TDK dolgozat. Korlátosság vizsgálata irány-hossz vegyes gráfok esetén

TDK dolgozat Korlátosság vizsgálata irány-hossz vegyes gráfok esetén Szabó Botond Alkalmazott matematikus szak Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2009 Témavezet : Jordán Tibor, egyetemi tanár ELTE TTK Matematikai Intézet Operációkutatási Tanszék

Contents 1 Bevezetés 3 1.1 Általános bevezetés......................... 3 1.2 Jelölések............................... 7 2 Tételek az algoritmushoz 10 3 Az algoritmus 15 3.1 Az algoritmus megadása...................... 15 3.2 Generikusan nem korlátos gráf tetsz legesen nagy realizációja. 18 4 Következmények, kapcsolatok 22 4.1 A kétféle modell ekvivalenciája.................. 22 4.2 Gráfelméleti karakterizáció a korlátosságra............ 23 1

Absztrakt Irány-hossz rendszernek nevezzük azon (G, p) rendezett párokat, ahol a G = (V ; D, L) vegyes gráf, melyben V jelöli a csúcsok, D az "irány élek", L a "hossz élek" halmazát és p egy leképezés V -b l a d dimenziós Euklideszi térbe. Egy uv él címkéje egy hossz vagy irány korlátozást fog adni p(u) és p(v) között. A hossz korlátozás lehet fels határ vagy pontos távolság megadás és az így megadott két fajta deníció alapján lehet kötél illetve rúd modellr l beszélni. A dolgozat során a kötél modell korlátosságával foglalkoztam majd végül beláttam, hogy a kapott állítások rúd modellre is alkalmazhatóak. Els ként egy algoritmust adtam meg, mely eldönti, hogy egy (G, p) rendszer korlátos-e, majd nem korlátos esetben tetsz leges nagyságú gráf elkészítésére adtam egy eljárást. Az algoritmus felhasználásával beláttam, hogy a kötél és rúd modell korlátosságának feltétele megegyezik, azaz az algoritmus mindkét modellre alkalmazható. Végül igazoltam, hogy az algoritmus pontosan azon gráfokat adja korlátosnak, melyek Bill Jackson és Peter Keevash (2009a) cikkében szerepl korlátosság feltételeket is teljesítik, azaz az eljárásnak és a cikknek a (G, p) rendezett pár korlátosságára adott feltételrendszere megegyezik. A dolgozat során az általánosan használt rúd modell helyett bevezetett kötél modell segítségével egyszer síteni tudtam a problémát és a matroid elméletet kikerülve elemi operációkutatási módszereket alkalmazva sikerült a gráf korlátosságával ekvivalens feltételt megadni. A két modell korlátosságának ekvivalenciája miatt a kapott módszer segítséget nyújthat összetettebb problémák vizsgálatánál. 2

1 Bevezetés 1.1 Általános bevezetés A geometriai megkötésekkel megadott szerkezeteket gyakorlati problémák széles skálájának modellezésére alkalmazzák, mint például szenzor rendszereknél, molekulák rugalmasságánál és számítógépes formatervezésnél. A G gráf bizonyos éleire irány (D, irány-élek) illetve hossz (hossz-élek) megkötéseket tehetünk és az így keletkezett rendszerrel kapcsolatban számos érdekes kérdés merül fel. Vizsgálhatunk olyan rendszereket, melyekben csak az élek hosszára (Laman (1970)) vagy irányára van megkötés (Whiteley (1996)), illetve a vegyes gráfok esetét, melyben mindkett fajta megkötés el fordulhat (Servatius and Whiteley (1999)). A hossz-éleket kétféleképpen deniálhatjuk. Az általánosan bevett gyakorlat szerint rúdnak (L) nevezzük azon hossz-éleket, melyekben az él hossza x, míg a dolgozatban bevezetett deníció szerint kötélnek (K) nevezzük azon hossz-éleket, melyekben az él hosszára fels korlát van megadva. A dolgozat során belátjuk, hogy az általunk vizsgált tulajdonságok egybeesnek a különböz denícióval megadott modellekben. Az él korlátozásokkal megadott gráfok esetén természetesnek t nik annak a kérdése, hogy az adataink tartalmaznak-e ellentmondást vagy létezik a feltételeket kielégít realizációja a gráfnak. Létezés esetén továbbá felmerül az egyértelm ség kérdése. Jelentse a (G, p) rendezett pár a G = (V, E) gráf egy realizációját a d dimenziós Euklideszi térben, ahol p : V R d függvény a csúcsok helyét jelöli. A kizárólag csak élek hosszára vonatkozó megkötéseket tartalmazó G = (V ; L) rúd-gráf két (G, p) és (G, q) realizációját rúd-ekvivalensnek nevezzük, ha minden élük egyenl hosszú illetve rúd-kongruensnek nevezzük ket, ha tetsz leges u, v V csúcsra teljesül, hogy p(u) p(v) = q(u) q(v). Ezek segítségével deniálhatjuk a realizáció unicitásának különböz szintjeit. Egy (G, p) realizációt globálisan rúd-merevnek hívunk, ha bármely vele rúdekvivalens (G, q) realizáció egyúttal rúd-kongruens is lesz vele. Továbbá rúdmerevnek nevezzük (G, p)-t, ha létezik olyan ɛ > 0 környezet, hogy bármely vele rúd-ekvivalens (G, q) realizációra, melyre teljesül, hogy q(u) p(u) < ɛ minden u V csúcsra, a két realizáció egyúttal rúd-kongruens is lesz. Saxe (1979) bebizonyította, hogy a csak hossz megkötéseket tartalmazó gráfok esetén mind a létezés, mind a globális egyértelm ség eldöntése NP-nehéz feladat. Ennek oka, hogy bizonyos speciális esetek megnehezítik a probléma eldön- 3

tését. Ebb l kifolyólag a gráfnak csak a generikus (G, p) realizációit vizsgáljuk, melynek pontos denícióját a 1.2 alfejezetben adjuk meg. Egy G = (V ; L) rúdgráfot rúd-merevnek, illetve globálisan rúd-merevnek hívunk, ha minden generikus (G, p) realizációja rúd-merev, illetve globálisan rúd-merev. A speciális kétdimenziós esetben a G gráf rúd-merevségre (Laman (1970)) és a globális rúd-merevségére (Jackson és Jordán (2005)) adott kombinatorikus karakterizációt. Magasabb dimenzióban nem ismert kombinatorikai karakterizáció az unicitás kérdésére. A csak irány-élekkel deniált G = (V ; D) irány-gráfra egy (G, p) és egy (G, q) realizációt irány-ekvivalensnek mondunk, ha bármely e = uv D élhez tartozó p(u) p(v) és q(u) q(v) egymás konstansszorosai, valamint iránykongruensnek nevezzük ket, ha a fenti állítás tetsz leges u, v V csúcspárra teljesül. A (G, p) szerkezet irány-merev, ha tetsz leges vele irány-ekvivalens (G, q) szerkezet egyúttal irány-kongruens is lesz vele. A G irány-gráf iránymerev, ha tetsz leges generikus (G, p) realizációja irány-merev lesz. A generikusan merev G irány-gráfokra d-dimenzióban Whiteley (1996) adott kombinatorikus karakterizációt. A speciális kétdimenziós esetre az alábbi kapcsolat áll fent a rúd-merevséggel: Tétel 1.1. Kétdimenzióban a G = (V ; L) rúd-gráf pontosan akkor rúd-merev, ha a G = (V ; D) irány-gráf irány-merev. (A két gráfban a rúd illetve az irány-élek halmaza megegyezik). Laman (1970) speciális kétdimenziós esetre adott karakterizációja a merevségre: Tétel 1.2. Egy D = 2n 3 él csak irány-élekb l álló gráf akkor és csak akkor irány-merev, ha D 2 V (D ) 3 minden nemüres D részhalmazára D-nek. Ezzel ekvivalens leírást ad Lovász és Yemini (1982) tétele: Tétel 1.3. Egy G = (V, E), 2n 3 irány-élb l álló gráf akkor és csak akkor irány-merev, ha minden e E él esetén a G gráfból az e él megduplázásával készített új gráf élhalmaza felbomlik két éldiszjunkt feszít fa uniójára. Az irány-éleket és rudakat is tartalmazó G = (V ; D, L) vegyes gráf (G, p) és (G, q) realizációját irány-rúd ekvivalensnek nevezzük, ha bármely uv D irány-élre a p(u) p(v) és q(u) q(v) vektorok egymás konstansszorosai 4

valamint bármely zw L rúdra p(z) p(w) = q(z) q(w). A két szerkezetet továbbá irány-rúd kongruensnek hívjuk, ha (G, p)-b l csak eltolás és ±1-szeres nagyítás segítségével megkaphatjuk (G, q)-t, azaz G bármely két csúcsának távolsága megegyezik a két realizációban, illetve a csúcsok különbség vektorai egymás ±1-szeresei. Az irány-rúd merevség és globális irány-rúd merevségség deniálása a (G, p) rúd-szerkezet esetéhez hasonlóan történik. A következ ábrán egy olyan (G, p) szerkezetet láthatunk, mely irány-rúd merev, de nem globálisan irány-rúd merev (hiszen létezik olyan (G, q) vele irány-rúd ekvivalens realizáció, amely nem irány-rúd kongruens vele). Az ábrákon szaggatott piros szakaszok jelölik a rudakat és fekete folytonos szakaszok jelölik az irány-éleket. Figure 1: (G, p) realizációja G- nek Figure 2: (G, q) realizációja G-nek A G = (V ; D, L) gráfot irány-rúd merevnek, illetve globálisan irány-rúd merevnek nevezzük, ha tetsz leges generikus (G, p) realizációja irány-rúd merev illetve globálisan irány-rúd merev. Fontos és sokat vizsgált tulajdonsága a gráfnak a redundáns irány-rúd merevség. Egy G = (V ; D, L) vegyes gráfot redundánsan irány-rúd merevnek nevezünk, ha tetsz leges él elvétele után irányrúd merev marad a gráf. A G vegyes gráf kétdimenziós irány-rúd merevségére Servatius és Whiteley (1999) adott kombinatorikus karakterizációt. A globális irány-rúd merevség kérdése a mai napig nyitott. Egy (G, p) szerkezetet korlátosnak mondunk, ha létezik olyan K > 0 konstans, hogy bármely vele ekvivalens (G, q) szerkezet esetén tetsz leges u, v V csúcspárra q(u) q(v) K teljesül. Egy G = (V ; E) (ahol E-ben lehetnek irány- és/vagy hossz-élek) gráfot generikusan korlátosnak nevezünk, ha bármely generikus (G, p) realizációja korlátos. A szakirodalomban el forduló fontos kérdés a globális irány-rúd merevség és redundáns irány-rúd merevség kapcsolata, miután a kapcsolat leírása elvezethet a globális irány-rúd merevség jellemzéséhez. A fenti kérdés többek között felvet dött már Jackson és Jordán (2005)-ös cikkében is. Jackson és Keevash 5

(2009b) cikke a korlátosság segítségével ad kapcsolatot a két fogalomra a két dimenziós esetben. Az els tétel rúd, a második tétel irány-él elhagyása utáni irány-rúd merevséget vizsgálja. Tétel 1.4. Tegyük fel, hogy G = (V ; D, L) globálisan irány-rúd merev és L d, ekkor G\{e} irány-rúd merev lesz minden e L esetében. Tétel 1.5. Legyen G = (V ; D, L) globálisan irány-rúd merev gráf és tekintsük a d = 2 dimenziós esetet. Tegyük fel, hogy az e D élre G\{e}-nek van nem egy csúcsot tartalmazó irány-rúd merev részgráfja. Ekkor a G\{e} irány-rúd merev vagy generikusan nem korlátos. Mindkét tétel bizonyításához szükséges a generikus korlátosság jellemzése. Ez motiválta a dolgozatunkat, illetve Bill Jackson and Peter Keevash (2009a) cikkét is, melyek egymástól függetlenül, egyid ben, különböz technikák felhasználásával készültek. A dolgozat célja tehát egy algoritmus és ezáltal kombinatorikus karakterizáció megadása tetsz leges vegyes gráf generikus korlátosságának eldöntésére. Fontos, hogy generikus (G, p) realizációk korlátosságát vizsgáljuk csak, máskülönben nem tudnánk a G gráf korlátosságára kombinatorikus karakterizációt adni. Ezt egy rövid példán keresztül szemléltetjük: Figure 3: Nem korlátos (G, p) realizációja G-nek Figure 4: Korlátos (G, p) realizációja G-nek A G generikusan korlátos gráf 3. ábrán látható (G, p) realizációja nem generikus, mert az AB és DC élek párhuzamosak. Ebben az esetben a realizáció korlátos sem lesz az el bb említett élek párhuzamossága miatt. Ezzel ellentétben a 4. ábrán szerepl generikus (G, p) szerkezet már korlátos. A dolgozat a következ képpen épül fel. A bevezet második felében a dolgozat során felhasznált deníciókat és jelöléseket adjuk meg, majd a második fejezetben az algoritmus helyes m ködésének igazolásához szükséges állításokat látjuk be. A harmadik fejezet els részében megadjuk az algorimusunkat és felhasználva az el z fejezet eredényeit belátjuk helyességét. A fejezet második 6

részében megadunk egy eljárást, mely segítségével nem korlátos (G, p) realizáció esetén tetsz leges nagyságú, vele ekvivalens (G, q) realizációt tudunk készíteni. A harmadik fejezet els felében a tetsz leges nagyságú realizációt készít eljárás segítségével bebizonyítjuk, hogy a két különböz hossz-él denícióra felírt korlátossági probléma ekvivalens. A fejezet második felében belátjuk, hogy a kapott algoritmus ugyanazt a szükséges és elégséges feltételt generálja, mint ami Bill Jackson és Peter Keevash (2009a) cikkében is szerepel. 1.2 Jelölések A következ kben G = (V ; D, K) vegyes gráfokkal foglalkozunk, melyek olyan élcímkézett irányítatlan gráfok, ahol az élek irány-élek (D) és kötelek (K és számuk legyen m) lehetnek. A csak irány-éleket tartalmazó gráfot irány-gráfnak, míg a csak köteleket tartalmazó gráfot kötél-gráfnak nevezzük. Egy (G, p) szerkezetet triviális realizációnak hívunk, ha minden u, v V -re p(u) = p(v). Általában triviális realizáció alatt a (0,0,..,0)-ba eltolt változatot szoktuk érteni. A (G, p) szerkezetet generikusnak nevezzük, ha a realizáció tetsz leges csúcsát (0,0,...,0)- ba eltolva a többi csúcs koordinátáinak halmaza a racionális számtest fölött algebrailag független, azaz nem létezik olyan egész együtthatós, többváltozós, nem azonosan nulla polinom, melynek van a koordináták halmazából kikerül gyöke. A (G, p) és (G, q) szerkezetek irány-kötél ekvivalensek, ha minden uv D irány-élre teljesül q(u) q(v) = λ(p(u) p(v)) valamilyen λ skalárral és minden uv K kötélre fennáll p(u) p(v) c uv és q(u) q(v) c uv valamilyen el re megadott c uv konstanssal. A korlátosság vizsgálata szempontjából ez a feltétel lényegében egyenérték azzal, hogyha a kötél csúcsainál koordinátánként követeljük meg a korlátos távolságot, azaz c uv p i (u) minden uv K-ra és i {1,..., d}-re. Ennek oka, hogy ha p i (v) c uv p(u) p(v) 2 c 2 uv, akkor p i (u) p i (v) c uv, valamint ha p i (u) p i (v) c uv minden i {1,..., d}-re, akkor p(u) p(v) 2 dc 2 uv. Tehát megválaszthatóak a konstansok úgy, hogy az egyik féleképpen megadott kötél feltételt teljesít realizációk automatikusan teljesítsék a másik módon megadott kötél feltételt. Miután a korlátosság kérdése nem függ a konstansok pontos értékét l, ezért a kétfajta megadása a feltételnek ugyanazt a korlátossági kérdést adja. Vegyük a G = (V ; D) irány-gráf egy olyan (G, p) realizációját, melyben 7

p(1) = (0, 0,..., 0), azaz az 1-essel jelölt csúcs helye a d-dimenziós térben a (0,0,...,0) koordinátájú pont. Tekintsünk egy olyan (d 1) D (d V d)-es mátrixot, melyben minden egyes D-beli élhez d 1 sor és minden u V (u 1) csúcshoz d darab egymás melletti oszlop tartozik (az i + 1-edik (i>0) sorszámú csúcshoz a d(i 1) + 1,...,di-edik oszlop tartozik). Ezután vegyük minden e = uv D élhez tartozó p(u) p(v) tér egy B e = (p 1 (e) T, p 2 (e) T,..., p d 1 (e) T ) T bázisát (ahol B e (d 1) d-es mátrix), és az e élhez tartozó sor u csúcscsal címkézett d darab oszlopába írjuk be B e -t, míg a v csúccsal címkézett d oszlopába B e -t. Az u = 1 esetben B e, míg v = 1 esetén B e nem kerül bele a mátrixba. A maradék részét a mátrixnak töltsük fel 0-kal. Az így kapott mátrixot nevezzük a (G, p) realizáció irány-mátrixának és jelöljük D(G, p)-vel. Könnyen észrevehet, hogy a (G, p) realizáció csúcsaiból képzett x = ( p(2), p(3),..., p( V ) ) T oszlopvektor kielégíti a D(G, p)x = 0 egyenletrendszert. Továbbá elmondható, hogy egy (G, q) szerkezet, melynek egyes sorszámú csúcsa a (0, 0,..., 0)-ba van eltolva, pontosan akkor irány-ekvivalens (G, p)-vel, ha a (G, q) realizációból képzett y vektor kielégíti a D(G, p)y = 0 egyenletrendszert. Ezután vezessük be a váz denícióját. A (H, f) rendezett párt váznak nevezzük, ahol H = (V, E) gráf és f : E R d leképezés. A váz F (H, f) incidencia mátrixa egy E d( V 1) mátrix, ahol a sorokat a H gráf éleinek segítségével indexeljük, míg oszlopainak d méret csoportjait a csúcsok szerint (az egyes sorszámú csúcshoz tartozó oszlopokat kihagyjuk a mátrixból). Hasonlóan az irány-mátrixhoz, az e = uv E élhez tartozó sor u csúcshoz tartozó szakaszába f(e)-t, míg v-hez tartozó szakaszába f(e)-t írunk, végül a mátrixot 0-kal töltjük fel. Legyen H = (d 1)G = (V, (d 1)D) a G = (V, D) irány-gráf éleinek d 1-szerezésével gráf. Megjegyezzük, hogy a (G, p) szerkezet D(G, p) irány-mátrixa egyben a (H, f) váz (H = (d 1)G) egy F (H, f) incidencia mátrixa is, ahol az f : (d 1)D R d függvény értékeit a p(u) p(v) altér egy tetsz leges bázisa adja. A bázis megadható úgy, hogy minden bázisvektor koordinátája a p(u) p(v) vektor koordinátáinak ±1-szeresei és a 0 érték közül kerüljenek ki. Az F (H, f) mátrix sorai nem feltétlenül függetlenek, azaz tartalmazhatnak fölösleges információt. A Bill Jackson (2007) 1.4. tételéb l következ en független sorokból álló incidencia mátrixot hozhatunk létre, amelynek rangja megegyezik az irány-mátrix rangjával. Ezt a mátrixot nevezzük minimális incidencia mátrixnak. Jelöljük i E (X)-szel a G = (V, D) irány-gráf E D élhalmazából azon 8

irány-élek számát, melyek mindkét végpontja az X V csúcshalmazból kerül ki. Legyen H = (V, E) egy tetsz leges gráf és I(H) = {D E : i D (X) d X (d + 1) X V, ahol X 2} (1.1) élek egy halmazarendszere. Legyen B = arg max D (1.2) D I(H) és jelöljük H = (V, B)-vel az ezen élek által meghatározott gráfot. Ezentúl a (H, f ) váz alatt a (H, f) váz B-beli élek által meghatározott részét értjük. Tétel 1.6. A fenti jelöléseket használva teljesülni fog, hogy ahol r(a) az A mátrix rangját jelöli. r ( D(G, p) ) = r ( F (H, f ) ), (1.3) A fent megadott H gráf azért is érdekes, mert teljesíti Nash-Williams tételében (Nash-Williams (1964)) szerepl feltételt, azaz: Tétel 1.7. Egy G = (V, E) gráf, melyben E = d V d akkor és csak akkor bomlik fel d darab éldiszjunkt feszít fa uniójára, ha i E (X) d X d. Legyen G = (V, D) irány-gráf és (G, p) egy generikus realizációja. Azt mondjuk, hogy a (G, p) realizáció teljesíti a (H, f) vázban meghatározott feltételeket, ha a realizáció csúcsaiból készített d( V 1) dimenziós ( p(2), p(3),...., p( V ) ) T oszlopvektor megoldása az F (H, f)x = 0 egyenletrendszernek. Végül deniáljuk az összehúzás m veletét. Rendezzük tetszés szerint csoportokba a G = (V, D) gráf csúcsait, majd húzzuk össze a csoportok tagjait egy-egy új csúcsba. Az így kapott G + = (V +, D + ) gráf élei az eredeti G gráf azon élei lesznek, melyek a csoportok között vezettek. Ezt a m veletet nevezzük a G gráf összehúzásának. A (H, f) váz összehúzása is hasonlóan történik, annyi különbséggel, hogy itt egy új f + : D + R d függvényünk lesz, mely az eredeti f függvényünk D + D élhalmazra vett megszorítása. 9

2 Tételek az algoritmushoz Ebben a fejezetben el készületeket teszünk egy tetsz leges G = (V ; D, K) vegyes gráf generikus korlátosságát eldönt algoritmus megadására. Lemma 2.1. Legyen G = (V, D) tetsz leges irány-gráf és jelöljük H = (V, D )- vel a (d 1)G gráfot. Legyen B D a maximális nagyságú élhalmaz I(H)-ban és H = (V, B). Ekkor tetsz leges (H, f) vázhoz van olyan nemtriviális (G, p) realizációja a G gráfnak mely teljesíti a vázban foglalt feltételeket. Bizonyítás: A G irány-gráfhoz tartozó váz incidencia mátrixának d V d oszlopa és D d V d 1 sora van. Miután az F (H, f)x = 0 egyenletrendszer homogén ez maga után vonja, hogy végtelen sok megoldása lesz az egyenletrendszernek. Tetsz leges nem azonosan nulla megoldása pedig meghatározza egy nemtriviális, a (H, f) vázban szerepl megkötéseket teljesít (G, p) realizációját a G gráfnak. Állítás 2.2. Legyen (G, p) a G = (V, D) irány-gráf generikus realizációja, továbbá jelöljük (H, f)-fel a (G, p) által meghatározott minimális vázat és F (H, f)- fel a minimális incidencia mátrixot. Tekintsük a G gráf egy G = (V, D ) összehúzottját, amely egyben meghatározza a (H, f) váz egy (H, f ) összehúzását is, és tegyük fel, hogy a H = (V, E ) gráfra teljesül a következ két összefüggés: E d V d, (2.1) i E (X) d X d X V. (2.2) Ekkor a G gráfnak csak a triviális lesz az egyetlen olyan realizációja, mely teljesíti a (H, f ) vázban foglalt feltételeket. Bizonyítás: Tegyük fel indirekten, hogy létezik olyan nem triviális (G, p ) szerkezet, melyb l készült x = ( p 1(2),..., p d (2),..., p 1( V ),..., p d ( V ) ) T oszlopvektor kielégíti az F (H, f )x = 0 egyenletrendszert. Els lépésként belátjuk, hogy a H gráf tetsz leges összehúzottjára is teljesülni fog a (2.1) feltétel. Az 1.7. tételb l következ en H -ban van d éldiszjunkt feszít fa. Tetsz leges összehúzását véve a gráfnak, az összehúzott gráfban is lesz d éldiszjunkt feszít fa, így teljesülni fog rá a (2.1) feltétel. Csoportosítsuk ezután a G gráf csúcsait aszerint, hogy a (G, p ) realizációban egy pontba esnek-e. A H gráf csúcshalmaza megegyezik a G gráf 10

csúcshalmazával, így a H gráfban az el bb kapott csúcscsoportokat összehúzva a (2.1) feltételt teljesít gráfot kapunk. Ezentúl a G és H gráfokból a fenti csoportok összehúzásával kapott gráfokkal fogunk tovább dolgozni és az egyszer ség kedvéért ezen gráfokat fogjuk G -gal és H -gal jelölni. Tehát összefoglalva a G gráf olyan (G, p ) realizációjával dolgozunk ezentúl, melyre tetsz leges u, v V csúcspárra p (u ) p (v ) teljesül és a G -hoz tartozó H = (V, E ) gráfra teljesülni fog a (2.1) feltétel. A (2.1) feltételb l következik, hogy az F (H, f ) mátrix sorainak száma legalább akkora, mint oszlopainak száma. Az indirekt feltevés szerint az F (H, f )x = 0 egyenletrendszernek létezik nem triviális megoldása, így létezik olyan e = u v E éle a H gráfnak, melyhez tartozó F (H, f ) mátrixbeli sor benne van a többi sor által generált altérben. Jelöljük A V -val az u illetve B V -vel a v csúcshoz tartozó, G gráfbeli csúcshalmazokat. Különböztessünk meg két esetet az A és B csúcshalmazok között vezet irány-élek száma szerint. Az els esetben tegyük fel, hogy két vagy több irány-él vezet A és B között G-ben. A (G, p) realizáció generikuságából következik, hogy ezek páronként nem párhuzamosak. Minden ilyen élhez (H, f) egy d 1-dimenziós normálalteret határoz meg, amelyek így páronként különböznek. Összehúzás hatására az élekhez tartozó normálalterek nem változnak meg, így e élhez egy d dimenziós normálalteret fog a (H, f ) váz meghatározni, ami ellentmond a p (u) p (v) feltevésünknek. Második esetben tegyük fel, hogy az A és B csúcshalmazok között csak egy irány-él vezet a G gráfban és legyen ez uv D. Jelöljük Ĥ -gal a H gráfból az e él elhagyásával kapott gráfot, e E-vel az e él H gráfbeli megfelel jét és Ĥ-pal a H gráfból az e él elhagyásával nyert gráfot. A jelöléseket alkalmazva elmondható, hogy a (Ĥ, f) váz összehúzásával kapjuk a (Ĥ, f ) vázat, amelyhez tartozó F (Ĥ, f ) incidencia mátrix sorai meghatározzák az egész F (H, f ) mátrixot. A (H, f) minimális váz deníció szerint a G gráf minden g D irány-éléhez egy d 1 dimenziós normálalteret határoz meg, így a (H, f ) összehúzott váz is a G gráf minden g D éléhez egy d 1 dimenziós normálalteret határoz meg. A p (u ) p (v ) feltevésb l következik, hogy a (H, f ) váz az u v D élnek egy pontosan d 1 dimenziós alterét fogja meghatározni. A vázak összehúzása során az irányfeltételek nem változhatnak meg, így elmondhatjuk, hogy az uv D élnek a (H, f) váz által meghatározott d 1 dimenziós normálaltere megegyezik u v D él (H, f ) váz által 11

meghatározott pontosan d 1 dimenziós normálalterével. Összefoglalva az eddigieket a (Ĥ, f) váz egyértem en meghatározza az u v D élhez tartozó d 1 dimenziós normálalteret, ami megegyezik az uv D élhez tartozó d 1 dimenziós normálaltérrel, tehát a (Ĥ, f) váz meghatározza az uv D élhez tartozó d 1 dimenziós normálalteret. Különböztessünk meg két alesetet. Amennyiben f(e) benne van a (Ĥ, f) váz által meghatározott d 1 dimenziós alterében az uv D élnek, úgy ellentmondásra jutottunk azzal, hogy a (H, f) minimális váz F (H, f) minimális incidencia mátrixának sorai lineárisan függetlenek. A második esetben tegyük fel, hogy az f(e) vektor nincs benne a d 1 dimenziós normálaltérben. Ekkor azonban a (H, f ) váz az u v élre egy d dimenziós normálalteret határoz meg, ami azt jelenti, hogy az u és v csúcs minden realizációban egybe kell essen. Ez viszont ellentmond a (G, p ) realizációra tett feltevésünknek. Tehát csak triviális megoldása van a F (H, f )x = 0 egyenletrendszernek, azaz csak a triviális (G, p ) realizáció elégíti ki a (H, f ) vázban foglalt irány feltételeket. Frank András (2008)-as jegyzetének 3.5.10 tétele kimondja, hogy: Tétel 2.3. Egy R = {x : Qx b} nemüres poliéderre a következ k ekvivalensek: (1) Q oszlopai lineárisan függetlenek. (2) R egyenes-mentes. A fenti tétel segítségével lássuk be a f tételünket. Tétel 2.4. A (G, p) irány-kötél szerkezet pontosan akkor nem korlátos, ha a G gráfnak van olyan G + összehúzottja, amelyben már csak irány-élek szerepelnek és létezik olyan (G +, q) nem triviális realizációja, amely teljesíti a (G, p) szerkezet által meghatározott (H, f) minimális váz összehúzásával kapott (H +, f + ) vázban meghatározott feltételeket, azaz a realizáció csúcsaiból képzett ( q(2),..., q( V + ) ) T d( V + 1) dimenziós oszlopvektor megoldása az F (H +, f + )x = 0 egyenletrendszernek. Bizonyítás: Könnyen látható, hogy egy (G, p) szerkezet pontosan akkor nem korlátos, ha tetsz leges w V csúcsot kiválasztva teljesül, hogy minden M természetes számhoz létezik olyan vele irány-kötél ekvivalens (G, q) realizáció, melyben van legalább egy z V csúcs és annak legalább egy i {1,..., d} koordinátája, melyre q i (w) q i (z) > M teljesül. Válasszuk ki így az egyes sorszámú csúcsot és legyen q(1) = (0, 0,..., 0) minden (G, p)-vel ekvivalens 12

realizáció esetén. Tehát a (G, p) szerkezet pontosan akkor nem korlátos, ha minden M természetes számhoz létezik olyan vele ekvivalens (G, q) szerkezet és a G vegyes gráfban olyan u V csúcs, hogy q i (u) > M teljesül valamely i {1,..., d} koordinátára. Készítsük el a (G, p) irány-kötél szerkezet által meghatározott irány-kötél mátrixot, mely az összes szükséges információt tartalmazza a (G, p) szerkezetr l. Els lépésben tekintsük az irány-élek által meghatározott részgráfot. A G = (V, D) G irány-élek alkotta részgráfnak egy (G, p) realizációja meghatároz egy F (H, f) minimális incidencia mátrixot. Legyen k a (H, f) minimális vázban az élek száma. Ez a mátrix alkotja az irány-kötél mátrix fels részét. Ezután a következ 2dm sorba a kötél feltételek szerepelnek, miszerint c uv p j (u) p j (v) c uv, ha uv K valamely el re adott c uv > 0 konstanssal. Így az irány-kötél mátrixunk az alábbi alakú lesz: f 1 (e 1 )... f d (e 1 ) 0 0... f 1 (e 1 )... f d (e 1 )... 0... 0 f 1 (e k )... f d (e k ) 0... 0 1 0... 0 1 0 0... 0 A = 1 0... 0 1 0 0... 0 0 1 0... 0 1 0... 0 0 1 0... 0 1 0... 0... 0... 0 1 0... 0 0 1 Legyenek továbbá d( V 1) dimenziós oszlopvektorok, és x = (q(2), q(3),..., q(n)) T, (2.3) 0 = (0, 0,..., 0) T (2.4) b = (0, 0,..., 0, c 1,..., c 1, c 2,..., c 2,..., c m,..., c m ) T k + 2dm dimenziós oszlopvektorok. A G gráf (G, p)-vel ekvivalens (G, q) realizációiból képzett (2.3) alakú vektorok alkotják az Ax b egyenletrendszer megoldásainak halmazát, ahol az els k darab egyenl tlenség helyett egyenl ség áll fenn. A (G, q) realizációk 13

els csúcsát (0,0,...,0)-ba lerögzítettük, így pontosan akkor korlátos a (G, p) realizáció, ha a fenti Ax b egyenletrendszerrel meghatározott poliéder nem tartalmaz félegyenest. Az irány-kötél mátrix egy szimmetrikus poliédert határoz meg, így a (G, p) szerkezet korlátossága ekvivalens az {x : Ax b} poliéder egyenesmentességével. A 2.3 Tételb l következ en az egyenesmentesség ekvivalens az irány-kötél mátrix oszlopainak függetlenségével, azaz hogy az Ax = 0 egyenletrendszernek csak a triviális a jó megoldása. Próbáljuk gráfok segítségével megoldani az átfogalmazott problémát, azaz nézzük meg, hogy milyen esetben lesz végtelen sok megoldása az egyenletrendszernek. Tekintsük a z oszlopvektort (2.3) alakban, azaz mintha V 1 darab d dimenziós csúcsot egy vektorba tárolnánk egymás után. Az A mátrix els k sora a (G, p) realizáció irány-éleire vonatkozó megkötéseket tartalmazza, azaz olyan (G, q) realizációt keresünk, melyre az irány feltételek teljesülnek. Itt fontos megjegyeznünk, hogy két csúcs közötti irány-él feltétel nem sérül, ha a két csúcs a realizációban egy pontba esik. A következ dm sor pedig azt fejezi ki az Ax = 0 egyenletrendszerben, hogy a kötelek végpontjai egybeesnek. Azaz átfogalmazva a problémát olyan összehúzását keressük a gráfnak, melyben csak irány-élek szerepelnek (tehát a kötelek csúcsai össze vannak húzva) és van nem triviális realizációja az összehúzásnak. Amennyiben találunk ilyent, a (G, p) realizációnk nem korlátos, ellenkez esetben pedig korlátos. 14

3 Az algoritmus 3.1 Az algoritmus megadása Ebben a részfejezetben megadunk egy algoritmust, mely eldönti egy G vegyes gráfról, hogy generikusan korlátos-e. Az eljárás helyességének belátásához az el z fejezetben belátott állításokat fogjuk felhasználni. Az algoritmusunk célja, hogy találjon egy megfelel G + összehúzását a G gráfnak. Induljunk ki egy tetsz leges (G, p) generikus szerkezetb l és vegyük az irány-élei által meghatározott (H, f) minimális váz összehúzása után kapott (H, f ) vázat. Olyan G + összehúzott gráfot keresünk, melyhez létezik olyan nem triviális (G +, p + ) realizáció, amely teljesíti a (H, f ) vázban foglalt megkötéseket, azaz a (p + (2),..., p + ( V + )) T oszlopvektor nem triviális megoldása az F (H, f )x = 0 egyenletrendszernek. Amennyiben az algoritmusunk nem talál ilyen G + összehúzást, úgy a G gráfunk generikusan korlátos. Els lépésben a G gráf irány-élei helyett a (1.2)-ban meghatározott élhalmazt írjuk be, így megkapjuk a H gráfunkat. Ezután húzzuk össze a H gráfban a kötelek csúcsait egy-egy pontba. Az így kapott Ĥ gráfban az élek ezentúl az összehúzás után kapott új csúcsok között vezetnek majd. Azon éleket, melyek csúcsait összehúztuk, elhagyhatjuk a Ĥ gráfból, miután semmilyen plusz megkötést nem tartalmaznak. Ezután keressük meg a Ĥ gráf egy olyan H = (V, E ) részgráfját, melyre teljesül E d V d, i E (X) d X d X V, és amint találunk egyet, húzzuk össze egy pontba. (Nevezzük ezentúl ezen részgráfokat túlhatározottaknak.) Folytassuk az eljárásunkat, amíg már nem találunk több ilyen részgráfot. Amennyiben az eljárás végén egy pontot kapunk, úgy az algoritmus a G gráfot generikusan korlátosnak adja, míg ellenkez esetben a gráfot generikusan nem korlátosnak mondja. Az algoritmust röviden összefoglalva az alábbi diagrammot kapjuk: 1. Gráfban a kötelek által meghatározott részgráfok összehúzása 2. Ciklus kezd dik Amíg van túlhatározott részgráf tedd - Húzd össze egy pontba a csúcsait - A túlhatározott részgráfból kiinduló 15

élek ebb l a pontból indulnak ezentúl Ciklus vége 3. Ha az eredmény egy pont kiír: Korlátos Különben kiír: Nem korlátos. Tétel 3.1. A fent megadott algoritmusunk helyesen m ködik. Bizonyítás: Az algoritmus kétféle eredménnyel állhat le. Els esetben az algoritmus nem egy pontot ad vissza eredményként, hanem egy olyan H + = (V +, E + ) gráfot, melyre i E +(X) d X (d + 1) X V +. (3.1) Tetsz legesen megválasztva az f + : E + R d függvényt a 2.1 Lemmából következ en létezik olyan (G +, p + ) nem triviális realizáció, mely a (H +, f + ) generikus vázban meghatározott feltételeket teljesíti, azaz a (p + (2),..., p + ( V + )) T oszlopvektor megoldása lesz az F (H +, f + )x = 0 egyenletrendszernek. Így a 2.4. tételb l következ en tetsz leges generikus (G, p) szerkezet nem korlátos lesz, tehát a G gráfunk generikusan nem korlátos. A másik irányhoz be kell látnunk, hogy amennyiben az algoritmus egy pontban áll le, nem lesz olyan nem triviális realizációja az összehúzott G + gráfnak, mely teljesíti tetsz leges generikus (G, p) szerkezet által meghatározott (H +, f + ) vázban foglalt megkötéseket. Az algoritmus során csak olyan részgráfokat húzunk össze, amelyeknek a 2.2 Állításból következ en csak a triviális az egyetlen jó realizációja. Amennyiben ezen eljárás során egy pontot kapunk végeredményül, úgy elmondhatjuk, hogy nem létezik nem triviális realizációjú G + összehúzottja a G gráfnak, tehát a 2.4 Tételb l következ en a G + gráf generikusan korlátos lesz. A következ kben az algoritmus m ködését szemléltetjük egy rövid példán keresztül kétdimenzióban, generikusan nem korlátos G gráf esetén. Induljunk ki az 5. ábrán látható G vegyes gráfból (piros szaggatott élek a köteleket, a fekete élek az irány-éleket jelölik) és húzzuk össze els lépésként a kötelek alkotta részgráfokat. Így megkapjuk a 6. ábrán szerepl gráfot, melyben az {A, C}, {D, F } és {J, H} csúcsok túlhatározott részgráfokat határoznak meg. Ezen részgráfok összehúzása után megkapjuk a 7. ábrát, melyben {D, E} csúcsok által meghatározott részgráf túlhatározott lesz. Ezt összehúzva kapjuk 16