A NEHÉZSÉGI ERŐTÉR 3D POTENCIÁLFÜGGVÉNYÉNEK INVERZIÓS ELŐÁLLÍTÁSA

Átírás

1 Geomata Köeméne XII., 009 A EÉZSÉGI ERŐTÉR 3D POTECIÁLÜGGVÉYÉEK IVERZIÓS ELŐÁLLÍTÁSA Dobróa há *, Vöges Laos **,*** Inverson reconstructon of 3D gravt potenta based on torson baance measurements - Inverson reconstructon of 3D gravt potenta based on each of the torson baance and gravt measurements, defectons of the vertca and dgta terran mode data have been soved b deveopng our former D souton. Appng ths method the eements of the fu Eötvös-tensor ncudng the vertca gradents can be determned not on n the torson baance statons, but anwhere n the surroundngs of these ponts. Ths gves a smpe possbt to transform the torson baance measurements to dfferent heghts and the anatca determnaton of the eupotenta surfaces of the gravt fed. Kewords: nverson, torson baance measurements, Eötvös-tensor, defecton of the vertca, potenta functon, gravt gradents A átaun orábban dogoott D eárás továbbfeestéséve megodottu a nehéség erőtér 3 dmenós potencáfüggvénéne nverós eőáítását Eötvös-nga mérés adato, nehéség gorsuás mérése, függővona-ehaás értée és dgtás terepmode adato egüttes fehasnáásáva. A módserre nem csupán a Eötvös-nga mérés pontoban, hanem ee örneetében s meghatároható a tees Eötvös-tenor, és íg megaphatu a Eötvös-ngáva övetenü nem mérhető vertás gradens értéeet s. Ee egserű ehetőség adód a Eötvös-nga mérése átsámítására üönböő magasságora, és megodható a nehéség erőtér potencá sntfeüetene anatus meghatároása. Kucssava: nveró, Eötvös-nga mérése, Eötvös-tenor, függővona-ehaás, potencáfüggvén, gradense Beveetés agarorságon a mút sáadban a öe Eötvös-nga mérést végete esősorban ásván nersanago utatása céábó. apanban erre a céra már énegesen hatéonabb utatás módsereet aamana, eért a Eötvös-nga mérése geofa hasnosítása heett a geodéa hasnosítás erüt eőtérbe. A geofa aamaáso céára orábban csa a és a horontás gradenseet dogotá fe, a és görbüet adato eddg fedogoatano maradta. A geodéában vsont éppen a görbüet gradense aapán sámítható függővonaehaáso, ameene többe öött a geod fnomsereeténe meghatároása sempontábó van nag eentősége (Vöges 993, 995, 00, 005). A Eötvös-nga mérése geodéa céú fehasnáás ehetősége a egutóbb dőben tovább bővüte (Vöges et a. 005). A és a horontás gradense fehasnáásáva a nehéség erőtér, etve a gravtácós anomáá határoható meg nterpoácóva (Vöges et a. 004, 00), a és a horontás gradense és a és görbüet adato egüttes fehasnáásáva pedg a vertás gradense áítható eő a Eötvös-nga mérés pontoban (aac 950, Tóth et a. 004, 005, Tóth 00). Vaamenn probéma megodása sempontábó nag eentősége van a potencáfüggvén eőáításána. Amennben meg tudu határon a nehéség erőtér potencáfüggvénét, ebbő meg- * soc Egetem, Geofa Tansé, -355 soc-egetemváros, E-ma: dobroa@god.un-msoc.hu ** Budapest űsa és Gadaságtudomán Egetem, Átaános és esőgeodéa Tansé, -5 Budapest *** agar Tudomános Aadéma esőgeodéa és Geodnama Kutatócsoport, -5 Budapest E-ma: voges@e.bme.hu

2 DOBRÓKA, VÖLGYESI L feeő ránú eső dervátaa eő tudu áítan a erőtér vetorána össetevőt, a másod derváta pedg a Eötvös-tenor eemet adá. A átaun orábban dogoott D eárássa megodottu a és a Eötvös-nga mérése aapán a nehéség erőtér potencáfüggvénéne és a potencáfüggvén vaamenn fontos dervátána nverós eőáítását (Dobróa és Vöges 005, 008). A aábbaban a D eárás továbbfeestéséve a nehéség erőtér 3D potencáfüggvénéne nverós reonstrucóára adun megodást. A 3D nverós agortmus eenőrésére a Sabadsáás-Ksőrös örné öe 50 m teredésű terüeten végetün íséret sámításoat. A avasot módserre ehetőség ní a eddg aamaott nterpoácós módsere pontosságát feümúó sámításo evégésére és a orábban aamaott eáráso során femerüő bonos probémá áthdaására. Ee apcsoatos utatásanban több résetérdés még tstáásra soru, aonban a módser bonítottan ó műöd. A nverós agortmus Íru fe a nehéség erőtér potencáfüggvénét vaame sorfetés aaában:...p básfüggvén rendser sernt (,, ) B ( ) ( ) ( ), () aho + ( )* + ( )* *. Básfüggvéneént p. hatvánfüggvéneet aamahatun. A nde a onstans tagot eö, és mve a potencá onstans ereég egértemű eért a árható. A () potencá másod dervátaént egserűen eőáíthatu a Eötvös-ngáva mérhető görbüet adato-, etve a horontás gradense eméet értéet: B ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) } B ( ) ( ) B ( ) ( ) ( ) B ( ) Veessü be a -,, ) mérés pontban a aább eöéseet: ( S Q D ( ) ( ) ( { ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ), ameee a () Eötvös-nga adato a - pontban: ( ) B S ( ), BQ ( ), B D ( ), B aho a sorfetés egüttható sáma, S, Q, D, pedg smerte. A nverós eárásho süséges eső derváta: (), (4) Geomata Köeméne XII., 009

3 A EÉZSÉGI ERŐTÉR 3D POTECIÁLÜGGVÉYÉEK IVERZIÓS ELŐÁLLÍTÁSA 3 B ( ) ( ) ( ) B ( ) ( ) ( ) (5) B ( ) ( ) ( ). Aamau a -,, ) mérés pontban a aább eöéseet: ( A ( ) ( ) ( ), C ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). (6) Ee sntén sámoható és mátrba fogaható eeme, ameee a eső dervát adato a - pontban: ( ) B A ( ), BC ( ), B, () aho a sorfetés egüttható sáma, A, C, pedg smerte. A mért és a értéebő aotott etérés vetoro eeme a másod dervát adatora: e e () (3) mért mért a eső dervát adatora pedg: e (5) mért ( ) B A ( ) ( ) B S B D (6) mért ( ), e BC () mért ( ), e BQ (4) mért ( ), e B () mért ( ), e B, (8), (9) () aho a mért () a nehéség gorsuás gravméterre mérhető értée, és a mért () és mért pedg csagásat függővona ehaásobó sámítható értée. (A eső derváta a függővonaehaásbó: gξ + U és gη + U, aho U a epsod normátér smert potencáfüggvéne, g a átagos nehéség gorsuás, ξ és η pedg a függővona-ehaás össetevő.) A mnmaáandó függvén egen a etérésvetor L normáa: E s s ( e ), (0) aho a s- típusú adato sáma. Vetoros írásmódot aamava veessü be a s ( s) { } () ( ) () () ( 3,...,,,...,,,..., ),...,..., (),..., ( ) d () ( mért ) C értéeet egeten (a ún. Jaob- eöést. A S Q D vaamnt a egütthatómátrba) fogava: S A mért és a értée etérése: G A 6 s s < s s. () Geomata Köeméne XII., 009

4 4 DOBRÓKA, VÖLGYESI L és ee a (0) sernt: A íg defnát nver feadat megodását a fetéterendser aapán feáított egenetrendserbő apu: e d e (mért) GB, (3) E ( e, e) (aho: s ). (4) E B s 0, (,..., ) (5) T T (mért) G GB G d (6) T T ( G G) G d B. () A nver probéma neárs, megodásáva a sorfetés egüttható B vetora meghatároható. A B vetor eemene smeretében a tees Eötvös-tenor (beeértve a Eötvös-ngáva övetenü nem mérhető vertás gradens értéeet s), een ívü pedg a függővona-ehaás sámításáho süséges, mennsége továbbá a nehéség gorsuás értée s egatu sámítható nemcsa a mérés pontoban, hanem a tees mérés terüeten. 3 Kíséret sámításo A módser aamahatóságána vsgáatára a. ábrán átható Sabadsáás-Ksőrös örné terüeten végetün íséret sámításoat, aho 48 Eötvös-nga és 9 gravméteres mérés eredméne ána rendeeésre. A test terüeten három astrogeodéa és tovább tí astrogravmetra pont s taáható, aho smerte a GRS80 rendserre vonatoó ξ, η függővona-ehaás értée. A ábrán a ponto a gravméteres mérése, a örö a nga-mérése hesínét a feete négete a astrogeodéa, a háromsöge pedg a astrogravmetra pontoat eö. A ereten a EOV oordnátá átható méterben. A. és a 3. ábrán a, a 4. és a 5. ábrán a görbüet gradense, 6. és a. ábrán a, a 8. és a 9. ábrán pedg a horontás gradense ovonaas térépe átható. A és a 8. ábrán a 48 Eötvös-nga mérés aapán megserestett ép, a és a 9. ábrán pedg a nverós eárássa eőáított ép átható. A ábráon a ovonaa épésöe 5 E. (E Eötvös egség 0-9 s - ).. ábra. Gravméteres és Eötvös-nga mérés ponto a test terüeten Geomata Köeméne XII., 009

5 A EÉZSÉGI ERŐTÉR 3D POTECIÁLÜGGVÉYÉEK IVERZIÓS ELŐÁLLÍTÁSA 5 A ábráat úg csoportosítottu, hog a Eötvös-ngáva mért eredet és a eenőrés céábó nverós reonstrucóva eőáított épe egmás meett övetenü össehasonítható egene. A, a, a és a gradense és 8. ábrán átható megehetősen vátoatos épe at vetítette eőre, hog esetünben a potencátér sorfetéses eírása csa vsonag magas fosámú ponomoa es ehetséges. A nverós feadat megodása során meghatárotu mndaon sorfetés egütthatóat, amee segítségéve a tees testterüetre eőáítható mnd a nehéség erőtér potencáfüggvéne, mnd a potencáfüggvén vaamenn eső és másod derváta. Össehasonítva pédáu a. és 3. etve a 4. és 5. ábráon a Eötvös-ngáva mért, vaamnt a egüttes nveróva eőáított és görbüet gradense épét, a egeés gen óna mondható, de ugane a ó egeés tapastaható a és a horontás gradense esetében s a 6. és. etve a 8. és 9. ábráon. Tapastaatan sernt a ponomo fosámána meghatároásaor örütentően e eárnun, mert a fosám növeéséve edetben assan, mad egre gorsabban csöen a megodandó normáegenete egütthatómátrána ondconátsága, a fosám csöentéséve vsont rom a febontóépesség. Vsgáatan sernt a P 8 4 átaában ó ompromssumna áts a febontóépesség és a normáegenete ondconátsága vonatoásában, m most P 9 fosámú hatvánponomot aamatun. A sorfetés egüttható smeretében ehetőség van a nehéség erőtér potencáfüggvénéne vaamnt a potencáfüggvén eső dervátana meghatároására s. A 0. ábrán eg addtív áan-. ábra. Eötvös-ngáva mért terüet eosása. 3. ábra. A nveróva eőáított terüet eosása. 4. ábra. Eötvös-ngáva mért terüet eosása. 5. ábra. A nveróva eőáított terüet eosása. Geomata Köeméne XII., 009

6 6 DOBRÓKA, VÖLGYESI L 6. ábra. Eötvös-ngáva mért terüet eosása.. ábra. A nveróva eőáított terüet eosása. 8. ábra. Eötvös-ngáva mért terüet eosása. 9. ábra. A nveróva eőáított terüet eosása. dó ereég egüttes nveróva meghatároott potencámeő átható.a ábrán a ovonaa épésöe 0. m /s. A geodéa sámára gen fontos függővona-ehaáso sámításáho a és mennsége smerete süséges, ugans a ξ és a η értée a és ξ / g () η / g (8) össefüggése aapán sámítható. A 0. ábrán egútta a függővona-ehaáso vetorat s bemutatu a egüttes nverós megodásábó, aho a vetoro hossát a θ ξ + η össefüggés aapán u. Végü, amnt eetü, a nverós eárássa ehetőség ní a Eötvös-ngáva övetenü nem mérhető vertás gradense meghatároására s. A íg meghatároott vertás gradense eenőrésére eddg nem vot ehetőségün, ebbő a cébó néhán eenőrő pontban vertás gradens méréseet terveü. Geomata Köeméne XII., 009

7 A EÉZSÉGI ERŐTÉR 3D POTECIÁLÜGGVÉYÉEK IVERZIÓS ELŐÁLLÍTÁSA 6 Össefogaás 0. ábra. Egüttes nveróva eőáított potencátér (a ovonaa épésöe 0. m /s ) és a függővona-ehaáso vetorábráa A átaun orábban dogoott D eárás továbbfeestéséve megodottu a nehéség erőtér 3 dmenós potencáfüggvénéne nverós eőáítását. A bemutatott módser a potencáfüggvén nagsámú Eötvös-nga és gravméteres mérés, vaamnt dgtás terepmode adato és néhán függővona-ehaás adat egüttes nveróána fehasnáásáva történő meghatároására nút ehetőséget. A íg reonstruát potencáfüggvénbő sámos gaorat fontosságú teret, (p. vertás gradenseet, függővona-ehaásoat) sármatathatun e a vsgáat terüet bárme pontában. A eárás eőne, hog mndet eg eentősen túhatároott nver probéma megodásáva tehetü. Kösönetnvánítás. Kutatásan a K6065 és a K63 OTKA támogatásáva fona. vatoáso Dobróa, Vöges L (005): A nehéség erőtér potencáfüggvénéne nverós reonstrucóa Eötvös-nga adato aapán. Geomata Köeméne VIII, Dobróa, Vöges L (008): Inverson reconstructon of gravt potenta based on gravt gradents. athematca Geoscences, 40(3), aac (950): De voständge Berechnung örtcher gravmetrscher Störefeder aus Drehwaagemessungen. Veröffentchungen des Geodätschen Insttutes Potsdam, r. 4, Potsdam. Tóth G, Vöges L, Csapó G (004): Determnaton of vertca gradents from torson baance measurements. IAG Internatona Smposum, Gravt, Geod and Space ssons. Porto, Portuga August 30 - September 3, 004. Tóth G, Vöges L, Csapó G (005): Determnaton of vertca gradents from torson baance measurements. IAG Smposa Vo 9, Gravt, Geod and Space ssons, C. Jee, L. Bastos, J. ernandes (Eds.), Sprnger, 9-9. Tóth G (00): Vertás gravtácós gradens meghatároás Eötvös-nga mérése háóatában. Geomata Köeméne X Vöges L (993) Interpoaton of defecton of the vertca based on gravt gradents. Perodca Potechnca Cv.Eng., 3(), Vöges L (995) Test Interpoaton of defecton of the vertca n ungar based on gravt gradents. Perodca Potechnca Cv.Eng., 39(), 3-5. Vöges L (00): Loca geod determnatons based on gravt gradents. Acta Geodaetca et Geophsca ung. 36(), Vöges L, Tóth G, Csapó G (004): Determnaton of gravt anomaes from torson baance measurements. Gravt, Geod and Space ssons GGS 004. IAG Internatona Smposum Porto, Portuga. Jee C, Bastos L, ernandes J. (Eds.) Sprnger Verag Bern, edeberg, ew Yor; Seres: IAG Smposa, Vo. 9. pp Vöges L, Tóth G, Csapó G, Sabó Z (005): A Eötvös-ngamérése geodéa céú hasnosításána heete agarorságon. Geodéa és Kartográfa, 5(5), 3-. Vöges L (005) Defectons of the vertca and geod heghts from gravt gradents. Acta Geodaetca et Geophsca ungarca, 40(), Vöges L, Tóth G, Csapó G (00): Determnaton of gravt fed from horonta gradents of gravt. Acta Geodaetca et Geophsca ungarca, 4(), 0-. Geomata Köeméne XII., 009