Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 1. Legyen P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 6 és P (A B) = 0, 5. Határozza meg a következő valószínűségeket! (a) B,V P (A B) 0, 8333 (b) B,V P (B A) 0, 7143 (c) B,V P (A A + B) 0, 875 (d) B,V P (A B A) 0, 7143 (e) B,V P (A B A + B) 0, 625 (f) B,V P (A A B) 1 (g) B,V P (A B) 0, 5 (h) B,V P (A A + B) 0, 4 (i) B,V P (B A A + B) 0, 125 2. B,V Legyen P (A) = 0, 4; P (B) = 0, 8 és P (A B) = 0, 2. Mennyi a P (B A) valószínűség értéke? 0, 4 3. Legyenek A és B független események, melyekről tudjuk, hogy P (A) = 0, 3; P (B) = 0, 4. Határozza meg a következő valószínűségeket! (a) B,V P (A B) 0, 12 (b) B,V P (A + B) 0, 72 (c) B,V P (B A) 0, 28 (d) B,V P (A B) 0, 42 (e) B,V P (A B) 0, 28 (f) B,V P (A B) 0, 3 (g) B,V P (A B A + B) 0 (h) V P (A B B A) 0, 25 4. Egy pakli magyar kártyából húzunk két lapot. (a) B,V Feltéve, hogy az első lap piros, mi a valószínűsége, hogy a második lap zöld, ha (b) B,V Feltéve, hogy az első lap piros, mi a valószínűsége, hogy a második lap zöld, ha visszatevés nélkül húzunk? (c) B,V Feltéve, hogy az első lap piros, mi a valószínűsége, hogy a második lap is piros, ha (d) B,V Feltéve, hogy az első lap piros, mi a valószínűsége, hogy a második lap is piros, ha visszatevés nélkül húzunk? 7

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 2 (e) B,V Feltéve, hogy az első lap ász, mi a valószínűsége, hogy a második lap nem ász, ha (f) B,V Feltéve, hogy az első lap ász, mi a valószínűsége, hogy a második nem ász, ha visszatevés nélkül húzunk? 5. Két különböző szabályos dobókockát feldobunk. (a) B,V Feltéve, hogy a dobott számok összege 8, mi a valószínűsége, hogy van hatos a dobott számok között? = 0, 4 (b) B,V Feltéve, hogy van hatos a dobott számok között, mi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 8? = 0, 1818 (c) B,V Feltéve, hogy nincs hatos a dobott számok között, mi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege legalább 8? (d) B,V Feltéve, hogy a dobott számok összege kevesebb mint 8, mi a valószínűsége, hogy nincs hatos a dobott számok között? 6. Egy szabályos dobókockát feldobunk kétszer. (a) B,V Feltéve, hogy a dobott számok összege 11, mi a valószínűsége, hogy az első dobás hatos? 1 2 (b) B,V 11? Feltéve, hogy az első dobás hatos, mi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 1 6 7. Három különböző szabályos dobókockát feldobunk. (a) B,V Feltéve, hogy a dobott számok között nincs két egyforma, mi a valószínűsége, hogy nincs hatos a dobott számok között? 0, 5 (b) B,V Feltéve, hogy a dobott számok között nincs két egyforma, mi a valószínűsége, hogy legalább az egyiken hatos van? 0, 5 (c) B,V Mekkora a valószínűsége hogy az egyik kockával hatost dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege 12? 0, 6 8. B,V Három különböző szabályos érmét feldobunk. Feltéve, hogy dobunk legalább egy fejet, mi a valószínűsége, hogy írást is dobunk? 6 7 9. B,V Egy áruház összes látogatója közül átlagosan 25% keresi fel a műszaki osztályt. Ezek közül 64% vásárol ott valamit. Mi a valószínűsége, hogy egy látogató műszaki cikket vásárol? 0, 16 10. B,V Egy családban az első gyerek fiú és a második gyereket várják. Mi a valószínűsége, hogy lány lesz? (Tegyük fel, hogy a fiúk és lányok születésének azonos az esélye.)0, 5 11. Tudjuk, hogy az új szomszédunknak két gyereke van és azt is, hogy az egyik fiú. (a) B,V Mi a valószínűsége, hogy a másik lány? 0, 6667 (b) B,V Mi a valószínűsége, hogy a másik is fiú? 0, 3333 2 11 2 5 28 28 6 25 19 21

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 3 12. Egy zöldségárusnál kétféle alma kapható. A Golden alma a készlet 30%-át, a Starking alma a készlet 70%-át teszi ki. A Golden alma 90%-a első osztályú, a Starking alma 50%-a első osztályú. Véetlenszerűen kiválasztunk egy almát. (a) B,V Mi a valószínűsége, hogy első osztályú almát választottunk? 0, 62 (b) B,V Feltéve, hogy első osztályú almát választottunk, mi a valószínűsége, hogy Golden? 0, 4355 (c) V Feltéve, hogy nem első osztályú almát választottunk, mi a valószínűsége, hogy Starking? 0, 9211 13. Egy városban a lakosság 28%-a rendelkezik diplomával. A munkanélküliek aránya a diplomások között 4, 8%, a többiek között 9, 2%. (a) B,V Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy embert, mi a valószínűsége, hogy munkanélküli? 0, 0797 (b) B,V Találkoztunk valakivel, akinek nincs munkája. Mi a valószínűsége, hogy rendelkezik diplomával? 0, 1687 (c) V Találkoztunk valakivel, akinek van munkája. Mi a valószínűsége, hogy nem rendelkezik diplomával? 0, 7103 14. Egy üzemben három gép gyártja ugyanazt a terméket. Az első gép a teljes termelés 50%-át, a második gép 30%-át, a harmadik pedig 20%-át adja. Tapasztalatok szerint az első gép által gyártott termékek 5%-a, a második gép által gyártott termékek 3%-a és a harmadik gép által gyártott termékek 2%-a selejtes. A nap végén a termékeket beviszik a raktárba. (a) V Mi a valószínűsége, hogy a raktárból véletlenszerűen kiválasztott termék selejtes? 0, 038 (b) V Tudjuk, hogy a véletlenszerűen kiválasztott termék selejtes. Mi a valószínűsége, hogy az első gép gyártotta? 0, 6579 (c) V Feltéve, hogy selejtes terméket választunk, mi a valószínűsége, hogy a második gép gyártotta? 0, 2368 (d) V Tudjuk, hogy a véletlenszerűen kiválasztott termék nem selejtes. Mi a valószínűsége, hogy a harmadik gép gyártotta? 0, 2037 15. Egy műhelyben három műszakban gyártnak azonos termékeket. Az első műszakban a termékből 40%, a második műszakban 30%, a többi a harmadik műszakban készül. Az első műszakban 2%, a második műszakban 3%, a harmadik műszakban 5% hibás áru készül. A három műszakban elkészült teljes mennyiségből kiválasztunk egy darabot. (a) V Mi a valószínűsége, hogy a kiválasztott termék hibátlan? 0, 968 (b) V A termék hibás. Mi a valószínűsége, hogy a második műszakban gyártották? 0, 28125 (c) V A termék hibás. Mi a valószínűsége, hogy a harmadik műszakban gyártották? 0, 4687 (d) V A termék hibátlan. Mi a valószínűsége, hogy az első műszakban gyártották? 0, 405

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 4 16. A zöldségesnél alma, körte, szilva és barack kapható, melyek első vagy másodosztályúak. Az alma a készlet 30%-át, a körte 25%-át, a szilva 23%-át és a barack 22%-át teszi ki. Az alma 30%-a, a körte 40%-a, a szilva 50%-a és a barack 50%-a másodosztályú. (a) V Mi a valószínűsége, hogy egy véletleszerűen kiválasztott gyümölcs első osztályú? 0, 585 (b) V Feltéve, hogy egy véletleszerűen kiválasztott gyümölcs első osztályú, mi a valószínűsége, hogy körte? 0, 2564 (c) V Feltéve, hogy egy véletleszerűen kiválasztott gyümölcs másodosztályú, mi a valószínűsége, hogy alma? 0, 1541 17. Közúti forgalmi ellenőrzések és mérések során megállapították, hogy egy adott városban a járművek 55%-a személyautó, 30%-a teherautó a a fennmaradó rész pedig egyébb kategóriába sorolható jármű. A személyautók 20%-ánál, a teherautók 25%-ánál, az egyébb kategóriájú járnűvek 35%- ánál valami műszaki probléma fedezhető fel. Ebben a városban megállítunk egy járművet. (a) V Mi a valószínűsége, hogy műszaki állapota kifogásolható? 0, 2375 (b) V Feltéve, hogy a megállított jármű műszaki állapota kifogásolható, mi a valószínűsége, hogy személyautó? 0, 46 (c) V Feltéve, hogy a megállított jármű műszaki állapota nem kifogásolható, mi a valószínűsége, hogy teherautó? 0, 2951 18. Egy alkalommal egy szolgáltató hibás számlakivonatot küld az ügyfeleinek. A gyakorlat azt mutatja, hogy az emberek 65%-a nézi át a számára elküldött számlakivonatot, 35%-uk nem nézi át. Ha egy ember átnézi a számlakivonatot, akkor 0, 55 valószínűséggel találja meg a benne rejlő hibát. Ha nem nézi meg, akor biztosan nem találja meg a hibát. (a) V Mi a valószínűsége, hogy egy ember megtalálja a számára küldött számlakivonatban a hibát? 0, 3575 (b) V Feltéve, hogy az ember nem találja meg a hibát a számlakivonatban, mennyi a valószínűsége, hogy meg sem nézte? 0, 545 19. Van két dobozunk. Az elsőben 4 piros és 4 fehér golyó van, a másodikban 6 piros és 3 fehér. Találomra kiválasztunk egy dobozt és abból kiveszünk egy golyót. A dobozok közül azonos valószínűséggel választuk. (a) V Mi a valószínűsége annak, hogy a kivett golyó piros? 7 12 (b) V Ha tudjuk, hogy a kivett golyó fehér, akkor mi a valószínűsége annak, hogy a második dobozból húztuk? 20. Az első beszámolón a hallgatók %-a A csoportot, 33%-a B csoportot, a többiek pedig C csoportot írtak. Az A csoportot írók 70%-a, a B csoportot írók 60%-a és a C csoportot írók 80%-a lány. (a) V Mi a valószínűsége, hogy tetszőlegesen kiválasztott hallgató lány? 0, 702 7 12

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 5 (b) V Mi a valószínűsége, hogy tetszőlegesen kiválasztott hallgató B csoportot ír, feltéve, hogy lány? 0, 282 (c) V Mi a valószínűsége, hogy tetszőlegesen kiválasztott hallgató A csoportot ír, feltéve, hogy lány? 0, 9 21. Gyuri és Peti céltáblára lőnek. Gyuri 60%, Peti 70% valószínűséggel talál célba. Mindketten egyszer lőnek egymástól függetlenül. (a) B,V Mi a valószínűsége, hogy egyikük sem találja el a céltáblát? 0, 12 (b) B,V Mi a valószínűsége, hogy legalább az egyikük eltalálja a céltáblát? 0, 88 (c) B,V Mi a valószínűsége, hogy mindketten eltalálják a céltáblát? 0, 42 22. Egy gyárban három különböző egymástól független gép működését vizsgálták. Megállapították, hogy az első gép átlagosan a munkaidő 60%-ában, a második gép a 65%-ában a harmadik gép a 70%-ában dolgozik. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a munkaidő egy adott időpillanatában (a) B,V minden gép dolgozik 0, 273 (b) B,V pontosan az egyik gép dolgozik 0, 239 (c) B,V csak a második gép dolgozik 0, 078 (d) B,V legalább az egyik gép dolgozik 0, 958 (e) B,V pontosan két gép dolgozik 0, 446 23. Egy edzőterembe három új futópadot vesznek. Az elsőt 0, 3, a másodikat 0, 4, a harmadikat 0, 5 valószínűséggel kell egy éven belül javítani. (a) B,V Mi a valószínűsége, hogy egy éven belül egyikhez sem kell szerelőt hívni? 0, 21 (b) B,V Mi a valószínűsége, hogy legalább az egyik elromlik egy éven belül? 0, 79 (b) B,V Mi a valószínűsége, hogy pontosan kettő romlik el egy éven belül? 0, 29 24. B,V Öt katona közül mindegyik 100 lövésből átlagosan 80-szor eltalálja a céltáblát. Az öt katona egyszerre rálő a céltáblára. Mi a valószínűsége annak, hogy kevesebb, mint két találat éri a céltáblát? 0, 00672 25. B,V Egy helyiséget két úton lehet megközelíteni. Egy-egy autó indul el mindkét úton. Annak a valószínűsége, hogy az első úton hófúvás miatt elakad a gépkocsi 0, 8, annak, hogy a másodikon elakad 0, 65. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább az egyik gépkocsi célba ér? 0, 48 26. B,V Egy dobozban 6 piros, 4 zöld és 2 kék golyó van. Visszatevés nélkül kihúzunk három golyót. Mi a valószínűsége, hogy elsőre pirosat, másodikra kéket, harmadikra zöldet húzunk? 0, 03636 27. Vegyszeres szúnyogirtást végeznek. Az első permetezés után a szúnyogok 80%-a elpusztul, de az életben maradottakban annyi ellenállóképesség fejlődik ki, hogy a második permetezéskor már csak 40%-uk, a harmadiknál pedig már csak 20%-uk pusztul el. (a) V Mi a valószínűsége annak, hogy egy szúnyog túléli mindhárom permetezést? 0, 096 (b) V Feltéve, hogy egy szúnyog túlélte az első permetezést, mi a valószínűsége annak, hogy a másodikat és a harmadikat is túléli? 0, 48