Optimális kvantálás additív zajszűrés esetén

SZTIPÁNOVITS JÁNOS BME Műszer- és Méréstechnika Tanszék Optimális kvantálás additív zajszűrés esetén ETO 62.37S.S4: 6 2.376.5: 62.39.82 Az additív zajszűrés vagy jelátlagolás elterjedten alkalmazott méréstechnikai eljárás periodikusan ismétlődő vagy triggerelhető zajos jelek mérésére. A digitális jelátlagoló berendezések árát és a jel felső határfrekvenciáját alapvetően befolyásolja a bemeneten levő A/D átalakító egység. A következőkben megvizsgáljuk az A/D átalakító paraméterei és az elérhető jel/zaj viszony növekedés közti összefüggést és a paraméterek optimális kiválasztásának feltételeit. y yt i i *; X. Az optimális kvantálás megfogalmazása \H306~SJ\ Analóg jelek digitális csatornán történő továbbításánál, digitális mérés- és adatfeldolgozásnál az idő- és amplitúdókvantálás segítségével úgy redukáljuk az analóg jel információtartalmát, hogy illeszkedjék a véges kapacitású digitális csatorna átviteli tulajdonságaihoz, illetve a digitális adatfeldolgozó rendszer megkívánt adatpontosságához. Az időbeli kvantálást végző mintavételező egység az X analóg forrás kimenőjelét, az x(t) sztochasztikus folyamatot egy {x(f,)} sorozattá alakítja át, amire teljesül, hogy i=» CO 0l 7 ha x(r) sávkorlátozott és T kielégíti a mintavételi tételt. A továbbiakban a mintavételi tétel teljesülésével, illetve a véges mintavételi számból eredő approximációs hibával nem foglalkozunk. Az {x(t,)} sorozat felfogható egy jeltér x vektoraként is. A kvantáló a jeltér folytonos koordinátáihoz (a mintavételi értékekhez) diszkrét értékeket rendel, azaz a jelteret leképzi egy diszkrét jeltérre. Ha az összes mintavételi értéket ugyanazzal az eszközzel kvantáljuk, a nemlineáris leképzést egyértelműen leírhatjuk a kvantálási szintek {x,} és a kimeneti értékek {y,} halmazának megadásával (. ábra). A továbbiakban az {x,} és {(/,} halmazokat tekintjük a kvantáló paramétereinek. Az optimális kvantálás problémája ezek után a következőképpen fogalmazható meg: Legyen s(t) és x(t) két sztochasztikus folyamat, amiket az s és x vektorokkal írunk le. Tekintsük az s(t) folyamatot jelnek, az x(t) folyamatot a mérhető adatnak. A digitális mérő- és adatfeldolgozó berendezéssel vagy a jelből származtatható vektort vagy az Beérkezett: 974. V. 2. jj=0[s] (2) y=f[s]. ábra jellemzőt akarjuk meghatározni, ahol 0[x] egy operátor és F[x] egy funkcionál. Az adatfeldolgozás elvégzésére rendelkezésünkre áll az x vektor, ami valamilyen statisztikai kapcsolatban van s-sel. Az adatfeldolgozás során az U=0'[x] y=v[x] (3) eljárásokkal y és ;/ becslését hozzuk létre, ahol az 0'[x] operátor és F'[x] funkcionál általában nem egyezik meg 0[x] és F[x]-szel. Az 0'[x] és F'[x] meghatározását úgy kell elvégezni, hogy y és y valamilyen értelemben optimális becslések legyenek []. Ha az adatfeldolgozást a kvantált XQ adatvektorokon hajtjuk végre, természetesen: y Q =0'[x Q ]^=0'[x] y Q = F'[x Q ]? íy=f[x]. A kvantáló optimalizálás célja, hogy rögzített N kvantumszám mellett úgy válasszuk meg a kvantáló {x,} és {(/,} paramétereit, hogy az y és y Q vagy y és í/ Q közötti eltérés minimális legyen. Az eltérés, illetve a kvantáló teljesítőképességének mértéke leggyakrabban ahol e h = E{h(g-y Q )} (5) /, = a teljesítőképesség /i(x)-ra vonatkoztatott mértéke h(x) = skalár-vektor súlyfüggvény y~yq=a y hibavektor E{x} = a súlyfüggvénnyel képzett várható érték s szerint, W 79

HÍRADÁSTECHNIKA XXVI. ÉVF. 3. SZ. Látható, hogy az (5) szerinti optimalizálás nem foglalkozik a kvantáló paramétereinek és az 0'[x] operátornak, illetve F'[x] funkcionálnak együttes optimalizálásával, ami a kvantáló nemlinearitása miatt igen bonyolult lenne. Az optimális kvantálás legjobban kidolgozott területe az y=s és x=s (6) eset, azaz mikor a feladat, a jel optimális kvantálásának elvégzése. Ekkor: e h =E{h(s-s Q )}, (7) A (7) eltérési mérték szerinti optimalizálást végezte el J. 0., Max [2] arra az esetre, mikor a mintavételi értékek függetlenek és azonos valószínűségsűrűségfüggvénnyel rendelkeznek. Ha teljesülnek az y=s es x s+n (8) összefüggések, ahol n valamilyen additív zaj, akkor 0[x] optimalizálása az optimális zajszűrés témakörhöz tartozik []. Abban az esetben, ha tehát y(ti) = s(ti) becslését az {#(/,)} adatoknak csak a t t időpontban felvett értéke alapján végezzük el, az optimális becslést létrehozó kvantáló felfogható egy optimális, zéró memóriájú szűrőnek, aminek {x,}, {y,} paramétereit az (9) módszerekkel [5]. Ha az átlagolást digitális berendezéssel végezzük: i M _ - (4) és a két becslő közötti eltérés függ a kvantáló paramétereitől. Mivel a kvantáló nemlineáris elem, a frekvenciatartománybeli vizsgálatnak nincs értelme, így a továbbiakban statisztikai módszereket használunk. Legyen a kvantáló teljesítőképességének az átlagos négyzetes eltérés: mértéke (5) és optimalizáljuk a kvantáló paramétereit a (5) összefüggés szerint. Rögzítsük a jelek statisztikai tulajdonságait az alábbi módon: Az {i/} = {s í ; + n l } Si = S, adathalmazban az (n,) zajok függetlenek egymástól és az s jeltől, és várható értékük nulla. Mivel a gyakorlatban alkalmazott additív zajszűrőknél, valamennyi mintavételi értéket ugyanaz a kvantáló kvantálja, a mintavételi értékek eloszlását egy közös p s (s) valószínűségsűrűségfüggvénnyel jellemezve a (5) összefüggést egydimenziósra redukálhatjuk: Legyen p s (s) e 2 = E{(s-s Q y} folytonos, ekkor +~ í = J ( s -s Q ) 2 p s (s) ds (6) (7) e^et/ksft)-*^)} (0) átlagos eltérés alapján optimalizáljuk. Ilyen optimalizálási problémával foglalkozott L. I. Bluestein 3] a h{x)=\x\ () súlyfüggvény mellett. 2. Az optimális kvantálás problémája additív zajszűrésnól Vizsgáljuk a (8) összefüggés szerinti esetet, mikor a feladat egy s(t) jel mérése, valamilyen n(t) additív zajjal terhelt x(f) folyamat alapján. A becslés elvégzéséhez rendelkezésünkre álló adathalmaz: A becslést, az K}~{s,- + /j,); í=l,... M \ M _ s = irf 2 xi (2) (3) egyszerű lineáris operációval végezzük el. Az operátor tulajdonságainak vizsgálata történhet frekvenciatartománybeli leírással [4], illetve statisztikai 2. ábra A vizsgált rendszer modellje a fentiek alapján a 2. ábrán látható, ahol x=s+n Aí Vizsgáljuk meg részletesebben a (6) összefüggést, a 2. ábra szerinti modellre alkalmazva: ahol 2=E{ S 2}-2E{s.s Q } + E{s Q y (8) E{*.S Q } = E js-l f y^{s.y} és (9) (20) 80

SZTIPÁNOVITS J.: OPTIMÁLIS KVANTÁLÁS ADDITÍV ZAJSZŰRÉS ESETÉN tehát az átlagolások számától a (8) összefüggésnek Mivel az additív zajszűrők túlnyomórészt egyenletes csák a harmadik tagja függ. Mivel SQ az {y,} diszkrét kvantálót tartalmaznak, további vizsgálatainkat valószínűségi változók összegéből nyert valószínűségi változó, és y,-k egy adott s-nél azonos eloszlásúak egyenletes kvantálóra végezzük el. és függetlenek, a becslő feltételes négyzetes középértéke, ha az átlagolások száma M: 3. Az egyenletes kvantáló optimális paraméterei E{s% s} = E 2 {y\s} + ± [E{if s}-e% s}], (2) így az átlagos négyzetes eltérés M esetén * átlagolásszám e 2M = E{ S z}-2e{ S y} + E{E{ms}}. (22) Ha az átlagolások száma : e 2 =E{(s - y)*} = E{s 2 } - 2E{sy} + Efe 2 }. (23) Ha az átlagolások száma tart a végtelenhez: e 2H = lim e 2M = E{s 2 } -2E{ S y} + E{E%}}. (24) A (2), (22), (23) és (24) összefüggések egybevetéséből megállapítható, hogy tetszőleges M-hez tartozó átlagos négyzetes eltérés meghatározható e 2 segítségével: Legyen az egyenletes kvantáló átviteli karakterisztikája a 3. ábrán látható szokásos A/D átalakító karakterisztika. y ^ H i /c ábra i : f 2 H + M ^ 2 l _ F? 2H)- (25) A kvantálási szintek ÍV kvantumszámnál: Ez az összefüggés igen fontos a továbbiak szempontjából, hiszen azt jelenti, hogy elég az e 2H és e 2 átlagos négyzetes eltéréseket vizsgálnunk. Ha a kvantáló az. ábrán látható átviteli karakterisztikával rendelkezik, az {a:,} és {y,} paraméterekkel a (23) és (24) összefüggésben szereplő tagok: K{s 2 } = j s 2 p s (s) ds X / = l_i+^) 9 - -K i = 2,...N XN+Í + c (27) ahol K = a kvantáló mérési tartományának középértéke, q= a kvantumnagyság +- A) dn} ds és a mérési tartományból felfelé vagy lefelé kieső jeleket az első, illetve az utolsó kvantumba soroljuk. A kimeneti értékek: E{s-y}= s 'P 5 (s)', Íffi- Pn(n s) (26) ( + N \ q + K i=í,... N (28) ds E{y 2 } = j p s (s) í/ 2 J p n («- s) dn E{E 2 {y} = p s (s). x ' X Í+I p 2" í/r J Pn(n s) dn ds tehát minden kvantumhoz (az első és az utolsó kivételével) a középértékét rendelik hozzá. Behelyettesítve a (26) összefüggésekbe az egyenletes kvantáló paramétereit az átlagos négyzetes eltérésekre az alábbi összefüggéseket kapjuk: C 2 N + 2 Hh+«-jg-xj j* Pn(n-s)dn + oo + s~\ ^ \q-k\ j Pn{n- -s) dn + i (-^ -) q ~ K \ j Pn(n s) dnj ds (29) (f-x)? +K 8

HÍRADÁSTECHNIKA XXVI. ÉVF. 3. SZ. FC 2H- ^ Ps(s)-{s- N Z -j g+jcj J p (n-s) H4W dn- -N q+k ] J p n (n s) dn- ^2^j g + X] J -s) dnj ds. (30) A (29) összefüggésbe behelyettesítve a zajmentes esetnek megfelelő p n (ri) = d(ri) valószínűség-sűrűségfüggvényt (ahol ő(x) a Dirac-operátor): <=2T N-I r = 2 ^ 0-4) 9+K K ) ^ \ ( N+l\ f f f fl-iv^l p s Ii 2 p s ( s ) d s + J [s-yltji-k s (s) ds + + J N-I s- 2~ p s (s) ds (3) a Max-féle egyenletes kvantáló átlagos négyzetes eltérését kapjuk. A (29) és (30) összefüggésekből látszik, hogy E 2 rögzített N kvantumszám mellett, az egyenletes kvantáló q és K paramétereinek függvényei, a paraméterek optimalizálása tehát kétváltozós szélsőérték-keresést jelent. Tételezzük fel, hogy a jel p s (s) és a zaj p n (n) sűrűségfüggvénye a várható értékre szimmetrikus és egy csúcsa van. Igazolható, hogy e 2 abszolút minimuma a K= j sp(s) ds=e{s} (32) helyen található, ami azt a szemléletileg is kézenfekvő tényt jelenti, hogy a legkisebb átlagos négyzetes eltérést a kvantálási tartománynak, a jel várható értékére szimmetrikus elhelyezésével lehet elérni. A (25) összefüggés értelmében viszont az összes átlagolásszámra is teljesülnie kell a (32) feltételnek, tehát szimmetrikus sűrűségfüggvények esetén a kétváltozós szélsőérték-keresés egyváltozósra redukálható. Egy adott N kvantumszám melletti optimális kvantumnagyságot meghatározhatjuk a (29) és (30) összefüggés q szerinti differenciálásából nyert, ^-ra implicit egyenlet megoldásával vagy közvetlenül az átlagos négyzetes eltérésfüggvények paraméterezett vizsgálatával. Mivel a kvantumnagyság és az átlagos négyzetes eltérések közötti összefüggés a szélsőértékhelyének meghatározásain kívül is lényeges eredményeket ad, célszerű az utóbbi módszert választani. A vizsgálat eredményeiből a következő kérdésekre akarunk választ kapni: Egy adott jel/zaj viszonynál milyen kvantumszámú kvantálót érdemes használni ahhoz, hogy egy adott additív zajszűrő berendezéssel maximális jel/zaj viszony javulást tudjunk elérni? Mi az optimális kvantálási tartománybeállítás? Ahhoz, hogy áttekinthető, jól értékelhető eredményeket kapjunk, az 2 átlagos négyzetes eltéréseket egy adott jel/zaj viszonynál (J), a kvantumszám (N) és a kvantumnagyság (q) függvényében határozzuk meg. A közölt példában a zajt Gauss-eloszlásúnak és a jelet egyenletes eloszlásúnak tételezzük fel. (A kiszámítást végző számítógépprogram természetesen más jel és zaj sűrűségfüggvények vizsgálatára is alkalmas). Az adott esetben tehát: Ps(s) = A jel/zaj viszony 2S ha 0 ( 'máshol. Pn(n) = Y2ttGn exp 2o* J- al 3ff2 (33) A cr -re normált t' 2X (N, q'), és e' w (N, q'), felületek egyenlete a (32) feltétel behelyettesítése után: 82

SZTIPÁNOVITS J.: OPTIMÁLIS KVANTÁLÁS ADDITÍV ZAJSZŰRÉS ESETÉN.')=> '»g) (iv: = _ 7 íy n 2S'/2jr J l,é 2 -S' «) ' - ' exp- dn' + ÍV J exp \~nr\ dn' + J N-l s' ^ q' exp- ds' (34) ^q)= ^=^mi\ s ~^[[ l ~~r\ J e x d p-l-2j n- («-l- T J í -s' ahol rendre elvégeztük az helyettesítéseket. s S'-- n'=, q = A (34) és (35) összefüggésekkel meghatározott felületek láthatók a 4. ábrán. J=l esetben. Egy realizált additív zajszűrő berendezéssel el- érhető maximális jel/zaj viszony javulást természetesen nemcsak a kvantálásból eredő torzítás korlátozza, hanem a mintavételezési idő, a bemeneti erősítés stb. bizonytalansága is [5]. Jelöljük e 2Hm -mel azt az átlagos négyzetes eltérést, amit egy adott berendezéssel, valamilyen kezdeti jel/zaj viszonyból el lehet érni, ahol e 2fIm nem tartalmazza a kvantálási torzítást. (Az elérhető maximális jel/zaj viszony javulás az additív zajszűrők specifikációjához tartozik, a HP 5480 A típusú jelanalizátornál ez az érték ~60 db [6].) Ha berajzoljuk a 4. ábrába az adott e 2Hm -hez tartozó e' 2H = e 2fím síkot, közvetlenül összehasonlíthatjuk a különböző (N, q') paraméterű kvantálókkal elérhető minimális átlagos négyzetes eltérést (e' 2H ) az adott berendezéssel elérhető átlagos négyzetes eltéréssel (e 2Hm ). Legyen feltételünk a kvantáló paramétereinek kiválasztásánál, hogy 4. ábra \H-30S-SJ4\ azaz a kvantáló ne korlátozza számottevően az elérhető jel/zaj viszony javulás nagyságát. Az e' m ~ = e 2Hm síkból az e' zh (N, q') felülettel kimetszett A tartomány foglalja magában azokat az (N, q') paramétereket, amik mellett a (37) feltétel teljesül. (A választható (N, q') paramétereknek az A tartomány széleitől való távolsága az e 2Hm E^H" különbségtől függ.) Az ábra alapján tehát a következő kérdésekre kapunk választ: Mekkora a ininimális kvantumszám, ami mellett a (37) feltétel teljesülhet? Egy adott kvantumszám mellett milyen határok között változtathatjuk a kvantumnagyságot, azaz milyen érzékeny az átlagos négyzetes eltérés a méréshatár beállítására! A vizsgálat különböző jel/zaj viszonyok és különböző p s (.s) sűrűségfüggvények melletti elvégzésével átfogó képet nyerhetünk az additív zajszűrőkben alkalmazott kvantálók tulajdonságairól. 83

HÍRADÁSTECHNIKA XXVI. ÉVF. 3. SZ. I R O D A L O M [] Athanasios Papoulis: Probability Random Variables and Stochastic Processes. New York: McGraw-Hill, 965. [2] Joel Max: Quantizing for Minimum Distortion. IRE Trans. Inform. Theorv, vol. IT 6, March 960, pp. 7 2. [3] L. I. Bluestin: Asymptotically Optimum Quantizers and Optimum Analóg to Digital Gonverters for Continuous Signals. IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT 0, April 964, pp. 242 246. [4] C. R. Trimble: What is Signal Averaging? Hewlett- Packard Journal, April 968, pp. 2 7. [5] J. Bodo: Response Averaging Methods their Effectiveness and Limitations. Proceedings of the 96 Data Acquisition and Processing in Biology and Medicine Rochester Gonference Vol. 2. Pergamon Press. [6] Hewlett-Packard 970 Electronics for Measurement Analysis Computation pp. 42 43.