Előadó: Dr. Oniga István DIGITÁLIS TEHNIK 3
Logikai függvények logikai függvény olyan egyenlőség, amely változói kétértékűek, és ezek között csak logikai műveleteket végzünk függvények megadása történhet táblázat segítségével (Igazságtábla), algebrai alakban, matematikai jelölésekkel, grafikus módon (Karnaugh tábla), időfüggvény formájában. felsorolt leírási módok teljesen egyenértékűek, és egymásba átírhatók! z igazságtáblázatban a független változók lehetséges állapotait bináris kód szerint soroljuk fel. Egy n számú független változójú logikai függvény 2 n féle állapotot vehet fel.
Igazságtáblázat táblázat tartalmazza a független változók összes kombináció-ját és az azokhoz rendelt függvényértékét független változók lehetséges állapotait bináris kód szerint soroljuk fel. Egy n számú független változójú logikai függvény 2 n féle állapotot vehet fel. felsorolás kétféle lehet: logikai szorzatokra, azaz mintermek, logikai összegekre, azaz maxtermek. Minterm = olyan logikai ÉS, melyben minden változó egyszer, és csakis egyszer fordul elő negált, vagy nem negált formában. Maxterm = olyan logikai VGY, melyben minden változó egyszer, és csakis egyszer fordul elő negált, vagy nem negált formában. Egy n változós logikai függvénynek tehát 2 n féle mintermje és ugyanennyi maxtermje lehet.
Logikai függvények felírása Két normál forma: Diszjunktív kanonikus alak (teljes diszjunktív normál forma): olyan függvény, mely mintermek VGY kapcsolatából áll. Sum of Products (SOP) Szokás még egyszerűen mintermes alaknak, szorzatok összegének, röviden szorzatösszegnek, mintermek összegének is nevezni. Pl. X = + + Konjunktív kanonikus alak, (teljes konjunktív normál forma): olyan függvény, mely maxtermek ÉS kapcsolatából áll. Product of Sums (POS) Szokás még egyszerűen maxtermes alaknak, összegek szorzatának, röviden összegszorzatnak, maxtermek szorzatának is nevezni. Pl. X = ( + + )( + + )( + + )
Matematikai, egyszerűsített felírás függvény, oly módon is leírható, hogy a minterm-je vagy maxterm-je hanyadik eleme a mintermek, illetve maxtermek rendezett sorának. minterm-et az m i v jelöléssel helyettesíthetjük, m jelzi, hogy a logikai egység minterm, a felső index v a változók számát, az alsó index i a sorszámot jelenti. Súlyozzuk a következőképen egy háromváltozós függvény változóit: 2 2, 2 1, 2 0, z előző példák a következő képen írhatók át: X = + + = m + 3 3 3 1 + m0 + m7 = P1 + P0 P7 X = ( + + )( + + )( + = M 3 1 M 3 0 M 3 7 = S 1 S S 0 7 + ) =
Grafikus ábrázolás grafikus ábrázolásainak egyik változata Karnaugh diagram z függvényt cellákból álló táblán ábrázoljuk. Minden cella egy-egy termet képvisel logikai függvényt úgy írjuk a Karnaugh táblába, hogy amelyik termje 1, az annak a termnek megfelelő cellába 1-et írunk, a többi cellát üresen hagyjuk, azaz a 0-kat nem írjuk be Két változós Karnaugh diagram Háromváltozós Karnaugh tábla három változó már 2 3 = 8 lehetséges állapotot vehet fel, így 8 cellás Karnaugh tábla kell 000 001 011 010 100 101 111 110
Négy változós Karnaugh tábla négy változó már 2 4 = 16 lehetséges állapotot vehet fel, így 16 cellás Karnaugh tábla kell D 00 01 11 10 00 m 0 m 1 m 3 m 2 01 m 4 m 5 m 7 m 6 11 m 12 m 13 m 15 m 14 10 m 8 m 9 m 11 m 10 D D 00 01 11 10 00 0000 0001 0011 0010 01 0100 0101 0111 0110 11 1100 1101 1111 1110 10 1000 1001 1011 1010
logikai függvények egyszerűsítése él: kevesebb művelet, és vagy kevesebb változó. z egyszerűsítésre azért van szükség, mert a feladatot megvalósító logikai hálózat kevesebb áramkört, vagy kevesebb utasítást tartalmaz lgebrai módszerek Grafikus egyszerűsítés. grafikus függvényegyszerűsítés szabályi: az összevont cellákat lefedő hurokkal szokás jelölni két szomszédos cellában 1 van, akkor ezek összevonhatók (az a változó amelyikben különböznek a cellák kiesik) a összevonható cellák száma 2 n, ha azok kölcsönösen szomszédosak mindig a lehető legnagyobb tömböt célszerű kialakítani tábla szélei is szomszédosak egymással átlósan nem lehet összevonni minden 1 -t tartalmazó cellát legalább egyszer le kell fedni a lefedett cellákból a kitevőnek (n) megfelelő számú változó esik ki, amelyek a lefedés alatt változnak,
Minimalizálási algoritmusok Sok bemeneti változóra a kézi módszerek (algebrai, Karnaugh tábla) már nem megfelelőek Léteznek számítógépes algoritmusok Quine-Mcluskey Kimerítő teljes algoritmus Közepes változó számig megismert lépéseket hajtja végre Számítógépes végrehajtás (hosszú futásidőt igényel) Espresso Heurisztikus algoritmus, lokális keresést alkalmaz Szinte minden szintézis program ezt használja ( Xilinx ISE XST is)
Részben meghatározott logikai függvények egyszerűsítése Ha a logikai függvény nem teljesen határozott, akkor legalább egy olyan bemeneti kombináció, (minterm) van, amelyhez rendelt függvény érték számunkra közömbös. közömbös mintermekkel szabadon bánhatunk. Ha előnyös az egyszerűsítés szempontjából, akkor összevonjuk őket az 1-es mintermekkel, ha nem, akkor 0- s mintermeknek tekintjük őket. Pl. F = D + D + D + + D + D + D Közömbös mintermekk: D D D F = P 0 + P 2 + P 3 + P 5 + P 10 + P 15 közömbös mintermekk: P 7, P 8 şi P 11 D F 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 X 1 0 0 0 X 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 X 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
függvény megvalósítassa kapukkal D F F - Egyszerűsítés nélkül: + D + D D + D + D F = D + +
függvény egyszerűsítése F = D + D + D + + D + D + D - Karnaugh táblázat - ellák összevonása - Egyszerűsítet függvény kiolvasása D 00 01 11 10 00 1 0 1 1 01 0 1 x 0 11 0 0 1 0 10 x 0 x 1 F = + + D - Egyszerűsítet függvény megvalósítása kapukkal
függvény megvalósítassa NND kapukkal D + = F + - z előző függvény átalakítható De Morgan tételek használatával D D + F = F = + =
függvény megvalósítassa 2 bemenetű NND kapukkal - Kevesebb I kapszula: egy adót típusú logikai kapu használata - z előző függvény átalakítható az asszociativitás tulajdonság felhasználásával D D F = = ) ( ) ( D = F ) ( ) (
Logikai kapuk I - Két fontosabb technológia: - TTL (Transistor-Transistor Logic) - MOS (omplementary Metal-Oxide-Semiconductor). - TTL kapuk - 5 V - előtag74 vagy 54 - Fontosabb típusok: 74 normál TTL (betűk nélkül) 74S Schottky TTL 74LS Low-power Schottky TTL (kis fogyasztású TTL Schottky) 74S dvanced Schottky TTL (nagy sebességű TTL Schottky) 74LS dvanced Low-power Schottky TTL (nagy sebességű és kis fogyasztású TTL Schottky) 74F Fast TTL (gyors TTL)
Logikai kapuk II - MOS kapuk - 5V, 3,3V, 2,5V és 1,8V - előtag74 (vagy 54) + betű(k) - Fontosabb 5 V os típusok: 74H és 74HT High-speed MOS (T : TTL kompatibilis) 74 şi 74 T dvanced MOS (kis fogyasztású MOS) 74H şi 74HT - dvanced High-speed MOS (nagy sebességű és kis fogyasztású MOS) Fontosabb 3,3 V os típusok: 74L Low-voltage MOS 74LV Low-voltage MOS 74LV dvanced Low-voltage MOS
Logikai kapuk III
Logikai kapuk III Tokozás: DIP (Dual Inline Package) SOI (Small Outline Integrated ircuit) 0.740 0.770 in. 14 13 12 11 10 9 8 0.335 0.334 in. 14 13 12 11 10 9 8 0.250 ± 0.010 in. 0.228 0.244 in. 1 2 3 4 5 6 7 Pin no.1 identifiers 14 Lead no.1 identifier 1 2 3 4 5 6 7 1 14 DIP package 1 SOI package
Gyakorlat Digitális példatár Link Online Karnaugh módszer Link