Információelmélet. Informatikai rendszerek alapjai. Horváth Árpád október 29.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Információelmélet. Informatikai rendszerek alapjai. Horváth Árpád. 2015. október 29."

Átírás

1 Információelmélet Informatikai rendszerek alapjai Horváth Árpád 205. október 29.. Információelmélet alapfogalmai Információelmélet Egy jelsorozat esetén vizsgáljuk, mennyi információt tartalmaz. Nem érdekel minket a jelek tényleges jelentése. Ahonnan a jelek jönnek, forrásnak nevezzük. A jelek összességét a forrás jelkészletének (szimbólumkészletének, ábécéjének) nevezzük. Egyszer ség kedvéért feltételezzük, hogy véges számú jel van (diszkrét jelkészlet). Ezt nevezzük diszkrét forrásnak... Információtartalom Mekkora egy jel információtartalma? Mennyi igen-nem válasszal határozhatunk meg egy kártyát a magyarkártya-pakliból? Makk VIII-as (M,VIII) M,VII M,VIII M,IX M,X M,A M,F M,K M,Á T,VII T,VIII T,IX T,X T,A T,F T,K T,Á Z,VII Z,VIII Z,IX Z,X Z,A Z,F Z,K Z,Á P,VII P,VIII P,IX P,X P,A P,F P,K P,Á

2 P,VII Z,VII T,VII M,VII P,VIII Z,VIII T,VIII M,VIII P,IX Z,IX T,IX M,IX P,X Z,X T,X M,X P,A Z,A T,A M,A P,F Z,F T,F M,F P,K Z,K T,K M,K P,Á Z,Á T,Á M,Á P,VII Z,VII T,VII M,VII P,VIII Z,VIII T,VIII M,VIII P,IX Z,IX T,IX M,IX P,X Z,X T,X M,X P,A Z,A T,A M,A P,F Z,F T,F M,F P,K Z,K T,K M,K P,Á Z,Á T,Á M,Á P,VII Z,VII T,VII M,VII P,VIII Z,VIII T,VIII M,VIII P,IX Z,IX T,IX M,IX P,X Z,X T,X M,X P,A Z,A T,A M,A P,F Z,F T,F M,F P,K Z,K T,K M,K P,Á Z,Á T,Á M,Á 2

3 M,VII M,VIII M,IX M,X M,A M,F M,K M,Á T,VII T,VIII T,IX T,X T,A T,F T,K T,Á Z,VII Z,VIII Z,IX Z,X Z,A Z,F Z,K Z,Á P,VII P,VIII P,IX P,X P,A P,F P,K P,Á M,VII M,VIII M,IX M,X M,A M,F M,K M,Á T,VII T,VIII T,IX T,X T,A T,F T,K T,Á Z,VII Z,VIII Z,IX Z,X Z,A Z,F Z,K Z,Á P,VII P,VIII P,IX P,X P,A P,F P,K P,Á Kétféle modellt vizsgálunk a források esetén Legyen egy diszkrét forrás esetén egy jel el fordulási valószín sége független az el z jel(ek) értékét l. (független=independent) IID modell: A jelek egyforma valószín séggel jelennek meg, tehát ha 32 jelem van, mindegyik /32 valószín séggel. (independent, identically distributed). IRD modell: A jelek tetsz leges valószín séggel jelennek meg, tehát hiába van 32 jelem (kártyám), lehet az egyik (pl. piros király) valószín sége /2 is. (Fontos, hogy ebben az esetben minden pillanatban /2 lesz a valószín sége az adott jelnek, akármilyen jelek is voltak el tte.) (independent, randomly distributed). Random jelentései véletlen tetsz leges rendszertelen találomra történ 3

4 A random jelentése itt nem annyira véletlenszer ség, mint inkább tetsz legesség. A valószín - ségek tetsz legesek lehetnek. Kiegészít megjegyzés: A RAM-nál (Random Access Memory) sem véletlenszer en férek hozzá az egyes bájtokhoz. Inkább azt jeletni, hogy tetsz leges bájtjához könnyen hozzáférhetek. Nem kell végigolvasnom az összes bájtot, hogy hozzáférjek egy adathoz, könnyen ki tudok olvasni akármelyik helyr l adatot. Nem olyan mint a veremtár, amelynél mindig az utoljára berakott értéket érem el el ször. (LIFO - Last In First Out) A veremtárnál ha egy korábbi érték kell, akkor minden felette lev t ki kell olvasni. Nem is olyan, mint egy magnószalag, ahol az adatsor elejét l végig kell olvasnom a szalagot. IID A 32 kártyából, ha mindegyiket egyforma valószín séggel választhatják ki, akkor 5 igen-nem válaszból kitalálhatom a kártyát. Általában igaz, ha 2 m lehet ségem van, akkor m kérdést szükséges feltennem. X = {x, x 2,..., x n } jelhalmaz esetén log 2 n kérdés kell (felfele kerekítve a következ egészre). Egy jel (pl. véletlen választott kártya) információtartalma az IID modellben I = log 2 n IRD Ha nem egyforma valószín sége van egy-egy kártyának (jelnek), akkor lehet, hogy érdemesebb a kártyaszám-felezéses taktika helyett másikat választani. Inkább a valószín ségeket kell felezni, mint a kártyák (jelek) számát. Ha pl. a Piros VIII-as jelenik meg az esetek felében, akkor érdemes lehet arra rákérdezni, így azt egy kérdéssel kitaláljuk. Ha így teszek, akkor lesznek olyan kártyalapok, amelyhez 5-nél több kérdés kell majd, de ha ezek elég ritkán jelennek meg, akkor az átlagos kérdésszám lehet öt alatti. A ritkábban megjelen kártya megjelenésének az információtartalma nagyobb. Az, hogy 4 lapom közül mind a négy ász, az nagyobb információtartalmú, mint hogy minden kártyám számos (VII-es, VIII-as, IX-es vagy X-es), IRD Ha nem egyforma valószín sége van egy-egy jelnek, akkor a kisebb valószín ség nek nagyobb az információtartalma. X = {x, x 2,..., x n } jelekhez tartozzanak P (X) = {p, p 2,..., p n } valószín ségek. Legyen a rendszer teljes: p + p p n = n p k = = 00% Ekkor minden x k értékhez valamilyen p k -tól függ információtartalom tartozik. Az x k jel információtartalma az IRD modellben: k= I k = log 2 p k = log 2 p k 4

5 A kisebb p k valószín séghez nagyobb információtartalom tartozik, mivel a 2-es alapú logaritmusfüggvény monoton növekv. Ha mind egyforma valószín ség, akkor visszakapjuk az IID modell képletét. Az órán vizsgáltuk a következ eseteket p k = /n I k = log 2 p k = log 2 n, jelhalmaz esetén. X = {A, B, C, D} P (X) = { 4, 4, 4, 4 } P (X) = { 2, 4, 8, 8 } P (X) = {0.8, 0., 0.05, 0.05} Egy-egy kódot adtam meg az egyes bet khöz, amivel vizsgáltuk a jelenként felhasználandó bitek számának várható értékét. Az els esetben az alábbi els eloszlás, a második kett ben az alábbi második kódokkal vizsgáltuk. A = 00, B = 0, C = 0, D = A =, B = 0, C = 00, D = 000 Az utolsó esetben a következ táblázatot állítottuk fel: k p k I k p k I k kód d k p k d k log 2 p k = log 2 p k A 0,8 0,329 bit 0,2575 bit/jel bit 0,8 bit/jel B 0, 3,329 bit 0,3322 bit/jel 0 2 bit 0,2 bit/jel C 0,05 4,329 bit 0,26 bit/jel 00 3 bit 0,5 bit/jel D 0,05 4,329 bit 0,26 bit/jel bit 0,5 bit/jel Az entrópia a 4. oszlop értékeinek összege: H(X) = n p k I k =,029 k= bit/jel. Tetsz leges kódolással ennél csak nagyobb bit/jel arányt érhetünk el, az fenti esetben például átlagosan az utolsó oszlop értékeinek összegét:,75 bit/jel Ha összefognánk több jelet, például három hosszúságú jelsorozatokhoz rendelnénk bitsorozatokat, akkor közelebb kerülhetnénk az entrópia értékéhez, de azalá nem mehetünk, ha a jelnél 5

6 feltételezzük, hogy a valószín ségek függetlenek (a modellek els I bet je) attól, hogy korábban milyen jelek jöttek a jelforrásból. A valódi üzeneteknél a jelek valószín sége függ az üzenetben szerepl korábbi jelekt l (nem IID). Például egy levélben "info" karakterek után nagyobb valószín séggel jön "r" karakter, mint általában. Ilyen esetek matematikai kezelése nehézkes, mi nem tárgyaljuk. A kódot most én adtam meg, kés bb majd tanulunk módszert hogyan lehet jó kódot készíteni. A kódból fel kell tudni rajzolni a fát, és kiszámolni minden értéket, ha a kódot és a valószín ségeket megadom. Nem csak 4 jel esetén. Az információ egységei Az eddigiekben a kettes alapszám helyett mást is használhatunk: alapszám (a) egység 2 bit (Shannon) I 0 Hartley k = log a = log p a p k k e Nat 2-es és más alapú logaritmus kiszámítása számológéppel: log 2 x = lg x lg 2 log a x = lg x lg a p k = 0, I k = lg = lg 0 = Hartley. 0, p k = 0, I k = log 2 0 = lg 0 lg 2 = 3,329 bit. A lg = log 0 jele a számológépen log. A ln = log e jele a számológépen ln. Ha egy x k jelhez p k = 0, valószín ség tartozik, akkor annak az információtartalma I k = lg 0, = lg 0 = Hartley, másképpen I k = lg 0, = Hartley. A lg 2 = 0,300 0,3 értéket érdemes megjegyezni, mert a villanytanban a törésponti er sítés (3 db-es) értéke (a Bode-diagramon) is ebb l következik. Ennek ismeretében tehát a p k = 0, valószín séghez tartozó információtartalom bitekben fejben kiszámítható jó közelítéssel: lg 0 I k = log 2 0 = lg 2 0,3 = 3, 3. Hasonlóan a p k = /32 valószín séghez tartozó információtartalom Hartley-ban:.2. Entrópia I k = log 2 32 = 5bit 5 0,3 Hartley =,5 Hartley. Entrópia Mekkora a várható értéke a következ jel információtartalmának? 6

7 A valószín ségekkel súlyozni kell az összes jel információtartalmát. Ezt nevezzük entrópiának: H(X) = n p k I k = k= n k= p k log 2 p k bit/jel IID modellnél: H n,iid = n n log 2 n = log 2 n bit/jel Mire jó ez nekünk? Meghatározhatjuk, mennyi bit szükséges feltétlenül az információ átviteléhez. Példa X = {A, B, C, D, E}, P (X) = { 2, 8, 8, 8, } 8 I A = bit, I B = I C = I D = I E = 3bit, ( H(X) = ) 8 3 bit/jel = 2 bit/jel Példa Legyen A=0, B=00, C=0, D=0, E=. A B C D E Minden bitsorozat egyértelm en visszafejthet pl: ,0,0,0,0,,0,0 = BAAADEAC Ekkor 8 karakterb l átlagosan 4 db A (4 bit) a többi négy 3 bites (2 bit): ez összesen 6 bit 2 bit/jel. A 2 bit/jel értéket megkaphatjuk úgy is, hogy felírjuk a korábban példaként szerepl táblázatot erre az esetre. Mindkét forma elfogadható, ha a dolgozatban a választ egyértelm en feltünteti a hallgató. Annak a feltétele, hogy egyértelm en visszafejthet legyen a kód, az, hogy semelyik kód el tagja ne egyezzen egy másik kóddal: pl. ha van 00 kód, akkor nem lehet 00 kód is 7

8 További mér számok Mindig az IID esetben a legnagyobb az entrópia azonos jelszám (n) esetén: H n,max = H n,iid H(X), X = n Hatásfok: Az entrópia aránya az ugyanannyi jelet tartalmazó IID modelléhez viszonyítva. η = H(X) H n,max Redundancia: (hétköznapi jelentés: terjeng sség) R = η Gyakoriság, valószín ség helyett A következ gyakoriságokat mértem egy diszkrét forrás által kibocsájtott jelek esetén. Határozzuk meg az egyes jelek információtartalmát, az forrás entrópiáját, hatásfokát és redundanciáját. A 3 B 25 C 2 D 27 E 23 Megoldás vázlata: Összesen 00 jelet gyeltem meg, mert a gyakoriságok összege 00. Ebb l a valószín ségek úgy kaphatóak, hogy a gyakoriságot elosztjuk az összegükkel. Pl. p = P (A) = 3/00 = 0,3. Ebb l a többi tulajdonság az el z ekhez hasonlóan számolható, amit gyakorlásként érdemes is megtenni. Példa Hatásfok: Redundancia: X = {A, B, C, D, E}, P (X) = { 2, 8, 8, 8, } 8 η = H(X) = 2 bit/jel H n,max log 2 5 bit/jel = 2 bit/jel = 0, % 2, 329 bit/jel R = η = 0, 386 4% Ajánlott segédlet Dr. Tóth Mihály Tóth Gergely: Az információ és kódoláselmélet Kidolgozott példák és feladatok:.3.,.3.2,.4.28,.4.35,.4.36,.4.37,.4.38,.4.39, A feladatok a jegyzet I. részének 24. oldalán kezd dnek. 8

9 2. Forráskódolás A kommunikációs rendszerek vázlata forrás csatorna vev Példák: zaj Beszélgetés: száj leveg fül Földfelszíni rádióadás: rádióadó az éter a rádió antennája Internet: router üvegszál router2 koncert CD emberi fül A kommunikációs rendszerek b vebb vázlata Forráskódolás: a forrás által küldött jelek kódolása legkisebb redundanciával (legkevesebb biten) Csatornakódolás: A jelet úgy kódolom, hogy a hibákat észre tudjam venni vagy javítani tudjam. forrás forráskódoló csat. kódoló csatorna zaj csat. dekódoló forrásdekódoló vev 2.. Human-kódolás Feladat Kódoljuk az alábbi eloszlású IRD forrást Human-kódolással! k karakter n k darabszám A 45 B 3 C 2 D 6 E 9 F 5 9

10 A Human-kódolás algoritmusa. Növekv gyakoriságú sorrendbe rakom a jeleket. Azonos gyakoriságnál ABC-rendbe (vagy pl. ASCII-kódbeli rendbe). Kezdetben jel fának számít. 2. Ciklus, amíg van legalább két fa (a) Az els kett fát összekötöm egy új gyökérrel. Gyakorisága a két fa gyakoriságának összege lesz. A baloldalt 0-val, a jobbot -gyel cimkézem. (b) A következ ábrán növekv gyakorisági sorrendbe rakom a fákat. (Felül hagyok helyet az összekötésnek.) Azonos értékeknél az újat lehet leghátulra rakom. Ciklus vége 3. Leolvasom a jelek kódjait. A kék részekt l nem függ a kódolás hatékonysága, de egyez en kell a forrásnál és a vev nél kódolni. Human-kód fája 00 0 A: B kódja: 0, F kódja: 00 ASCII-tábla, 7 bites 25 C:2 B: F:5 E:9 D:6 0

11 Szóköz (space=sp), szá- 0 NUL DLE SP P ` p SOH DC! A Q a q 2 STX DC2 " 2 B R b r 3 ETX DC3 # 3 C S c s 4 EOT DC4 $ 4 D T d t 5 ENQ NAK % 5 E U e u 6 ACK SYN & 6 F V f v 7 BEL ETB ' 7 G W g w 8 BS CAN ( 8 H X h x 9 HT EM ) 9 I Y i y A LF SUB * : J Z j z B VT ESC + ; K [ k { C FF FS, < L \ l D CR GS = M ] m } E SO RS. > N ^ n ~ F SI US /? O o DEL mok, nagybet k, kisbet k helye Q: 0x5 9: 0x39 szóköz: 0x20 WALL: 0x5744C4C Amit érdemes megjegyezni A szóköz (0x 20) után állnak a m veleti jelek és az írásjelek (.,!?;:) a számok (0x 300x 39) körül, majd el ször a nagy (0x 4-t l), majd kisbet k (0x 6-t l). A 7 bites ASCII-ban nincsenek ékezetes bet k; a 8 bitesben valahol a 28=0b =0x 80 érték felett, ahol a legértékesebb bit (MSB) -es érték. A pontos intervallumot nem kell megjegyezni, a sorrendet, ha egy feladatban kell, megadom. Ha a következ karaktersorozatot a Human-algoritmussal tömörítem, akkor mi lesz az egyes jelekhez rendelt bitsorozat? BENEDEK ELEK Az üzenethez tartozó bitsorozat: A Human-kódban hány bit jut átlagosan egy jelre? ( d k ) Mekkora lesz az egyes karakterek egyedi információtartalma (I k )? Milyen alsó határt számolhatunk a szükséges bitek számára (H)? Mi lesz a bitsorozathoz tartozó üzenet? A Human-kóddal kapcsolatos eredmények k n k kód d k kódhossz [bit] n k d k B D L 4 4 N K E jel 30 bit d k = 30bit = 2, 5bit/jel 2jel

12 A bitsorozathoz tartozó üzenet: KEND LE Ha egy forrásban olyan valószín ségekkel jönnének a jelek, mint a BENEDEK ELEK szóban az arányuk, mindig az el z jelt l függetlenül valószín séggel (IRD forrás), akkor nem lehet az entrópiánál kevesebb átlagos bittel kódolni akárhogy trükközök. Általános információelméleti eredmények: entrópia k jel n k p k I k = log 2 (/p k ) [bit] p k I k /2 log 2 2/ = 3, 585 0,2987 B /2 3,585 0,2987 D /2 3,585 0,2987 L /2 3,585 0,2987 N /2 3,585 0,2987 K 2 2/2 log 2 2/2 = 2, 585 0,4308 E 5 5/2 log 2 2/5 =, 263 0,5262 össz n = 2 H=2,45 bit/jel H = p k log 2 = p k I k p k k k H = 4 0, , , 5262 = 2, 45 bit/jel Általános információelméleti eredmények: hatásfok Az IRD forrás entrópiája H = 2, 45 bit/jel 7 jel esetén a maximális entrópia (amikor minden jel /7 valószín séggel jön) H 7,max = log 2 7 = 2, 807 bit/jel A hatásfok: A redundancia η = H H 7,max = 0, % R = η 3% Adaptív Human-kódolás A Human-kódolás esetén el re kellene tudnom, hogy milyen a forrás statisztikája. Gyakorlatban gyakran nem tehetem meg, hogy végigvárom a jelsorozatot, és csak utána kezdek el kódolni. S t ez a statisztika id ben változhat. Van olyan változata a Human-kódolásnak, amely a kódszavakat id ben változtatva hozzáigazítja a közelmúltbeli statisztikához. Tehát a kódhosszak úgy változnak, hogy várhatóan egyre hatékonyabb lesz a kódolás. Általában adaptív kódolásnak nevezzük az olyan kódolásokat, amelynél a forrás tulajdonságainak gyelembe vételével egyre hatékonyabban tudom kódolni a szöveget. A hatékonyabb alatt azt értem, hogy átlagosan kevesebb bittel jelenként. 2

13 2.2. Aritmetikai kódolás Aritmetikai kód: kódolás Az aritmetikai kódolásnál a [0; [ intervallumot sz kítgetjük az egymás utáni jelekkel. A xpontos szám alakja 0,bbbbbbbb 2 ahol a b-k bináris számjegyeket ( vagy 0) jelölnek (itt például 8 darabot). (A kezd nullát felesleges tárolni.) Az aritmetikai kód hatékonyabb... A nulla utáni 8 bináris számjegy esetén például a következ értékek tárolhatóak: 0, 256, 2 256, 3 256, , A következ példában ennek a lépésköznek az eléréséig A-ból 8-at, L-b l csak 4-et kódolhatunk (8 bit szükséges az AAAAAAAA és az LLLL üzenethez is), tehát egy A-ra bit, egy L-re 2 bit jut, mint a Hamming-kódolásnál. Olyan valószín ségeknél viszont, ahol az információtartalom nem egész bit, az aritmetikai kód kevesebb bitb l áll, mint a Hamming-kód. 3

14 Egyszer példa aritmetikai kódolásra A fenti példában az intervallumok hossza annak felel meg, hogy az adott üzenet milyen valószín séggel áll el, ha a forrásban a jelek az el z jelekt l függetlenül mindig a fenti valószín ségekkel érkeznek (IRD forrás). p A = /2 p AL = /2 /4 = /8 p ALM = /2 /4 /4 = /32 p ALMA = /2 /4 /4 /2 = /64 p LMLM = /4 /4 /4 /4 = /256 A továbbiakban a sz kítés során az üzenet feldolgozott szakaszának valószín ségét fogjuk p_üzenet-tel jelölni. Ha egy lépés során a k jel jön, akkor p_üzenet értéke a k jel valószín - ségével fog szorzódni: p_üzenet p_üzenet * p[k] Kódolás algoritmusa (egyszer sített) Be: üzenet az üzenet k jeleinek ABC-sorrendbe rakása p[k] valószínűségek meghatározása 4

15 a[k] alsó határok meghatározása alsó 0 # kezdőintervallum alsó határa p_üzenet # kezdőintervallum hossza Ciklus az összes k jelre az üzenetben: alsó alsó + p_üzenet * a[k] p_üzenet p_üzenet * p[k] felső alsó + p_üzenet Ki: k, alsó, felső Ciklus vége Ki: kód egy szám a legutolsó intervallumból Kódolás algoritmusa rövidebb változónevekkel Be: üzenet az üzenet k jeleinek ABC-sorrendbe rakása p[k] valószínűségek meghatározása a[k] alsó határok meghatározása ah 0 # kezdőintervallum alsó határa pü # kezdőintervallum hossza Ciklus az összes k jelre az üzenetben: ah ah + pü * a[k] pü pü * p[k] f ah + pü Ki: k, ah, f Ciklus vége Ki: kód egy szám a legutolsó intervallumból Egyes jelek kódjai A [0; [ intervallumot osztjuk fel az egyes jelek között. A jeleket ABC-rendbe (adott kódlap szerinti rendbe) rakjuk, és mindegyiknek a valószín ségével egyez nagyságú intervallum jut az egységnyi hosszúságú intervallumon. Az ALMA illetve MIKKAMAKKA üzenetek esetén itt láthatóak az egyes k jelekhez tartozó p k valószín ségek és a k alsó határok. k A L M k A I K M p k /2 /4 /4 p k 0,3 0, 0,4 0,2 a k 0 /2 3/4 a k 0 0,3 0,4 0,8 Jelsorozat kódja Az aritmetikai kódolásnál a [0; [ intervallumot sz kítgetjük az egymás utáni jelekkel. 5

16 M [ 0,8 ; [ MI [ 0,86 ; 0,88 [ MIK [ 0,868 ; 0,876 [ MIKK [ 0,872 ; 0,8744 [ MIKKA [ 0,872 ; 0,8726 [ MIKKAM [ 0,87968 ; 0,8726 [ MIKKAMA [ 0,87968 ; 0, [ MIKKAMAK [ 0, ; 0, [ MIKKAMAKK [ 0, ; 0, [ MIKKAMAKKA [ 0, ; 0, [ MIKKAMAKKA 0, Aritmetikai kód: kódolt üzenet visszafejtése Be: jelek és valószínűségek (k, p[k]) a[k] alsó határok kiszámítása Be: kód # az üzenet kódja Be: hossz # az üzenet hossza Ciklus hossz-szor: k a jel, aminek az intervallumában van a kód Ki: k kód (kód - a[k]) / p[k] Ciklus vége Visszafejtés 0, M 0,36000 I 0,60000 K 0, K 0, A 0,83547 M 0,77083 A 0, K 0, K 0,89236 A Egy gyakorlati alkalmazás A képek JPEG kódolásánál választható az aritmetikai és Human-kódolás az adatok egyik tömörítési lépéséhez. A Human-kódolás gyorsabb, de a tömörítés mértéke elmarad az aritmetikai kódoláshoz képest. Lack János: Parabola Kitekintés 6

17 Parabola, parabola antenna, nézzünk tévét éppen ma! Parabola, parabola futbalmeccs, lassított gól, sípcsont reccs! Parabola, parabola sminkreklám. Bőröd fittyed? Kend ezt rá! Parabola, parabola bankrablók, lő, fut, robban, égből lóg. Parabola, parabola popcsillag, rázós ritmus popsidnak. Parabola, parabola antenna, űrlény caplat álmodba! Ezt már azért nagyobb falat lenne kódolni, de erre lesznek hatékonyabb módok is, amelyek kihasználják, hogy a szövegekre nem igaz az IRD-modell, és sok ismétl d jelsorozat van benne. Ezek lesznek a szótár alapú tömörítések. 7

Információelmélet. Informatikai rendszerek alapjai. Horváth Árpád november 12. Óbudai Egyetem Alba Regia M szaki Kar (AMK) Székesfehérvár

Információelmélet. Informatikai rendszerek alapjai. Horváth Árpád november 12. Óbudai Egyetem Alba Regia M szaki Kar (AMK) Székesfehérvár Informatikai rendszerek alapjai Óbudai Egyetem Alba Regia M szaki Kar (AMK) Székesfehérvár 2015. november 12. Vázlat 1 alapfogalmai 2 Egy jelsorozat esetén vizsgáljuk, mennyi információt tartalmaz. Nem

Részletesebben

Bevezetés a számítástechnikába

Bevezetés a számítástechnikába Bevezetés a számítástechnikába Beadandó feladat, kódrendszerek Fodor Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék foa@almos.vein.hu 2010 október 12.

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 6. Egy kocka élei 2 cm hosszúak. A kocka fehér, de rendelkezésünkre áll sok a) 1cm 3cm-es b) 1cm 4cm-es c) 1cm 5cm-es d) 1cm 6cm-es piros papírszalag, amelyeket

Részletesebben

Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIKA 2

Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIKA 2 Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIKA 2 Számrendszerek A leggyakrabban használt számrendszerek: alapszám számjegyek Tízes (decimális) B = 10 0, 1, 8, 9 Kettes (bináris) B = 2 0, 1 Nyolcas (oktális) B = 8

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

Kártyajátékok és bűvésztrükkök

Kártyajátékok és bűvésztrükkök Szalkai Balázs, Szalkai István : Kártyajátékok és bűvésztrükkök Közismert, hogy nagyon sok bűvésztrükk matematikai alapokon nyugszik, a kártyaés egyéb játékok matematikai elemzéséről nem is szólva. Nem

Részletesebben

Kombinációs hálózatok Számok és kódok

Kombinációs hálózatok Számok és kódok Számok és kódok A történelem folyamán kétféle számábrázolási mód alakult ki: helyiértékes számrendszerek nem helyiértékes számrendszerek n N = b i B i=0 i n b i B i B = (természetes) szám = számjegy az

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

KETTŐS KÖNYVELÉS PROGRAM CIVIL SZERVEZETEK RÉSZÉRE

KETTŐS KÖNYVELÉS PROGRAM CIVIL SZERVEZETEK RÉSZÉRE KETTŐS KÖNYVELÉS PROGRAM CIVIL SZERVEZETEK RÉSZÉRE Kezelési leírás 2015. Program azonosító: WUJEGYKE Fejlesztő: B a l o g h y S z o f t v e r K f t. Keszthely, Vak Bottyán utca 41. 8360 Tel: 83/515-080

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

2. Digitális hálózatok...60

2. Digitális hálózatok...60 2 60 21 Kombinációs hálózatok61 Kombinációs feladatok logikai leírása62 Kombinációs hálózatok logikai tervezése62 22 Összetett műveletek használata66 z univerzális műveletek alkalmazása66 kizáró-vagy kapuk

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002

Kódolás, hibajavítás. Tervezte és készítette Géczy LászlL. szló 2002 Kódolás, hibajavítás Tervezte és készítette Géczy LászlL szló 2002 Jelkapcsolat A jelkapcsolatban van a jelforrás, amely az üzenő, és a jelérzékelő (vevő, fogadó), amely az értesített. Jelforrás üzenet

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Hálózati protokoll tervezése

Hálózati protokoll tervezése Hálózati protokoll tervezése A gyakorlat célja: Hálózati protokoll tervezésének a megvalósítása Elméleti bevezető: Ahhoz, hogy a hálózatba kötött gépek kommunikálni tudjanak egymással, szükség van egy

Részletesebben

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András 2013.05.07 Tartalom Tartalom 1 1. Bevezetés, véletlen kísérletek 4 1.1 Bevezetés...................................

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas)

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas) Eredeti forrás: Pintér Klára: Játsszunk Dienes Zoltán Pál logikai készletével! http://www.jgypk.u-szeged.hu/methodus/pinter-klara-jatsszunk-logikat-logikai-keszlettel/ A logikai készlet lapjaival kapcsolatos

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

I. A légfékrendszer időszakos vizsgálatához alkalmazható mérő-adatgyűjtő berendezés műszaki

I. A légfékrendszer időszakos vizsgálatához alkalmazható mérő-adatgyűjtő berendezés műszaki A Közlekedési Főfelügyelet közleménye a nemzetközi forgalomban használt autóbuszok (M2 és M3 jármű-kategóriába tartozó gépkocsik) vizsgálatát (is) végző vizsgálóállomásokon alkalmazandó mérő-adatgyűjtő

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

Informatikai Rendszerek Alapjai

Informatikai Rendszerek Alapjai Informatikai Rendszerek Alapjai Dr. Kutor László A redundancia fogalma és mérése Minimális redundanciájú kódok 1. http://uni-obuda.hu/users/kutor/ IRA 2014 könyvtár Óbudai Egyetem, NIK Dr. Kutor László

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

INFORMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI

INFORMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI INFORMATIKA EMELT SZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI 2. feladatsor A gyakorlati vizsga időtartama: 240 perc Fontos tudnivalók A gyakorlati feladatsor megoldásához 240 perc áll rendelkezésére. A vizsgán használható

Részletesebben

Számlázás-házipénztár. (SZAMLA) 2015.21 verzió. Kezelési leírás

Számlázás-házipénztár. (SZAMLA) 2015.21 verzió. Kezelési leírás Számlázás-házipénztár (SZAMLA) 2015.21 verzió Kezelési leírás FORINT-Soft Kft. Számlázás-házipénztár 2 Tartalomjegyzék 1. Általános információk... 5 1.1. A program típusai... 5 1.2. Rendszerkövetelmények...

Részletesebben

Hálózati biztonság (772-775) Kriptográfia (775-782)

Hálózati biztonság (772-775) Kriptográfia (775-782) Területei: titkosság (secrecy/ confidentality) hitelesség (authentication) letagadhatatlanság (nonrepudiation) sértetlenség (integrity control) Hálózati biztonság (772-775) Melyik protokoll réteg jöhet

Részletesebben

Kari Adminisztrátor. Funkcionális leírás

Kari Adminisztrátor. Funkcionális leírás Kari Adminisztrátor Funkcionális leírás Budapest, 2006 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés... 7 2. Saját adatok... 7 2.1. Személyes adatok megtekintésde és karbantartása... 8 2.1.1. Jelszóváltoztatás... 8 2.1.2.

Részletesebben

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!

Beadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Kriptográfiai algoritmus implementációk időalapú támadása Endrődi Csilla, Csorba Kristóf BME MIT

Kriptográfiai algoritmus implementációk időalapú támadása Endrődi Csilla, Csorba Kristóf BME MIT NetworkShop 2004 2004.. április 7. Kriptográfiai algoritmus implementációk időalapú támadása Endrődi Csilla, Csorba Kristóf BME MIT Bevezetés Ma használt algoritmusok matematikailag alaposan teszteltek

Részletesebben

Ütemezések speciális rugalmas gyártórendszereken

Ütemezések speciális rugalmas gyártórendszereken Ütemezések speciális rugalmas gyártórendszereken Diplomamunka Írta: Korbács Kitti Alkalmazott matematikus szak Témavezet : Kovács Gergely, f iskolai docens Operációkutatási Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,

Részletesebben

Béta Software számlázó programok adóhatósági ellenőrzési adatszolgáltatása (AEA)

Béta Software számlázó programok adóhatósági ellenőrzési adatszolgáltatása (AEA) Béta Software számlázó programok adóhatósági ellenőrzési adatszolgáltatása (AEA) Dokumentáció történet: 2016.03.19. 2016.05.13. PM, SZWIN:energia adó (6.oldal ) 2016.05.13. PM, SZWIN:számlakibocsátó címváltozás

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

Országzászlók (2015. május 27., Sz14)

Országzászlók (2015. május 27., Sz14) Országzászlók (2015. május 27., Sz14) Írjon programot, amely a standard bemenetről állományvégjelig soronként egy-egy ország zászlójára vonatkozó adatokat olvas be! Az egyes zászlóknál azt tartjuk nyilván,

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA01

Digitális technika VIMIAA01 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek

Részletesebben

Számítástechnika és informatika 1. OSZTÁLY

Számítástechnika és informatika 1. OSZTÁLY Számítástechnika és informatika 1. OSZTÁLY Mit fogunk tanulni? M I A Z A D A T? M I A Z I N F O R M Á C I Ó? A Z I N F O R M A T I K A U G Y A N A Z - E, M I N T A S Z Á M Í T Á S T E C H N I K A? adatok

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

Vonalkód referencia-útmutató

Vonalkód referencia-útmutató Vonalkód referencia-útmutató 0 verzió HUN 1 Bevezető 1 Áttekintés 1 1 Ez az áttekintő útmutató azzal kapcsolatban tartalmaz információkat, amikor a vonalkódok nyomtatása közvetlenül a Brother nyomtatóeszközre

Részletesebben

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK TOMPA TESTEK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJÉNEK VIZSGÁLATA MÉRÉSI SEGÉDLET. 2013/14. 1.

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK TOMPA TESTEK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJÉNEK VIZSGÁLATA MÉRÉSI SEGÉDLET. 2013/14. 1. BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK M1 TOMPA TESTEK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJÉNEK VIZSGÁLATA MÉRÉSI SEGÉDLET 013/14. 1. félév 1. Elméleti összefoglaló A folyadékáramlásban lévő,

Részletesebben

SK2-M típusszekrény kétszivattyús szennyvízátemelőkhöz.

SK2-M típusszekrény kétszivattyús szennyvízátemelőkhöz. Ez a szerény külsejű műanyag szekrény egy kétszivattyús szennyvízátemelőt működtet. Tartalmazza a motorok erőátvitelét, adatgyűjtését és vezérlését. Mindent tud, amit a nagyok. Használhatja a szivattyúkat

Részletesebben

AllBestBid. Felhasználói kézikönyv az AllBestBid online aukciós szolgáltatás használatához. 2016. március DFL Systems Kft.

AllBestBid. Felhasználói kézikönyv az AllBestBid online aukciós szolgáltatás használatához. 2016. március DFL Systems Kft. AllBestBid Felhasználói kézikönyv az AllBestBid online aukciós szolgáltatás használatához 2016. március DFL Systems Kft. Tartalomjegyzék Általános leírás... 2. oldal Regisztráció... 2. oldal Saját árlejtések...

Részletesebben

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK Informatikai alapismeretek emelt szint 0802 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. október 20. INFORMATIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

MS-NMK nagyszámkijelző ismertető

MS-NMK nagyszámkijelző ismertető METRISOFT Mérleggyártó KFT : 6800 Hódmezővásárhely Jókai u.30. Tel : (62) 246-657 Fax : (62) 249-765 E-mail : merleg@metrisoft.hu Weblap : http://www.metrisoft.hu Szerver : http://metrisoft.dsl.vnet.hu

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,

Részletesebben

MAGYAR POSTA BEFEKTETÉSI ZRT. e-befektetés. Felhasználói kézikönyv

MAGYAR POSTA BEFEKTETÉSI ZRT. e-befektetés. Felhasználói kézikönyv MAGYAR POSTA BEFEKTETÉSI ZRT. e-befektetés Felhasználói kézikönyv a Magyar Posta Befektetési Zrt. e-befektetéséhez Verziószám: 1.1 Hatályos: 2016.02.16. Magyar Posta Befektetési Zrt. Felhasználói kézikönyv

Részletesebben

GroupWise 5.2 használói jegyzet

GroupWise 5.2 használói jegyzet GroupWise 5.2 használói jegyzet 32 bites verzió Készítette: Borsodi Gábor, ABS Consulting Kft. (http://www.abs.hu) 1998-2001 Ez a dokumentáció szabadon felhasználható (nyomtatható, másolható) és terjeszthet,

Részletesebben

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM SZERZŐK: Veppert Károlyné, Ádám Imréné, Heibl Sándorné, Rimainé Sz. Julianna, Kelemen Ildikó, Antalfiné Kutyifa Zsuzsanna, Grószné Havasi Rózsa 1 1-2. ÉVFOLYAM Gondolkodási, megismerési

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

GroupWise 5.2 használói jegyzet

GroupWise 5.2 használói jegyzet GroupWise 5.2 használói jegyzet 16 bites verzió Készítette: Borsodi Gábor, ABS Consulting Kft. (http://www.abs.hu) 1998-2001 Ez a dokumentáció szabadon felhasználható (nyomtatható, másolható) és terjeszthet,

Részletesebben

SEGÉDLET a jegyzők felkészüléséhez a helyi önkormányzati képviselők és polgármesterek 2010. évi választásán

SEGÉDLET a jegyzők felkészüléséhez a helyi önkormányzati képviselők és polgármesterek 2010. évi választásán VÁLASZTÁSI FÜZETEK 172. SEGÉDLET a jegyzők felkészüléséhez a helyi önkormányzati képviselők és polgármesterek 2010. évi választásán KÖZIGAZGATÁSI ÉS IGAZSÁGÜGYI MINISZTÉRIUM ORSZÁGOS VÁLASZTÁSI IRODA VÁLASZTÁSI

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Tanító- és Óvóképző Kar. Útmutató a szakdolgozat szerkesztéséhez

Eötvös Loránd Tudományegyetem Tanító- és Óvóképző Kar. Útmutató a szakdolgozat szerkesztéséhez Eötvös Loránd Tudományegyetem Tanító- és Óvóképző Kar Útmutató a szakdolgozat szerkesztéséhez Sarbó Gyöngyi 2013 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK... 1 ELŐSZÓ... 2 ALAPOK... 3 TERJEDELEM ÉS MÉRET... 3 FORMAI

Részletesebben

DIGITÁLIS KÖZPONT SZIMULÁCIÓJA

DIGITÁLIS KÖZPONT SZIMULÁCIÓJA Távközlési Hálózatok Laboratórium DIGITÁLIS KÖZPONT SZIMULÁCIÓJA mérési útmutató 2 3 Tartalomjegyzék oldalszám: B Bevezetés 5. R Ismétlı összefoglalás 10. R1 A digitális technológia 10. R1.1 A multiplexer

Részletesebben

AHT-0405KA 4 csatornás AHT-0810KA 8 csatornás AHT-1620KA 16 csatornás

AHT-0405KA 4 csatornás AHT-0810KA 8 csatornás AHT-1620KA 16 csatornás AHT-0405KA 4 csatornás AHT-0810KA 8 csatornás AHT-1620KA 16 csatornás HD-TVI Digitális Video Rögzítő Gyors telepítési útmutató v1.00 20150915 Tartalomjegyzék 1. Üzembe helyezés... 4 1.1 HDD beszerelése...

Részletesebben

2.3. A C nyelv utasításai

2.3. A C nyelv utasításai 2.3. A C nyelv utasításai A C szabvány hét csoportban osztályozza a C nyelv utasításait: Csoport Kulcsszavak, ill. jelölések Kifejezés utasítás Üres utasítás: ; Összetett utasítás: } Szelekciós utasítások:

Részletesebben

Számítógépes Hálózatok

Számítógépes Hálózatok Számítógépes Hálózatok 2. Előadás: Fizikai réteg Based on slides from Zoltán Ács ELTE and D. Choffnes Northeastern U., Philippa Gill from StonyBrook University, Revised Spring 2016 by S. Laki Fizikai réteg

Részletesebben

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást

Részletesebben

élőfej és élőláb távolsága a lapszéltől (0,5 cm)

élőfej és élőláb távolsága a lapszéltől (0,5 cm) 0-.foruló I. GÓI. Harry Potter étezik harrypotter nevű állomány (típusa megfelelő), lapméret a margók jók mindenhol a. oldaltól (f:,6 al:,9 bel:, kül:, tükör) sorköz a szövegtörzsben,-szeres (ahol nem

Részletesebben

Legrövidebb utat kereső algoritmusok. BFS (szélességi keresés)

Legrövidebb utat kereső algoritmusok. BFS (szélességi keresés) Legrövidebb utat kereső algoritmusok Adott gráfban szeretnénk egkeresni két pont között a legrövidebb utat (a két pont távolsága érdekel). Ezt úgy fogjuk tudni megtenni, hogy közben megkapjuk az összes

Részletesebben

BÉRSZÁMFEJTÉS 1 S Z O F T V E R E N G E D É L Y E Z É S I S Z E R ZŐDÉS

BÉRSZÁMFEJTÉS 1 S Z O F T V E R E N G E D É L Y E Z É S I S Z E R ZŐDÉS BÉRSZÁMFEJTÉS 1 S Z O F T V E R E N G E D É L Y E Z É S I S Z E R ZŐDÉS Ez egy speciális SZERZŐDÉS Ön, mint Felhasználó (akár magánszemély, gazdálkodó-, vagy egyéb szerv) és az RLB-60 Betéti Társaság között,

Részletesebben

10. fejezet Az adatkapcsolati réteg

10. fejezet Az adatkapcsolati réteg 10. fejezet Az adatkapcsolati réteg Az adatkapcsolati réteg (Data Link Layer) Előzetesen összefoglalva, az adatkapcsolati réteg feladata abban áll, hogy biztosítsa azt, hogy az adó oldali adatok a vevő

Részletesebben

Vényírás. 1. ábra. 1. oldal

Vényírás. 1. ábra. 1. oldal Vényírás Amennyiben sikeresen kitöltöttük és elmentettük a megvizsgált személy ápolási esetét, lehetőségünk van vény felírására, az alábbi módon; 1. ábra A gomb megnyomásával egy legördülő menü tárul elénk,

Részletesebben

Bevezetés a programozásba. 12. Előadás: 8 királynő

Bevezetés a programozásba. 12. Előadás: 8 királynő Bevezetés a programozásba 12. Előadás: 8 királynő A 8 királynő feladat Egy sakktáblára tennénk 8 királynőt, úgy, hogy ne álljon egyik sem ütésben Ez nem triviális feladat, a lehetséges 64*63*62*61*60*59*58*57/8!=4'426'165'368

Részletesebben

Novák Nándor. Készletezés. A követelménymodul megnevezése: A logisztikai ügyintéző speciális feladatai

Novák Nándor. Készletezés. A követelménymodul megnevezése: A logisztikai ügyintéző speciális feladatai Novák Nándor Készletezés A követelménymodul megnevezése: A logisztikai ügyintéző speciális feladatai A követelménymodul száma: 0391-06 A tartalomelem azonosító száma és célcsoportja: SzT-005-50 KÉSZLETEZÉS

Részletesebben

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete

8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete 8. Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus gyakran olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Sok optimalizálási probléma esetén

Részletesebben

DUNAÚJVÁROSI FŐISKOLA

DUNAÚJVÁROSI FŐISKOLA DUNAÚJVÁROSI FŐISKOLA 2014. Dunaújváros 1. kiadás 0. módosítás 2 (23). oldal Dunaújvárosi Főiskola Szenátusa által 45-2013/2014.(2014.04.01.)számú határozatával elfogadva Hatályos: 2014.04.02.napjától

Részletesebben

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése

Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Biztosítási ügynökök teljesítményének modellezése Szakdolgozat Írta: Balogh Teréz Biztosítási és

Részletesebben

Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése

Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése ERDŐGAZDÁLKODÁSI HATÓSÁGI BEJELENTÉSEK/ TERVEZETT ERDŐGAZDÁLKODÁSI TEV. BEJELENTÉSE A Tervezett erdőgazdálkodási tevékenységek bejelentése a fakitermelési

Részletesebben

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK

INFORMATIKAI ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 18. INFORMATIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 18. 8:00 I. Időtartam: 30 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

Készletnyilvántartó program. (KESZLET) 2015.21 verzió. Kezelési leírás

Készletnyilvántartó program. (KESZLET) 2015.21 verzió. Kezelési leírás Készletnyilvántartó program (KESZLET) 2015.21 verzió Kezelési leírás FORINT-Soft Kft. Készletnyilvántartó program 2 Tartalomjegyzék 1. Általános információk... 6 1.1. A program típusa... 6 1.2. Rendszerkövetelmények...

Részletesebben

HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ. www.brother.com

HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ. www.brother.com D400 HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ A P-touch készülék használata előtt olvassa el ezt a használati útmutatót. A használati útmutatót tartsa könnyen hozzáférhető helyen a jövőbeni használathoz.

Részletesebben

Szám- és kódrendszerek

Szám- és kódrendszerek Informatikai rendszerek alapjai Óbudai Egyetem Alba Regia M szaki Kar (AMK) Székesfehérvár 2015. november 27. 1 Számok és ábrázolásuk 2 3 Vektorgrakus ábrák Rasztergrakus ábrák Színek, felbontások Vázlat

Részletesebben

R e n d e l ő i a d m i n i s z t r á c i ó s p r o g r a m

R e n d e l ő i a d m i n i s z t r á c i ó s p r o g r a m IGLU Software (06-20) 537-33-21 info@iglu.hu www.iglu.hu R e n d e l ő i a d m i n i s z t r á c i ó s p r o g r a m Programfrissítések leírása 2008 2009-2010 (utolsó : 27 - Rendelő 2010-02-01 3.5.3-52.

Részletesebben

Poszeidon (EKEIDR) Irat és Dokumentumkezelő rendszer webes felület

Poszeidon (EKEIDR) Irat és Dokumentumkezelő rendszer webes felület Poszeidon (EKEIDR) Irat és Dokumentumkezelő rendszer webes felület Felhasználói dokumentáció Cím: 1111 Budapest, Budafoki út 59. Tel.: +36 (1) 381-0736 Fax: +36 (1) 386-6022 E-mail: poszeidonsupport@sdadms.hu

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

KockaKobak Országos Matematikaverseny 8. osztály

KockaKobak Országos Matematikaverseny 8. osztály KockaKobak Országos Matematikaverseny 8. osztály 2012. november 12. Feladatok: PÉCSI ISTVÁN, középiskolai tanár SZÉP JÁNOS, középiskolai tanár Lektorok: LADÁNYI ANDREA, középiskolai tanár TÓTH JÁNOS, középiskolai

Részletesebben

Aronic Főkönyv kettős könyvviteli programrendszer

Aronic Főkönyv kettős könyvviteli programrendszer 6085 Fülöpszállás, Kiskunság tér 4. Internet: www.cin.hu E-mail: software@cin.hu Tel: 78/435-081, 30/9-573-673, 30/9-593-167 kettős könyvviteli programrendszer v2.0 Szoftverdokumentáció Önnek is jár egy

Részletesebben

MultiMédia az oktatásban Zsigmond Király Fıiskola Budapest, 2008. szeptember 25 26.

MultiMédia az oktatásban Zsigmond Király Fıiskola Budapest, 2008. szeptember 25 26. BODNÁR KÁROLY 1 DR. KÖDMÖN JÓZSEF 2 KRISTÓF ZSOLT 3 Felhasználó-azonosítás alternatívái elearning rendszerekben DE Egészségügyi Kar, Egészségügyi Informatika Tanszék 1 bcharles@de-efk.hu, 2 kodmonj@de-efk.hu,

Részletesebben

NFSZ INTEGRÁLT INFORMÁCIÓS RENDSZER KTK KÖZFOGLALKOZTATÁSI TÁMOGATÁSOK KERETRENDSZERE. Országos közfoglalkoztatási program

NFSZ INTEGRÁLT INFORMÁCIÓS RENDSZER KTK KÖZFOGLALKOZTATÁSI TÁMOGATÁSOK KERETRENDSZERE. Országos közfoglalkoztatási program NFSZ INTEGRÁLT INFORMÁCIÓS RENDSZER KTK KÖZFOGLALKOZTATÁSI TÁMOGATÁSOK KERETRENDSZERE Országos közfoglalkoztatási program FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV 2016. február 16. 2016.02.16. 1 Dokumentum adatlap Projekt/modul

Részletesebben

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Informatika középszint 1221 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 21. INFORMATIKA KÖZÉPSZINTŰ GYAKORLATI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Bevezetés A feladatok értékelése

Részletesebben

Kétszemélyes négyes sor játék

Kétszemélyes négyes sor játék Kétszemélyes négyes sor játék segítségével lehetővé kell tenni, hogy két ember a kliens program egy-egy példányát használva négyes sor játékot játsszon egymással a szerveren keresztül. Játékszabályok:

Részletesebben

H4R, S4D és S4R DVR kártyák és vezérlő szoftver Használati útmutató 1. Bevezető Az S4D és S4R videó és hang digitalizáló kártyák, valamint a H4R videó és hang digitalizáló/rögzítő kártya PC kompatibilis

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

7. Kezelőszervek. RESET (visszaállítás)(- )

7. Kezelőszervek. RESET (visszaállítás)(- ) Ne hagyja a csomagolóanyagot szanaszét heverni, a gyerekek számára veszélyes játékszerré válhatnak. Bánjon óvatosan a készülékkel, lökés, ütés, vagy már kis magasságból való leejtés következtében is megsérülhet.

Részletesebben

PROJEKT ADATLAP. tárgyú pályázathoz. Kódszám: GOP-2011-2.1.1/A KMOP-2011-1.2.1/A

PROJEKT ADATLAP. tárgyú pályázathoz. Kódszám: GOP-2011-2.1.1/A KMOP-2011-1.2.1/A 1 I. PROJEKT ADATLAP a Gazdaságfejlesztési Operatív Program és a Közép-Magyarországi Operatív Program Mikro-, kis- és középvállalkozások technológiai fejlesztése tárgyú pályázathoz Kódszám: GOP-2011-2.1.1/A

Részletesebben

Az elektronikus levelezés, mint a kommunikácó új formája. Pajzs Júlia MTA Nyelvtudományi Intézet 1014 Budapest Színház u. 5-9. e-mail: pajzs@nytud.

Az elektronikus levelezés, mint a kommunikácó új formája. Pajzs Júlia MTA Nyelvtudományi Intézet 1014 Budapest Színház u. 5-9. e-mail: pajzs@nytud. Az elektronikus levelezés, mint a kommunikácó új formája Pajzs Júlia MTA Nyelvtudományi Intézet 1014 Budapest Színház u. 5-9. e-mail: pajzs@nytud.hu Dolgozatomban azt a folyamatot kívánom bemutatni, ahogyan

Részletesebben

MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS?

MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS? MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS? Készítette: Surányi Szabolcs MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 10. MODUL: ÁTLAGOS? TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

A Nemzeti Útdíjfizetési Szolgáltató Zrt. Általános Szerződési Feltételei e-matricát értékesítő viszonteladók részére. 4.

A Nemzeti Útdíjfizetési Szolgáltató Zrt. Általános Szerződési Feltételei e-matricát értékesítő viszonteladók részére. 4. A Nemzeti Útdíjfizetési Szolgáltató Zrt. Általános Szerződési Feltételei e-matricát értékesítő viszonteladók részére 4. számú melléklet A Nemzeti Útdíjfizetési Szolgáltató Zrt. e-matrica értékesítésére

Részletesebben

11. Orthogonal Frequency Division Multiplexing ( OFDM)

11. Orthogonal Frequency Division Multiplexing ( OFDM) 11. Orthogonal Frequency Division Multiplexing ( OFDM) Az OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing ) az egyik legszélesebb körben alkalmazott eljárás. Ez az eljárás az alapja a leggyakrabban alkalmazott

Részletesebben

Az INTEL D-2920 analóg mikroprocesszor alkalmazása

Az INTEL D-2920 analóg mikroprocesszor alkalmazása Az INTEL D-2920 analóg mikroprocesszor alkalmazása FAZEKAS DÉNES Távközlési Kutató Intézet ÖSSZEFOGLALÁS Az INTEL D 2920-at kifejezetten analóg feladatok megoldására fejlesztették ki. Segítségével olyan

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS

PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS Gregorics Tibor PROGRAMOZÁS 1. kötet TERVEZÉS egyetemi jegyzet 2011 1 ELŐSZÓ TARTALOM ELŐSZÓ... 4 BEVEZETÉS... 6 I. RÉSZ PROGRAMOZÁSI FOGALMAK... 9 1. ALAPFOGALMAK... 10 1.1. Az adatok típusa... 10 1.2.

Részletesebben

AZ ÉPÍTÉSI MUNKÁK IDŐTERVEZÉSE

AZ ÉPÍTÉSI MUNKÁK IDŐTERVEZÉSE UDPESTI MŰSZKI ÉS GZDSÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÉPÍTÉSZMÉRNÖKI KR ÉPÍTÉSKIVITELEZÉSI és SZERVEZÉSI TNSZÉK dr. Neszmélyi László Z ÉPÍTÉSI MUNKÁK IDŐTERVEZÉSE - 2015. - Tartalom 1. EVEZETÉS... 4 2. Z ÉPÍTÉSEN

Részletesebben