- Levelek: operandusok - Csomópontok: operátorok. Fenti kifejezés: (x+ (y 10)) * (6 / z) Bináris Keresőfa (BST) Példa bináris keresőfára.

Átírás

1 Fák Fa definíciója Fa(Tree): csomópontok(nodes) halmaza, amelyeket élek(edges) kötnek össze, és teljesülnek az alábbi feltételek: - létezik egy kitűntetett csomópont: a gyökér (root) - a gyökértől különböző minden más C csomópont egy éllel van összekötve szülőjéhez - a fa összefüggő: bármely nem-gyökér csomóponttól kiindulva a szülőkön keresztül a gyökérhez eljutunk A gráfelmélet alapján fa definíciója: olyan gráf, amelyik - összefüggő - nem tartalmaz kört Alapfogalmak - Ha (v,w) ε E, akkor v-t a w szülőjének nevezzük - Ha u-ból vezető út w-be, akkor u a w őse, w az u leszármazottja - Ha u w, akkor valódi ős illetve leszármazott - Valódi leszármazottal nem rendelkező csomó-pont a fa levele - Egy s csomópont az összes leszármazottjával együtt F részfáját alkotja Ennek gyökere s - Erdő: fák együtteséből álló irányított gráf F=(V,E) U V S W Y Z Fa jellemzői - Csomópont mélysége: a gyökértől a hozzá elvezető út hossza - Csomópont magassága: annak az innen kiinduló útnak a hossza, amelyik a leghosszabb a levelekig vezető utak közül - Fa magassága: a gyökér magassága - Csomópont szintje: a fa magassága csomópont mélysége Rekurzív adattípusok - Az adatszerkezet egy része jól leírható egy rekurzív szerkezettel is, ami fizikailag hasonló tárolást, de egészen más algoritmusokat eredményezhet - TLista = Struktúra (tartalom, következő) A lista rekurzív értelmezése szerint minden eleme felfogható egy tartalom résszel, és egy másik ( a következő mutató által mutatott elemmel kezdődő) listával rendelkező szerkezetként - TFa = Struktúra ( tartalom, fák ) Egy fa egy eleme elképzelhető egy tartalom résszel, és további részfákkal rendelkező struktúrával - TBinárisFa = Struktúra (tartalom, balfa, jobbfa) Bináris a hasonló mint egy fa, csak definíció szerint legfeljebb két másik fát tartalmazhat Bináris Fa eleme - Bináris fa egy elemének a definíciója: TBinFaElem = Struktúra (tartalom, balgyerek, jobbgyerek) - Tartalom (példában: tart): tárolandó adat o Egyszer vagy összetett típus, objektum-referencia - Balgyerek, jobbgyerek: a csomópont baloldali illetve jobboldali részfáinak a gyökerére hivatkozik (bal, jobb) - A listához hasonlóan a gyerek mezőkben egy kitűntetett érték jelzi, ha hiányzik (példában: ø) - Általában egy külső változó tartalmaz egy hivatkozást a fa gyökérelemére (gyökér) - A csomóponton belül egyéb mezők is lehetnek, pl gyakran tároljuk a szülő címét is

2 Példa bináris fára Aritmetikai kifejezés fa: gyökér * - Levelek: operandusok - Csomópontok: operátorok + / Fenti kifejezés: (x+ (y 10)) * (6 / z) - 6 Z Y 10 Bináris Keresőfa (BST) - Rendezett Fa, emiatt pontosítjuk a struktúrát - TBSTElem = Struktúra (kulcs, tartalom, balgyerek, jobbgyerek) - Kulcs alapján rendezett: a fa minden r csomópontjára igaz, hogy r baloldali részfája legfeljebb rkulcs nagyságú, r jobboldali részfája pedig legalább rkulcs nagyságú kulcsokat tartalmaz - A rendezés természetesen lehet fordított is - A kulcs lehetséges megvalósításai o Különálló kulcs mező o A kulcs a tartalom része o A kulcs a tartalomból számítható érték Példa bináris keresőfára gyökér Megjegyzések: - a későbbiekben a záró ø eket nem jelöljük, az algoritmusokban azonban számítunk ezekre - Üres fa esetén: gyökér = ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø

3 Bejárás - Bejárás: az adatszerkezet valamennyi elemének egyszeri elérése (feldolgozása) - A láncolt listához hasonlóan a bejárás algoritmusa független a végrehajtandó tevékenységtől, ezért az algoritmuson belül csak utalást teszünk erre - Mivel a láncolt listával ellentétben egy elemből több irányban is tovább lehet lépni, többféle bejárás is elképzelhető - A csomópontokban található adatok (tartaom, bal, jobb) feldolgozásának sorrendje alapján három fő változat különböztethető meg (ezen belül bal és jobb megcserélhető): o PreOrder bejárás: tartalom, bal, jobb o InOrder bejárás: bal, tartalom, jobb o PostOrder: bal, jobb, tartalom PreOrder bejárás Rekurzió Eljárás PreOrder(p) Ha p ø akkor Feldolgozás(p) PreOrder(pbal) PreOrder(pjobb) Eljárás Vége Bejárás indítása PreOrder(gyökér) # teljes fa bejárása PreOrder(p) # részfa bejárása (Gyakorlati alkalmazás: fa elmentése) PostOrder bejárás Rekurzió Eljárás PostOrder(p) Ha p= ø akkor PostOrder(pbal) PostOrder(pjobb) Feldolgozás(p) Eljárás Vége Bejárás indítása PostOrder(gyökér) # teljes fa bejárása PostOrder(p) # részfa bejárása (Gyakorlati alkalmazás: fa felszabadítása) InOrder bejárás Rekurzió Eljárás InOrder(p) Ha p= ø akkor InOrder(pbal) Feldolgozás(p) InOrder(pjobb) Eljárás Vége Bejárás indítása InOrder(gyökér) # teljes fa bejárása InOrder(p) # részfa bejárása (Gyakorlati alkalmazás: elemek elérése rendezés szerinti sorrendben, növekvő vagy csökkenő)

4 Keresés BST-ben - Alapelv: a fa gyökérelemének kulcsa vagy egyenlő a keresett kulccsal, vagy egyértelműen meghatározza, hogy melyik részfában kell keresést folytatni - Ez ugyanúgy igaz a teljes bináris fa gyökérelemére, illetve bármelyik (a keresés során elért) részfájának gyökerére - A keresés menete (keresendő kulcs: x) o Bázis Ha T üres, akkor nincs x benne Ha T gyökerének cimkéje x, akkor talált o Indukció (legyen T gyökerének kulcsa y) Ha x < y akkor x-et a bal részfában Ha x > y akkor a jobb részfában keressük Keresés algoritmusa Kulcs alapján keresés Függvény Keresés(p, mitkeres) Ha p ø akkor Ha pkulcs = mitkeres akkor Keresés! p Ha pkulcs > mitkeres akkor Keresés! Keresés (pbal, mitkeres) Keresés! Keresés(pjobb, mitkeres) Keresés! ø Függvény Vége * átlagos lépésszám (kiegyensúlyozott fában): Ordo(log 2 n) Beszúrás BST-be - A beszúrás során az elem beláncolásán kívül ügyelnünk kell a keresőfa tulajdonság fenntartására is - Ugyanazok az elemek többféleképpen is elhelyezkedhetnek egy bináris keresőfában, beszúráskor ez alapján több stratégiánk is lehet o Minél kisebb erőforrásigény legyen a beszúrás o Minél kiegyensúlyozottabb legyen a fa a beszúrások után - A beszúrás menete (beszúrandó kulcs: x) o Bázis Ha T üres, akkor új csomópontot készítünk x kulccsal és visszatérünk a csomópont címével Ha T gyökerének kulcsa x, akkor visszatérünk a csomópont címével o Indukció (legyen T gyökerének kulcsa y) Ha x < y, akkor x-t bal részfában Ha x > y, akkor a jobb részfába szúrjuk be

5 Beszúrás algoritmusa Új elem beszúrása Függvény Beszúrás(címszerin p, újkulcs) Ha p= ø akkor ElemLétrehozás(p) pkulcs! újkulcs; pbal! ø; pjobb! ø Beszúrás!p Ha pkulcs > újkulcs akkor Beszúrás!Beszúrás(pbal, újkulcs) Ha pkulcs < újkulcs akkor Beszúrás! Beszúrás(pjobb, újkulcs) Beszúrás!p Függvény Vége Törlés BST-ből 1 lépés - A törlés során az elem kiláncolásán kívül ügyelnünk kell a keresőfa tulajdonság fenntartására is - Törlés során az alábbi problémák merülhetnek fel: o Két gyerekkel rendelkező elem mindkét gyerekét nem tudjuk az ő szülőjének egy mutatójára rákapcsolni o Gyökérelem törlése - Törlés 1 lépése (beszúrandó kulcs: x) o Bázis Ha T üres, akkor nincs ilyen elem Ha T gyökerének kulcsa x, akkor töröljük, majd tovább 2 lépésre: BST tulajdonság visszaállítása Indukció Ha x < y akkor x-t a bal részfából Ha x > y akkor a jobb részfából töröljük Törlés BST-ből 2 lépés A) eset: a törlendő csúcspont egy levél, tehét nincsenek gyerek elemei a Pl töröljük a 70-et

6 Törlés BST-ből 2 lépés B) eset: törlendő csúcspontnak csak egy bal vagy csak egy jobb oldali gyereke van a Pl töröljük a 60-et Törlés BST-ből 2 lépés C) eset: a törlendő csúcspontnak bal és jobb oldali gyereke is van a Pl töröljük a -et

7 Törlés algoritmusa Eljárás Törlése(címszerint p, törlendő) Ha p=ø akkor Nincse ilyen elem Külünben Ha pkulcs > törlendő akkor Törlés(pbal, törlendő) Ha pkulcs < törlendő akkor Törlés(pjobb, törlendő) Ha pbal = ø akkor q=p; p!pjobb; ElemFelszabadítás(q) Ha pjobb = ø akkor q=p; p!pbal; ElemFelszabadítás(q) TörlésEset(p, pbal) Eljárás Vége Eljárás TörlésEset(p, címszerint r) Ha rjobb ø TörlésEset(p, rjobb) pkulcs! rkulcs ptart! rtart q! r r! rbal ElemFelszabadítás(q) ELjárás Vége - Baloldali részfa legjobboldalibb elemének megkeresése, és ennek tartalmával felülírjuk a törlendő elemet - Ezt megtehetjük, hiszen ez - Biztosan nagyobb, mint a baloldali elemek és - Biztosan kisebb, mint a jobboldali elemek Miért használjuk A bináris fa előnyei - Rendezett - Ebből adódóan gyors keresés - Relatív gyors elem felvétel - Relatív gyors elem törlés, legrosszabb esetben sincs szükség a fa nagy részének átalakítására - A csomópontok tartalma gyakran egy más adatszerkezet elemére mutat: ideális indexelésre kiegészítő adatszerkezetként A bináris fa hátrányai - bonyolult, lásd bejárások - rekurzióval a műveletek költségesek, illetve maga a rekurzió az OOP nyelvekben gyakran életidegen módon jelenik meg - elemek nem érhetőek el közvetlenül (sőt, maga az indexelés sem egyértelmű, csak a bejárás módjával együtt) - gyors keresés nem garantált, csak kiegyensúlyozott fákban valósul meg - két gyerek címe miatt még nagyobb egy elem helyfoglalása

8 Probléma felvetése - Vizsgáljuk meg az alábbi kettő, adattartalom szempontjából azonos, de szerkezetileg más fákat keresés szempontjából A jobboldali (elfajult) fa keresési szempontból nem ideális, láncolt listához hasonló lépésszámot igényel Kiegyensúlyozott fa - Kiegyensúlyozott fa: legfeljebb egy szintnyi (mélység) eltérés van az egyes (azonos szinten található részfái között) - Teljesen kiegyensúlyozott fa: minden csúcsából leágazó bal- és jobboldali részfa csúcsainak száma legfeljebb egyel különbözik egymáshoz képest - Teljes fa: Minden csúcsból leágazó bal-és jobboldali részfa csúcsainak száma azonos - Célunk: a módosító algoritmusok kiegészítése, hogy minél inkább kiegyensúlyozott (az előző oldalon látható baloldalihoz hasonló) fák építésére törekedjenek - Ennek lehetséges megoldásai: beszúrás s törlés után a fa szerkezetét megváltoztatjuk, például forgatással Forgatás - Forgatás: olyan lokális művelet, amely megváltoztatja a fa szerkezetét, de megőrzi a rendezettséget - Megkülönböztetjük balra- illetve jobbra forgatás műveletét Eljárás Balra-Forgat(x) y! xjobb xjobb! ybal Ha ybal ø akkor ybalszülő! x yszülő! xszülő Ha xszülő = ø akkor gyökér! y Ha xszülőbal = x akkor xszülőbal = y xszülőjobb = y ybal! x xszülő! y Eljárás Vége

9 Piros-Fekete Fa - Piros-Fekete fa: Olyan bináris keresőfa, amely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal o Minden csúcs színe piros vagy fekete o Minden levél színe fekete o Minden piros csúcsnak mindkét gyereke fekete o Bármely két, azonos csúcsból kiinduló és levélig vezető úton ugyanannyi fekete csúcs van (fekete magasság) - Megvalósítással kapcsolatos megjegyzések: o A BST struktúrát kiegészítjük egy új attribútummal, ami jelzi a színt (értéke vagy piros vagy fekete lehet) o Az egyszerűbb algoritmusok miatt tároljuk a csomópontok szüleit is (a gyökérpontok esetén ezt ø-el jelöljük) o Az egyszerűbb algoritmusok miatt tartalommal külön nem foglalkozunk, feltételezzük, hogy amennyiben a kulcsot átmásoljuk, az mindig a kulccsal együtt mozog Megjegyzés: - levélnek a nem ábrázolt ø értékeket tekintjük (ezek kötelezően feketék) - megközelítőleg kiegyensúlyozott: biztosítható, hogy bármely, a gyökértől levélig vezető út hossza nem nagyobb, mint a legrövidebb ilyen út hosszának a kétszerese Piros-Fekete fába beszúrás Eljárás PF-Fába-Beszúrás(x) BinárisFábaBeszúrás(gyökér, x); xszín! PIROS Ciklus amíg x gyökér és xszülőszülőszín = PIROS Ha xszülő = xszülőszülőbal akkor y! xszülőszülőjobb Ha y ø és yszín = PIROS akkor xszülőszín! FEKETE; yszín! FEKETE xszülőszülőszín! PIROS; x!xszülőszülő Ha x=xszülőjobb akkor x!xszülő; Balra-Forgat(x) xszülőszín! FEKETE; xszülőszülőszín! PIROS Jobbra-Forgat(xszülőszülő) Ciklus Vége Gyökérszín! FEKETE Eljárás Vége

10 Piros-Fekete fába beszúrás A eset Y Piros-Fekete fába beszúrás B eset Y Piros-Fekete fába beszúrás C eset Y

11 Piros-Fekete Fa további műveletei - Bejárás o Azonos az egyszerű bináris keresőfánál megismerttel o Piros-fekete tulajdonságoknak nincs szerepe - Keresés o Azonos az egyszerű bináris keresőfánál megismerttel o A piros-fekete tulajdonságnak nincs szerepe - Törlés o Alapja az egyszerű bináris keresőfánál megismert törlés o Kiegészítve egy piros-fekete tulajdonságot biztosító karbantartó eljárással o A beszúráshoz hasonlóan ezt átszínezésekkel és forgatásokkal oldja meg o Nem tárgyaljuk B-Fa - B-Fa: Olyan kiegyensúlyozott keresőfa, amelyet úgy terveztek, hogy hatákonyan lehessen alkalmazni háttértárolón tárolt adatok esetén is - Gyakorlati szempontból a futási időt két összetevőre bontjuk fel o Lemezhozzáférések száma o Központi egység műveleteinek száma - Napjainkban alkalmazott háttértárolók általában nagyságrendekkel nagyobb sebességet tudnak elérni blokkok írása/olvasása során, mintha ugyanezt az adatmennyiséget elemi adatokként írnánk/olvasnánk - A keresés során tehát egy optimalizálási lehetőség, ha a lemezhozzáférések számát blokkonkénti kezeléssel próbáljuk csökkenteni B-Fa további jellemzői: - Ha k i egy kulcs c i gyökerű részfában, akkor: k 1 kulcs 1 k 2 kulcs 2 k n kulcs n k n+1 - Minden levél mélysége azonos: h (fa magassága) - A csúcsokban található kulcsok darabszáma alulról és felülről is korlátos, ezt egy rögzített t számmal lehet kifejezni (B-fa minimális fokszáma): o Minden nemgyökér csúcsnak legalább t-1 kulcsa van, tehát minden belső csúcsnak legalább t gyereke o Minden csúcsnak legfeljebb 2t-1 kulcsa lehet, tehát minden belső csúcsnak legfeljebb 2t gyereke - A kulcsok darabszámára más módon is adhatunk korlátot, mi mindig ezt a definíciót használjuk (egyes szakirodalmak azonban ettől eltérhetnek) B-Fa példa N C F I Q T AB DE DE GH JK OP RS W

12 B-Fa csúcsának szétvágása (t=4) A szétvágás lépései: 1 Új z csúcs létrehozása 2 Az y utolsó t-1 db kulcsának (és ha van, gyerek mutatójának) átmásolása z-be 3 Az y így maradt legnagyobb kulcsának felvitele x-be 4 A z csúcs legyen x gyereke a 3 pontban felvitt kulcs után Megjegyzés: y telített, x nem telített Speciális eset: gyökér szétvágása A I U A E I U Y B C D E F G H Y B C D F G H Z T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 B-Fába új elem beszúrása - Feladat: x csúcsba egy új K kulcs beszúrása - Megkülönböztetett esetek: o x egy levélelem o x egy nem-levélelem o x a gyökérelem és teltett - Minden esetben feltételezzük, hogy az x elem nem telített A) Ha x egy levélelem a a K kulcs helyének megkeresése az xkulcs i k alapján b ez mögötti xkulcs i k hátra léptetése c a K elhelyezése az üres helyre d az xn növelése B) Ha x nem levél a a K kulcsnak megfelelő gyerek meghatározása az xkulcs i k alapján b az így meghatározott gyerek betöltése x-be c ha ez a gyerek telített, szétvágás; vágás esetén ha szükséges (a keresést a létrejött új elemben kell folytatni), x aktualizálása d a beszúrást végző rekurzió folytatása az új csúcson C) Ha x a gyökér és telített a az x szétvágása egy új gyökérelem létrehozásával b a beszúrás rekurzió indítása a megfelelő gyerek csúcsban i A gyökércsúcs kettévágása az egyetlen művelet, amely a B-fa magasságát növeli ii A bináris keresőfával ellentétben tehát a B-fa a gyökerénél nő, és nem a fa alján iii Ennek köszönhetően a B-fa mindig kiegyensúlyozott

13 B-Fába új elem beszúrása 1 A O U A O U B C D E H I B C D E F H I B-Fába új elem beszúrása 2 A O U A F O U B C D E F H I B C D E G H I B-Fába új elem beszúrása 3 E B C D E F G H B C D F G H B-Fából elem törlése Egy x kulcsból K kulcs törlése: A) Ha K az x-ben van és x levél, akkor K kulcs törlése x-ből B) Ha K az x-ben van, és x belső csúcs a Ha van x-nek olyan y gyereke, amelyik tartalmaz egy K-t megelőző kulcsot és legalább t kulcsa van: a K-t közvetlenül megelőző K kulcs felhozatala x-be, majd a törlés folytatása K -re b Hasonló, mint az a, csak K-t közvetlenül követő kulcsot keressük meg c Ha a, b, -ben vizsgált mindkét szomszédos gyereknek csak t-1 kulcsa van, akkor egyesítjük a két gyereket és a törlendő K-t egy közös csúcsban, majd rekurzívan folytatjuk a törlést innen (feltételezzük, hogy x kulcsszáma mindig legalább t!) Feltételezzük, hogy x kulcsszáma mindig legalább t, a k-t tartalmazó csúcs keresése során ezt mindig garantálnunk kell a rekurzió újabb meghívása előtt Lehetőségek: - Ha a következő vizsgálandó y csúcsnak csak t-1 kulcsa van, de valamelyik testvérének t, akkor a testvérből vigyünk fel egy kulcsot a szülőbe, onnan pedig egyet le az y-ba - Ha a következő csúcsnak és testvéreinek is t-1 kulcsuk van, akkor egyesítsük valamelyik testvérével és vigyünk le az így feleslegessé vált kulcsot a szülőből (ha ez a gyökér és az utolsó kulcs, akkor csökken a fa magassága egyel) - További műveletek: Bejárás, keresés (alapelve hasonló a bináris fáknál megismerttel, kibővítve azzal, hogy egy csúcsnak több tartalma és gyereke lehet ( A fa minden szempontból kiegyensúlyozott, tehét keresés szempontjából hatékony) Mivel egy csúcs több kulcsot tartalmaz, így kevesebb csúcsbetöltést igényel