Felületek differenciál geometriai értelmezése

Átírás

1 Felületek differenciál geometriai értelmezése Definíció Elemi felületen olyan alakzatot értünk, amely előállítható az (u,v) sík egy egyszeresen összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres vektorfüggvény helyzetvektorainak végpontjaiként, ahol a) az r(u,v) által létrehozott leképezés topológikus b) az r(u,v) folytonosan differenciálható r r c) a és vektorok egyetlen pontban sem párhuzamosak. u v Az ruv) (, vektorfüggvény az elemi felület egy előállítása, de egy elemi felület olyan vektorfüggvénnyel is előállítható, amely nem felel meg a definícióban felsorolt feltételeknek. Azok az előállításokat, amelyek teljesítik az a) -c) feltételeket reguláris előállításoknak nevezzük. Az elemi felületek köre elég szűk. Pl. már a gömb sem fér bele, mert a gömb nem képezhető le topológikusan a sík egyetlen tartományára sem. Hasonló a helyzet a hengerrel vagy a tórusszal. Ezek azonban előállíthatók elemi felületek egyesítése képpen. Ha két elég nagy gömbsüveget veszünk elemi felületnek, melyek közül az egyik felülröl az egyenlítő alá, a másik alulról az egyenlítő fölé nyúlik, úgy minden pont legalább az egyiknek, sőt az egyenlítő környéki pontok mindkettőnek pontjai. Így gömb e két elemi felület egyesítéseként fogható fel. Hasonló a helyzet a hengernél és a tórusznál. Ezen meggondolást követve felületen olyan összefüggő alakzatot fogunk érteni, mely végessok elemi felület egyesítéseként előáll, és bármely pontjának megfelelően kicsiny térbeli környezete az alakzatból elemi felületet metsz ki. Egy alakzat összefüggő, ha bármely két pontja összeköthető csupa alakzatpontból álló folytonos görbeívvel. A felület határán a felülethez nem tartozó határpontok összességét értjük. A határpont olyan pont, amely bármely környezete tartalmaz felületi és nem felületi pontot. Ha a felület határnélküli és véges, akkor zártnak nevezzük. Ilyen pl. a gömb és a tórusz. Ha a felület határolt (azaz vannak határpontjai) vagy végtelen, akkor nyíltnak nevezzük. Ilyen pl. a félgömb, henger, sík. Elemi felületek különböző megadási módjai 1) Explicit megadási mód Tekintsünk E 3 -ban egy Descartes-féle koordinátarendszert és a z = f(x, y) kétváltozós függvényt! Azok a pontok, melyeknek a koordinátái:(x,y, z = f(x,y)), egy felületet alkotnak. Ezt Euler-Monge féle megadási mód nak is nevezzük. 2) Implicit megadási mód Ismét egy Descartes-féle koordinátarendszert tekintünk és egy F(x,y, z) háromváltozós függvényt. Azon pontok mértani helye, melyek koordinátáit a 41

2 függvénybe helyettesítve a kapott függvényérték konstans (pl. zérussal egyenlő), egy nívófelületet alkotnak. Ennek analítikus megadása: F(x,y, z) = 0. 3) Vektorparaméteres megadási mód Ez tulajdonképpen az elemi felület definíciójában is szereplő r(u,v) előállítási mód, amely három kétváltozós függvény megadásával egyenértékű, amelyeket koordinátafüggvényeknek nevezünk. r(u,v)=x(u,v) e 1 +y(u,v) e 2 +z(u,v) e 3 Gauss-féle előállításnak is szokás nevezni. Példa 1) A P 0 ponton áthaladó, az a és b nem párhuzamos vektorpár által felfeszített sík előállítása: A helyzetvektorok közötti r = r 0 + P0P = r 0 + ua + vb kapcsolat alapján r(u,v)=r 0 +u a+v b ) Az R sugarú, origó középpontú gömb implicit megadása: R ( x + y + z ) =0. Ugyanezt a gömböt explicit formában két egyenlet írja le: z=+ R x y 2 2 z= R x y 2, ahol az első az [x,y] sík fölötti, a második az [x,y] sík alatti félgömböt adja meg. Definíció Adott egy felület és a paramétersík T tartományában egy görbe. A görbe pontjainak képei a felületen egy görbét határoznak meg. Az ilyen görbéket felületi görbéknek nevezzük. Definíció A felület egy adott P pontját végtelen sok felületi görbe halad át. Ha ezeknek a felületei görbéknek a P- beli érintőit meghatározzuk, akkor azok egy síkot feszítenek fel. Ezt a síkot a felület P-beli érintősíkjának, a benne fekvő vektorokat felületi vektoroknak nevezzük. Definíció A paramétersík koordinátatengelyeivel párhuzamos egyeneseinek képei a felületen felületi görbéket adnak. Ezeket paramétervonalaknak nevezzük. r r A és vektorok éppen a u v paramétervonalakat érintik. 42

3 Egy felület P pontjában a P-beli érintősíkra merőleges egyenest felületi normálisnak nevezzük. Ez a felületi normális merőleges a P ponton áthaladó bármely felületi görbe érintőjére. A P-beli érintősíkban legyen e egy tetszőleges, P-n áthaladó egyenes. Végtelen sok olyan felületi görbe vezethető át a P ponton, melyeknek az érintője éppen a megadott e egyenes. A felület P pontján áthaladó különböző felületi görbék görbületei nem lehetnek egymástól teljesen függetlenek, mert az, hogy egy felületen vannak, már megkötést jelent. Ha még az érintőt is rögzítjük, akkor a közös érintővel rendelkezők között még szorosabb a kapcsolat. A felületnek az n felületi normálison átmenő síkokkal (normálsíkokkal) való metszeteit normálmetszeteknek nevezzük. A normálmetszet P-beli főnormálisa egybeesik az n felületi normálissal. Ehhez hasonlóan egybeesik a főnormális és a felületi normális, ha olyan felületi görbét veszünk, amelynek a P-beli simulósíkja éppen egy normálsík. Adott egy felület, a felületen egy P pont és egy P ponton áthaladó felületi görbe. Tegyük fel, hogy a görbe P-beli simulósíkja nem esik egybe a felület érintősíkjával, azaz a görbe f főnormálisa és a felület n felületi normálisa nem merőleges egymásra. Ekkor a felületi görbe görbülete csak az érintő irányától és a főnormális állásától függ. Egy felületi görbe simulósíkja egy síkgörbét vág ki a felületből, amelynek ugyanaz az érintővektora és főnormálisa, mint az eredeti görbének. Egy felület egy adott pontjában megadott irányú és főnormálisú felületi görbék közül elegendő görbületi szempontból elegendő az előbbi síkgörbét vizsgálni. Tétel Egy felületi görbe görbülete mindig megegyezik a simulósíkja által kimetszett felületi síkgörbe görbületével, ha a főnormális és a felületi normális nem merőleges (azaz a görbe simulósíkja nem érinti a felületet). Egy felület adott P pontján átmenő, rögzített e érintővel rendelkező görbék közül a legkisebb görbületűt keressük. Ezt akkor kapjuk, ha a görbe simuló síkja tartalmazza az n felületi normálist. A továbbiakban rögzítjük a felületen a P pontot, a P-beli érintősíkban egy P-n áthaladó e egyenest. Tétel (Meusnier tétele) Jelölje ϕ az n felületi normális és az f főnormális szögét, a normálmetszet görbületi sugarát R. Ekkor az f főnormálishoz tartozó metszet sugara: R cosϕ = ρ. 43

4 (Az ábrán a simulósík által kimetszett görbét tüntettem fel.) Ez a tétel azt jelenti, hogy elegendő a normálgörbületet és a ϕ szöget ismernünk, ezekkel az adatokkal a görbületi sugár ill. maga a görbület meghatározható. A tételnek megadható egy szemléletes geometriai interpretációja. Ha tekintjük azt az R sugarú gömböt, amely érintkezik a felülettel a P pontban és főkörként tartalmazza a normálmetszet simulókörét. Ekkor a P-n áthaladó, rögzített e érintővel rendelkező görbék simulósíkja a görbe simulókörét metszi ki az előbbi gömbből. Eddig rögzítettük az érintősíkban a görbék érintőjét. Most érdemes megnézni, hogy hogyan változik a normálmetszet görbülete, ha az e érintőt a P pont körül forgatjuk. Igazolás nélkül: a G normálgörbület (a normálmetszet görbülete) a forgatással folyamatosan változik és közben felveszi szélsőértékét. Lesz egy maximuma és egy minimuma. Ezekhez a görbületértékekhez a P-beli érintősíkban tartozik egy-egy érintőállás. Ezeket főirányoknak nevezzük. A főirányok mindig egymásra merőlegesek. Speciális esetek: Abban az esetben, ha a G maximuma és minimuma egybeesik, akkor G egy iránytól független konstans és minden irány szélsőértékirány. 1. Ha a normálgörbület minden irányban konstans 0, akkor a vizsgált felületi pontot síkpontnak nevezzük. A sík minden pontja ilyen tulajdonságú. 2. Ha a normálgörbület minden irányban 0-tól különböző konstans, akkor a vizsgált felületi pontot gömbi pontnak nevezzük. A gömbnek minden pontja ilyen tulajdonságú, mert egy R sugarú gömb minden normálmetszete egy főkör, melynek a görbületi sugara 1 R. Rögzítsük a felület P-beli érintősíkját! Ebben az érintősíkban az e 1 és e 2 főirányok, melyekhez tartozó főnormálgörbület G1, G2. Legyen G a tekintett egy tetszőleges e irányhoz tartozó normálgörbület, és ϕ az e és e 1 által bezárt szög. Tétel (Euler tétele) = G cosϕ G sinϕ. G

5 A felület származtatása A felület származtatása és analitikus jellemzése Ha egy görbe vonal, az alkotó - esetleg alakját és nagyságát folytonosan változtatva - a térben folytonosan mozog, ennek minden pontja egy vonalat ír le; e vonalak pontjainak összessége felületet alkot. Azonban a felületet úgy is tekinthetjük, mint az alkotó különböző helyzeteinek geometriai helyét. Ezt még úgy is szoktuk mondani, hogy az ilyen módon keletkezett felület a mozgó vonal geometriai helye. A legegyszerűbb felület a síklap, amelyhez képest a többi felületet (gömbfelület, kúpfelület stb.) görbe felületnek nevezzük. Ugyanazt a felületet többféle módon is származtathatjuk. Így pl. gömbfelület származik, a) ha valamely kört átmérője körül forgatunk (az alkotó ebben az esetben változatlan alakú és nagyságú), b) ha valamely kör úgy mozog, hogy egy másik adott kört állandóan metsz, és közben síkja az adott kör valamelyik átmérőjére mindig merőleges, középpontja pedig ezen az átmérőn van (az alkotó változatlan alakú, de változó nagyságú, azaz különböző helyzetei hasonló görbék). Az alkotó lehet térbeli vagy síkbeli vonal. Alkotónak mindig a legegyszerűbb alakú vonalat választjuk; ha tehát a felület bármely pontján keresztül olyan egyenes húzható, mely egész kiterjedésében a felületen fekszik, alkotónak ezeket az egyeneseket vesszük. Miként egy síkgörbe állhat több ágból, akként egy felület több különálló köpenyből állhat. Ha valamely vonaldarab - esetleg alakját és nagyságát is változtatva úgy mozog, hogy ugyanazon a helyen ismételve nem halad át, és valamennyi pontja csupa különböző pontból álló vonalat ír le, elemi felület keletkezik. A mozgó vonaldarab végpontjainak különböző helyzetei és az egyes pontok által leírt vonalak végpontjai az elemi felület határpontjai, a többi belső pont. Azt is mondjuk, hogy a felület az egy négyszög folytonos képe". Példa: A gömb úgy származtatható, hogy a [λϕ] π π koordinátasíkban 0 λ 2π és 2 ϕ 2 egyenlőtlenséggel jellemzett téglalap valamely P=(λ, ϕ) pontjának a gömbfelület Q pontját feleltetjük meg. Felveszünk egy térbeli derékszögű koordinátarendszert, melynek kezdőpontja a gömb O középpontja. Az [xy] síkban az O pontból egy félegyenest húzunk, melynek a pozitív x tengellyel bezárt szöge λ-val egyenlő. Ez a félegyenes és a z tengely által meghatározott síkban a z tengely pozitív felével ϕ szöget bezáró másik félegyenest húzunk O-ból. A Q pont a gömbnek ez utóbbi félegyenesen fekvő pontja. A négyszög két különböző pontjához felületnek mindig két különböző pontja tartozik, akkor a felület a négyszög kölcsönösen egyértelmű folytonos képe. 45

6 Két elemi felületnek lehetnek közös pontjai, amilyen az ábrán látható két elemi felületből összetett önmagát metsző" felület P pontja. (Az ábrán az egyik elemi felület vonalkázva van, a másik nincs.) A tér ilyen pontjait, mint többszörös pontot, azaz mint két vagy több különböző pont közös helyzetét fogjuk tekinteni. A felületek osztályozása különböző szempontokból lehetséges. Egy ilyen osztályozás alapját képezheti a felületek fent említett keletkezése. Ilyen alapon nyert felületosztályok közül a fontosabbak a következők: A leíró görbe változatlan alakú és nagyságú. 1. Vonalfelületek. A leíró görbe egyenes vonal. a) Síkbafejthető felületek Kúpfelületek: a leíró egyenes mozgása közben mindig egy rögzített ponton, a kúp csúcspontján megy keresztül. Hengerfelületek: az egyenes alkotók párhuzamosak egymással. Általános síkbafejthető felületek: a leíró egyenes úgy mozog, hogy mindig valamely térgörbét érint. (A síkbafejthető felület" elnevezés onnan ered, hogy e felületek szakítás vagy összeráncolás, valamint egyes részeinek kitágítása vagy összezsugorítása nélkül úgy boríthatók a síkra, hogy azt pontról pontra fedjék. Ezen átalakításnál minden a felületen fekvő görbe ívhossza változatlan marad.) b) Torzfelületek A leíró egyenes mozgásának törvényét megállapíthatjuk azzal a követeléssel, hogy az egyenes alkotó minden helyzetében három megadott, vezérgörbéknek nevezett görbét messen. A vezérgörbe lehet egyenes is, amely végtelenben is lehet egy sík által adva, melyet iránysíknak nevezünk. 2. Önmagukban eltolható/elforgatható felületek A leíró görbe egészen tetszőleges. a) Hengerfelületek A leíró görbe egyenes vonalú haladó mozgást végez, tehát az egyes pontok egymással párhuzamos egyeneseket írnak le. b) Forgásfelületek A leíró görbe egy egyenes körül, a forgás tengelye körül forog, azaz minden pontja kört ír le, melynek síkja merőleges a tengelyre, és amelynek középpontja a tengelyen van. A forgási felületnek a tengelyre merőleges síkmetszetei tehát körök, úgynevezett párhuzamos körök. A tengelyen keresztülfektetett síkok metszeteit meridiánoknak nevezik, ezek mindannyian egybevágóak. c) Csavarfelületek A leíró görbe csavarmozgást végez, tehát az egyes pontok csavarvonalakat írnak le, amelyeknek közös a tengelyük és közös a menetmagasságuk. 3. Azok a felületosztályok, amelyek valamely változatlan alakú és nagyságú görbének tetszőleges, eddig még nem tárgyalt mozgásából keletkeznek. Ezek közül megemlítjük a transzlációs felületeket, amelyek úgy keletkeznek, hogy a leíró görbe minden pontja egy-egy egybevágó görbét ír le. 46

7 Algebrai felületek és algebrai térgörbék Ha valamely felület egy derékszögű koordinátarendszerre vonatkozóan algebrai egyenlettel adható meg, akkor a felület algebrai felület, mégpedig n-ed rendű, ha egyenlete n-ed fokú; ellenkező esetben a felület transzcendens. Annak eldöntésénél, hogy valamely felület algebrai-e vagy sem, vagy hogy valamely algebrai felület hányadrendű, a koordinátarendszer választása nem játszik szerepet. A legegyszerűbb felületek azok, amelyek elsőfokú egyenletekkel jellemezhetők. Ezek, mint tudjuk, a síkok. Megtörténhet, hogy az n-ed rendű felület szétesik, vagyis alacsonyabb rendű felületekre bomlik úgy, hogy az egyes részek rendszámainak összege a felület eredeti rendszámával egyenlő. Az n-ed rendű felület bármely síkmetszete n-ed rendű síkgörbe. Egy tetszőleges egyenes az n-ed rendű felületet mindig n pontban metszi, ha a képzetes és egybeeső metszéspontokat is tekintetbe vesszük. A térbeli görbe algebrai, ha két algebrai felületnek teljes áthatásával keletkezik. A térbeli görbe rendjét egy tetszőleges síkkal való metszéspontjainak száma adja meg, ha a képzetes pontokat és egybeeső metszéspontokat a megfelelő többszörösséggel vesszük tekintetbe. Ha a görbe egy p-ed és egy q-ad fokú egyenlettel meghatározott felület áthatásával származik, akkor a görbét a tér bármely síkja n=p q pontban metszi, melyek közt lehetnek egybeesők is, a végtelenben levők, vagy a koordináták komplex értékeinek megfelelő képzetesek. Egy n-ed rendű algebrai görbe egy m-ed rendű algebrai felületnek m n közös pontja van. Algebrai térgörbe vetületének rendszáma általában egyenlő az eredeti görbe rendszámával. Ha a vetítősugaraknak mindegyikének csak egy közös pontja van a görbével, akkor az eredeti és a vetület rendszáma megegyezik. Megtörténhet, hogy a vetítőhenger minden alkotója a térgörbét két pontban metszi. Ekkor a kép minden pontja kétszer számítandó pont, a kép a térgörbe kettős vetülete. Ebből következik, hogy a kettős vetület rendszáma általában a görbe rendszámának fele; ennek következtében csak oly térgörbének lehet kettős vetülete, melynek rendszáma páros szám. Mindezt másodrendű felületekre is megfogalmazhatjuk. Például másodrendű felületnek számít egy egybeeső síkpár, vagy egy párhuzamos síkpár, vagy egy metsző síkpár; mivel két első rendű alakzatot együttesen veszünk figyelembe. Egy másodrendű felület síkmetszete mindig másodrendű görbe, amely lehet elfajuló és képzetes is. Egy egyenes, ha nem tartozik egy másodrendű felülethez, akkor két pontban metszi a felületet. Ebben az esetben előfordulhat, hogy a közös pont nemcsak két különböző valós pont, hanem egy valós, kétszeres multiplicitású pont, vagy két képzetes pont. Két másodrendű felület áthatása negyedrendű görbe. A görbe lehet igazi negyedrendű görbe, de széteshet két másodrendű görbére, vagy egy egyenesre és még egy harmadrendű görbére. Ha egy másodrendű görbe éppen vetítősíkban van, akkor a vetülete egy egyenes vagy egy szakasz lehet. Ez a vetület elsőrendű. (Vetítő síkban lévő kör vetülete egy átmérő hosszúságú szakasz.) Ha egy negyedrendű görbét két henger (két kúp, henger és kúp) áthatásával adunk meg, akkor a hengerek tengelyirányából vetítve a görbét a kapott vetület másodrendű. A tórusz negyedrendű felület, ezért egy sík mindig negyedrendű görbében metszi. Ez a negyedrendű görbe állhat két körből is, ha metsző sík merőleges a forgástengelyre. De akkor is két kör alkotja a metszetet, ha olyan síkkal metsszük, amely két pontban érinti a felületet. 47

8 A felület ábrázolása, érintése és metszése Az olyan egyenes, amely valamely felületi görbét annak egy P pontjában érinti, a felületnek is az érintője e pontban. A felület P pontján átmenő felületi görbékhez, a P pontban húzott érintők általában mind egy síkban vannak. Ez a sík a P ponthoz tartozó érintősík, és P az érintési pont. Kivételesen előfordulhat, hogy az említett érintők kúpfelülelet vagy több síkot alkotnak, mely esetben a P pont a felület kúpos vagy többszörös pontja. A fentiek szerint a felület bármely P pontjához tartozó érintősík meghatározására olyan két, t l és t 2 egyenest használunk, melyek a P-n áthaladó és a felületen fekvő két tetszés szerinti görbét a P pontban érintik. Ha egy felület valamely P pontja körül a felület összes pontja az érintősík ugyanazon oldalán fekszik, akkor a sík a felületet csakis érinti. Ezen oldalról nézve homorú, az ellenkező oldalról domború. Előfordulhat az is, hogy a felületnek a P körül levő pontjai közül vannak olyanok, melyek az érintősík egyik oldalán, mások pedig a másik oldalán helyezkednek el; a felület tehát a P pontban egyik oldalról sem domború, ebben az esetben nyereg alakú. Az a sík, amely a felületet a P pontban érinti, még a P-n áthaladó két görbében metszi is a felületet. Az olyan síkot, mely valamely felületet egy síkgörhének minden pontjában érinti, szinguláris érintősíknak nevezzük. Pl. a tórusznál, két ilyen sík van, és ezek mindegyike egy egy körben érinti a felületet. Ha egy felületi görbének van végtelen távoli pontja, akkor az a felületnek is bégtelen távoli pontja. Az olyan síkot, mely a felületet végtelenben fekvő pontjában érinti, aszimptotikus síknak mondjuk. Az érintési pontban az érintősíkra emelt merőleges a felület normálisa az illető pontban. Ha két felületnek egy közös pontban közös érintősíkja van, akkor ezekről azt mondjuk, hogy egymást a közös pontban érintik. Ha két felület egymást egy görbe összes pontjában érinti, akkor a görbe mentén érintik egymást. Az a görbe, amelynek mentén a két felület egymást érinti, érintési görbe. A felület valamely részét sima felületdarabnak mondjuk, ha megadható a felületi görbék két olyan rendszere, melyek kielégítik az alábbi feltételeket: 1. Az alkotógörbének mindegyik belső pontjában két ellentétes irányú félérintője és minden végpontjában egy meghatározott félérintője van. 2. Ugyanazon rendszerhez tartozó két alkotógörbének nincs közös pontja; különböző rendszerhez tartozó két alkotógörbének egyetlenegy közös pontja van, de soha sincs közös érintőjük ebben a pontban. 48

9 3. A felületdarab valamely P pontján átmenő alkotógörbéknek P-beli érintői a P ponttal folytonosan változnak. A felületdarab belső pontjai olyan pontok, amelyek az illető ponton átmenő mindkét alkotógörbének belső pontjai. A felületdarab többi pontja határpont. Egy sima felületdarabnak minden egyes P pontjában egyértelműen meghatározott érintősíkja van, mely magában foglalja a P-n áthaladó valamennyi felületi görbének P-ben vett érintőjét. Az érintősíkot a két alkotógörbe P-beli érintője határozza meg, és ezért az érintősík a P ponttal folytonosan változik. Ha valamely sima felületdarab két változó A és B pontja egy közös P határhelyzet felé közeledik, akkor az AB egyenes határhelyzete a P pont érintősíkjában van. Ebből következik: Ha valamely sima felületdarab három különböző pontja, A, B és C egy és ugyanazon P pont felé közeledik, de az AB egyenes határhelyzete nem esik egybe a BC egyenes határhelyzetével, akkor az A, B és C pontokra illeszkedő sík a P pont érintősíkjához közeledik. A felület síkmetszete Annak a görbének a pontjait, melyben a sík a felületet metszi, általában, mint a felület alkotóinak a síkkal való metszéspontjait határozzuk meg. Ha azonban a felület származtatásából előre megállapíthatjuk a metszetnek olyan tulajdonságait, amelyek alapján a metszésvonal pontjait síkgeometriai szerkesztéssel határozhatjuk meg, akkor csak a metszésvonal megszerkesztéséhez szükséges adatokat keressük meg. Így pl. elemi módon kimutathatjuk, hogy a gömb síkmetszete körvonal; ha tehát e kör középpontját és sugarát meghatároztuk, ezekből a metszésvonal képeit könnyen előállíthatjuk. A metszésgörbe valamely P pontjában az érintő nem más, mint a metszősíknak a felület P pontjához tartozó érintősíkkal való metszésvonala. Mivel a metszet (ami síkgörbe) érintője mindig a görbe síkjában van, másrészt a felületen fekvő görbe bármely pontjának érintője a pontbeli érintősíkban van, tehát a keresett érintő csakis ezen két sík metszésvonala lehet. Valamely pont csak akkor lehet a síkmetszet többszörös pontja, ha a metszősík az illető pontban érinti a felületet. Ha a tóruszt olyan síkkal metsszük, amely egy pontban érinti, akkor a metszetgörbe önmagát átmetsző negyedrendű görbe. Ebben a bizonyos érintési pontban a metszetgörbe érintője nem határozható meg a fent leírt módon, hanem itt a felület Dupin-féle indikátrixát fogjuk használni. Görbe felületek áthatása Két felület közös pontjai általában egy görbét alkotnak, ezt a két felület áthatási- vagy metszésgörbéjének nevezzük. Két felület áthatásának meghatározása visszavezethető felületek síkkal képezett metszésvonalának meghatározására, éspedig oly módon, hogy alkalmasan választott segédsíkok mindegyikével elmetsszük a felületeket. Minden ilyen síkban egy-egy metszet található a felületekből és ezeknek a közös pontjait keressük, majd ezeket a segédsíkoknak megfelelő sorrendben összekötjük. Segédsíkoknak olyan síkokat használunk, melyeknek az adott felületekkel képezett metszésvonalai vagy ezek vetületei könnyen és pontosan megrajzolhatók. Így kúp- és hengerfelületek áthatásának szerkesztésénél olyan síkot fogunk választani, amely mindkét felületet alkotóban metszi. Forgásfelületeknél célszerű a tengelyre merőleges síkot választani, mert ilyen helyzetű sík mindig paralelkört metsz ki a felületből. 49

10 Bizonyos esetben segédsíkok helyett olyan felületeket használunk, melyeknek az adott felületekkel való áthatási görbéjét meg tudjuk szerkeszteni. Metsző tengelyű forgásfelületek esetében olyan gömböket veszünk, melyeknek a középpontja a tengelyek középpontja és mindkét felületet metszik vagy érintik. Ilyenkor egy ilyen gömb két-két körben metszi az eredeti felületeket, ezen gömbi körök metszéspontjai az áthatásnak is pontjai. Ha a gömb érinti valamelyik, vagy mindkét felületet, akkor csak egy közös körük lehet. Ha P két felület közös pontja. Akkor az áthatási görbe P-beli érintője a felületek P-beli érintősíkjának metszésvonala lesz. Valamely pont csak akkor lehet az áthatás többszörös pontja, ha a két felületnek az illető pontban közös érintősíkja van. Erre példa a Viviani-féle áthatás, amely egymást érintő gömbhenger, gömb-kúp, hengerek-kúpok áthatása. Az ilyen áthatásoknál a közös érintkezési pontban az áthatási görbe érintője nem határozható meg az érintő síkok metszésvonalaként. Ekkor a felületek P-beli Dupin-féle indikátrixát fogjuk használni. A felület kontúrgörbéje és képkontúrja A felületnek egy egyenessel párhuzamos érintőhengerén azt a hengert értjük, melynek alkotói az adott egyenessel párhuzamosak, és minden alkotója a felületnek érintője. Ha a felületet egy adott iránnyal párhuzamosan vetítjük, akkor az érintő vetítősugarak érintési pontjainak mértani helye a felület kontúrgörbéje (kontúrvonala). A vetítő érintőhenger és az adott felület közös pontjaihoz tartozó felületi érintősíkok vetítősíkok. Eszerint a kontúrgörbe a felület azon pontjainak összessége, amely pontokban az érintősíkok vetítősíkok. A vetítő érintőhenger képsíkon levő nyomgörbéje, vagyis a kontúrgörbe képe a felület képkontúrja (képkörrajza). A legegyszerűbb esetekben a képkörrajz elválasztja a felület pontjainak képeit azoktól a pontoktól, melyek nem tekinthetők úgy, mint a felület valamely pontjának képe. A felületen fekvő és annak kontúrvonalát metsző görbe képe a metszéspont képében érinti a felület képkörrajzát, mert a görbe és a kontúrvonal érintői a metszéspont érintősíkjában fekszenek, mely vetítősík, tehát a benne fekvő érintők képei egybeesnek (feltéve, hogy a metszéspontban a kérdéses görbéhez és a felület kontúrvonalához húzott érintő nem vetítősugár). Általában a képkontúrokon kívül a felület más vonalait is feltüntetjük a képiesség fokozásához vagy az egyértelműséghez. 50

11 A felületek görbületi viszonyainak jellemzése a felületi görbék görbülete által Tétel Ha valamely sima felületdarabon fekvő két görbének egy közös P pontban közös érintője és közös simulósíkja van, ez a közös simulósík nem esik egybe a felületnek a P ponthoz tartozó érintősíkjával, akkor a két görbének közös a simulóköre is a P pontban. Bizonyítás Tegyük fe1, hogy a két görbe közös t érintőjére merőleges sík egy Q pontban metszi az érintőt, valamint az R l és R 2 pontban a két görbét. Ha a sík oly módon változik, hogy Q, R l és R 2 egyidejűleg P felé közeledik, akkor az R 1 R 2 egyenes, mely PQ-ra merőleges, olyan n határhelyzethez közeledik, mely a felület P-beli érintősíkjában fekszik, és amely a két görbének közös normálisa. A QR l egyenes határhelyzete a g 1 görbe P-beli simulósíkjában lévő n 1 főnormálisa. A QR 2 egyenes határhelyzete pedig a g 2 görbe P-beli simulósíkjában lévő n 2 főnormálisa. Mivel a két görbének közös a P-beli simulósíkja, az előbbi főnormálisok megegyeznek. Ha n és n l =n 2 nem esnek egybe, akkor a görbületi sugarak arányára (felhasználva a korábbi definíciót) 2 2 ρ PQ PQ 1 QR 2 = lim : lim 1 ρ = = 2 QR1 QR, 2 QR1 mert a QR 1 és QR 2 közötti különbség határhelyzetben 0, ha Q, R l és R 2 egyidejűleg P felé közeledik. Ekkor a két simulókör sugara megegyezik. Ez a tétel akkor is helyes, ha a simulókör sugara 0 vagy. A tétel alapján nagyon sok olyan felületi görbe van, melyek egy adott pontban úgy érintkeznek, hogy ott a simulóköreik is közösek. Érdemes kiválasztani azt a síkgörbét, melyet ez a közös simulósík metsz ki a felületből. Egy adott érintő rögzítése után az érintőre illeszkedő síksor elemei (az érintősík kivételével) lehetséges simulósíkok. Tétel Legyen t valamely sima felületdarab érintője a P pontban. Ha a t érintőn áthaladó és a P ponthoz tartozó érintősíktól különböző valamely Σ 1 sík olyan görbében metszi a felületet, melynek a P pontban meghatározott simulóköre van, akkor a t érintőn áthaladó valamennyi sík (az érintősík kivételével) olyan görbében metszi a felületet, melynek a P pontban meghatározott simulóköre van, és ezek a körök egy olyan gömbön helyezkednek el, amely a felületet a P pontban érinti. 51

12 Bizonyítás Tegyük fe1, hogy egy t-re merőleges sík a t-n áthaladó Σ 1 síkban fekvő g l felületi görbét az R l pontban, a Σ 2 síkban fekvő g 2 felületi görbét az R 2 pontban, a t érintőt pedig a Q pontban metszi. Közelítsük Q-t és ezzel együtt R l -et és R 2 -t a P felé. A QR l és QR 2 egyenesek iránya állandó, mert a Σ 1 és Σ 2 síkokból ugyanolyan állású síkok metszik ki. Az R 1 R 2 egyenes határhelyzete az érintősíkban fekszik és t-re merőleges. Jelölje a P-beli érintősík és a Σ 1 sík hajlásszögét α 1, a P-beli érintősík és a Σ 2 sík hajlásszögét α 2. A QR 1 R 2 háromszögben az R 1 -nél lévő szög β 1, az R 2 - nél lévő szög β 2. A sinus-tételt felhasználva QR sinβ sinα lim lim = QR sinβ sinα = Az utolsó egyenlőség azért teljesül, mert határhelyzetben az α 1 és β 1, valamint az α 2 és β 2 a váltószög helyzethez tart. Ebből ρ PQ lim PQ sinα lim PQ sinα = lim = = = ρ1 QR 2 lim QR 2 sinα1 lim QR1 sinα1 vagyis ha a Σ 1 síkban fekvő metszetnek meghatározott simulóköre van, akkor a Σ 2 síkban fekvő metszetnek is meghatározott simulóköre van, és e két kör sugara úgy viszonylik egymáshoz, mint sinα 2 :sinα 1. Ebből következik, hogy a két kör egy gömbön van, mely a P pontban érinti a felületet. Ez az eredmény akkor is helyes marad, ha a Σ 1 síkban fekvő metszet simulókörének sugara végtelen nagy vagy zérus; az első esetben az említett gömb az érintősíkba megy át, a második esetben pedig ponttá zsugorodik össze. A t érintőn áthaladó különböző síkok között van egy olyan, mely magában foglalja a felület normálisát, ennek a síknak a felülettel való metszetgörbéjét normálmetszetnek, a többi sík metszetgörbéjét ferde metszetnek nevezzük. 52

13 Következmény: A ferde metszet görbületi sugara (egészen pontosan a P ponthoz húzott sugár) a normálmetszet görbületi sugarának vetülete a ferde metszet síkján; azaz: ρ=ρ n cos ϕ, ahol ρ a ferde metszet, ρ n a normálmetszet görbületi sugara, ϕ pedig a ferde metszet és a normálmetszet síkja által bezárt szög. (MEUSNIER tétele). Példa: A rajz síkjával párhuzamos tengelyű kúpnak olyan metszeteit látjuk, amelyeknek síkjai a kúpnak a rajz síkjára merőleges a érintőjében találkoznak. A kontúron lévő alkotó és az a érintő metszéspontja az A pont. Az ábrán egy kör-, ellipszis-, parabola-, hiperbolametszet síkja van feltűntetve. Ezen metszetekhez tartozó görbületi körök egy gömbön helyezkednek el. A gömb középpontját a kúp A ponthoz tartozó normálisa metszi ki a kúp tengelyéből. A gömb és a kúp egy paralelkör mentén érintkeznek. Ennek a körnek bármely pontjában vennénk az előbbi eljárással a Meusnier-gömböt, akkor azt tapasztalnánk, hogy a paralelkör pontjaiban, a forgástengelyre merőleges érintő esetén ez a gömb állandó. A metsző síkok ebből a gömbből metszik ki az egyes metszetek görbületi köreit. Ezek az ábrán (mivel vetítősíkban vannak) egy-egy szakasznak látszanak, melyeket vastag vonallal rajzoltam. A körmetszet esetén a görbületi kör önmaga, a görbületi középpont pedig maga a kör középpontja. (A kör középpontja az O merőleges vetülete a körmetszet síkján.) 53

14 Az ellipszismetszet esetén a második képen a nagytengely valódi méretben látszik, azaz az A B távolság. Az ellipszis középpontja felezi az AB szakaszt, és az ellipszis kistengelyének C és D végpontja a második képen megegyezik a középpont képével. Az első képen a metszet vetülete szintén ellipszis, melynek most a kistengelye látszik valódi méretben. A második képen az A ponthoz tartozó görbületi kör átmérő hosszúságú, 2ρ-val jelölt szakaszban látszik. Az metszetellipszis valódi mérete a tengelyek ismeretében már megadható. De ha csak a második kép áll a rendelkezésünkre, akkor is megadható a valódi méret a nagytengely és a 2 b ρ görbületi sugár ismeretében. Az A pontban a ρ = a képlettek számolható ki, ahol az a és b az ellipszis nagy- és kistengelyének a felét jeleneti. Átrendezve ρ a=b 2, amely azt jelenti, hogy ρ+a hosszúságú szakasz fölé Thalesz kört írunk, és a szakaszok találkozásánál merő-legest állítunk a szakaszok egyenesére. Az így kapott derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága éppen b. (magasságtétel) Ez alapján az ellipszis valódi mérete megadható. Az a egyenest tartalmazó parabolametszet síkja a jobboldali kontúralkotóval párhuzamos. (Ez az alkotó nem metszi a síkot, de minden másik már igen.) Az A pontbeli görbületi középpont az O merőleges vetülete a metszet síkján: O A. A Dandelin-gömb felhasználásával határozhatjuk meg a parabola metszet fókuszát. A Dandelingömb érinti a kúpot (ezért van a középpontja a kúp tengelyén) és a metszet síkját, a síkkal való érintési pont éppen a metszet fókusza. (Igazolás nélkül: a Dandelin-gömb középpontja megegyezik az a egyenest tartalmazó körmetszet középpontjával.) Most csak a második képet használjuk, az A pont a metszet csúcspontja, a parabola tengelye párhuzamos a második képsíkkal ezért a rajta lévő szakaszok valódi nagyságban látszanak. F felezi az A O A szakaszt. Ezen adatok alapján a metszet valódi mérete meghatározható. 54

15 A hiperbolametszet most a kúp tengelyével párhuzamos második vetítősíkban van. Mivel az első kép nem lenne szemléletes és a metszet valódi méretét sem mutatja, ezért a harmadik képet fogjuk felhasználni. A hiperbola síkja párhuzamos a harmadik képsíkkal, ezért a metszet a harmadik képen valódi méretben látszik. A hiperbola egyik fókuszát a feltűntetett Dandelin-gömb F érintési pontja adja, amely a harmadik képen egybeesik a Dandelin-gömb O D középpontjával. A hiperbola A pontbeli görbületi középpontja a Meusnier-gömb O középpntjának a vetülete a metsző síkon: O A. A harmadik képen az O és O A szintén egybeesik. Az a pont a hiperbola egyik csúcspontja, az a egyenes az egyik csúcsérintő. A hiperbola aszimptotái párhuzamosak a kúp g 1 és g 2 alkotóival, ezek az alkotók nem metszik a hiperbola síkját. Az aszimptotákat a hiperbola síkja g 1 és g 2 alkotók mentén vett érintősíkokból metszi ki, az érintő síkok harmadik vetítősíkok, ezért az aszimptoták fedik a g 1 és g 2 -t a harmadik képen. A harmadik képen az O pont úgy szerkeszthető, hogy az A ponton áthaladó paralelkör pontjában a felületi normálist vesszük. Legyen ez a pont a g 1 alkotón lévő pont, amely a vonalakat tekintve egybeesik az aszimptota és csúcsérintő metszéspontjában az aszimptotára állított merőlegessel. Meusnier-tétele alapján meghatározhatjuk akármely felületi görbe görbületét, ha ismerjük a normális metszetek görbületi sugarait. Kérdés, hogy miképpen változik a normális metszetek görbülete, ha a metszősíkot a felület normálisa körül forgatjuk. 55

16 Mérjük fel a P ponton átmenő minden érintőre a P ponttól számítva az általa meghatározott normális metszet görbületi sugarának hosszából vont pozitív négyzetgyököt; az ily módon kapott pontok görbét alkotnak, mely görbét a P ponthoz tartozó Dupinféle indikátrixnak nevezzük. Az indikátrix lehet ellipszis, konjugált hiperbolák (azaz olyan két hiperbola melyeknek közösek az aszimptotái, és egyiknek a valós tengelye megegyezik a másik képzetes tengelyével, és viszont), vagy két párhuzamos egyenes. A P pontot az első esetben elliptikus pontnak, a második esetben hiperbolikus pontnak, a harmadik esetben parabolikus pontnak nevezik. Ha a P elliptikus pont, akkor a P elegendő kicsiny környezetében a felület az érintősíknak egyik oldalán marad. Ha a P hiperbolikus pont, akkor a felület P-ben átmetszi az érintősíkot. Végül, ha a P parabolikus pont, akkor lehet, hogy P pont bármely környezetében találunk olyan pontot, amely a P-beli érintősíkon van. Vannak olyan felületek, amelyeken mind a háromféle pont előfordul. A parabolikus pontok rendesen határvonalat képeznek a felület elliptikus és hiperbolikus pontjai között. A kúp, henger és kifejthető felület egy alkotójának általános helyzetű pontja parabolikus pont. Térjünk vissza az indikátrixhoz. Az indikátrix tengelyei azon normálmetszetek érintői; amelyeknek görbületi sugara a legnagyobb, illetve legkisebb. E normális metszeteket fő normálmetszeteknek, a hozzájuk tartozó görbületi sugarakat főgörbületi sugaraknak nevezzük. Mindig két fő normálmetszet van, és hogy ezeknek síkjai egymásra merőlegesek. Elliptikus pont esetében előfordulhat, hogy az indikátrix kör. Akkor az összes normális metszetek görbületi sugarai egyenlők. A felület ilyen pontja gömbi pont. A gömbnek minden pontja gömbi pont (mert a normális metszetek görbületi sugarai a gömb sugarával egyenlők), innen származik az elnevezés. Hiperbolikus pont esetén érdemes külön megjegyeznünk, hogy azok a normálmetszetek, amelyek az indikátrix aszimptotáit érintik, szétválasztják azokat a normális metszeteket, amelyeknek görbületi középpontja az érintősík különböző oldalán van. Az aszimptotákat érintő normális metszetek görbületi sugara végtelen nagy. A felületek Dupin-indikátrixát bizonyos szerkesztéseknél fel fogjuk használni: Ha a P a felület hiperbolikus pontja, akkor a P-beli érintősíkkal való metszés során az érintési pont a metszetgörbe csomópontja, azaz a görbének az érintési pontban két érintője van. (Ilyet találunk, ha a tóruszt olyan síkkal metsszük, amely egy hiperbolikus pontban érinti a felületet.) A felület P pontjának érintői közül kiemelendők azok, melyek az érintősík metszetgörbéjét érintik a P pontban; ezek a felület inflexiós érintői. Egy hiperbolikus pontbeli inflexiós érintők éppen a hiperbola indikátrix aszimptotái. Ha a P a felület parabolikus pontja, akkor a P-beli érintősíkkal való metszés során az érintési pont a metszetgörbe önérintkezési pontja, azaz a görbének az érintési pontban egy érintője van. Parabolikus pontbeli inflexiós érintő a végtelen nagy görbületi sugarú főmetszet érintője. Általánosságban, ha két felület egy pontban érintkezik és metszi egymást, akkor az érintési ponton keresztülmenő egyes ívekhez ebben a pontban húzott érintők a két felület 56

17 indikátrixainak közös (metszési vagy érintkezési) pontjain keresztülmenő egyenesek. (Az áthatás általános pontjában az érintő a két felület adott pontbeli érintősíkjának metszésvonala. Az érintkező felületek esetén ebben a pontban ugyanaz az érintősík. Így nem lehet elmetszeni azokat egymással.) Ha az indikátrixok metszik egymást, az érintkezési ponton a görbének két különböző ága megy keresztül, és a kettősponton keresztülmenő két érintő is különböző. Ebbe a típusba tartoznak a Viviani-féle görbék érintési ponton áthaladó érintői. Ha az indikátrixok egy átmérő végpontjaiban érintkeznek, az érintkezési ponton a görbe vagy egyszerűen megy keresztül, vagy kétszer megy ugyan keresztül, de a rajta keresztülmenő görbeágakhoz ebben a pontban húzott érintők egybeesnek. 57

18 Kúp- és hengerfelület származtatása és ábrázolása Kúpfelületet vagy röviden kúpot ír le egy egyenes, ha állandóan keresztülmegy egy rögzített M ponton és mozgása közben állandóan metsz egy tetszőleges g rögzített helyzetű görbét; az M pont a kúp csúcspontja, a g görbe a kúp vezérgörbéje, az egyenes egymás után elfoglalt helyzetei a felület alkotói. Általában feltétel, hogy minden alkotónak pontosan egy közös pontja legyen a vezérgörbével. Ha a vezérgörbe síkgörbe, akkor ez a feltétel azt jelenti, hogy a kúp csúcsa ne illeszkedjen a vezérgörbe síkjára. A kúpot a csúcsa általában két részre, két palástra osztja; a kúp csúcsából kiinduló és a vezérgörbét metsző félegyenesek alkotják az egyik palástot, ezek meghosszabbításai a másikat. Hengerfelület vagy rövidebben henger akkor keletkezik, midőn egy egyenes állandóan önmagával párhuzamosan mozog, s közben állandóan metsz egy megadott g görbét; a g görbe a vezérgörbe, a mozgó egyenes különböző helyzetei a felület alkotói. A hengerfelület olyan kúpfelület, amelynek csúcspontja a végtelenben van. A vezérgörbére nézve teljesen mindegy, hogy térbeli vagy síkbeli görbe; minden vonal, mely a felületen fekszik és mely annak valamennyi alkotóját metszi - tehát egyebek között a felületnek bármely síkmetszete is, mely a csúcsot nem tartalmazza, illetve a henger alkotóival nem párhuzamos - a felület vezérgörbéjének tekinthető. Áltatában a vezérgörbét síkgörbének választjuk. Ha a kúpok vagy hengerek sík vezérgörbéi algebrai görbék, tehát meghatározott rendszámúak, akkor a kúpok, illetve hengerek maguk is ugyanolyan rendűek. Mi másodrendű (röviden mr.) kúp- és hengerfelületekkel fogunk foglalkozni, vagyis olyan felületekkel, amelyeknek vezérgörbéje mr. görbe, tehát kör, ellipszis, hiperbola vagy parabola (összefoglaló néven kúpszelet). Ha vezérgörbének egy kört választunk, akkor körkúpot, illetve körhengert nyerünk. A körkúpot, ha csúcsa a kör középpontján keresztülmenő és annak síkjára merőlegesen álló egyenesen van, egyenesnek, máskülönben ferdének mondjuk. A körhenger is egyenes vagy ferde aszerint, hogy az alkotók a kör síkjára merőlegesen vagy ferdén állanak. A mr. kúpok egymástól lényegileg nem különböznek, mert látni fogjuk - minden mr. kúpot bármely mr. görbe szerint lehet síkkal metszeni. De a mr. hengerek különbözők aszerint, hogy vezérvonaluk ellipszis (ide értve a kört is), hiperbola vagy parabola, s ezért a mr. hengereket ezen esetekben elliptikus, hiperbolikus. vagy parabolikus hengernek nevezzük. Kúp- és hengerfelület ábrázolása Feltesszük a továbbiakban, hogy a kúpfelület vezérgörbe (amely síkgörbe) és csúcsa által, a hengerfelület pedig vezérgörbe és az alkotók iránya által adott. Szerkesztéseinknél a vezérgörbét síkjával s egyik képével adjuk meg. Ennek különös eseteként tárgyalhatók a képsíkban fekvő vezérgörbék, amelyeket a felület nyomgörbéjének nevezünk. Ezek szolgáltatják a kúp- és hengerfelületek meghatározásához a legalkalmasabb vezérgörbéket, mert ezek egyik képe az eredetivel egybevágó, másik képe pedig a képsíktengelybe esik. Feltesszük tehát, hogy a kúp és hengerfelület meghatározására szolgáló vezérgörbe az első képsíkban van. A kúp és a henger azon alkotói, mely alkotók mentén az érintősík vetítősík, a felület kontúralkotói. Megkülönböztetünk első és második kontúralkotókat. Az első kontúralkotók 58

19 menti érintősíkok első vetítősíkok; a második kontúralkotók menti érintősíkok második vetítősíkok. A kontúralkotók képezik a megfelelő képen a felület képkörrajzát. Az ábrákon az A és B pontokon áthaladó alkotók a kúp és henger első kontúralkotói, a C és D pontokon áthaladó alkotók pedig a második kontúralkotói. Ugyanis az MA és MB alkotóban az érintősík, melyet maga az alkotó s ennek a vezérgörbével való metszéspontjában e görbéhez húzott érintő határoz meg, vetítősík, mert az A-n és B-n keresztülmenő alkotónak és a vezérgörbe A és B pontjában az érintőnek közös képe van. Hasonlóképp a C-n és D-n keresztülmenő alkotók érintősíkjai merőlegesek a második képsíkra, mert a vezérgörbe C és D pontjának érintőin mennek keresztül, amelyek merőlegesek a második képsíkra. Lehet a kúpfelület olyan, hogy valamely képen kontúralkotója nincsen, pl. a képsíkon álló egyenes körkúp, vagy olyan ferde körkúp, amely csak kicsit dől (A csúcspont első képe a vezérkörön belül, vagy a vezérkörön van). Ha a hengerfelület összes alkotói vetítősugarak, akkor a henger minden alkotója kontúralkotó, ez esetben a hengerfelületnek a szokásos értelemben nincs képkörrajza, de van képe, mely nem más, mint a vezérgörbe megfelelő képe. Ábránkon az első kontúralkotók a kúpot és hengert két részre osztják; az egyik rész az első képen látható, a másik pedig el van takarva. Hasonlóképp a második kontúralkotók is két részre osztják a felületet; az egyik rész a második képen látható, a másik pedig nem látható. Két-két alkotónak, pl. az E és F pontokon átmenő alkotóknak közös első képe van. A kúpnak a csúcspont és vezérgörbe által határolt részén ME az MF-et az első képen fedi; ezt mutatják az ME, MF alkotók második képei. Ugyanígy a második képen a kúp ME alkotója látható, de az MF alkotó nem látható. Általában az első képen a vezérgörbe ACEB ívének pontjain keresztülmenő alkotók láthatók, s a többiek nem láthatók, a második képen pedig a vezérgörbe CEBD ívének pontjain keresztülmenő alkotók láthatók, s a többiek nem. 59

20 A hengernél az első képen a vezérgörbe AFDB ívének pontjain keresztülmenő alkotók láthatók, a többiek nem láthatók, a második képen pedig a CAFD ív pontjain keresztülmenő alkotók láthatók, a többiek nem. Ha a kúpfelület egy P pontjának egyik képe, pl. P adott, akkor a második képét úgy határozzuk meg, hogy megrajzoljuk a P ponton keresztülmenő alkotó első képét azáltal, hogy P -t összekötjük M -vel. Ennek c -vel ( a c vezérgörbe első képével) való metszéspontját felvetítve c -re, az így nyert pontnak M -vel való összekötése adja a P-n keresztülmenő alkotó második képét. Ezen rendezővel határozzuk meg P -t. Az M P egyenes c -t kétszer metszi, ily módon ez tulajdonképpen két különböző alkotónak az első képe; ennek megfelelően két különböző megoldást kapunk, P 1 és P 2 -t. A kúpfelület érintősíkját ezen P l vagy P 2 pontban, (azaz az MP l, illetve MP 2 alkotó egész hosszában) meghatározza maga az alkotó s ennek a vezérgörbével való metszéspontjában e görbéhez húzott érintő. Hasonlóképpen járunk el a hengerfelület esetében is. Adjuk meg a hengerfelületen levő P pontnak első képét, P -t! A második képet ebből úgy kapjuk meg; hogy P -n keresztül az alkotók első képével párhuzamos egyenest húzunk; ez metszi c -t két pontban, ezeknek második képein keresztül az alkotók második képével párhuzamos egyeneseket húzunk, amelyeken rendezővel megkaphatjuk a P -nek megfelelő második képeket, P 1 -t és P 2 -t. Az érintősíkot ezen pontokban is a rajtuk átmenő alkotó s ennek a vezérgörbével való metszéspontjában e görbéhez húzott érintő határozza meg. Érintési feladatok Meghatározandók a kúpfelületnek egy adott P ponton áthaladó érintősíkjai. A kúp minden érintősíkja illeszkedik az M csúcspontra, tehát az MP egyenes a keresett érintősíkban fekszik. A kúp minden érintősíkjának nyomvonala a vezérgörbe síkjábann a vezérgörbe érintője. Ekkor a keresett érintősíkok nyomvonalai az MP egyenes és a vezérgörbe síkjának D metszéspontjából a vezérgörbéhez húzott érintők lesznek. A megfelelő érintési pontokra illeszthető alkotók, és az előbbi nyomvonalak meghatározzák a keresett érintősíkokat. Mindig annyi érintősík van, ahány érintő a húzható a vezérgörbéhez a D pontból. Határozzuk meg a kúpfelületnek adott l egyenessel párhuzamos érintősíkjait! Az adott l egyenessel párhuzamos érintősík tartalmazza a kúp M csúcspontján átmenő és az adott l egyenessel párhuzamos MD egyenest, tehát ennek a vezérgörbe síkjával való döféspontjából, D-ből a vezérgörbéhez húzott érintők és a hozzájuk tartozó érintési ponton átmenő alkotók megadják a keresett érintősíkokat. A feladatot felfoghatjuk úgy is, hogy a P pont, amelyből a kúphoz húzható érintősík szerkesztendő, a tér egy végtelenben fekvő pontja, egy 1 egyenes irányával jellemzett pont. Mindezeket a feladatokat megoldhatjuk akkor is, ha a kúp csúcspontja nem végesben, hanem végtelenben van, vagyis amikor a kúp átmegy a hengerbe. Határozzuk meg adott hengerfelületnek egy P ponton átmenő érintősíkjait. Az eljárás ugyanaz, mint az előbb, a végtelenben levő csúcsot összekötjük P-vel, vagyis párhuzamost húzunk P-n át a henger alkotóival; ezen egyenesnek a vezérgörbe síkjával való D döféspontjából érintőket húzunk a henger vezérgörbéjéhez. A keresett érintősíkokat megadják az érintők és a hozzájuk tartozó érintési pontokból induló alkotók. Meghatározandók a henger adott l egyenessel párhuzamos érintősíkjai. Az 1 egyenesen át a henger alkotóival párhuzamos síkot fektetünk, ezt úgy végezhetjük, hogy az l egyenesen felveszünk egy P pontot, és ezen át párhuzamost 60

21 húzunk a henger alkotóival, s akkor ezen m egyenes és az 1 egyenes meghatározza a síkot; ez a sík a vezérgörbe síkját az s egyenesben metszi. Az s egyenessel a vezérgörbéhez párhuzamosan húzott érintők a megfelelő érintési pontokon átmenő alkotókkal meghatározzák az érintősíkokat. Adott a kúpfelület vezérgörbéje (síkja és első képe által, melyet egyszerűség kedvéért körnek veszünk) és csúcspontja, M; meghatározandók a képkörrajzok. Az első kontúralkotók első képe érinti a vezérgörbe első képét, tehát nem más, mint a kúp az M -ből a vezérgörbe első képéhez húzható érintők. Ezekből a második képeket úgy szerkeszthetjük meg, hogy az alkotók adott síkkal képezett döféspontjának (ami nem más, mint az érintési pont) második képét összekötjük a csúcs második képével. A második kontúralkotókat ily módon nem szerkeszthetjük meg, mert a vezérgörbe második képe nem ismeretes, de tudjuk azt, hogy a második kontúralkotókban az érintősík vetítősík, vagyis párhuzamos a második képsíkra merőleges l egyenessel. Ezáltal feladatunkat az előzőkben tárgyalt feladat alapján megoldhatjuk. M-en át a második képsíkra merőleges egyenest húzunk, és meghatározzuk ennek a vezérgörbe síkjával való D döféspontját, melynek második képe összeesik M -vel (M =D ), első képét pedig (mint síkon levő pont első képét) fővonal segítségével határozzuk meg. D -ből a vezérgörbe első képéhez, c -höz érintőket húzunk, ezeknek második képe, " x k 2 és k " 2 megadják a második képkörrajzot. Ha vesszük a fáradtságot és a második képen előállítjuk a vezérgörbe második képét (pontosabban az ott látható " x" ellipszis adatait), akkor k 2 és k 2 éppen az M -ből az ellipszishez húzott két érintő lesz. A görbe felület kontúrját gyakran a felülettel érintkező egyszerűbb felület segítségével pontonként szerkesztjük. A legalkalmasabb segédfelület a gömb. Második képsíkkal párhuzamos tengelyű forgáskúp csúcsa az M pont, alapkörének második képe a C D átmérő hosszúságú szakaszban látszik. Az alapkör mentén érintő gömb középpontját az alkotóra C -ben emelt merőleges metszi ki a kúp tengelyéből. Megrajzoljuk a gömb első kontúrjának (az első képsíkkal párhuzamos főkör) képeit, majd a kontúr 61

22 síkjának és az alapkör síkjának metszésvonalát. Ez a metszésvonal a második képsíkra merőleges, mivel az előbbi síkok is merőlegesek voltak rá. A metszésvonal az U és V pontokban metszi a gömb kontúrkörét, ezekben a pontokban a kúp és gömb érintősíkjai közösek, ezért nemcsak a gömb, hanem a kúp kontúrpontjait is meghatároztuk. A kúp két első kontúralkotója az MU és MV. (A második képen fedőegyenesek.) Ha a kúp tengelye egyik képsíkkal sem párhuzamos, akkor ez a helyzet egyetlen transzformációval elérhető. Adott a henger vezérgörbéje, c és alkotóinak iránya, m; meghatározandók a képkörrajzok. Az első kontúralkotók első képeit, mivel a vezérgörbe első képe meg van rajzolva, közvetlenül megkaphatjuk azáltal, hogy m -vel párhuzamos érintőket rajzolunk a vezérgörbe első képéhez. Az első kontúralkotók második képeit megkapjuk, ha az érintési pontok második képeit, mint síkon levő pontok második képét meghatározzuk, s az így nyert pontokon át párhuzamosat húzunk m -vel. A második kontúralkotókat a következőképpen nyerjük. Tudjuk azt, hogy a második kontúralkotóban az érintősík m-mél párhuzamos rnásodik vetítősík. Az m egyenesen átmenő második vetítősíknak meghatározzuk az adott síkkal való metszésvonalát, m-et. Ennek első képével párhuzamos érintőket húzunk a vezérgörbe első képéhez. Ezeknek az érintési pontjain mennek át a második kontúralkotók első képei, melyeknek második képeit az első kontúralkotók második képének meghatározásával azonos módon határozzuk meg. Ezek szolgáltatják a második képkörrajzot. Ha a második képen előállítjuk a vezérgörbe második képét (pontosabban az ott látható " x" ellipszis adatait), akkor k 2 és k 2 éppen az ellipszishez m -vel párhuzamosan húzott két érintő lesz. 62