Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Hasonló dokumentumok
Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika 1. középszint

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Diszkrét matematika I.

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Dr. Vincze Szilvia;

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

A Matematika I. előadás részletes tematikája

2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia;

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Halmazelméleti alapfogalmak

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

D(x, y) - x osztója y-nak

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika HALMAZALGEBRA. Halmazalgebra

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 2.C szakirány

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

5. A kiterjesztési elv, nyelvi változók

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I.

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 2. MA3-2 modul. Eseményalgebra

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Matematikai logika és halmazelmélet

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

DISZKRÉT MATEMATIKA I. TÉTELEK

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

A fontosabb definíciók

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2.C szakirány

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Diszkrét matematika 2.C szakirány

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

A relációelmélet alapjai

DiMat II Végtelen halmazok

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I.

Átírás:

Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2017. ősz

Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 2. Műveletek halmazokkal Az unió és metszet disztributivitási tulajdonságai: Álĺıtás 1 A (B C) = (A B) (A C) 2 A (B C) = (A B) (A C) Bizonyítás 1 x A (B C) x A x B C x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) (x A B) (x A C) x (A B) (A C) 2 HF. hasonló

Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 3. Különbség, komplementer Az A és B halmazok különbsége az A \ B = {x A : x B}. Egy rögzített X alaphalmaz és A X részhalmaz esetén az A halmaz komplementere az A = A = X \ A.

Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 3. Különbség, komplementer Az A és B halmazok különbsége az A \ B = {x A : x B}. Egy rögzített X alaphalmaz és A X részhalmaz esetén az A halmaz komplementere az A = A = X \ A. Álĺıtás A \ B = A B Bizonyítás x A \ B x A x B x A x B x A B

Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 4. Komplementer tulajdonságai Álĺıtás (Biz. HF) Legyen X az alaphalmaz. 1 A = A; 2 = X ; 3 X = ; 4 A A = ; 5 A A = X ; 6 A B B A; 7 A B = A B; 8 A B = A B. A 7. és 8. összefüggések az ún. de Morgan szabályok.

Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 5. Komplementer tulajdonságai Bizonyítás(). x A B (x A B) (x A x B) (x A) (x B) (x A) (x B) x A B.

Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 6. Szimmetrikus differencia Az A és B halmazok szimmetrikus differenciája az A B = (A \ B) (B \ A). Álĺıtás(Biz. HF) A B = (A B) \ (A B)

Halmazok Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 7. Hatványhalmaz Ha A egy halmaz, akkor azt a halmazrendszert, melynek elemei pontosan az A halmaz részhalmazai az A hatványhalmazának mondjuk, és 2 A -val jelöljük. A =, 2 = { } A = {a}, 2 {a} = {, {a}} A = {a, b}, 2 {a,b} = {, {a}, {b}, {a, b}} Álĺıtás (Biz. volt kombinatorikánál) 2 A = 2 A

Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 8. Relációk A relációk a függvényfogalom általánosításai;,,hagyományos függvények pontos definiálása;,,többértékű függvények kapcsolatot ír le =, <,, oszthatóság,...

Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 9. Rendezett pár Adott x y és (x, y) rendezett pár esetén számít a sorrend: {x, y} = {y, x} (x, y) (y, x). Az (x, y) rendezett párt a {{x}, {x, y}} halmazzal definiáljuk. Az (x, y) rendezett pár esetén a x az első, az y a második koordináta. Az X, Y halmazok Descartes-szorzatán (direkt szorzatán) az X Y = {(x, y) : x X, y Y } rendezett párokból álló halmazt értjük.

Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 10. Binér relációk Adott X, Y halmazok esetén az R X Y halmazokat binér (kétváltozós) relációknak nevezzük. Ha R binér reláció, akkor gyakran (x, y) R helyett xry-t írunk. 1. I X = {(x, x) X X : x X } az egyenlőség reláció. 2. {(x, y) Z Z : x y} az osztója reláció. 3. F halmazrendszer esetén az {(X, Y ) F F : X Y } a tartalmazás reláció. 4. Adott f : R R függvény esetén a függvény grafikonja {(x, f (x)) R R : x R}. Ha valamely X, Y halmazokra R X Y, akkor azt mondjuk, hogy R reláció X és Y között. Ha X = Y, akkor azt mondjuk, hogy R X -beli reláció (homogén binér reláció).

Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 11. Relációk értelmezési tartománya, értékkészlete Ha R reláció X és Y között (R X Y ) és X X, Y Y, akkor R reláció X és Y között is! Az R X Y reláció értelmezési tartománya a értékkészlete dmn(r) = {x X y Y : (x, y) R}, rng(r) = {y Y x X : (x, y) R}. 1. Ha R = {(x, 1/x 2 ) : x R}, akkor dmn(r) = {x R : x 0}, rng(r) = {x R : x > 0}. 2. Ha R = {(1/x 2, x) : x R}, akkor dmn(r) = {x R : x > 0}, rng(r) = {x R : x 0}.

Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 12. Relációk kitejesztése, leszűkítése, inverze Egy R binér relációt az S binér reláció kiterjesztésének, illetve S-et az R leszűkítésének (megszorításának) nevezzük, ha S R. Ha A egy halmaz, akkor az R reláció A-ra való leszűkítése (az A-ra való megszorítása) az R A = {(x, y) R : x A}. Legyen R = {(x, x 2 ) R R : x R}, S = {( x, x) R R : x R}. Ekkor R az S kiterjesztése, S az R leszűkítése, S = R R + 0 (ahol R + 0 a nemnegatív valós számok halmaza). Egy R binér reláció inverze az R 1 = {(y, x) : (x, y) R}. R 1 = {(x 2, x) R R : x R}, S 1 = {(x, x) R R : x R}

Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 13. Halmaz képe, teljes inverz képe Legyen R X Y egy binér reláció, A egy halmaz. Az A halmaz képe az R(A) = {y Y x A : (x, y) R}. Adott B halmaz inverz képe, vagy teljes ősképe az R 1 (B), vagyis a B halmaz képe az R 1 reláció esetén. Legyen R = {(x 2, x) R R : x R}, S = {(x, x) R R : x R}. R({9}) = { 3, +3} (vagy röviden R(9) = { 3, +3}), S(9) = {+3}.

Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 14. Legyen R reláció az X = {A, B, C,..., P} halmazon, és jelöljük T T -vel, ha (T, T ) R. A dmn(r) = {A, B, C, D, F, G, H, I, K}. M rng(r) = {A, B, C, E, F, G, H, I, J, L}. R {A,B,C,D} = {(A, B), (B, C), (C, A), (D, E), (D, F )}. C D G I B E F H J N O K L P

Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 14. Legyen R reláció az X = {A, B, C,..., P} halmazon, és jelöljük T T -vel, ha (T, T ) R. A dmn(r) = {A, B, C, D, F, G, H, I, K}. M rng(r) = {A, B, C, E, F, G, H, I, J, L}. R {A,B,C,D} = {(A, B), (B, C), (C, A), (D, E), (D, F )}. C D G I B E F H J N O K L P

Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 14. Legyen R reláció az X = {A, B, C,..., P} halmazon, és jelöljük T T -vel, ha (T, T ) R. A dmn(r) = {A, B, C, D, F, G, H, I, K}. M rng(r) = {A, B, C, E, F, G, H, I, J, L}. R {A,B,C,D} = {(A, B), (B, C), (C, A), (D, E), (D, F )}. C D G I B E F H J N O K L P

Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 14. Legyen R reláció az X = {A, B, C,..., P} halmazon, és jelöljük T T -vel, ha (T, T ) R. A dmn(r) = {A, B, C, D, F, G, H, I, K}. M rng(r) = {A, B, C, E, F, G, H, I, J, L}. R {A,B,C,D} = {(A, B), (B, C), (C, A), (D, E), (D, F )}. C D G I B E F H J N O K L P

Relációk Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 15. Kompozíció Legyenek R és S binér relációk. Ekkor az R S kompozíció (összetétel, szorzat) reláció: R S = {(x, y) z : (x, z) S, (z, y) R}. Kompozíció esetén a relációkat,,jobbról-balra írjuk : Legyen R sin = {(x, y) R R : sin x = y}, Legyen S log = {(x, y) R R : log x = y}. Ekkor R sin S log = {(x, y) z : log x = z, sin z = y} R sin S log = {(x, y) R R : sin log x = y}.