A kurzus során először az Abel-csoportokkal kapcsolatos algoritmikus kérdésekkel

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A kurzus során először az Abel-csoportokkal kapcsolatos algoritmikus kérdésekkel"

Átírás

1 1. fejezet Abel-csoportok 1.1. Algoritmikus kérdések Abel-csoportokban A kurzus során először az Abel-csoportokkal kapcsolatos algoritmikus kérdésekkel foglalkozunk. Abel-csoportokban általában additív jelölést használunk, tehát a csoportműveletet a + szimbólum jelöli Szabad Abel-csoportok A szabad objektumok fontos szerepet játszanak az algebrában, hiszen belőlük faktorképzés segítségével előállítható az összes algebrai struktúra. Például egy tetszőleges csoport felírható egy alkalmas szabad csoport faktorcsoportjaként. Az Abel-csoportok családjában a szabad Abel-csoportok játsszák ezt a szerepet. Definíció Legyen F egy Abel-csoport, X pedig az F csoport egy részhalmaza. Az X halmazt szabad generátor-rendszernek nevezzük, ha X = F, valamint tetszőleges G Abel-csoport és tetszőleges f : X G leképezés esetén létezik pontosan egy homomorfizmus f : F G, úgy hogy f X = f. Egy G Abelcsoportot szabad Abel-csoportnak mondunk, ha van neki szabad generátorrendszere. 1

2 2 Abel-csoportok Példa Tekintsük az egész számok Z csoportját az összeadásra nézve. Nyilván az X = {1} halmaz generálja a csoportot. Legyen G egy tetszőleges Abel-csoport, és tekintsünk egy f : X G leképezést; tegyük fel, hogy f(1) = g. Ha létezik f : Z G homomorfizmus melyre f X = f teljesül, akkor n Z esetén ( ) f(n) = f } {{ } n-szer = f(1) + + f(1) } {{ } n-szer = g + + g = ng. } {{ } n-szer Tehát, ha a kívánt homomorfizmus létezik, akkor az egyértelmű. A létezés igazolásához meg kell mutatni, hogy a fenti f leképezés homomorfizmus. Mivel, ng + mg = (n + m)g, így f(n + m) = (n + m)g = ng + mg = f(n) + f(m). Tehát f egy homomorfizmus, továbbá f(1) = 1g = g = f(g). Mivel f választása tetszőleges volt, X egy szabad generátor-rendszer, a Z csoport pedig szabad csoport. Példa Legyen Z 2 = {0 2, 1 2 }, a 2-vel való osztás maradékainak kételemű csoportja. Ennek generátor-rendszere az X = {1 2 } halmaz. Állítjuk, hogy az X halmaz nem szabad generátor-rendszer. Legyen például Z 3 = {0 3, 1 3, 2 3 } a háromelemű maradékosztály csoport, és legyen f : Ha f a f egy kiterjesztése, akkor f(0 2 ) = 0 3 kell, hogy teljesüljön. Viszont, f(0 2 ) = f( ) = f(1 2 ) + f(1 2 ) = = 2 3. Tehát X nem szabad generátor-rendszer. Hasonló gondolatmenet mutatja, hogy Z 2 -ben nincs szabad generátor-rendszer, így az nem szabad Abel-csoport. Lemma Legyen F egy Abel-csoport és legyenek X, Y szabad generátorrendszerek F-ben. Ekkor X = Y. BIZONYÍTÁS. Jelölje Z 2 a kételemű Abel-csoportot. A szabad generátorrendszerek definíciója szerint az f : F Z 2 homomorfizmusok száma megegyezik az X Z 2, illetve az Y Z 2 leképezések számával. Ezek száma 2 X, illetve 2 Y. Így, X = Y.

3 Csoportelméleti algoritmusok 3 Egy szabad Abel-csoportban, a szabad generátor-rendszerek számosságát a csoport rangjának mondjuk. A lemma szerint a rang egy jól definiált fogalom. Az példában szereplő csoport rangja 1. Az példa gondolatmenetét használva nem nehéz látni, hogy véges Abel-csoportok nem lehetnek szabadok. Valójában a végesen generált szabad Abel-csoportok egyszerűen meghatározhatók, a következőképpen. Jól ismert, hogy az egész számok Z halmaza Abel-csoportot alkot az összeadásra nézve. Tekinthetjük ennek a csoportnak az önmagával vett k-szoros Descartes szorzatát, a Z k = Z Z csoportot. Ennek a csoportnak az elemei rendezett k-asok (a 1,...,a k ) ahol az a i elemek egészek. Az (a 1,...,a k ) és a (b 1,..., b k ) elemek összege (a 1 + b 1,...,a k + b k ). Ennek a csoportnak a zéró-eleme a (0,...,0) elem, az (a 1,...,a k ) elem inverze pedig a ( a 1,..., a k ). A csoportok direkt szorzatának definíciója miatt, két csoportbeli elem (a 1,..., a k ) és (b 1,...,b k ) akkor és csakis akkor egyenlő, ha a i = b i teljesül minden i-re. Tétel Legyen F egy Abel-csoport és legyen X egy véges szabad generátor-rendszer X-ben. Ekkor F izomorf a Z k csoporttal, ahol k = X. BIZONYÍTÁS. Legyen i {1,..., k} és jelölje e i a Z k csoportnak azt az elemét amelynek minden koordinátája 0, kivéve az i-dik koordinátát, ami 1. Legyenek x 1,...,x k az X elemei, és legyen f : x i e i. Mivel X szabad generátorrendszer, a f leképezés kiterjeszthető egy f homomorfizmussá. Állítjuk, hogy f egy bijekció. Mivel az {e 1,...,e k } halmaz generálja a Z k csoportot és benne van az f képében, f szürjektív. Tegyük fel, hogy α 1,...,α k Z esetén az x = α 1 x α k x k elem benne van, az f magjában. Ekkor (0,...,0) = f(x) = f(α 1 x α k x k ) = α 1 f(x 1 ) + + α k f(x k ) = α 1 e α k e k = (α 1,...,α k ). Tehát α 1 = = α k = 0 és így x = 0. Ezért, ker f = 0, ami azt jelenti, hogy f injektív. Tehát f valóban bijekció. Következmény A fenti {e 1,...,e k } halmaz szabad generátor-rendszere a Z k csoportnak, így a Z k csoport szabad Abel-csoport, melynek rangja k.

4 4 Abel-csoportok BIZONYÍTÁS. Továbbra is használjuk az előző bizonyítás jelöléseit, és legyen Y = {e 1,...,e k }. Tegyük fel, hogy G egy tetszőleges Abel-csoport, és legyen ḡ : Y G egy tetszőleges leképezés. Mivel X = {x 1,...,x k } szabad generátorrendszere az előző tételben szereplő F csoportnak, a h : x i ḡ(e i ) leképezés kiterjeszthető egy h : F G homomorfizmussá. Definiáljuk az g leképezést a következőképpen: ha x Z k, akkor legyen g(x) = h(f 1 (x)), ahol f az előző bizonyításban definiált izomorfizmus. Mivel, az f és a h homomorfizmus, a g leképezés is az. Továbbá, g(e i ) = h(f 1 (e i )) = h(x i ) = ḡ(e i ). Ezért g kiterjesztése a ḡ leképezésnek és így a kívánt leképezés létezik. Tegyük fel, hogy g 1, g 2 : Z k G homomorfizmusok melyek kiterjesztik a ḡ leképezést. Ekkor az fg 1, fg 2 leképezések kiterjesztik a x i g(e i ) leképezést. Mivel X szabad generátor-rendszer, fg 1 = fg 2, azaz g 1 = g 2. Tehát a ḡ leképezés kiterjesztése egyértelmű, a {e 1,...,e k } halmaz szabad generátor-rendszer, az Z k pedig szabad csoport. van. Természetesen a Z k csoportnak sok más szabad generátor-rendszere is Általában a Z k szabad generátor-rendszereit bázisoknak mondjuk, az {e 1,...,e k } rendszert pedig standard bázisnak nevezzük. Következmény Egy k elem által generált Abel-csoport előáll mint a Z k csoport faktorcsoportja. BIZONYÍTÁS. Legyen X = {x 1,...,x k } egy k elemű generátor-rendszere a G csoportnak, és definiáljuk az f : Z k G homomorfizmust a e i x i leképezés kiterjesztéseként. Mivel X generálja a G csoportot, f szürjektív, és így, a homomorfizmus tétel szerint, G = Z k /(ker f). Példa Legyen G = Z 3 Z 5 = a b. Legyen f : Z k G az e 1 a, e 2 b leképezés kiterjesztése. Ekkor f(α 1, α 2 ) = α 1 a + α 2 b, azaz f(α 1, α 2 ) = 0, akkor és csakis akkor, ha 3 α 1 és 5 α 2. Tehát ker f = {(α3, β5) α, β Z} = (3, 0), (0, 5). Így G = Z 2 / (3, 0), (0, 5).

5 Csoportelméleti algoritmusok 5 A szabad generátor-rendszer definíciója nem teszi lehetővé, hogy egyszerűen ellenőrizzük, hogy egy szabad Abel-csoportbeli halmaz szabad generátor-rendszer-e. A következő lemma, egy könnyebben kezelhető szükséges és elegendő feltételt ad. Lemma Legyen F egy Abel-csoport, és legyen X = {x 1,...,x k } egy véges részhalmaza F-nek. Ekkor X szabad generátor-rendszer akkor és csakis akkor, ha F minden eleme pontosan egyféleképpen írható α 1,...,α k egész számok segítségével α 1 x α k x k alakban. BIZONYÍTÁS. Tegyük fel először, hogy X egy szabad generátor-rendszer. Ebben az esetben az F minden eleme felírható α 1 x α k x k alakban. Legyen f : F Z k a tételben definiált izomorfizmus. Tegyük fel, hogy α 1,...,α k és β 1,...,β k egész számok úgy hogy α 1 x α k x k = β 1 x β k x k. Mivel f izomorfizmus, (α 1,...,α k ) = f(α 1 x α k x k ) = f(β 1 x β k x k ) = (β 1,...,β k ). Amiből α 1 = β 1,...,α k = β k következik. Tehát az α 1 x α k x k elem felírása egyértelmű. Tegyük most fel, hogy X rendelkezik a tételben megkövetelt tulajdonsággal. Legyen G egy Abel-csoport, és legyen ḡ : X G egy leképezés. Definiáljuk az f : F Z k leképezést: f(α 1 x α k x k ) = (α 1,..., α k ). A feltétel szerint, f jól-definiált, és egyszerű számolás mutatja, hogy f homomorfizmus. Mivel f(x i ) = e i, a standard bázis elemek benne vannak az f képében, így f szürjektív. Ha f(α 1 x α k x k ) = (0,..., 0), akkor az f definíciója miatt, α 1 = = α k = 0, azaz α 1 x α k x k = 0. Tehát, ker f = 0, és így f egy izomorfizmus. Tekintsük az e i standard bázis elemeket Z k -ban és legyen Y = {e 1,...,e k }. Jelölje h : Y G azt a leképezést melyre h(e i ) = ḡ(x i ). Ekkor a h kiterjeszthető egy h : Z k G homomorfizmussá, és definiálhatjuk a g leképezést a következőképpen: x F esetén legyen g(x) = h(f(x)). Mivel h és f homomorfizmusok, a g is az, továbbá g X = ḡ. Ha g 1, g 2 : F G melyekre g 1 X = g 2 X = ḡ, akkor g 1 f 1 és g 2 f 1 olyan leképezések, melyekre g 1 f 1 Y = g 2 f 1 Y. Mivel Y szabad generátor-rendszer, g 1 f 1 = g 2 f 1 következik, tehát g 1 = g 2.

6 6 Abel-csoportok 1.3. Szabad Abel-csoportok részcsoportjai Egy szabad Abel-csoport minden részcsoportja is szabad Abel-csoport. Mi ezt az eredményt csak végesen generált szabad Abel-csoportok esetén bizonyítjuk. Tétel Egy k rangú szabad Abel-csoport tetszőleges részcsoportja is egy legfeljebb k rangú szabad Abel-csoport. BIZONYÍTÁS. A tétel miatt, elegendő belátni, hogy az F = Z k csoport tetszőleges H részcsoportja szabad Abel-csoport melynek rangja legfeljebb k. Legyen i {0,..., k} és jelölje F i azon k-asok halmazát, amelyekben az első i koordináta 0. Ezzel definiáltuk következő F-beli részcsoportláncot: F = F 0 > F 1 > > F k 1 > F k = 0; továbbá i {0,..., k 1} esetén F i /F i+1 = Z. Legyen Hi = H F i. Ekkor, ha i {0,..., k 1}, akkor H i H i+1 = H F i H F i+1 = H F i H F i F i+1 = (H F i ) + F i+1 F i+1, és ezért H i /H i+1 izomorf a F i /F i+1 = Z csoport egy részcsoportjával. A Z egy részcsoportja vagy triviális, vagy pedig izomorf Z-vel, ezért vagy H i /H i+1 = 0 vagy H i /H i+1 = Z. A fentiek szerint a H csoportban definiáltunk egy H 0 = H H 1 H k 1 H k = 0 részcsoportláncot amelynek faktorai vagy triviálisak vagy pedig izomorfak a Z csoporttal. A láncból hagyjuk el az ismétlődéseket, és alkossunk egy H 0 = H > H 1 > > H m 1 > H m = 0 részcsoportláncot amelyben minden faktor izomorf a Z csoporttal. Jegyezzük itt meg, hogy m k. Válasszunk, i {1,..., m} esetén, egy a i H i 1 elemet úgy, hogy a i + H i = H i 1 /H i. Ilyen elem létezik, hiszen H i 1 /H i egy ciklikus csoport. Mivel H i 1 /H i = Z, H i 1 /H i = {k(a i + H i ) k Z} = {ka i + H i k Z},

7 Csoportelméleti algoritmusok 7 továbbá k 1 a i + H i = k 2 a i + H i akkor és csakis akkor, ha k 1 = k 2. Legyen x H i 1. Az x elem a H i részcsoport pontosan egy mellékosztályában található, ezért egyéretelműen léteznek k Z és y H i melyekkel x = ka i + y teljesül. Azt állítjuk, hogy a {a 1,...,a m } halmaz szabad generátor-rendszer a H csoportban. Legyen x H. Az előző bekezdés állítása szerint létezik pontosan egy α 1 Z és pontosan egy y 1 H 1 úgy hogy x = α 1 a 1 + y 1. Hasonlóan, létezik pontosan egy α 2 Z és pontosan egy y 2 H 2 úgy hogy y 1 = α 2 a 2 + y 2, és így y = α 1 a 1 +α 2 a 2 +y 2. Ezt a sort folytatva, azt találjuk, hogy egyértelműen léteznek α 1,...,α m Z amelyek kielégítik az y = α 1 a α m a m egyenletet. Az lemma szerint a {a 1,...,a m } halmaz szabad generátor-rendszer a H csoportban, és így a H csoport szabad Abel-csoport. Továbbá a H csoport rangja m, ami nem nagyobb mint k Sorműveletek egész mátrixokkal Jelölje M m,k (Z) az m sorból és k oszlopból álló Z feletti mátrixok halmazát. A Z k csoport egy G részcsoportját megadhatjuk egy A M m,k (Z) mátrix segítségével, melynek a sorai generáljak a G csoportot. Szimbólumokkal ezt a tényt úgy fejezzük ki, hogy G = A. A fenti tétel szerint, feltehetjük, hogy m k. Világos, hogy az A csoport megegyezik az A mátrix soraiból álló egész együtthatós lineáris kombinációk a halmazával. Ebben a szakaszban olyan módszereket ismertetünk, amik az alábbi kérdésekre választ adnak: (i) Ha A M m,k (Z) és B M n,k (Z), akkor vajon igaz-e, hogy A = B. (ii) Ha A és B a fenti mátrixok, akkor igaz-e, hogy Z k / A = Z k / B. (iii) Ha A M m,k (Z) és a Z k, akkor vajon igaz-e, hogy a A. A M m,k (Z)-beli mátrixok körében a következő műveleteket elemi (egész) sorműveleteknek nevezzük: (i) két sor felcserélése; (ii) egy sor szorzása 1-gyel;

8 8 Abel-csoportok (iii) egy sor valamely egész többszörösének hozzáadása egy másik sorhoz. Példa Tekintsük az alábbi mátrixot Az első és a harmadik sor felcserélése után a mátrixot kapjuk. Szorozzuk meg a második sort 1-gyel: Végül pedig adjuk a második sor 2-szeresét a harmadik sorhoz: Ha A, B M m,k (Z), akkor az A és B mátrixokat sor-ekvivalensnek mondjuk,. ha a B megkapható az A-ból sorműveletek segítségével. Lemma A sor-ekvivalencia egy ekvivalencia reláció az M m,k (Z) halmazon. Továbbá, ha A és B sor-ekvivalens mátrixok, akkor A = B. BIZONYÍTÁS. Világos, hogy a reláció reflexív, mert az A mátrixból önmagát kapjuk, ha például egy sorát kétszer megszorozzuk 1-gyel. A reláció nyilván tranzitív is, mert ha az A mátrixból megkapható a B, a B-ből pedig a C sorműveletek segítségével, akkor ezeket a sorműveleteket egymás után elvégezve az A mátrixból a C-t nyerjük. tehát csak a szimmetriát kell belátni. Az ekvivalencia reláció igazolásához Először megmutatjuk, hogy a fenti

9 Csoportelméleti algoritmusok 9 sorműveletek megfordíthatóak, azaz ha B megkapható A-ból egyetlen sorművelet segítségével, akkor A is megkapható B-ből szintén egyetlen sorművelet segítségével. Az állítás nyilvánvaló, ha a sorművelet két sor felcserélése, vagy pedig egy sor 1-gyel való szorzása. Ha a B-t úgy kaptuk, hogy az A mátrix i-dik sorához hozzáadtuk a j-dik sor α-szorosát, (i j) akkor a B-ből visszanyerjük az A-t, ha a B mátrix i-dik sorához hozzáadjuk az j- dik sor α-szorosát. Tehát ha most feltesszük, hogy A és B sor-ekvivalens mátrixok, akkor a B mátrix megkapható az A-ból elemi sorműveletek egy sorozatát végrehajtva. A fenti okoskodás miatt, ha most a B-ből indulunk ki, és a sorműveletek ellentettjét hajtjuk végre fordított sorrendben, akkor visszakapjuk az A mátrixot. Tehát a reláció szimmetrikus. A második állítás bizonyításához először belátjuk, hogy ha a B mátrix megkapható az A mátrixból egy sorművelet segítségével, akkor B A. Az állítás nyilvánvaló, ha a sorművelet két sor felcserélése vagy pedig egy sor 1-gyel való szorzása. Tegyük fel, hogy B-t úgy kaptuk, hogy az A mátrix i-dik sorához hozzáadtuk a j-dik sor α-szorosát. Ekkor az i-dik sor kivételével, a B mátrix minden sora szerepel az A mátrixban is. Ezek a sorok tehát benne vannak az A részcsoportban. A B mátrix i-dik sora felírható a i + αa j alakban, ahol a i és a j jelöli az A mátrix i-dik és j-dik sorát. Ebből a felírásból látszik, hogy ez a sor is benne van az A sorai által generált A részcsoportban, tehát valóban B A. Ha most feltesszük, hogy B megkapható az A-ból egyetlen sorművelet segítségével, akkor az előző bekezdésben bizonyítottak miatt, B A. Ekkor azonban A is megkapható az B mátrixból egy hasonló sorművelet segítségével, így A B. Tehát A = B következik. Végül, ha A és B ekvivalens mátrixok, akkor B megkapható az A-ból sorműveletek egy sorozatának segítségével. Ezek a sorműveletek azonban nem változtatják meg a sorok által generált részcsoportot. Így A = B teljesül. A példában szereplő négy mátrix egymással páronként sor-ekvivalens.

10 10 Abel-csoportok 1.5. A Hermite normál forma Az előző fejezetben láttuk, hogy az elemi sorműveletek nem változtatnak egy M m,k (Z)-beli mátrix sorai által generált részcsoporton. Így ha A M m,k (Z), akkor elemi sorműveletek segítségével szeretnénk egy szép B M m,k (Z) mátrixot kapni melyre A = B teljesül. Lássunk erre egy példát. Példa Legyen A a következő mátrix: Az első sor megfelelő skalárszorosait hozzáadva a többi sorhoz, elérhetjük, hogy az első oszlopban csak az első sorbeli elem nem-nulla: Vegyük az első sor ellentettjét, hogy vezéreleme (a sorbeli első nem-nulla elem) pozitív legyen: A második sor megfelelő skalárszorosait hozzáadva a többi sorhoz, csökkenthetjük a második oszlopban, a második sortól lefelé lévő elemek abszolút

11 Csoportelméleti algoritmusok 11 értékét: A negyedik sort használva, lenullázhatjuk a második oszlop második, harmadik, és ötödik sorában lévő elemeit: Cseréljük fel második és negyedik sorokat: A második sor 2-szeresét az első sorhoz adva elérjük, hogy a második sor vezéreleme felett az első sorban 0 legyen: A fenti eljáráshoz hasonlóan, a negyedik sor segítségével lenullázzuk a harmadik oszlop harmadik és ötödik sorában lévő elemeit, felcseréljük a negyedik és a harmadik sorokat, majd gondoskodunk róla, hogy a harmadik sor vezéreleme felett csak a vezérelemnél kisebb abszolút értékű elemek legyenek.

12 12 Abel-csoportok Így a következő mátrixot kapjuk: A negyedik és ötödik sorokat addig adogatjuk egymáshoz, vagy vonogatjuk egymásból, míg az egyikben a negyedik oszlopban lévő elem 0 lesz. Aztán sorcserével elérjük, hogy a negyedik sorban és negyedik oszlopban lévő elem nem-nulla, majd a negyedik sor vezéreleme feletti elemeket redukáljuk: Végül az ötödik sor segítségével redukáljuk az ötödik oszlopban lévő elemeket: Az eljárás végeredménye egy felső háromszög mátrix, melyben a vezérelemek nem-negatívak, illetve a vezérelemek felett tőlik kisebb abszolút értékű nemnegatív számok vannak. Definíció Azt mondjuk, hogy egy A M m,k (Z) mátrix Hermite normál formában (HNF) van ha a következők teljesülnek: (i) Valamely r-re az első r sor nem-nulla, az utolsó m r sor pedig nulla. Azaz a nulla sorok a mátrix alján találhatók.

13 Csoportelméleti algoritmusok 13 (ii) Ha i r és A i,ji az i-dik sor első nem-nulla eleme, akkor j 1 < j 2 < < j r. Azaz, a nem-nulla sorok vezérelemei (a sorban lévő első nem-nulla elem) egyre beljebb találhatók, és így a mátrix felső háromszög alakú. (iii) Ha i r, akkor A i,ji > 0. Azaz a nem-nulla sorok vezéreleme pozitív. (iv) Ha k < i r akkor 0 A k,ji < A i,ji. Azaz, a egy nem-nulla sor vezéreleme felett kisebb, nem-negatív elemek találhatók. Az példában az számolás végén kapott mátrix HNF alakú. A példa jól szemlélteti, azt az eljárást, amivel bármely egész értékű mátrix HNF alakra hozható. Az eljárás egy leírását adja a HNF algoritmus, mely egy tetszőleges mátrixot Hermite normál formájúvá konvertál. Az algoritmus leírásában M i jelöli az M mátrix i-dik sorát, M i,j pedig az i-dik sor j-dik elemét. Ha a, b Z, akkor egyértelműen léteznek q és r egész számok melyekre a = qb + r és 0 r < b (euklideszi osztás) és a div b jelöli az osztás q hányadosát. Sajnos a HNF algoritmus nem túlságosan hatékony. Tekintsük például az alábbi mátrixot: Ennek HNF alakja az algoritmus GAP implementációja segítségével megkapható: Míg az input mátrix elemei viszonylag kicsik (legfeljebb 5 abszolút értékűek), és az eredmény maximális abszolút értékű eleme is 2073, addig a közbülső mátrixokban előforduló legmagasabb abszolút értékű elem Mivel, nagyobb mátrixokban ez a probléma még élesebben jelentkezik, fontos feladat, hogy olyan HNF algoritmusokat tervezzünk, amelyekben a közbülső mátrixok elemei nem nőnek túlzottan nagyra. Ez jelenleg is egy aktív kutatási terület.

14 14 Abel-csoportok 1. algoritmus: HNF Input: M M m,n (Z) Output: HNF of M set i := 1; j := 1; while i m and j n if M i,j = = M m,j = 0 then else set j := j + 1 while k l {i,...,m} : 0 < M k,j M l,j do set q := M l,j div M k,j set M l := M l qm k end while set k {i,...,m} : M k,j 0 /* k egyértelmű */ if k i then set M i M k end if if M i,j < 0 then set M i := M i end if for l {1,..., i 1} set q := M l,j div M i,j set M l := M l qm i end if set i := i + 1; j := j + 1 end if end while return M Algorithm 1: A HNF kiszámítása

15 Csoportelméleti algoritmusok 15 Tétel A HNF program outputja az egy olyan HNF alakú mátrix amely sorekvivalens az M M m,n (Z) input mátrixszal. BIZONYÍTÁS. Mivel a programban csak elemi sorműveleteket hajtottunk végre, a program futása során minden lépés az eredetivel sor-ekvivalens mátrixot eredményez. Tehát a végső mátrix szintén sor-ekvivalens lesz az eredeti M mátrixszal. Ha i {1,..., n}, akkor jelölje M (i) azt a mátrixot melyet az M első i oszlopából kapunk. Teljes indukcióval belátjuk, hogy a következő állítások teljesülnek. (i) A j változó számlálja, hogy a külső while ciklus hányszor futott le. Továbbá, a külső while ciklus j lefutása után M (j) HNF alakú. (ii) A külső while ciklus j lefutása után az M (j) mátrixban a nem-nulla sorok száma i 1, továbbá i j teljesül. A fenti állításokat j szerinti indukcióval bizonyítjuk. Az j = 0 esetben nincs mit belátnunk. Tegyük fel, hogy az állítás igaz a ciklus j 1 elvégzése után, és lássuk be, hogy az j-dik lefutás után is igaz marad. A while utáni if utasítás feltétele pontosan akkor teljesül, ha a j-dik oszlopban az i-dik sortól lefelé, nincs nem-nulla elem. Ekkor, ha M (j 1) HNF alakú, akkor M (j) is az, továbbá, a nem-nulla sorok száma M (j 1) -ben és M (j) -ben megegyezik. Tehát a j változót eggyel megnöveljük, az i változót nem változtatjuk, és a while ciklus végére ugrunk. Így ebben az esetben a fenti (i) (ii) állítások továbbra is fennállnak. Ezt tesszük egészen addig, míg az if utasítás feltétele hamissá nem válik, azaz a j-dik oszlopban az i-dik sortól kezdődően található egy nem-nulla elem. Tegyük fel most, hogy ebben az esetben vagyunk. A belső while ciklus mindaddig fut, míg M k,j 0 legalább két különböző k {i,...,m} esetén. Amennyiben ez a feltétel teljesül, úgy az algoritmus kiválaszt ezen elemek közül két nem-nullát, mondjuk M k,j -t és M l,j -t, úgy hogy a M k,j M l,j teljesüljön. Ezekkel az elemekkel maradékos osztást végzünk: M l,j = qm k,j + r, ahol q és r egész számok és 0 r < M k,j. Ezután kivonjuk az l-dik sorból a k- dik sor q-szorosát. A művelet után az M l,j = r teljesül, így sikerült csökkenteni az M l,j elem abszolút értékét. A belső while ciklus minden iterációja után az M i,j + + M m,j összeg csökken, így a ciklus véges sok lépés után véget ér.

16 16 Abel-csoportok A fentiek miatt, a belső while ciklus befejezése után M k,j 0 pontosan egy k {i,...,m} esetén. Ha k i akkor felcseréljük az i-dik és k-dik sorokat, majd pedig, ha ez az elem negatív, akkor negáljuk az i-dik sort. Ezután az M (j) mátrix i-dik sorának vezéreleme M i,j, amelyre teljesül, hogy j i, M i,j > 0, és az is, hogy a vezérelem alatt csupa nulla elem található. Tehát a definíció (i) (ii) feltételeit beláttuk. A (iii) feltétel az algoritmus végén található for ciklus miatt teljesül. Ha ugyanis, valamely l {1,..., i 1} esetén M l,j -re az (iii) feltétel nem teljesül, akkor ismét maradékos osztást végzünk, M l,j = qm i,j + r ahol 0 r < M i,j, és kivonjuk az i-dik sor q-szorosát az l-dik sorból. Ezután az M l,j elem kielégíti a definíció (iii) feltételét is. Ha a mátrix oszlopainak száma n, akkor a while ciklus n lefutása után M (n) = M HNF alakú lesz. Következmény Minden egész mátrix sor-ekvivalens egy Hermite normál formában lévő mátrixszal. BIZONYÍTÁS. Az előző tétel szerint, a HNF algoritmus outputja épp megfelelő. Emlékezzünk, hogy a tétel szerint a Z n csoport minden részcsoportja szabad csoport, így egy A M m,n (Z) mátrix esetén is igaz, hogy A szabad. A HNF segítségével meghatározhatjuk ennek a csoportnak egy bázisát. Tétel Ha A egy HNF mátrix, akkor A nem-nulla sorai az A csoport egy bázisát alkotják. BIZONYÍTÁS. Tegyük fel, hogy A M m,n (Z) egy HNF mátrix, és legyen v A. A lemma szerint elegendő belátni, hogy v pontosan egyféleképpen írható fel az A mátrix nem-nulla sorainak egész együtthatós lineáris kombinációjaként. Legyen r az A-beli nem-nulla sorok száma, és i {1,..., r} esetén legyen A i,ji az i-dik sor vezéreleme. Ha feltesszük, hogy v = (v 1,...,v n ) A, akkor v felírható v = α 1 A α r A r (1.1) alakban, ahol A 1,...,A r az A mátrix első r sora, α 1,...,α r pedig egész számok. A (1.1) egyenletből r számú v ji elemre az alábbi r egyenletből álló egyenletrend-

17 Csoportelméleti algoritmusok 17 szert kapjuk: v j1 = α 1 A 1,j1 v j2 = α 1 A 1,j2 + α 2 A 2,j2. v jr = α 1 A 1,jr + α 2 A 2,jr + + α r A r,jr. Tekintsük ezt az egyenletrendszert a Q test felett. Az egyenletrendszer mátrixa négyzet alakú alsó háromszög mátrix, így ennek a mátrixnak a determinánsa nem-zéró. Ezért, ennek az egyenletrendszernek pontosan egy Q k -beli megoldása van: (α 1,..., α r ). Következésképp, a (1.1) felírás egyértelmű, tehát az A nem-nulla sorai az A csoport egy bázisát adják. Ha A M m,k (Z), akkor szeretnénk eldönteni például, hogy egy Z k -beli v elem benne van-e az A csoportban. A tétel bizonyítása azt sugallja, hogy a Hermite normál forma segítségével ezt a problémát is hatékonyan meg tudjuk oldani. Példa Legyen A a következő mátrix: és legyen v = (2, 1, 2, 4, 4). Kérdés, hogy a v vektor eleme-e az A csoportnak. Egy A mátrixszal ekvivalens HNF mátrix a HNF algoritmus segítségével könnyen kiszámítható: Az lemma szerint feltehetjük, hogy A a fenti HNF mátrix. Legyenek A 1, A 2, A 3, A 4 az A mátrix sorai, és tegyük fel hogy v A, azaz a v vektor felírható v = α 1 A 1 +α 2 A 2 +α 3 A 3 +α 4 A 4 alakban valamely α 1, α 2, α 3, α 4 Z számok segítségével. A fenti lineáris kombináció első koordinátája mindenképp 2α 1.

18 18 Abel-csoportok Mivel v első koordinátája 2, így α 1 = 1 kell, hogy teljesüljön. Ugyanez a gondolatmenet mutatja, hogy a v második koordinátája α 2, így α 2 = 1, és hasonlóan α 3 = 2. A v vektor negyedik koordinátája α 3 + 2α 4. Emiatt, α 4 = 3. Ezek után könnyű számolás mutatja, hogy valóban v = A 1 A 2 + 2A 3 3A 4, tehát v A. A fenti példa alapján könnyű egy általános algoritmust létrehozni. Az algoritmus leírásában a HNF algoritmusnál használt jelölést alkalmazzuk, a v vektor i-dik komponensét pedig v i jelöli. 2. algoritmus: ISMEMBER Input: A M m,n (Z) HNF mátrix és v Z n Output: (x 1,...,x m ) ha v A ; egyébként false set r := a nem-nulla sorok száma for i {1,...,r} do set A i,j := az i-dik sor vezéreleme if A i,j v j then return false end if set x i := v j /A i,j set v := v x i A i end for if v 0 then return false else return (x 1,...,x r, 0,..., 0) Z n end if Algorithm 2: Tartalmazási algoritmus Tétel Legyen A M m,n (Z) egy HNF mátrix, legyenek A 1,...,A m az A mátrix sorai, és legyen v Z n. Ha v A, akkor az IsMember algoritmus outputja egy vektor (x 1,...,x m ) amelyre teljesül a v = x 1 A x m A m ; (1.2) egyébként az output false.

19 Csoportelméleti algoritmusok 19 BIZONYÍTÁS. Az r változó jelöli a nem-nulla sorok számát. A for ciklus belsejében A i,j az i-dik sor első nem nulla eleme. Tegyük fel először, hogy v A és így v = x 1 A x m A m, ahol x 1,...,x m Z. Az tétel szerint az A mátrix első r sora az A csoport egy bázisát adja, ezért az x 1,...,x r együtthatók egyértelműen meghatározottak. Továbbá, mivel az utolsó m r sor nulla, az x r+1,...,x m együtthatók tetszőlegesek, tehát feltehetjük, hogy x r+1 = = x m = 0. Legyen, i {0,...,r 1} esetén, v i = x i+1 A i x r A r, és legyen v r = 0. Állítjuk, hogy ha for ciklus i-szer sikeresen végigfut (azaz a ciklusbeli return utasítás nem hajtódik végre), az x 1,...,x i együtthatók értéke helyes, az algoritmusbeli v változó értéke pedig v i. Az i = 0 esetben nincs mit belátni. Tegyük fel, hogy az állítás igaz a for ciklus i 1 lefutása után, és igazoljuk, hogy i lefutás után is igaz marad. Legyen A i,j az i-dik sor első nem-nulla eleme. Ekkor a v i 1 vektor első j 1 komponense szükségszerűen 0, v j pedig az A i,j elem x i -szerese kell, hogy legyen. Tehát ha A i,j v j, akkor v A és az output false. Másrészről, ha A i,j v j, akkor x i = v j /A i,j, és így a x i skalárt megtaláltuk. Az ezt követő set parancs miatt, v = v i 1 x i A i = v i. Ha a v vektor nem eleme a A csoportnak akkor két eset lehetséges. Az első esetben a for cikluson belüli if feltétele nem teljesül, és így az output false. Ha ez nem igaz, akkor a for ciklus elvégzése után a v vektor nem lehet nullvektor, mert ebben az esetben a v A teljesülne. Tehát az algoritmus outputja ebben az esetben is false. Korábban láttuk, hogy minden egész mátrix sor-ekvivalens egy HNF mátrixszal. Most igazoljuk, hogy ez a mátrix lényegében egyértelműen meghatározott. Tétel Ha H a Z n csoport egy részcsoportja, akkor létezik pontosan egy HNF mátrix A melynek nincsenek zéró sorai, és amelyre H = A teljesül. BIZONYÍTÁS. Legyenek A és B HNF mátrixok zéró sorok nélkül melyekre H = A = B teljesül. Az tétel szerint, az A sorai és a B sorai is bázisát adják az A = B csoportnak, így az lemma szerint, az A sorainak száma megegyezik a B sorainak számával. Jelöljük ezt a számot m-mel. Az állítást m szerinti indukcióval igazoljuk.

20 20 Abel-csoportok Ha m = 1, akkor mátrixaink mindössze egy sorból állnak. Mivel, A B, létezik α Z, melyre A = αb teljesül. Hasonlóan, B = βa valamely β Z egész számra. Tehát, A = αb = αβa. Mivel A-nak van nem-nulla eleme, azt kapjuk, hogy αβ = 1, tehát vagy α = β = 1, vagy pedig α = β = 1. Mivel az A és B mátrixok vezérelemei nem-negatívak, α = β = 1 következik. Tehát, ebben az esetben A = B, így az állítást az m = 1 esetben igazoltuk. Tegyük most fel, hogy m > 1. Legyenek a és b az A és B mátrixok első sorainak vezérelemei. Tegyük fel, hogy a a j 1 -dik oszlopban található, a b pedig a j 2 -dik oszlopban. Ekkor, a HNF definíciója miatt, a A csoport minden elemében az első j 1 1 koordináta 0, tehát a b elem oszlopszáma legalább j 1. Tehát j 1 j 2. Az érvelést megfordítva kapjuk, hogy j 2 j 1, azaz j 1 = j 2 következik; jelölje j ezt a számot. Legyen A 1 az a mátrix melyet A-ból kapunk az első sor törlése után; képezzük a B 1 mátrixot hasonlóan. A A 1 csoport a A csoport pontosan azon elemeiből áll, melyekben a j-dik komponens 0. Hasonlóan, a B 1 csoport a B csoport pontosan azon elemeiből áll, melyekben a j-dik komponens 0. Mivel A = B, következik, hogy A 1 = B 1. Jelölje H 1 ezt a csoportot. Mivel az A 1 és B 1 mátrixok HNF alakúak, az indukciós feltevés miatt, A 1 = B 1. Legyen u az A első sora, v pedig a B első sora. Jelölje D a H-beli elemek j-dik komponenseinek a halmazát. A D halmaz a Z egy részcsoportja, melyet a is és b is generál. Ezért a = ±b, de mivel a is és b is pozitív, a = b következik. Tehát u v H 1. Tegyük fel, hogy u v, és legyen c az u v vektor első nem-nulla komponense. Tételezzük fel, hogy c a k-dik oszlopban van. Ekkor az A 1 mátrix egyik sorának vezéreleme d szintén a k-dik oszlopban van, és d c. Azonban a HNF definíciója szerint, a d felett csak d-nél kisebb nem-negatív elemek lehetnek, ezért az u és v mátrixok k-dik komponense kisebb mint d, így a különbségük abszolút érteke is legfeljebb d 1, ami ellentmondás. Tehát u = v, és így A = B. Következmény Minden egész mátrix sor-ekvivalens pontosan egy HNF mátrixszal. BIZONYÍTÁS. Korábban láttuk, hogy létezik egy ilyen HNF mátrix. Tegyük fel, hogy A és B ilyen mátrixok, és jelölje  és ˆB a nulla sorok elhagyása után

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

13.1.Állítás. Legyen  2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre  =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste 13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

1. A kétszer kettes determináns

1. A kétszer kettes determináns 1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.

Részletesebben

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1. DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS A (nxn) kvadratikus (négyzetes) mátrixhoz egyértelműen hozzárendelhetünk egy D R számot, ami a mátrix determinánsa. Már most megjegyezzük, hogy a mátrix determinánsa, illetve a determináns

Részletesebben

1. ábra ábra

1. ábra ábra A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

Ismerkedés az Abel-csoportokkal Ismerkedés az Abel-csoportokkal - Szakdolgozat - Készítette: Takács Mária (Matematika BSc, Tanári szakirány) Témavezető: Kiss Emil (Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet) Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

5. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 5. előadás

5. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 5. előadás Elemi programok Definíció Az S A A program elemi, ha a A : S(a) { a, a, a, a,..., a, b b a}. A definíció alapján könnyen látható, hogy egy elemi program tényleg program. Speciális elemi programok a kövekezők:

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat.

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat. Nyelvtani transzformációk Formális nyelvek, 6. gyakorlat a. S (S) SS ε b. S XS ε és X (S) c. S (SS ) Megoldás: Célja: A nyelvtani transzformációk bemutatása Fogalmak: Megszorított típusok, normálformák,

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika II. feladatok Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet

Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Absztrakt algebra I. Csoportelmélet Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem 2006 Bevezetés Ez az anyag tartalmazza az Algebra és számelmélet című tárgy 4. féléves részének kötelező elméleti

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

I. POLINOMELMÉLET. 1. Polinomok gyökei

I. POLINOMELMÉLET. 1. Polinomok gyökei I. POLINOMELMÉLET 1. Polinomok gyökei Ebben a paragrafusban legyen A integritástartomány, amely valamely K test részgyűrűje. Definíció. Azt mondjuk, hogy a c K elem az f(x) A[x] polinom gyöke, illetve

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea Tartalom 1 Matematikai alapismeretek Algebrai struktúrák Oszthatóság Kongruenciák Algebrai struktúrák Az S = {x, y, z,... } halmazban definiálva van egy művelet, ha az S-nek minden x, y elempárjához hozzá

Részletesebben

A szimplex tábla. p. 1

A szimplex tábla. p. 1 A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex

Részletesebben

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben