A 2009/2010. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

Átírás

1 Oktatási Hivatal A 009/010 tanévi FIZIKA Országs Középisklai Tanulmányi Verseny másdik frdulójának feladatai és megldásai fizikából I kategória A dlgzatk elkészítéséhez minden segédeszköz használható Megldandó az első két feladat és a /A és /B srszámú feladatk közül egy szabadn választtt Csak feladat megldására adható pnt Ha valaki 4 feladat megldását adja be, a /A és /B feladat közül a több pntt elérő megldást vesszük figyelembe Minden feladat teljes megldása 0 pntt ér Részletes, egységes pntzás nem adható meg a feladatk természetéből következően, ugyanis egy-egy helyes megldáshz több különböző, egyenértékű helyes út vezethet A feladat numerikus végeredményével megközelítően azns eredményt kihzó megldó erre a részfeladatra 0 pntt kap, amennyiben elvileg helytelen útn jut el Fizikailag értelmes gndlatmenet estén a kis numerikus hiba elkövetése miatt (a részfeladat terjedelmétől függően) pnt vnható le 1 Tökéletesen hőszigetelő, vízszintes tengelyű, mindkét végén zárt hengert egy súrlódásmentesen mzgó, jól záródó, könnyű dugattyú szt két részre A henger bal ldali részében g tömegű, 00 K hőmérsékletű hidrgéngáz található, míg a jbb ldali részben 8 g tömegű, 400 K hőmérsékletű héliumgáz található Mindkét ldaln a kezdeti nymás 10 5 Pa A dugattyú anyaga enyhén hővezető, ezért a rendszerben lassan beáll a hőmérsékleti egyensúly a) Határzza meg a rendszer egyensúlyi hőmérsékletét! b) Mekkra lesz a nymás a hengerben az egyensúly beálltakr? c) Határzza meg az elhanyaglható hőkapacitású dugattyún átáramló hő értékét (közelítő számítás is használható)! Megldás: a) A henger hőszigetelése miatt a gázk belső energiájának összege állandó marad: f f H H nh RTH + nrt = nh R + nr Tegyensúly Az adatk behelyettesítése után: T = 44,4 K egyensúly f f b) A kezdeti értékekből kiszámíthatjuk a bal ldali és a jbb ldali részek térfgatát nrt ( V = alapján) és így megkaphatjuk a henger teljes térfgatát: p V = V bal + V jbb = ( 0, ,0665) m = 0,10 m 1

2 Az egyensúlyi nymást a gázegyenletből számíthatjuk ki: ( n + n ) H RT egyensúly pegyensúly = = 9, Pa V + V bal jbb c) Amint azt már láttuk a rendszer összes belső energiája nem váltzik a hőmérséklet kiegyenlítődése közben, így a hidrgén belső energiája ugyanannyival nő, mint amennyivel a héliumé csökken Eközben a dugattyú munkát végez A belső energia megváltzása, a munkavégzés és a hőközlés között a termdinamika első főtétele teremt kapcslatt: E = Q + W, amiből a belső energia váltzás és a munkavégzés kiszámítása után a keresett hőközlést kiszámíthatjuk A belső energia váltzását a hőmérsékletváltzásból határzhatjuk meg: E H 5 = n ( T ) 184 J H R T = egyensúly H A munkavégzést a p V diagram görbe alatti területeként számíthatjuk ki, amihez meg kell határznunk a nymást a térfgat függvényében Mivel a dugattyú súrlódásmentesen mzg, és a hőátadás lassú, feltételezzük, hgy a flyamat egyensúlyi állaptk srzatával valósul meg Ezért mindkét térrészben minden pillanatban a nymás megegyezik Amennyivel az egyik térrész térfgata növekszik, a másiké annyival csökken, vagyis frmálisan is igaz, hgy eredő munkavégzés nincs; a hidrgén által végzett munka megegyezik a héliumn végzett munkával Az össztérfgat és a teljes belső energia állandósága, valamint a gázegyenlet alapján a következő összefüggéseket írhatjuk fel: VH0 + H0 = VH + V = V = állandó fh f n T T n T T pvh = nhrth pv = n RT ( ) = ( ) H H H 0 0 Arra kell törekednünk, hgy a p nymást kizárólag az egyik váltzó térfgat, mndjuk V H függvényében fejezzük ki Az utlsó két egyenletből fejezzük ki a T H és T hőmérsékleteket, tvábbá használjuk ki, hgy a térfgatösszeg állandó (első egyenlet) A két hőmérsékletet írjuk be a belső energiák azns abszlút értékű váltzását kifejező, eddig még nem használt egyenletbe: ( V ) f n pv T f n T pv H H H H0 = 0 nhr nr Ebből az egyenletből egyszerű átrendezés után kifejezhetjük a p nymást V 1 függvényében:

3 p = ( H H H0 + 0) ( f f ) V + f V R f n T f n T H H Érdekes észrevennünk, hgy amennyiben a két gáz szabadsági fkszáma megegyezik, akkr a flyamat közben a nymás mindvégig állandó marad (rövid számlás és sk egyszerűsítés után frmálisan is megkaphatjuk a kezdeti nymást) A görbe alatti terület kiszámítása a következő határztt integrál elvégzését jelenti: Vgyensúly V1 egyensúly R( fhnhth0 + fnt0) H ( f V ) H 0 VH 0 H f VH + fv Vgyensúly ( H H H0 + 0) 1 dvh ( f f ) fv W = pdv = dv = R f n T f n T = = H VH 0 VH + f f fv Vgyensúly + R( f n T 0 + f n T 0) f f = ln ( fh f) fv VH 0 + f f H H H H H H ahl V 1egyensúly a hidrgén végső, egyensúlyi térfgatát jelenti Egyensúlyban a két gáz térfgatának aránya megegyezik a mól-számaik arányával, ezért a hidrgén térfgata a flyamat végén:, H V 1egyensúly = H V n H n + n = 0,0445 m A hidrgén kezdeti térfgatát már a megldás elején is felírtuk: V H 0 = 0,074 m A számszerű behelyettesítés után a következő eredményt kapjuk: 0,10 0, ,1( 5 1, ) W = ln 5 ( 5 ) J = 697,11 J 697 J 0,10 0, A munkavégzést közelítő módszerrel is meghatárzhatjuk, mivel a hőmérsékleti egyensúly beállta közben csak kismértékben váltzik meg a rendszerben a nymás Ezért tekintsük az átlags nymást, és így a hidrgénen végzett munkát közelítsük a kezdeti és a végállapt nymásának számtani közepével: p átlag = p 0 + p egyensúly = 9, Pa

4 Tehát a hidrgénen végzett munka közelítőleg: W 4 ( V ) = 9,8 10 ( 0,0445 0,074) J = 697, J 697 J = p V átlag 1egyensúly 10 Jól láthatjuk, hgy a közelítő számítással kaptt eredmény alig különbözik az integrálszámítás eredményétől, tehát jgs a közelítés alkalmazása A dugattyún átáramló hő értéke: Q = EH W = 184 J J 080 J Megjegyzés: A fenti számításkban kerekítéseket alkalmaztunk, és a kerekítések kzta hiba skkalta felülmúlja a közelítésből adódó eltérést, vagyis a fenti eredménytől néhány ezreléknyi eltérés még elfgadható végeredmény, ha egyébként a számításkban nincs elvi hiba Amennyiben a versenyző nem veszi figyelembe, hgy a dugattyún átáramló hő a gázk belső energia váltzásainak és az egymásn végzett munkáinak összege, hanem a hőt vagy kizárólag belső energia váltzásnak, vagy kizárólag a munkavégzésnek tulajdnítja, akkr erre a részfeladatra maximálisan csak pnt adható Numerikus hibák esetén az aktuális résznek legfeljebb 75 %-a adható Két hsszú, srba kapcslt vasmags egyenes tekercs tengelye közös, közöttük elhanyaglható szélességű légrés van Az egyes tekercsek hssza L = 1 m, sugaruk r 0 = 4 cm, menetszámuk N = 000 A tengelyen elhelyezett, súrlódásmentes elfrdulást biztsító tűcsapágy egy rá merőleges, l = 0,5 m hsszú, m = 0,1 g tömegű szalmaszálat tart az ábra szerint, amelyet q = C töltéssel láttunk el (Az ábra nem méretaránys) A vasmag relatív permeabilitása µ r = 0000 Mekkra szöggyrsulással indul el a szalmaszál, ha a tekercsben az áramerősség váltzási sebessége 100 A/s? (A szalmaszáln a középpntsan szimmetrikusan elszló töltés csak a mágneses mezőn kívül helyezkedik el) I Megldás, munkavégzéssel: A váltzó erősségű áram váltzó mágneses mezőt hz létre, amelyben az indukció törvénye szerint abszlút értékben Φ E = t 4

5 körfeszültség keletkezik, ami azt jelenti, hgy bármilyen görbén vezetve egyszer körülvesszük egy zárt vezetékkel a fluxusváltzást, abban akkra áram keletkezik, amekkrát ez a feszültség kelt Ebben az indukált elektrms mezőben kncentrikus körök az erővnalak A mező munkája pedig egy pntszerű töltésen, mialatt egyszer körbevisszük a töltést egy erővnal mentén: W =E q, függetlenül a körsugártól Ha gndskdunk a töltés állandó sugarú pályájáról pl egy kényszerfeltétellel, akkr egyenletesen gyrsuló körmzgás jön létre Esetünkben, mivel a körfeszültség (elektrmtrs erő, indukált feszültség) független a körpálya sugarától, a szalmaszáln levő töltéselszlástól független lesz az eredmény Az indukált mező munkája valamekkra ϕ szögelfrdulás alatt a ráeső feszültséggel számítandó, ϕ amely U = E Ez a munka a pálca frgási energiájára frdítódik, ezzel: π W ϕ = E q = Θω = ml ω π 1 Felhasználva, hgy a nyugalmból induló frgó test szögsebessége, szögelfrdulása és szöggyrsulása között érvényes a következő egyenlőség: ω = βϕ, adódik, hgy: ϕ 1 1 E q = π 1 ml βϕ, ϕ-vel egyszerűsítve és átrendezve a keresett szöggyrsulásra kapjuk: 6 q β = E, π l m Ahvá az indukált elektrmtrs erőt a mágneses fluxusváltzással kifejezve beírjuk: 6 Φ q β = π l t m kifejezést kapjuk A fluxusváltzást a tekercs adataival kifejezve a szöggyrsulásra a következő adódik: Számértékekkel: IN µµ r π r I β = = µ µ π 0 r 0 6 L q 6 q 0 0 r N l t m l m L t 5

6 7 4 6 q r0 I C 7 Vs m A 1 β = µ 0µ r N = 4π = 0,965 4 l m L t 0,5m 10 kg Am 1 m s s II Megldás, frgatónymatékkal Írjuk fel a mező térerősségét a tekercs tengelyétől mért távlság függvényében, a tekercsen kívüli térben: 1 Φ E = rπ t (Ez a feszültségesés és az irányába mért hssz hányadsából közvetlenül kapható) Látható, hgy a térerősség a sugárral frdítttan aránys A frgatónymaték pedig azzal egyenesen aránys lévén, az erő és erőkar szrzata esetünkben független a sugártól: 1 Φ Er = = π t állandó, azaz a frgatónymaték a szál minden egyes pnttöltésére, így azk összegére: 1 Φ M = Erq = q π t A frgatónymaték-tétel szerint: M = Θβ, vagyis 1 Φ 1 q= ml β π t 1 Innen 6 Φ q β =, π l t m Ami azns az előző eredményünkkel /A Az ábra szerinti tömegspektrszkópban az E pntból U = 500 V feszültséggel gyrsíttt kálium iztóp ink lépnek ki a mágneses indukcióvnalakra merőleges irányban, majd a B = 0,16T indukciójú hmgén mágneses térben körpályára kényszerülve egy félkör megtétele után becsapódnak az S jelűt érzékelőbe Egy adtt pillanatban E-ből kilép egy K iztóp, 6 melynek tömeg m = 6, kg( prtntömeg), 19 elektrms töltése Q = 1,6 10 C, majd 8 t = 4,7 10 másdperc múlva kilép utána egy K 6 iztóp, amelynek tömege m = kg( 6,

7 19 prtntömeg), töltése pedig ugyancsak Q = 1,6 10 C Mekkra távlságban lesz egymástól a két in abban a pillanatban, amikr K becsapódik az S érzékelőbe? Megldás: Az ink kilépési sebessége a munkatételből határzható meg: mv = QU A mágnes térben való mzgásukra pedig A Lrentz erő alapján: mv QvB = r Ezen egyenletekből a pályasugár: 1 U r = m, B Q a félkörnyi pálya befutási ideje: T m = π BQ Az in szögsebessége pedig v BQ ω = = R m A tvábbiakban jelöljük a nehezebb in pályasugarát R -rel, a könnyebbét r -rel A fenti képletek alapján a K -es iztóp becsapódási ideje t π m BQ = Amikr a könnyebb iztóp éppen becsapódik, akkr a nehezebb még a pályáján van Indulása óta saját pályaközéppntja körül elfrdult BQ α=ω ( t + t) = ( t + t) m Az adatk behelyettesítése után a radiánban mért szögelfrdulás α =,006, ami 17, fk 7

8 A keresett távlság jele legyen x Legyen δ az x-szel szemközti szög az R, d, x szakaszk alktta hármszögben, amely δ =180 α = 7,7 Az ábrából d= r-r A pályasugárra megadtt fenti képlet alapján 7 1 1, R = = 0,19m 0,16 1,6 10 míg r = 0,161 m Innen d = r R = 0, 19 m A kszinusz tétel alapján 4 x = R + d drcsδ =,4 10 Innen x = 0,018 m adódik a kérdezett távlságra Érdemes ellenőrizni, hgy az elektrsztatikus taszító erő nagysága miként visznyul a Lrentz erő nagysághz, amikr az ink közelebb vannak egymáshz Például akkr, amikr a -es 8 kilép E-ből, s a -es már t = 4,7 10 másdperc óta útban van a körívén E megtett ív BQ 1 Um UQ hssza ω t R = t = t = 0,007 m, amelyet egyenlőnek m B Q m veszünk a hzzá tartzó húr h hsszával, amely a két in pillanatnyi távlsága Ezzel a kq számadattal: = 4,46 10 N, a Lrentz-erő nagysága pedig: h 19 UQ 500 (1,6 10 ) 15 m R ω = B = 0,16 N = 1,8 10 N Láthatjuk, 7 m 1,67 10 hgy a Lrentz erő 8 nagyságrenddel nagybb, tehát az elektrms taszító hatást a két test együttmzgása srán végig elhanyaglhatjuk mind nagyság- mind irányváltztató hatás tekintetében /B Vízszintes síkban rögzített, r = 8cm belső sugarú fémgyűrű, amelynek elektrms ellenállása minden tekintetben elhanyaglható, függőleges állású, B = 1,06T indukciójú hmgén mágnes mezőben van a rajzn látható elrendezésben A gyűrű középpntját és belső falát egy súrlódásmentesen csapágyaztt fémrúd köti össze, amely rugalmas elektrms csúszócsatlakzóval ér a fémgyűrűhöz, Fny = 0,1N sugárirányú erővel nymva azt Köztük a csúszási súrlódási együttható értéke µ = 0, Az ábrán látható módn egy U = 6V üresjárási feszültségű akkumulátrt kapcslunk a fémrúd 8

9 csapágyát tartó tengely és a fémgyűrű közé Az így kialakult zárt áramkör teljes ellenállása R = 10Ω Az áramkör bekapcslása után a csapágyaztt fémrúd frgásba jön -a) Mekkra lesz állandósult frgásakr a másdpercenkénti frdulatszáma? -b) A külső áramkörbe, az eddigi vezetékeket megtartva, még egy lyan R x értékű szabályzó ellenállást iktatunk, amellyel csak véges, R = 0,1 Ω nagyságú lépésekben tudjuk az R = 10Ω kezdőértéktől kezdve váltztatni a külső áramkör ellenállását Hány százalék pntssággal tudjuk így a kis frgó rúd frdulatszámát n = 50 s1 -ra beállítani? Megldás: -a) Ha a sugarat képező r hsszúságú rúd egyik vége körül ω szögsebességgel frg a mágneses erővnalakra merőleges síkban, akkr a benne indukált feszültség A teljes áramkörre fennáll tehát, hgy U ind Bω r = U Bω r = I R Ha a rúd frgása már állandósult, akkr a súrlódási erő frgatónymatéka és a Lrentz-erő frgatónymatéka egyensúlyt tart: Innen IrB µ F ny r = r I µ F ny = rb A kaptt kifejezést a teljes áramköri Ohm-törvénybe beírva, a szögsebességre: U 4µ Fny R 6 40,0,110 1 ω = = = 78,48s Br B r 1,06 0,08 1,06 0,08 adódik Tehát a keresett frdulatszám ω 1 n = = 60, π s 9

10 -b) Amikr a szabályzó képletben R helyett Rx ellenállást beiktatjuk, akkr a szögsebességet megadó fenti R + R kell helyettesíteni U 4µ ( ny Tehát mst = Számértékekkel x F R + R Br B r ) U 4µ F R 4µ F = Br B r B r x ny ny ω x ω= , 48 1, 06 Rx s Ωs vagyis a szögsebesség Rx -nek lineáris függvénye 1 A kívánt n = 50 s frdulatszámhz π s = 14,16 s szögsebesség tartzik, amely R = 0,461Ω ellenállás értéknél állna be Ez x R k Rx = R 0,461 = = 4,6 0,1 darab ellenállásfkzat beiktatását jelentené, ami nem egész szám Ha a szabályzható ellenállás első 4 fkzatát iktatjuk be, akkr Rx = 0,4hmt iktattunk be 1 1 Az ehhez tartzó szögsebesség a fenti képletből kiszámítva,6 s lesz, ami 51, s frdulatszámt jelent Ha visznt az első 5 fkzatt iktatjuk be, akkr a szögsebesség 1 08,7 s1, a frdulatszám 49,1 s lesz Tehát az első 5 fkzat bekapcslásával tudjuk a legjbban megközelíteni a kívánt frdulatszámt Ez esetben a relatív eltérés 0,9 100 = 1,8 % 50 Vagyis a beállítás legjbb esetben 1,8% pntssággal történhet csak 10