Fizika X, pótzh (00/ őszi félév) Teszt A sebessé abszolút értékének időszerinti interálja meadja az elmozdulást. H Az átlayorsulás a sebesséváltozás és az eltelt idő hányadosa. I 3 A harmonikus rező mozást véző tömepont yorsulása az eyensúlyi helyzeten való áthaladáskor maximális. H 4 A tapadási súrlódási erő általában nayobb, mint a mozási. I 5 6 A rakéta mozását inercia-rendszerben vizsálva, a fúvóka impulzusa nem változik. Tökéletesen rualmatlan centrális ütközés után a két tömepont relatív sebessée nulla. 7 A tömeközéppont koordinátái mindi pozitív számok. H 8 Az uyanakkora tömeű ömb héj és tömör ömb közül a tömörnek nayobb a tehetetlenséi nyomatéka. H 9 A perdület értéke fü a vonatkoztatási pont meválasztásától. 0 Tömepontrendszer impulzusának időbeli meváltozása fü a tömepontok között fellépő erőhatástól.
Feladatok. Tömepont helyvektora r = t 3 /6 i + 54/t j - 3t k [m], ha az időt s-ban írjuk le. Mekkora yorsulásának naysáa t = 3 s pillanatban? A sebessé az elmozdulás időszerinti első deriváltja, a yorsulás az elmozdulás időszerinti második deriváltja: dr t 54 v = = i j 6t k dt t dv 08 a = = ti + j 6k 3 dt t Ha behelyettesítjük a yorsulásra kapott eyenletbe a t = 3s-t, akkor a yorsulásvektorra a következőt kapjuk: 08 a = 3i + j 6k = 3i + 4 j 6k 7 A yorsulás naysáa (a yorsulásvektor hossza) a kérdés, amit úy kapunk me, hoy yököt vonunk a yorsulásvektor koordinátáinak néyzetösszeéből, azaz: m a = a = a + a + a3 = 3 + 4 + 6 = 9 + 6 + 36 = 6 7,8 s. k tömeű test 00 méterrel a Föld felszíne felett 30 m/s sebesséel közeledik a talajhoz. Földet éréskor sebessée 50 m/s. Mekkora a közeellenállás munkavézése? A ravitációs erőtérben a test mozási és helyzeti eneriájának összee (azaz a test mechanikai eneriája) állandó, ha nincs közeellenállás. Ebben a feladatban először ki kell számolni, hoy a testnek a kezdő pozícióban mennyi mechanikai eneriája volt. A kiindulási helyzetben a testnek volt mozási eneriája, mivel 30 m/s naysáú sebessée volt, és volt helyzeti eneriája is, mivel 00 m maasan volt. Ez alapján a test fenti összes eneriája: E = Em, + Eh, = m v + m h = 900 + 0 00 = 900 + 000 = 900 J Most mevizsáljuk a test eneriáját a földet éréskor. Ekkor a test helyzeti eneriája már nulla (hiszen a test 0 maassában van), mozási eneriája viszont van az 50 m/s naysáú sebessée miatt. Ezek alapján az eneria: E = Em, + Eh, = m v + m h = 500 + 0 0 = 500 + 0 = 500 J A hiányzó eneria lesz a közeellenállás munkavézése (hiszen eneria nem vész el): Wközeell = E E = 900 500 = 400 J
3. Mekkora az F = -7i + 3j (N) erő foratónyomatéka az r = i + 4j (m) helyvektorral kijelölt pontra vonatkozóan? Ehhez a feladathoz tulajdonképpen csak ey vektoriális szorzást kell elvéezni. A foratónyomaték: i j k 4 0 0 4 M = r F = 4 0 = i j + k = i 0 j 0 + k 6 + 8 = 34k Nm 3 0 7 0 7 3 7 3 0 4. Súlytalan, m hosszú merev rúd véein k, illetve 3 k tömeű pontszerű testek vannak. A rúd a nayobb tömetől 0, m távolsában lévő, a rúdra merőlees tenely körül forohat. Mekkora a rendszer tehetetlenséi nyomatéka erre a tenelyre vonatkoztatva? A k tömeű test távolsáa a tenelytől: r = 0,8 m. A 3 k tömeű test távolsáa: r = 0, m. Az első test tehetetlenséi nyomatéka: Θ = m r = 0,8 = 0,64 =,8km A második test tehetetlenséi nyomatéka: Θ = m r = 3 0, = 3 0,04 = 0, km A rendszer tehetetlenséi nyomatéka meeyezik a két tehetetlenséi nyomaték összeével: Θ=Θ +Θ =,8km + 0,km =, 4 km
5. Ey állandó vastasáú lemez síkjára merőlees két különböző tenelyére mérésekből ismerjük a tehetetlenséi nyomatékát Θ ( = kcm, Θ = kcm ), valamint a tömeközépponttól mért távolsáát (d = cm, d = 3 cm). Határozza me a mérési eredmények birtokában a lemez tehetetlenséi nyomatékát a tömeközépponton átmenő és a lemez síkjára merőlees tenelyre! Ahhoz, hoy meoldjuk ezt a feladatot, csak használnunk kell a Steiner-tételt. Ez azt mondja ki, hoy ha van ey merev testünk, és van két párhuzamos tenelyünk, amik átmennek a testen; az eyik tenely átmey a tömeközépponton (a merev test tehetetlenséi nyomatéka erre a tenelyre Θ ), a másik pedi ettől az első tenelytől d távolsára van, akkor a merev test tehetetlenséi nyomatéka erre a másik tenelyre íy számolható: Θ d =Θ + md, ahol m a merev test tömee. A feladatban meadott két tenelyre felírjuk a Steiner-tételt, ki tudjuk számolni Θ t. A két eyenlet: Θ =Θ + md Θ =Θ + md Mivel a távolsáok cm-ben vannak meadva, a tehetetlenséi nyomatékok pedi kcm ben, ezért a számokat simán beírhatjuk az eyenletekbe (nem kell átváltanunk semmit). A két eyenlet tehát: =Θ + m =Θ + m3 Az első eyenletből m könnyen kifejezhető: m = -Θ. Ezt beírva a második eyenletbe azonnal mekapjuk a meoldást: 7 =Θ + Θ 3 =Θ + 9 9Θ = 9 8Θ 8Θ = 7 Θ = = 0,875 kcm 8
6. Az asztalon L hosszúsáú hajlékony kötél fekszik. A véét ey kicsit mehúzva, a kötél súrlódás nélkül lecsúszik az asztalról. Mennyi a sebessée, amikor a felső vée éppen elhayja az asztalt? Hasonlóképpen ondolkodhatunk, mint a. feladatban. Azaz ravitációs erőtérben ey test mozási és helyzeti eneriájának összee állandó. A helyzeti eneria nulla szintjének veyük azt az állapotot, amikor a kötél felső vée éppen elhayja az asztalt (azaz a véállapotot). Ilyenkor a kötél a kiindulási állapotban (az asztalon) a viszonyítási szintünkhöz képest L/ maassában van. Azért csak L/ maassában, mert a kötél tömeközéppontja a kötél közepében van (azaz a felénél). Tehát amikor a kötél a kiindulási ponttól (asztal) a véállapoti eljut (a felső része mé éri az asztalt), akkor a tömeközéppontja csak L/ maassáot csökkent. Ezek alapján a kötél eneriája, mikor az asztalon fekszik (helyzeti eneriája van, mozási nincs): E = E L L m, + Eh, = mv + mh = m0 + m = m A kötél eneriája, amikor a felső része mé épp hozzáér az asztalhoz (helyzeti eneria nincs, mozási eneria van): E = Em, + Eh, = m v + m h = m v + m 0= m v A két eneriának az eneria memaradás miatt nyilván me kell eyeznie: E = L m = m v = E L v = L= v L = v 7. M=0. Nm foratónyomatékkal a tenelysúrlódást leyőzve eyenletesen foratunk ey testet. Mekkora munkát vézünk, mialatt a szöelfordulás 430? Először a szöelfordulást át kell váltani radiánba: 430 ϕ 430 π = ϕ= 7,5 360 π 360 A munka ezután már könnyen számolható: W = M ϕ 0, 7,5=,5J
8. A kezdősebessé nélkül szabadon eső test utolsó két másodpercbeli átlasebessée háromszorosa az első két másodpercbeli átlasebesséének. Mekkora a test vésebessée? A kezdő pillanathoz képest t idő múlva a test elmozdulása a kiindulási ponthoz képest: s= t Ezt fojuk kihasználni. Először számoljuk ki az első két másodpercbeli átlasebesséet! Ehhez tudnunk kell az első másodpercben metett utat. Ezt könnyű kiszámolni, hiszen ez meeyezik a sec alatt történő elmozdulással: s0sec sec = = Íy már ki tudjuk számolni az átlasebesséet. Tudjuk, hoy a test ezt az utat sec alatt tette me. Ez alapján az átlasebessé: v 0sec s0sec sec sec = = = sec Most jön az utolsó két másodperbeli átlasebessé kiszámítása. Nem tudjuk, hoy a test mennyi idei esett, leyen ez az idő t. Az utolsó két másodpercben metett utat úy kapjuk me, hoy a t idei metörtént elmozdulásból kivonjuk a t- idei történt elmozdulást. Az utolsó két másodpercben metett út tehát: s = t t sec tsec ( t ) = ( t t + 4t 4) = ( 4t 4) = ( t ) Ez alapján ki tudjuk számolni az utolsó két másodpercbeli átlasebesséet: s t v( t ) = = = t sec tsec sec ( t ) sec tsec ( ) Tudjuk, hoy ez háromszorosa az elsőre kiszámolt átlasebessének, ez alapján ki tudjuk számolni, mennyi idei esett a test: 3 v = 3 = t = v 0sec sec t sec tsec 3= t 4= t Tehát a test 4 másodpercen keresztül esett. Ebből már ki tudjuk számolni a vésebesséét: m vt = v4sec = v0 + t = 0 + 4 = 40 s
9. Eyenletesen yorsuló mozást véző jármű útjának 90 méteres darabján három másodperc alatt mekétszerezte sebesséét. Mennyi volt a sebessée a 90 méteres szakasz elején? Állandó yorsulásnál, ha ismerjük a test két időpillanatbeli sebesséét (t és t a két időpillanat), akkor a két időpillanat között metett út számolható íy: vt + v t s= t t Az utat és a két idő különbséét (3s) tudjuk. Ebben az eyenletben csak a sebesséek ismeretlenek, de ki tudjuk őket számolni, hiszen tudjuk, hoy a második sebessé az elsőnek a kétszerese. Ez alapján az eyenlet: vt + v t 3v t 9v t 90 80 m 90 = 3 = 3 = vt = = = 0. 9 9 s 0. Milyen irányban dobtuk el azt a testet, amely 4s múlva 80 m távolsában esik a földre (=0 m/s, a léellenállást elhanyaoljuk)? A test kezdősebesséének naysáa leyen v, a vízszintessel bezárt szö leyen α. Ilyenkor a sebessé füőlees komponensének naysáa v cos α, a vízszintes komponensé v sin α. A ferde hajítás olyan, mintha két mozás eyüttese lenne: ey füőlees felfelé hajításé, és ey vízszintes eyenes vonalú eyenletes mozásé. Amikor a test földet ér (a dobás pillanatától számított 4 másodperccel később), a füőlees irányban történt elmozdulása 0 kell, hoy leyen: sy = vy t t = v sinα t t = 0 5 6 4 vsin α 4 54 = 0 vsin α= = 54 = 0 A vízszintes elmozdulásnak uyanebben a pillanatban 80 méternek kell lennie. Mivel a test vízszintes mozása eyenletes, ezt az eyenletet kapjuk: sx = vx t = v cos α t = 80 v cos α 4 = 80 80 v cos α= = 0 4 A két eyenlet alapján kapunk ey újabb eyenletet: 0 = v sin α= v cos α sin α= cos α Mivel 0 <α<90, ezért ez csakis α=45 -ra teljesül. Tehát a testet 45 -os szöben dobtuk el.