Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I rész evezetés rugalmas láncgörbe magyar nyelvű szakirodalma nem túl gazdag Egy viszonylag rövid ismertetés található [ 1 ] - ben közönséges ( azaz húzásra merev, hajlításra lágy ) láncgörbe - modell [ 1 ] szerint nem teljesen kielégítő, gyakorlati feladatok megoldására; hiányosságaként pl az alábbiakat rója fel: ~ nem veszi figyelembe a lánc rugalmas megnyúlását ( állandó hőmérsékleten ); ~ nem veszi figyelembe a láncnak a hőmérséklettel változó hosszát Leíró jellegű, de matematikai vizsgálatokba nem bonyolódó, rövid ismertetés található [ ] - ben Jelentősége irodalomjegyzékének lehet, témánkban z itteni összefüggések levezetésének alapjait [3] adja vizsgálat tárgyát képező lánc / kötél lényeges mechanikai jellemzői az alábbiak: ~ tömegeloszlása a hossza mentén egyenletes; ~ a lánc anyaga lineárisan rugalmas viselkedésű ( érvényes rá ooke törvénye ); ~ húzómerevsége E > 0: véges nagyságú; ~ hajlítómerevsége EI = 0, ill elhanyagolható nagyságú z egyensúlyi alak egyenleteinek levezetése keresett görbe - alakot az 1 ábra szerinti koordináta - rendszerben írjuk le 1 ábra
görbe - alak meghatározásához felírjuk a lánc egyensúlyi differenciál - egyenleteit Ehhez tekintsük a ábrát! : ( d) 0; innen: d 0, azaz ds konst ( 1 ) : V ds (V dv) 0; innen: dv ds ( ) ábra Minthogy a kötélerő érintőirányú, így V tg ( 3 ) Innen: V tg ( 4 ) Most ( 1 ),( ) és ( 4 ) - gyel: dv d d tg tg d tg d ; ds ds ds d ( 5 ) ds mivel d 1 tg ( 6 ) d cos ld [ 4 ], ezért ( 5 ) és ( 6 ) - ból: d, ( 7 ) cos ds ebből pedig ds 1 ( 8 ) d cos levezetés eddig ugyanúgy alakult, mintha közönséges láncgörbével foglalkoznánk z eltérés a megnyúlt ívelem, amelyre ooke törvénye szerint: S d ds1 ds 1 E ( 9 )
3 Mielőtt továbbhaladnánk, vessünk egy pillantást a görbületi viszonyokra ld 3 ábra! 3 ábra szerint forrása: [ 5 ] : ds d ds d 1 1, ( 10 ) de ds ds, ( 11 ) így ( 10 ) és ( 11 ) - ből: ( 1 ) 1 Mivel a 3 ábra szerint:, 1 ( 13 ) így ( 1 ) és ( 13 ) - mal a görbületi sugár: 3 ábra 1 1 ( 14 ) Most a 1 d ( 15 ) d és a 1 d 1 ( 16 ) 1 ds jelölésekkel, ( 14 ), ( 15 ), ( 16 ) - tal: 1, ( 17 ) 1 vagyis ( 17 ) szerint a megnyúlás csökkenti a láncvonal görbületét Folytatva: a ábra szerint: S, cos így ( 9 ) és ( 10 ) - ből: 1 d ds 1 E cos ( 18 ) ( 19 )
4 Most ( 8 ) és ( 19 ) - cel: ds 1 1 1 d 1 d 1 d d E cos cos E cos Kibontva az ívhossz differenciálja: d d d 3 cos E cos ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) - ből a koordináta - differenciálok: d d dx d cos, ( ) cos E cos sin d sin d dy dsin 3 ( 3 ) cos E cos Integrálva, ( ) - ből: d d x dx cos E ( 4 ) cos Figyelembe véve ld [ 4 ]!, hogy d I1 rsh tg c 1, ( 5 ) cos d I tg c, ( 6 ) cos ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) - tal kapjuk, hogy x rshtg tg C 1 ( 7 ) E asonlóképpen ( 3 ) - ból: sin sin y dy d d 3 cos E ( 8 ) cos Figyelembe véve ld [ 4 ]!, hogy sin 1 I 3 d c 3, (9 ) cos cos sin 1 I 4 d c 3 4, ( 30 ) cos cos ( 8 ), ( 9 ), ( 30 ) - cal: 1 1 y C ( 31 ) cos E cos
5 Most meghatározzuk a C 1 és C állandókat z 1 ábrán látható, hogy a felvett koordináta - rendszerben érvényes, hogy esetén x( ) = 0, y( ) = 0 ( 3 ) Most ( 7 ) és ( 3 ) - vel: 0 rsh tg tg C 1, E ( 33 ) innen C1 rshtg tg E ( 34 ) asonlóképpen ( 31 ) és ( 3 ) - vel: 1 1 0 cos E cos C, ( 35 ) ahonnan: 1 1 C cos E cos ( 36 ) Most ( 7 ) és ( 34 ) - gyel: x rshtg rshtg tg tg E asonlóan ( 31 ) és ( 36 ) - tal: 1 1 1 1 y ; cos cos E cos cos most azonosságokat alkalmazunk ld [ 4 ]! : 1 1 1 tg ; 1 tg ; cos cos ezután ( 38 ) és ( 39 ) - cel: y 1 tg 1 tg tg tg ; E ( 40 ) - et tovább alakítva: y 1 tg 1 tg tg tg E ( 37 ) ( 38 ) ( 39 ) ( 40 ) ( 41 ) Most a ( 37 ) és ( 41 ) képletekben is előforduló kiküszöbölése érdekében tekintsük a teljes lánc egyensúlyát!
6 z 1 ábrán is feltüntetett erőkre rajzolt egyensúlyi vektorháromszöget ld a 4 ábrán! 4 ábra szerint: V V Q; ( 4 / 1 ) tg tg Q; tg tg Q, innen: Q tg tg ( 4 ) 4 ábra Most figyelembe véve, hogy Q, ( 43 ) L ( 4 ) és ( 43 ) - mal is: L a L Q tg tg ( 44 ) z a mennyiséget a láncgörbe paraméterének nevezzük Most ( 37 ), ( 4 ), ( 44 ) - gyel: L Q tg tg x( ) rshtg rshtg tg tg E tg tg ( 45 ) Majd ( 41 ), ( 4 ), ( 44 ) - gyel: L Q tg tg y( ) 1 tg 1 tg tg tg E tg tg ( 46 ) a rugalmas láncgörbe segédváltozós egyenleteit adják, ahol az érintő φ hajlásszöge, ill ennek tangense a segédváltozó ( 45 ) és ( 46 ) képletekkel a láncgörbe pontjai egyszerűen ábrázolhatók is, ha a φ és a φ adatok ismertek Ezek elvileg meghatározhatók az x( ) l, ( 47 ) y( ) m ( 48 ) feltételi egyenletekből, ahol m és l adott
7 Először ( 45 ) és ( 47 ) - tel kapjuk, hogy L Q l rsh tg rshtg ; tg tg E ( 49 ) másodszor ( 46 ), ( 48 ) - cal: L Q m 1 tg 1 tg tg tg tg tg E ( 50 ) ( 49 ) és ( 50 ) egyenletrendszer: két egyenlet a (, ) két ismeretlenre, tehát a feladat elvileg megoldható Gyakorlatilag azonban egy más utat fogunk követni, ahol majd nem egy transzcendens egyenletrendszer, hanem egy transzcendens egyenlet a kulcsegyenlet segítségével oldjuk meg numerikusan a feladatot ld a II részt! belógás meghatározása Ehhez tekintsük az 5 ábrát! láncnak az húrtól való lelógása: y x tg y(x) ( 51 ) Ez ott a legnagyobb, ahol d y tg y'(x) 0, dx vagyis ahol y '(x ) tg ( 5 ) m Mivel y'(x m) tg m, ( 53 ) ezért ( 5 ) és ( 53 ) - mal: tg tg ( 54 ) m 5 ábra z 5 ábra szerint, adott m és l esetén: m tg, ( 55 ) l így ( 54 ) és ( 55 ) - tel: m tg m ( 56 ) l belógás tehát ( 51 ) és ( 56 ) szerint:
8 f tg xm y m ( 57 ) Most ( 45 ) és ( 54 )gyel: L Q tgtg xm x( ) rshtgrsh tg ; tg tg E tg tg ( 58 ) majd ( 46 ) és ( 54 ) - gyel: L Q tg tg ym y( ) 1 tg 1 tg tg tg E tg tg ( 59 ) z ( 57 ), ( 58 ), ( 59 ) egyenletekkel: Q tg tg tg rshtg rshtg L E tg tg f tg tg Q tg tg 1 tg 1 tg E tg tg ( 60 ) megnyúlt lánc - hossz meghatározása Jelöljük a megnyúlt lánchosszat az L jelöléssel! ( 1 ) képletet integrálva: () d d L d cos E cos () 3 ( 61 ) Felhasználjuk, hogy ( 6 ) és [ 4 ] szerint a megfelelő primitív függvények: d I tg, ( 6 ) cos d sin 1 I5 rsh(tg ) 3, ( 63 ) cos cos így ( 61 ), ( 6 ), ( 63 ) - mal: sin 1 L tg rsh(tg ) E cos sin E cos tg rsh(tg ) ( 64 )
9 Most ( 4 ), ( 44 ) és ( 64 ) - gyel: tg tg L sin L rsh(tg ) tg tg Q cos ( 65 ) E tg tg Tovább alakítva ( 65 ) - öt: sin rsh(tg ) Q cos L L 1 E tg tg ( 66 ) sin tg Elvégezve a tg 1 tg szerinti átalakítást ( 66 ) - ban: cos cos tg 1 tg rsh(tg ) Q L L 1 E tg tg ( 67 ) Elvégezve ( 67 ) - ben a kijelölt műveleteket: tg 1 tg tg 1 tg Q rsh(tg ) rsh(tg ) L L 1 E tg tg ( 68 ) ( 68 ) képlettel meghatározható a rugalmas lánc megnyúlt hossza, az adott L,Q,E, valamint a már meghatározott (, ) ismeretében képletből leolvasható, hogy az L L L felírásnak megfelelően a rugalmas megnyúlás nagysága: tg 1 tg tg 1 tg Q L rsh(tg ) rsh(tg ) L E tg tg ( 69 )
10 Egy speciális eset Most vizsgáljuk meg a ( * ) összefüggéssel jellemzett esetet ld 6 ábra! 6 ábra Ekkor fennáll a tg tg( ) tg ( 70 ) kapcsolat z ( 50 ) képletből azonnal adódik, hogy m* 0, ( 71 ) bármely értékére Ebből pedig ( 55 ) szerint * 0 ( 7 ) ( 49 ) képlettel: rsh(tg ) Q 1 tg E tg l* L ( 7 ) ( 60) képlettel: L 1 tg 1 Q f* tg 4E ( 73 ) ( 68 ) képlettel: Q 1 tg rsh(tg ) L * L1 4 E tg tg ( 74 )
11 Irodalomjegyzék [ 1 ] Dr Egerváry Jenő: mechanika differenciál - egyenleteiről Mérnöki Továbbképző Intézet kiadása, udapest, 1948 [ ] Perneczky Géza: Szabadvezetékek feszítése Műszaki Könyvkiadó, udapest, 1968 [ 3 ] Karl Federhofer: Prüfungs - und Übungsaufgaben aus der Mechanik des Punktes und des starren Körpers, I Teil: Statik Springer Verlag, Wien, 1950 [ 4 ] I N ronstejn ~ K Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, udapest, 1987 [ 5 ] M Tolle: Die steife Kettenlinie Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure and XXXXI No 30, 4 Juli 1897, pp 856 Sződliget, 008 augusztus 1 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár