A folyamatmodellezés alapjai Piglerné Lakner Rozália Számítástudomány Alkalmazása Tanszék Veszprémi Egyetem Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 1/55
Tartalom 1 A folyamatrendszer és a folyamatmodell fogalma A megmaradás elve termodinamikai alapok a termodinamika főtételei megmaradási egyenletek jelenségek, mechanizmusok Kiegészítő egyenletek Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 2/55
Tartalom 2 A modellezési eljárás és lépései modellezési cél szisztematikus modell építési eljárás a modell összetevői Koncentrált paraméterű folyamatmodellek felállítása mérlegelési térfogatok dinamikus mérlegegyenletek kiegészítő egyenletek Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 3/55
A folyamatrendszer és a folyamatmodell fogalma Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 4/55
Rendszer Rendszer való világ része, jól-definiált fizikai határokkal környezetével érintkezik (jelek: input, output) u inputs S system x y outputs Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 5/55
Folyamatrendszer Folyamatrendszer fizikai-kémiai folyamatok a rendszerben termodinamika segítségével leírható változások (fluid fázisok) tényleges be- és kimenetek Példák folyamatrendszerre egyszerű példák: pohár víz, háztartási vízforraló, mosógép, autó hűtőrendszere, gépjármű motorja műveleti egységek: tartály, kémiai reaktor, desztillációs tányér ipari példák: hőcserélő, desztillációs oszlop, kémiai reaktor, kristályosító berendezés Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 6/55
Folyamatmodell való világ részének egyszerűsített példánya modellezési cél szempontjából fontos dolgok kerülnek a modellbe speciális ismeretek a rendszerről: modellezési feltételezések modell továbbiakban: matematikai modell Folyamatmodell: folyamatrendszer matematikai modellje Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 7/55
Általános modellezési feladat adott: modellezendő rendszer, modellezési cél meghatározandó: matematikai modell, amely leírja a rendszer viselkedését az adott célra dh dt = v be A sz be v ki A sz ki dt dt = v be Ah (T be T)sz be + Q H c p ρah k h(0) = h 0, T(0) = T 0 Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 8/55
A megmaradás elve Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 9/55
Termodinamikai alapok 1 Klasszikus termodinamika: zárt, egyensúlyi rendszerek Termodinamikai változók extenzív változók: rendszer méretétől függnek, részrendszerek egyesítésekor additívak E S i = E S 1 i + E S 2 i tömeg (m), belső energia (U), komponens tömegek (m k ) intenzív változók: rendszer méretétől függetlenek, részrendszerek egyesítésekor kiegyenlítődnek I S 1 i < I S 2 i I S 1 i < I S i < I S 2 i nyomás (P ), hőmérséklet (T ), komponens koncentrációk (c k ) Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 10/55
Termodinamikai alapok 2 extenzív változók és intenzív párjuk (hajtóerő) Extenzív Specifikus intenzív (mérnöki) összes tömeg (m) sűrűség (ρ = m V ) komponens tömegek (m k ) koncentrációk (c k = m k V belső energia (U) hőmérséklet (T = U c P ρv ) Extenzív összes tömeg (m) nyomás (P ) Potenciál (termodinamikai) vagy x k = m k m ) komponens tömegek (m k ) kémiai potenciál µ k = RT ln c k, ( µ k T ) belső energia (U) hőmérséklet ( 1 T ) Gibbs-féle fázisszabály kanonikus készlet: (m, U, m k k = 1,...,K 1) elméleti szempontból fontos kanonikus készlet (megmaradó mennyiségek) (m, T, c k k = 1,...,K 1) modellezés szempontjából fontos kanonikus készlet (mérhető kanonikus készlet) Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 11/55
A termodinamika főtételei 1. főtétel: energiamegmaradás elve zárt rendszerre vonatkozó megmaradás nyílt rendszerre való általánosítás megmaradási egyenletek, dinamikus mérlegegyenletek (tömeg, energia, momentum) 2. főtétel: entrópiatétel ("rendezetlenség" mértéke), következménye: intenzív mennyiségek kiegyenlítődnek folyamatok iránya Onsager egyenlet energiaátadás esetén E transfer = K T A (T (h) T (c) ) Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 12/55
Megmaradási egyenletek 1 A megmaradás elve általánosítás nyílt rendszerre megmaradási egyenletek, dinamikus mérlegegyenletek megmaradó mennyiség idŏvált. = beáramló mennyiség kiáramló mennyiség + forrás(ok) nyelŏ(k) Mérlegegyenlet integrális alakja { } d Φ(r, t)dv = J(r, t) n F (r)df + dt F r Φ Φ J V n F q q térbeli helyvektor megmaradó extenzív mennyiség megmaradó extenzív mennyiség sűrűsége extenzív mennyiség árama felület normálvektora extenzív mennyiség forrása extenzív mennyiség forrássűrűsége V q(r, t)dv V nf α Φ Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 13/55 J F
Megmaradási egyenletek 2 Mérlegegyenlet integrális alakja { } d Φ(r, t)dv = J(r, t) n F (r)df + dt F V Mérlegegyenlet differenciális alakja Φ t = J + q V q(r, t)dv V nf α Φ J F (ahol: J = div(j) = J x x + J y y + J z z ) Áramok fajtái: konvekciós áram diffúziós áram Források/nyelők kémiai reakció átadás külső forrás Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 14/55
Jelenségek, mechanizmusok áramlások (konvekció, diffúzió) áramlástan hűtés/fűtés (hőátadás/energiaátadás) hő- és áramlástan kémiai reakció reakciókinetika fázisátalakulások (párolgás, forrás, olvadás,...) termodinamika elegyedés/szétválasztás (desztilláció, oldódás, kristályosítás,...) termodinamika (hősugárzás, bioreakció, adszorpció, abszorpció,...) Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 15/55
Kiegészítő egyenletek Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 16/55
Kiegészítő egyenletek a modell teljes matematikai leírásához szükséges további összefüggések általában algebrai egyenletek fő típusai: extenzív-intenzív összefüggések átadást leíró egyenletek reakciókinetikát leíró egyenletek termodinamikai relációk mérlegelési térfogatokra vonatkozó összefüggések berendezésre és szabályozóra vonatkozó összefüggések Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 17/55
Extenzív-intenzív összefüggések m = ρ V m k = c k V m k = x k m U = c P m T összes tömeg sűrűség komponens tömeg koncentráció belső energia hőmérséklet Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 18/55
Átadást leíró egyenletek Általános forma rate (p,r) χ = ψ (p,r) (ζ (p) κ (r) ) Konkrét esetek Komponens átadás j = K G (C G C G) Hőátadás q CV = UA( T) Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 19/55
Reakciókinetikát leíró egyenletek reakciósebesség: egységnyi térfogatban egységnyi idő alatt keletkező/elreagáló mólok száma r i = 1 V dn i dt ν X X + ν Y Y ν W W + ν Z Z általános reakcióegyenlet esetén a reakciósebesség: r = 1 ν X V dn X dt = 1 ν Y V dn Y dt = 1 ν W V dn W dt = 1 ν Z V dn Z dt reakciósebesség meghatározása: r X = k X f(c ν X X,C ν Y Y,...) reakciókinetika k X = k 0 e E RT Arrhenius összefüggés Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 20/55
Termodinamikai relációk 1 fizikai-kémiai tulajdonság (sűrűség, fajhő,...) relációk termodinamikai állapotváltozók függvényei ρ = f(p,t,c k ) c P = f(p,t,c k ) (általában: állandóak modellezési feltételezés) egyensúlyi összefüggések fázisegyensúlyok T (1) = T (2) P (1) = P (2) Raoult törvény P = n x j P vap j y j = x jp vap j P relatív illékonyság α ij = j=1 y i x i y j x j Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 21/55
Termodinamikai relációk 2 entalpia hőmérsékletfüggése h(t) = h(t R ) + T T R c p (T)dT lineáris forma h(t) = c p T h(t) = c p T + λ vap nemlineáris forma c p (T) = a 0 + a 1 T + a 2 T 2 + a 3 T 3 +... (általában: állandó modellezési feltételezés) állapotegyenlet Φ(P,T,c i,m) = 0 pl. PV = m M RT ideális gáztörvény Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 22/55
Mérlegelési térfogatokra vonatkozó összefüggések fázisok közötti relációk V G V : állandó V G = V V L (tartály térfogata) (megszorítás) V L Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 23/55
Berendezésre és szabályozóra vonatkozó összefüggések 1 Érzékelők dinamikája du dt = ŨA(T f T) dt dt = ŨA Mc p (T f T) dt = (T f T) dt τ T f Fluid T Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 24/55
Berendezésre és szabályozóra vonatkozó összefüggések 2 Szabályozó egyenletei Hagyományos (P, PI, PID) szabályozó O C = B + K C (S p O p ) = B + K C ε O C = B + K C ε + K C τi O C = B + K C ε + K C τi εdt εdt + KC τ D dε dt Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 25/55
Berendezésre és szabályozóra vonatkozó összefüggések 3 Beavatkozó szerv dinamikája Szelepek Statikus szelep F = C v P Szabályozó szelep F = C v c(s) P karakterisztikák: c(s) = S lineáris c(s) = a (S 1) egyenlő arányú c(s) = S gyökös Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 26/55
A modellezési eljárás és lépései Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 27/55
ezési cél mire szeretnénk használni a modellt dinamikus szimuláció statikus (állandósult állapotbeli) szimuláció tervezés folyamatirányítás (predikció, értéktartó szabályozás, identifikáció, diagnosztika) modell értelmezési tartománya modellezési cél befolyásolja: milyen jelenségeket vegyünk figyelembe modell matematikai formáját modell pontosságát (jellemző változókra nézve) Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 28/55
ezési eljárás Általános modellezési feladat adott: modellezendő rendszer, modellezési cél meghatározandó: matematikai modell, amely leírja a rendszer viselkedését az adott célra u inputs S y outputs i inputs M o outputs system x model x Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 29/55
7 lépéses modellezési eljárás 1 Probléma definiálása folyamatrendszer formális leírása a modellezési cél alapján v, T 0, c A0 rendszer bemenetei, kimenetei, változói berendezések és összeköttetéseik térbeli eloszlás jellege (elosztott/koncentrált paraméterű) időbeli változás jellege (statikus/dinamikus) Probléma definiálása Mechanizmusok meghatározása Adatok összegyujtése és értékelése elkészítése megoldása v c, T c M, U, T, c A, c B Q M c U c T c v, T, c A, c B v c, T c0 megoldásának ellenorzése érvényességének ellenorzése Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 30/55
7 lépéses modellezési eljárás 2 Mechanizmusok meghatározása modellezési cél szempontjából fontosnak tartott jelenségek lehető legkevesebb jelenség megadása modellezési feltételezések Probléma definiálása Mechanizmusok meghatározása Adatok összegyujtése és értékelése elkészítése v, T 0, c A0 v c, T c M, U, T, c A, c B Q M c U c T c v, T, c A, c B v c, T c0 Jelenségek: konvekció kémiai reakció hőátadás megoldása megoldásának ellenorzése (ezési feltételezések: nincs párolgás érvényességének tökéletesen kevert (nincs diffúzió)) ellenorzése Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 31/55
7 lépéses modellezési eljárás 3 Adatok összegyűjtése és értékelése mért és becsült adatok alapadatok (adatforrások: kézikönyvek, táblázatok) a modellezés során bővíthető adatok pontossága Probléma definiálása Mechanizmusok meghatározása Adatok összegyujtése és értékelése elkészítése v, T 0, c A0 Adatok: megoldása v c, T c M, U, T, c A, c B Q M c U c T c v c, T c0 fizikai-kémiai tulajdonságok: ρ, c P reakciókinetikai adatok: k 0, H R berendezés paraméterei: V, K megoldásának ellenorzése v, T, c A, c B érvényességének ellenorzése Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 32/55
7 lépéses modellezési eljárás 4 elkészítése 4.1 Mérlegelési térfogatok meghatározása 4.2 ezési feltételezések megfogalmazása 4.3 egyenletek felírása (mérlegegyenletek, kiegészítő egyenletek) 4.4 Kezdeti- és peremfeltételek megadása 4.5 Változók, paraméterek megadása Probléma definiálása Mechanizmusok meghatározása Adatok összegyujtése és értékelése elkészítése megoldása megoldásának ellenorzése érvényességének ellenorzése Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 33/55
7 lépéses modellezési eljárás 4.1 Mérlegelési térfogatok meghatározása folymatrendszer részrendszerekre osztása térrészek, amelyekre megmaradási egyenleteket írunk fel Probléma definiálása Mechanizmusok meghatározása Adatok összegyujtése és értékelése elkészítése v, T 0, c A0 v c, T c M, U, T, c A, c B Q M c U c T c v c, T c0 v, T 0, c A0 v c, T c M, U, T, c A, c B Q M c U c T c v c, T c0 megoldása megoldásának ellenorzése v, T, c A, c B v, T, c A, c B érvényességének ellenorzése Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 34/55
7 lépéses modellezési eljárás Probléma definiálása 4.2 ezési feltételezések megfogalmazása milyen feltételek mellett írja le az adott matematikai modell a valóságot leggyakoribb modellezési feltételezések: rendszer időbeli viselkedésére vonatkozó feltételezések pl. dinamikus, stacioner mérlegelési térfogatokra vonatkozó feltételezések pl. csak folyadék fázis, gáz és folyadék fázis térbeli eloszlásra vonatkozó feltételezések pl. elosztott paraméterű, koncentrált paraméterű jelenségekre vonatkozó feltételezések pl. nincs párolgás, van hőátadás elhanyagolható hatásokkal kapcsolatos feltételezések pl. ρ csak T -től függ, c P állandó állapotok kívánt tartományai, pontosságuk pl. T 20 és 30 o C közötti Mechanizmusok meghatározása Adatok összegyujtése és értékelése elkészítése megoldása megoldásának ellenorzése érvényességének ellenorzése Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 35/55
7 lépéses modellezési eljárás 4.3 egyenletek felírása mérlegegyenletek vagy dinamikus megmaradási egyenletek általában differenciál egyenletek összes tömeg mérleg komponens tömeg mérlegek energiamérleg momentum mérleg (ha az áramlási kép lényeges) ezzel nem foglalkozunk kiegészítő egyenletek általában algebrai egyenletek a folyamatrendszer teljes matematikai leírásához szükséges egyenletek Probléma definiálása Mechanizmusok meghatározása Adatok összegyujtése és értékelése elkészítése megoldása megoldásának ellenorzése érvényességének ellenorzése Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 36/55
7 lépéses modellezési eljárás 4.4 Kezdeti- és peremfeltételek megadása Kezdeti feltételek differenciál (mérleg-) egyenletekhez Peremfeltételek elosztott paraméterű modellek esetén 4.5 Változók, paraméterek megadása jelölés, jelentés, mértékegység paramétereknél: ismert/becsült, pontosság Probléma definiálása Mechanizmusok meghatározása Adatok összegyujtése és értékelése elkészítése megoldása megoldásának ellenorzése érvényességének ellenorzése Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 37/55
7 lépéses modellezési eljárás 5 megoldása matematikai modell lehet: algebrai egyenletrendszer közönséges differenciálegyenlet-rendszer differenciál-algebrai egyenletrendszer (leggyakrabban) parciális differenciálegyenlet-rendszer integro-differenciálegyenlet-rendszer modell megoldása megoldhatóság analízis (szabadsági fok analízis, egyenletek struktúrális analízise, differenciális index meghatározása) megoldó módszer kiválasztása Probléma definiálása Mechanizmusok meghatározása Adatok összegyujtése és értékelése elkészítése megoldása megoldásának ellenorzése érvényességének ellenorzése Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 38/55
7 lépéses modellezési eljárás 6 megoldásának ellenőrzése adatváltoztatás hatása a modell megoldására modell viselkedése mérnöki szempontból megfelel-e az elvárásoknak logikai ellenőrzés Probléma definiálása Mechanizmusok meghatározása Adatok összegyujtése és értékelése elkészítése megoldása megoldásának ellenorzése érvényességének ellenorzése Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 39/55
7 lépéses modellezési eljárás 7 érvényességének ellenőrzése modell kalibráció bizonytalan/ismeretlen paraméterek meghatározása paraméterbecsléssel modell validáció matematikai modell és a valós rendszer (mérés) pontos statisztikai összehasonlítása Probléma definiálása Mechanizmusok meghatározása Adatok összegyujtése és értékelése elkészítése megoldása megoldásának ellenorzése érvényességének ellenorzése Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 40/55
A modell összetevői Rendszer leírása (folyamatábra, változók) ezési cél Mechanizmusok ezési feltételezések Adatok (adat, mértékegység, lelőhely, pontosság) Mérlegelési térfogatok (folymatábrán jelölve) egyenletek (megmaradási egyenletek, kiegészítő egyenletek, kezdeti- és peremfeltételek) változók, paraméterek Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 41/55
Koncentrált paraméterű folyamatmodellek felállítása Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 42/55
Mérlegelési térfogat térrész, amelyre triviális mérleg írható fel lehet nyílt, változó térfogatú legegyszerűbb esetben homogén (tökéletesen kevert) egyfázisú (pszeudofázis) J nf α Φ F V Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 43/55
Mérlegelési térfogatok meghatározása nem egyértelmű modellezési cél/pontosság(és a modellező tudása) befolyásolja mérlegelési térfogatok jelölése a folyamatábrán Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 44/55
Mérlegegyenletek tökéletesen kevert folyamatrendszerekben alapfeltevés: minden mérlegelési térfogat (külön-külön) tökéletesen kevert alap modellezési egység: CSTR (Continuously Stirred Tank Reactor) mérlegelési térfogatok száma: V V (K + 1) független megmaradási egyenlet kapcsolatok a CSTR-ek között: konvekció, átadás Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 45/55
Mérlegegyenletek tökéletesen kevert folyamatrendszerekben A mérlegegyenlet általános formája (megmaradás elve): megmaradó mennyiség idŏvált. = beáramló mennyiség kiáramló mennyiség + forrás(ok) nyelŏ(k) J Mérlegegyenlet differenciális alakja nf Φ t = J + q Φ t = (J D + J C ) + q V α Φ F Mérlegegyenlet differenciális alakja - tökéletesen kevert esetben dφ dt = J C + q Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 46/55
Összes tömegre vonatkozó mérleg Összes tömeg mérleg általános formája összes tömeg idŏvált. = beáramló összes tömeg kiáramló összes tömeg Összes tömegre vonatkozó mérleg Σ Μ dm dt = p F j j=1 q k=1 F k Flows of mass in f i,j F j M f i,k F k Flows of mass out m i Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 47/55
Komponens tömegekre vonatkozó mérlegek Komponens tömeg mérlegek általános formája i. komponens tömegének idŏvált. = i. komponens tömeg beáramlás i. komponens tömeg kiáramlás + i. komponens tömeg fogyás/keletkezés Komponens tömegekre vonatkozó mérlegek Σ Μ dm i dt = p f i,j j=1 i = 1,...,K q f i,k + q i k=1 Flows of mass in f i,j F j m i M f i,k F k Flows of mass out Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 48/55
Energiára vonatkozó mérleg 1 Energiamérleg általános formája energia idŏvált. = beáramló energia kiáramló energia Energiára vonatkozó mérleg E de dt = p j=1 F j Ê j q F k Ê k + Q + W k=1 Az energiaáramok fő komponensei: Flows of energy in F j E ˆ j E F k E ˆ k Flows of energy out konvektív energiaáramok konduktív/sugárzási energiaáramok munkavégzési energia Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 49/55
Energiára vonatkozó mérleg 2 E = U + K E + P E Kinetikai energia (K E ) és helyzeti energia (P E ) elhanyagolása után: du dt = p j=1 F j Ĥ j q F k Ĥ k + Q + Ŵ k=1 Reakcióhő expilicit megjelentetése az energiamérlegben: du dt = p j=1 F j Ĥ j q F k Ĥ k + rv ( H R ) + Q + Ŵ k=1 Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 50/55
Példa: Koncentrált paraméterű modellek mérlegegyenletei 1 Tökéletesen kevert tartály reaktor ezési feltételezések: 1. tökéletesen kevert 2. összenyomhatatlan folyadék F (i) T (i) m A M T 3. konstans fizikai-kémiai tulajdonságok 4. A P típusú elsőrendű reakció F (o) Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 51/55
Példa: Koncentrált paraméterű modellek mérlegegyenletei 2 Tökéletesen kevert tartály reaktor mérlegegyenletei Összes tömeg: dm dt = F (i) ρ F (o) ρ Komponens tömeg: F (i) T (i) m A M T dm A dt = F (i) c (i) A F (o) c A V r A Belső energia: du dt = F (i) c (i) P ρt (i) F (o) c P ρt V r A H R F (o) Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 52/55
Példa: Koncentrált paraméterű modellek mérlegegyenletei 3 Tökéletesen kevert tartály reaktor kiegészítő egyenletei extenzív-intenzív összefüggések: M = V ρ m A = c A V U = Mc P T F (i) T (i) m A M T reakciókinetikai összefüggés: r A = k 0 e E RT c A F (o) Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 53/55
Példa: Koncentrált paraméterű modellek mérlegegyenletei 4 Tökéletesen kevert reaktor modell intenzív alak Összes tömeg: dv dt = F (i) F (o) Komponens tömeg: dc A = F (i) c (i) A F (i) c A dt V V r A F (i) T (i) m A M T Belső energia: dt dt = F (i) T (i) F (i) T V V r A H R ρc P F (o) Kiegészítő egyenlet: r A = k 0 e E RT c A Tökéletesen kevert tartály reaktor kezdeti feltételei V (0) = V 0 c A (0) = c A0 T(0) = T 0 Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 54/55
Köszönöm a figyelmet! Haladó Folyamatmodellezés és modell analízis PhD kurzus p. 55/55