Numerikus módszerek 1. Tantárgy kódja: IP-08bNM1E, IP-08bNM1G (2+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. A hibaszámítás elemei. Lineáris egyenletrendszerek (LER) megoldása: direkt módszerek (Gauss-elimináció, LU felbontás, Cholesky felbontás, QR felbontás) és iterációs módszerek (Jacobi, Gauss-Seidel, Richardson, ILU algoritmus). Nemlineáris egyenletek megoldása. Banach-féle fixpont tétel. Newton-módszer, húrmódszer, szelımódszer. Becslés a polinom gyökeinek elhelyezkedésére. Az egyes elıadások tematikái 1. elıadás A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. Az input függvény (fl) fogalma, tétel az ábrázolt szám hibájáról. A hibaszámítás elemei. Az abszolút és relatív hiba ill. hibakorlát fogalma. Tétel az alapmőveletek abszolút és relatív hibájáról. A függvényérték abszolút és relatív hibája. A függvény a pontbeli kondíciószámának fogalma. 2. elıadás Lineáris egyenletrendszerek (LER) megoldása Gauss-eliminációval. Az elimináció és a visszahelyettesítés mőveletigénye. A sor-, illetve oszlopcsere szükségessége. A részleges és teljes fıelemkiválasztás. A GE alkalmazásai: determináns számítása, azonos mátrixú lineáris egyenletrendszerek megoldása, mátrix inverz számítás. A GE felírása speciális mátrix szorzással. Kapcsolata az LU felbontással. 3. elıadás Az LU felbontás, tétel az! -rıl. A fıminorok és az LU felbontás kapcsolata. L és U elemeinek meghatározásának menete, sorrendek az elemek kifejezésére. Mőveletigénye. Fogalmak: A szimmetrikus, pozitív definit, szigorúan diagonálisan domináns a sorokra ill. oszlopokra, fél sávszélesség, profil, Schur-komplementer. A GE (LU felbontás) megmaradási tételei. 4. elıadás Az LDU felbontás és a Cholesky-féle felbontás, kapcsolatuk az LU felbontással. Tétel a Cholesky-féle felbontásról. QR felbontás Gram-Schmidt ortogonalizációval. 5. elıadás QR felbontás Householder transzformációval. A transzformáció tulajdonságai, alkalmazása LER megoldására. A vektor- és mátrix norma fogalma, példák. Normák ekvivalenciája. 6. elıadás
Az indukált mátrix norma konstrukciója, az illeszkedés fogalma. Az 1-es,, Frobenius mátrix norma. A 2-es mátrix norma és kapcsolata a spektrálsugárral. 7. elıadás A lineáris egyenletrendszer érzékenységére vonatkozó tételek. A kondíciószám fogalma és tulajdonságai. A LER megoldásának iterációs módszerei. Banach-féle n fixpont tétel IR -re. 8. elıadás n A LER megoldásának iterációs módszerei. Banach-féle fixpont tétel IR -re. Elégséges feltétel a konvergenciára. Szükséges és elégséges feltétel a konvergenciára. Speciális iterációs módszerek: Jacobi-iteráció, a koordinátákra felírt alakja és a konvergencia tétele. A szigorúan diagonálisan domináns (sorokra ill. oszlopokra) mátrix fogalma. 9. elıadás A csillapított Jacobi-iteráció, a koordinátákra felírt alakja és konvergencia tétele. A Gauss-Seidel-iteráció, a koordinátákra felírt alakja. A Gauss-Seidel relaxáció, a koordinátákra felírt alakja és a konvergencia tételei speciális mátrix osztályokra. 10. elıadás A Richardson-típusú iteráció, konvergencia tétele. Kerekítési hibák hatása az iterációkra. A részleges LU felbontás és az ILU algoritmus. 11. elıadás Nemlineáris egyenletek megoldása. Bolzano tétel, intervallum-felezés. A konvergencia rend fogalma. Brouwer-féle fixpont tétel, Banach-féle fixpont tétel [ a; b] IR -en. Elégséges feltételek a kontrakcióra. Az m-edrendő konvergenciára vonatkozó tétel. 12. elıadás A Newton-módszer és konvergencia tételei (monoton, lokális). Húrmódszer, szelımódszer, többváltozós Newton-módszer. 13. elıadás A Horner algoritmus polinom helyettesítési értékeinek gyors számolására. Becslés a polinom gyökeinek elhelyezkedésére. Az egyes gyakorlatok tematikái 1. gyakorlat Egyszerő hibaszámításos feladatok. A függvényérték hibájára példa. Állandó együtthatós kétlépéses rekurziók esetén a hibaterjedés számolása. Pl. Fibonacci sorozat. Gépi számhalmazra példa. Valós számnak megfeleltetett gépi szám keresése. Pl. 1/12, 1/3, 3,123 stb. Hibakorlát számolások, a számábrázolásból adódóan. 2. gyakorlat
Még példák az elızı témakörre, összeadás, kivonás a gépi számok körében. Hibakorlát számolás. Gauss-eliminációval LER megoldás. 3. gyakorlat Példák LU felbontásra többféle módon is. A megmaradási tételekbıl az egyszerőbbek bizonyítása. 4. gyakorlat Példák LDU, Cholesky felbontásra, QR felbontásra Gram-Schmidt ortogonalizációval. 5. gyakorlat Példák Gram-Schmidt ortogonalizációra és Householder transzformációkra. Normás feladatok: Frobenius nem indukált norma, sajátérték és mátrix norma kapcsolata. 6. gyakorlat Zárthelyi dolgozat 7. gyakorlat A * A szimmetrikus, pozitív szemidefinit. Spektrálsugár és norma kapcsolata. A normális esetben a 2-es norma kifejezhetı a spektrálsugárral. 1-es vagy végtelen mátrix norma képletének bizonyítása. A 2-es vektor és mátrixnorma invariáns az ortogonális transzformációkra. Frobenius norma tulajdonságai, illeszkedik a 2-es vektornormához. 8. gyakorlat Kondíciószám számítása különbözı mátrix normákban. A QR- és a Cholesky felbontás kondicionáltsága. Példák LER iterációs módszereire, az elégséges feltétel és a szükséges és elégséges feltétel alkalmazása a konvergencia bizonyítására. Hibabecslések. 9. gyakorlat Példák a Jacobi-, csillapított Jacobi-, Gauss-Seidel-iterációra. A tanult konvergencia tételek alkalmazása. 10. gyakorlat Példa Richardson-típusú iterációra, lépésenkénti optimális paraméter választás. Példa részleges LU felbontásra, és az ILU algoritmus. 11. gyakorlat Példa az intervallum-felezés módszerére. A konvergencia rend fogalma egyszerő nullsorozatokon. A fixpont tétel alkalmazása konkrét feladatokon, hibabecslések. Az m-edrendő konvergenciára vonatkozó tétel alkalmazása. 12. gyakorlat A Newton-módszer és konvergencia tételeinek (monoton, lokális) alkalmazása. A Horner algoritmus konkrét polinomok esetén. Becslés a polinom gyökeinek elhelyezkedésére. 13. gyakorlat Zárthelyi dolgozat
Numerikus módszerek 2. Tantárgy kódja: IP-08bNM2EG (1+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A polinom interpoláció. Lagrange és Newton alak. Hermite interpoláció. Spline interpoláció (intervallumonként és B-spline-okkal). Mátrix szinguláris felbontása. Az általánosított inverz és általánosított megoldás. Legkisebb négyzetek módszere. Ortogonális polinomok. Numerikus integrálás. Newton-Cotes formulák (érintı-, trapéz- és Simpson formula, összetett formulák). Csebisev és Gauss típusú kvadratúrák. Az egyes elıadások tematikái 1. elıadás A polinom interpoláció feladata, az interpolációs polinom létezése, egyértelmősége, Lagrange alakja, a Lagrange alappolinomok. 2. elıadás Az interpolációs polinom Newton alakja, az osztott differenciák fogalma. Hibabecslések. 3. elıadás A Csebisev polinom fogalma, tulajdonságai. Alkalmazása az interpolációnál. Az interpolációs polinomok konvergenciája. Az inverz interpoláció. 4. elıadás Az Hermite interpoláció fogalma, létezése, egyértelmősége. Speciális esetek. Hibaformula. Az osztott differencia fogalom kiterjesztése, a Newton-alak felírása. 5. elıadás Az l-edfokú spline fogalma, peremfeltételei. Az elsı és másodfokú spline megadása intervallumonként. 6. elıadás A harmadfokú spline megadása intervallumonként. 7. Globális bázis spline-okra. A B-spline-ok fogalma, a lineáris spline elıállítása B- spline-okkal. 8. elıadás A köbös spline elıállítása B-spline-okkal. Hibabecslések.
9. elıadás Mátrix szinguláris felbontása. Az általánosított inverz és általánosított megoldás fogalma, approximációs tulajdonsága. Elıállítása a teljes rangú esetekben. 10. elıadás Legkisebb négyzetek módszere. A négyzetesen legjobban közelítı polinom elıállítása. 11. elıadás A négyzetesen legjobban közelítı polinom elıállítása az általánosított inverzzel és szélsıérték feladatként. 12. elıadás Ortogonális polinomok. Az 1 fıegyütthatós ortogonális polinom rekurziója, gyökeire vonatkozó tételek. Klasszikus ortogonális polinomok (intervallum, súlyfüggvény). 13. elıadás Numerikus integrálás, interpolációs kvadratúra formulák. Tétel a pontosságról. Newton-Cotes formulák jellemzése, a zárt és nyílt formulák megadása. Érintı-, trapézés Simpson formula és hibabecsléseik. Összetett formulák. 14. elıadás Csebisev típusú kvadratúra formulák jellemzése, elıállítása a momentumok segítségével. Gauss típusú kvadratúra formulák jellemzése. Tétel a pontosságról, hibaformula.