mátrixok, akkor B megkapható az A-ból sorműveletek egy sorozatának segítségével. Ezek a sorműveletek azonban nem változtatják meg a sorok által generált részcsoportot. Így A = B teljesül. A példában szereplő négy mátrix egymással páronként sor-ekvivalens.

10 10 Abel-csoportok 1.5. A Hermite normál forma Az előző fejezetben láttuk, hogy az elemi sorműveletek nem változtatnak egy M m,k (Z)-beli mátrix sorai által generált részcsoporton. Így ha A M m,k (Z), akkor elemi sorműveletek segítségével szeretnénk egy szép B M m,k (Z) mátrixot kapni melyre A = B teljesül. Lássunk erre egy példát. Példa Legyen A a következő mátrix: Az első sor megfelelő skalárszorosait hozzáadva a többi sorhoz, elérhetjük, hogy az első oszlopban csak az első sorbeli elem nem-nulla: Vegyük az első sor ellentettjét, hogy vezéreleme (a sorbeli első nem-nulla elem) pozitív legyen: A második sor megfelelő skalárszorosait hozzáadva a többi sorhoz, csökkenthetjük a második oszlopban, a második sortól lefelé lévő elemek abszolút

11 Csoportelméleti algoritmusok 11 értékét: A negyedik sort használva, lenullázhatjuk a második oszlop második, harmadik, és ötödik sorában lévő elemeit: Cseréljük fel második és negyedik sorokat: A második sor 2-szeresét az első sorhoz adva elérjük, hogy a második sor vezéreleme felett az első sorban 0 legyen: A fenti eljáráshoz hasonlóan, a negyedik sor segítségével lenullázzuk a harmadik oszlop harmadik és ötödik sorában lévő elemeit, felcseréljük a negyedik és a harmadik sorokat, majd gondoskodunk róla, hogy a harmadik sor vezéreleme felett csak a vezérelemnél kisebb abszolút értékű elemek legyenek.

12 12 Abel-csoportok Így a következő mátrixot kapjuk: A negyedik és ötödik sorokat addig adogatjuk egymáshoz, vagy vonogatjuk egymásból, míg az egyikben a negyedik oszlopban lévő elem 0 lesz. Aztán sorcserével elérjük, hogy a negyedik sorban és negyedik oszlopban lévő elem nem-nulla, majd a negyedik sor vezéreleme feletti elemeket redukáljuk: Végül az ötödik sor segítségével redukáljuk az ötödik oszlopban lévő elemeket: Az eljárás végeredménye egy felső háromszög mátrix, melyben a vezérelemek nem-negatívak, illetve a vezérelemek felett tőlik kisebb abszolút értékű nemnegatív számok vannak. Definíció Azt mondjuk, hogy egy A M m,k (Z) mátrix Hermite normál formában (HNF) van ha a következők teljesülnek: (i) Valamely r-re az első r sor nem-nulla, az utolsó m r sor pedig nulla. Azaz a nulla sorok a mátrix alján találhatók.

13 Csoportelméleti algoritmusok 13 (ii) Ha i r és A i,ji az i-dik sor első nem-nulla eleme, akkor j 1 < j 2 < < j r. Azaz, a nem-nulla sorok vezérelemei (a sorban lévő első nem-nulla elem) egyre beljebb találhatók, és így a mátrix felső háromszög alakú. (iii) Ha i r, akkor A i,ji > 0. Azaz a nem-nulla sorok vezéreleme pozitív. (iv) Ha k < i r akkor 0 A k,ji < A i,ji. Azaz, a egy nem-nulla sor vezéreleme felett kisebb, nem-negatív elemek találhatók. Az példában az számolás végén kapott mátrix HNF alakú. A példa jól szemlélteti, azt az eljárást, amivel bármely egész értékű mátrix HNF alakra hozható. Az eljárás egy leírását adja a HNF algoritmus, mely egy tetszőleges mátrixot Hermite normál formájúvá konvertál. Az algoritmus leírásában M i jelöli az M mátrix i-dik sorát, M i,j pedig az i-dik sor j-dik elemét. Ha a, b Z, akkor egyértelműen léteznek q és r egész számok melyekre a = qb + r és 0 r < b (euklideszi osztás) és a div b jelöli az osztás q hányadosát. Sajnos a HNF algoritmus nem túlságosan hatékony. Tekintsük például az alábbi mátrixot: Ennek HNF alakja az algoritmus GAP implementációja segítségével megkapható: Míg az input mátrix elemei viszonylag kicsik (legfeljebb 5 abszolút értékűek), és az eredmény maximális abszolút értékű eleme is 2073, addig a közbülső mátrixokban előforduló legmagasabb abszolút értékű elem Mivel, nagyobb mátrixokban ez a probléma még élesebben jelentkezik, fontos feladat, hogy olyan HNF algoritmusokat tervezzünk, amelyekben a közbülső mátrixok elemei nem nőnek túlzottan nagyra. Ez jelenleg is egy aktív kutatási terület.

14 14 Abel-csoportok 1. algoritmus: HNF Input: M M m,n (Z) Output: HNF of M set i := 1; j := 1; while i m and j n if M i,j = = M m,j = 0 then else set j := j + 1 while k l {i,...,m} : 0 < M k,j M l,j do set q := M l,j div M k,j set M l := M l qm k end while set k {i,...,m} : M k,j 0 /* k egyértelmű */ if k i then set M i M k end if if M i,j < 0 then set M i := M i end if for l {1,..., i 1} set q := M l,j div M i,j set M l := M l qm i end if set i := i + 1; j := j + 1 end if end while return M Algorithm 1: A HNF kiszámítása

15 Csoportelméleti algoritmusok 15 Tétel A HNF program outputja az egy olyan HNF alakú mátrix amely sorekvivalens az M M m,n (Z) input mátrixszal. BIZONYÍTÁS. Mivel a programban csak elemi sorműveleteket hajtottunk végre, a program futása során minden lépés az eredetivel sor-ekvivalens mátrixot eredményez. Tehát a végső mátrix szintén sor-ekvivalens lesz az eredeti M mátrixszal. Ha i {1,..., n}, akkor jelölje M (i) azt a mátrixot melyet az M első i oszlopából kapunk. Teljes indukcióval belátjuk, hogy a következő állítások teljesülnek. (i) A j változó számlálja, hogy a külső while ciklus hányszor futott le. Továbbá, a külső while ciklus j lefutása után M (j) HNF alakú. (ii) A külső while ciklus j lefutása után az M (j) mátrixban a nem-nulla sorok száma i 1, továbbá i j teljesül. A fenti állításokat j szerinti indukcióval bizonyítjuk. Az j = 0 esetben nincs mit belátnunk. Tegyük fel, hogy az állítás igaz a ciklus j 1 elvégzése után, és lássuk be, hogy az j-dik lefutás után is igaz marad. A while utáni if utasítás feltétele pontosan akkor teljesül, ha a j-dik oszlopban az i-dik sortól lefelé, nincs nem-nulla elem. Ekkor, ha M (j 1) HNF alakú, akkor M (j) is az, továbbá, a nem-nulla sorok száma M (j 1) -ben és M (j) -ben megegyezik. Tehát a j változót eggyel megnöveljük, az i változót nem változtatjuk, és a while ciklus végére ugrunk. Így ebben az esetben a fenti (i) (ii) állítások továbbra is fennállnak. Ezt tesszük egészen addig, míg az if utasítás feltétele hamissá nem válik, azaz a j-dik oszlopban az i-dik sortól kezdődően található egy nem-nulla elem. Tegyük fel most, hogy ebben az esetben vagyunk. A belső while ciklus mindaddig fut, míg M k,j 0 legalább két különböző k {i,...,m} esetén. Amennyiben ez a feltétel teljesül, úgy az algoritmus kiválaszt ezen elemek közül két nem-nullát, mondjuk M k,j -t és M l,j -t, úgy hogy a M k,j M l,j teljesüljön. Ezekkel az elemekkel maradékos osztást végzünk: M l,j = qm k,j + r, ahol q és r egész számok és 0 r < M k,j. Ezután kivonjuk az l-dik sorból a k- dik sor q-szorosát. A művelet után az M l,j = r teljesül, így sikerült csökkenteni az M l,j elem abszolút értékét. A belső while ciklus minden iterációja után az M i,j + + M m,j összeg csökken, így a ciklus véges sok lépés után véget ér.

16 16 Abel-csoportok A fentiek miatt, a belső while ciklus befejezése után M k,j 0 pontosan egy k {i,...,m} esetén. Ha k i akkor felcseréljük az i-dik és k-dik sorokat, majd pedig, ha ez az elem negatív, akkor negáljuk az i-dik sort. Ezután az M (j) mátrix i-dik sorának vezéreleme M i,j, amelyre teljesül, hogy j i, M i,j > 0, és az is, hogy a vezérelem alatt csupa nulla elem található. Tehát a definíció (i) (ii) feltételeit beláttuk. A (iii) feltétel az algoritmus végén található for ciklus miatt teljesül. Ha ugyanis, valamely l {1,..., i 1} esetén M l,j -re az (iii) feltétel nem teljesül, akkor ismét maradékos osztást végzünk, M l,j = qm i,j + r ahol 0 r < M i,j, és kivonjuk az i-dik sor q-szorosát az l-dik sorból. Ezután az M l,j elem kielégíti a definíció (iii) feltételét is. Ha a mátrix oszlopainak száma n, akkor a while ciklus n lefutása után M (n) = M HNF alakú lesz. Következmény Minden egész mátrix sor-ekvivalens egy Hermite normál formában lévő mátrixszal. BIZONYÍTÁS. Az előző tétel szerint, a HNF algoritmus outputja épp megfelelő. Emlékezzünk, hogy a tétel szerint a Z n csoport minden részcsoportja szabad csoport, így egy A M m,n (Z) mátrix esetén is igaz, hogy A szabad. A HNF segítségével meghatározhatjuk ennek a csoportnak egy bázisát. Tétel Ha A egy HNF mátrix, akkor A nem-nulla sorai az A csoport egy bázisát alkotják. BIZONYÍTÁS. Tegyük fel, hogy A M m,n (Z) egy HNF mátrix, és legyen v A. A lemma szerint elegendő belátni, hogy v pontosan egyféleképpen írható fel az A mátrix nem-nulla sorainak egész együtthatós lineáris kombinációjaként. Legyen r az A-beli nem-nulla sorok száma, és i {1,..., r} esetén legyen A i,ji az i-dik sor vezéreleme. Ha feltesszük, hogy v = (v 1,...,v n ) A, akkor v felírható v = α 1 A α r A r (1.1) alakban, ahol A 1,...,A r az A mátrix első r sora, α 1,...,α r pedig egész számok. A (1.1) egyenletből r számú v ji elemre az alábbi r egyenletből álló egyenletrend-

17 Csoportelméleti algoritmusok 17 szert kapjuk: v j1 = α 1 A 1,j1 v j2 = α 1 A 1,j2 + α 2 A 2,j2. v jr = α 1 A 1,jr + α 2 A 2,jr + + α r A r,jr. Tekintsük ezt az egyenletrendszert a Q test felett. Az egyenletrendszer mátrixa négyzet alakú alsó háromszög mátrix, így ennek a mátrixnak a determinánsa nem-zéró. Ezért, ennek az egyenletrendszernek pontosan egy Q k -beli megoldása van: (α 1,..., α r ). Következésképp, a (1.1) felírás egyértelmű, tehát az A nem-nulla sorai az A csoport egy bázisát adják. Ha A M m,k (Z), akkor szeretnénk eldönteni például, hogy egy Z k -beli v elem benne van-e az A csoportban. A tétel bizonyítása azt sugallja, hogy a Hermite normál forma segítségével ezt a problémát is hatékonyan meg tudjuk oldani. Példa Legyen A a következő mátrix: és legyen v = (2, 1, 2, 4, 4). Kérdés, hogy a v vektor eleme-e az A csoportnak. Egy A mátrixszal ekvivalens HNF mátrix a HNF algoritmus segítségével könnyen kiszámítható: Az lemma szerint feltehetjük, hogy A a fenti HNF mátrix. Legyenek A 1, A 2, A 3, A 4 az A mátrix sorai, és tegyük fel hogy v A, azaz a v vektor felírható v = α 1 A 1 +α 2 A 2 +α 3 A 3 +α 4 A 4 alakban valamely α 1, α 2, α 3, α 4 Z számok segítségével. A fenti lineáris kombináció első koordinátája mindenképp 2α 1.

18 18 Abel-csoportok Mivel v első koordinátája 2, így α 1 = 1 kell, hogy teljesüljön. Ugyanez a gondolatmenet mutatja, hogy a v második koordinátája α 2, így α 2 = 1, és hasonlóan α 3 = 2. A v vektor negyedik koordinátája α 3 + 2α 4. Emiatt, α 4 = 3. Ezek után könnyű számolás mutatja, hogy valóban v = A 1 A 2 + 2A 3 3A 4, tehát v A. A fenti példa alapján könnyű egy általános algoritmust létrehozni. Az algoritmus leírásában a HNF algoritmusnál használt jelölést alkalmazzuk, a v vektor i-dik komponensét pedig v i jelöli. 2. algoritmus: ISMEMBER Input: A M m,n (Z) HNF mátrix és v Z n Output: (x 1,...,x m ) ha v A ; egyébként false set r := a nem-nulla sorok száma for i {1,...,r} do set A i,j := az i-dik sor vezéreleme if A i,j v j then return false end if set x i := v j /A i,j set v := v x i A i end for if v 0 then return false else return (x 1,...,x r, 0,..., 0) Z n end if Algorithm 2: Tartalmazási algoritmus Tétel Legyen A M m,n (Z) egy HNF mátrix, legyenek A 1,...,A m az A mátrix sorai, és legyen v Z n. Ha v A, akkor az IsMember algoritmus outputja egy vektor (x 1,...,x m ) amelyre teljesül a v = x 1 A x m A m ; (1.2) egyébként az output false.

19 Csoportelméleti algoritmusok 19 BIZONYÍTÁS. Az r változó jelöli a nem-nulla sorok számát. A for ciklus belsejében A i,j az i-dik sor első nem nulla eleme. Tegyük fel először, hogy v A és így v = x 1 A x m A m, ahol x 1,...,x m Z. Az tétel szerint az A mátrix első r sora az A csoport egy bázisát adja, ezért az x 1,...,x r együtthatók egyértelműen meghatározottak. Továbbá, mivel az utolsó m r sor nulla, az x r+1,...,x m együtthatók tetszőlegesek, tehát feltehetjük, hogy x r+1 = = x m = 0. Legyen, i {0,...,r 1} esetén, v i = x i+1 A i x r A r, és legyen v r = 0. Állítjuk, hogy ha for ciklus i-szer sikeresen végigfut (azaz a ciklusbeli return utasítás nem hajtódik végre), az x 1,...,x i együtthatók értéke helyes, az algoritmusbeli v változó értéke pedig v i. Az i = 0 esetben nincs mit belátni. Tegyük fel, hogy az állítás igaz a for ciklus i 1 lefutása után, és igazoljuk, hogy i lefutás után is igaz marad. Legyen A i,j az i-dik sor első nem-nulla eleme. Ekkor a v i 1 vektor első j 1 komponense szükségszerűen 0, v j pedig az A i,j elem x i -szerese kell, hogy legyen. Tehát ha A i,j v j, akkor v A és az output false. Másrészről, ha A i,j v j, akkor x i = v j /A i,j, és így a x i skalárt megtaláltuk. Az ezt követő set parancs miatt, v = v i 1 x i A i = v i. Ha a v vektor nem eleme a A csoportnak akkor két eset lehetséges. Az első esetben a for cikluson belüli if feltétele nem teljesül, és így az output false. Ha ez nem igaz, akkor a for ciklus elvégzése után a v vektor nem lehet nullvektor, mert ebben az esetben a v A teljesülne. Tehát az algoritmus outputja ebben az esetben is false. Korábban láttuk, hogy minden egész mátrix sor-ekvivalens egy HNF mátrixszal. Most igazoljuk, hogy ez a mátrix lényegében egyértelműen meghatározott. Tétel Ha H a Z n csoport egy részcsoportja, akkor létezik pontosan egy HNF mátrix A melynek nincsenek zéró sorai, és amelyre H = A teljesül. BIZONYÍTÁS. Legyenek A és B HNF mátrixok zéró sorok nélkül melyekre H = A = B teljesül. Az tétel szerint, az A sorai és a B sorai is bázisát adják az A = B csoportnak, így az lemma szerint, az A sorainak száma megegyezik a B sorainak számával. Jelöljük ezt a számot m-mel. Az állítást m szerinti indukcióval igazoljuk.

20 20 Abel-csoportok Ha m = 1, akkor mátrixaink mindössze egy sorból állnak. Mivel, A B, létezik α Z, melyre A = αb teljesül. Hasonlóan, B = βa valamely β Z egész számra. Tehát, A = αb = αβa. Mivel A-nak van nem-nulla eleme, azt kapjuk, hogy αβ = 1, tehát vagy α = β = 1, vagy pedig α = β = 1. Mivel az A és B mátrixok vezérelemei nem-negatívak, α = β = 1 következik. Tehát, ebben az esetben A = B, így az állítást az m = 1 esetben igazoltuk. Tegyük most fel, hogy m > 1. Legyenek a és b az A és B mátrixok első sorainak vezérelemei. Tegyük fel, hogy a a j 1 -dik oszlopban található, a b pedig a j 2 -dik oszlopban. Ekkor, a HNF definíciója miatt, a A csoport minden elemében az első j 1 1 koordináta 0, tehát a b elem oszlopszáma legalább j 1. Tehát j 1 j 2. Az érvelést megfordítva kapjuk, hogy j 2 j 1, azaz j 1 = j 2 következik; jelölje j ezt a számot. Legyen A 1 az a mátrix melyet A-ból kapunk az első sor törlése után; képezzük a B 1 mátrixot hasonlóan. A A 1 csoport a A csoport pontosan azon elemeiből áll, melyekben a j-dik komponens 0. Hasonlóan, a B 1 csoport a B csoport pontosan azon elemeiből áll, melyekben a j-dik komponens 0. Mivel A = B, következik, hogy A 1 = B 1. Jelölje H 1 ezt a csoportot. Mivel az A 1 és B 1 mátrixok HNF alakúak, az indukciós feltevés miatt, A 1 = B 1. Legyen u az A első sora, v pedig a B első sora. Jelölje D a H-beli elemek j-dik komponenseinek a halmazát. A D halmaz a Z egy részcsoportja, melyet a is és b is generál. Ezért a = ±b, de mivel a is és b is pozitív, a = b következik. Tehát u v H 1. Tegyük fel, hogy u v, és legyen c az u v vektor első nem-nulla komponense. Tételezzük fel, hogy c a k-dik oszlopban van. Ekkor az A 1 mátrix egyik sorának vezéreleme d szintén a k-dik oszlopban van, és d c. Azonban a HNF definíciója szerint, a d felett csak d-nél kisebb nem-negatív elemek lehetnek, ezért az u és v mátrixok k-dik komponense kisebb mint d, így a különbségük abszolút érteke is legfeljebb d 1, ami ellentmondás. Tehát u = v, és így A = B. Következmény Minden egész mátrix sor-ekvivalens pontosan egy HNF mátrixszal. BIZONYÍTÁS. Korábban láttuk, hogy létezik egy ilyen HNF mátrix. Tegyük fel, hogy A és B ilyen mátrixok, és jelölje  és ˆB a nulla sorok elhagyása után

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

I. POLINOMELMÉLET. 1. Polinomok gyökei

I. POLINOMELMÉLET. 1. Polinomok gyökei I. POLINOMELMÉLET 1. Polinomok gyökei Ebben a paragrafusban legyen A integritástartomány, amely valamely K test részgyűrűje. Definíció. Azt mondjuk, hogy a c K elem az f(x) A[x] polinom gyöke, illetve

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat.

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat. Nyelvtani transzformációk Formális nyelvek, 6. gyakorlat a. S (S) SS ε b. S XS ε és X (S) c. S (SS ) Megoldás: Célja: A nyelvtani transzformációk bemutatása Fogalmak: Megszorított típusok, normálformák,

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy 4. féléves részének kötelező elméleti

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Diszkrét Matematika I.

Diszkrét Matematika I. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu

Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

A szimmetriák tanulmányozása természetesen elvezet a csoport absztrakt algebrai fogalmához. Ezt a

A szimmetriák tanulmányozása természetesen elvezet a csoport absztrakt algebrai fogalmához. Ezt a 1. A csoport fogalma 1.1. Szimmetriák leszámlálása A szimmetriák tanulmányozása természetesen elvezet a csoport absztrakt algebrai fogalmához. Ezt a következő elemi geometriai kérdés megválaszolásával

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,

Részletesebben

Alap fatranszformátorok I. Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap

Alap fatranszformátorok I. Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap Alap fatranszformátorok I Vágvölgyi Sándor Oyamaguchi [3], Dauchet és társai [1] és Engelfriet [2] bebizonyították hogy egy tetszőleges alap termátíró rendszerről eldönthető hogy összefolyó-e. Mindannyian

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása 1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június

Részletesebben

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 2. Függvények... 8 12 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 13 16 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 8 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 3 1.1.1. Hatványozás...1 1.1.2. Gyökök... 1 3 1.2. Azonosságok... 3 4 1.3. Egyenlőtlenségek... 5 8 2. Függvények... 8

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2008. december 16. A segédletek egy része a matek honlapon található: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

Bevezetés a Gröbner-bázisok elméletébe

Bevezetés a Gröbner-bázisok elméletébe Bevezetés a Gröbner-bázisok elméletébe Oktatási segédlet a Komputer algebra c. tárgyhoz Felszeghy Bálint Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Alapfogalmak és a Gröbner-bázisok elemi tulajdonságai 5 2.1. Jelölések..............................

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben