Az optimális önrész a bonus-malus rendszerben

Az optimális önrész a bonus-malus rendszerben Diplomamunka Írta: Retteghy Orsolya Alkalmazott matematikus szak Témavezet : Arató Miklós, egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 009

Tartalomjegyzék 1. Bevezet 1. Bonus-malus rendszer 3.1. Kármentességi díjengedmény....................... 3.. Károkozás miatti pótdíj......................... 4.3. Új belép k................................. 4 3. Módszer 6 3.1. A bonus-malus kiskapui......................... 6 3.. Stratégia.................................. 7 3.3. A lejt módszer.............................. 7 4. Lépések 9 4.1. A biztosító által kizetett károk számának valószín sége............................... 9 4.. Kizetett károk számának várható értéke................ 15 4.3. Várható kárnagyság............................ 1 4.4. Az alapdíj meghatározása........................ 5. Eredmények 3 5.1. Az optimális eredmények Exponenciális kárnagyság esetén...... 3 5.. Az optimális eredmények Pareto kárnagyság esetén................................... 4 6. Új tényez k 6 6.1. Új kárszám eloszlás............................ 6 6.. Az id................................... 6 7. Összefoglalás 8 II

Ábrák jegyzéke 4.1. d1 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye..... 16 4.. d alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye..... 17 4.3. d3 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye..... 19 4.4. d4 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye..... 1 5.1. Exponenciális és Pareto eloszlás feltételezése melletti összeghatárok. 5 6.1. A d 1 értékei különböz kárszámok függvényében, Exponenciális és Pareto eloszlás feltételzése mellett........................ 6 III

1. fejezet Bevezet Minden autó tulajdonosa találkozott már a kötelez gépjárm -felel sségbiztosítással. A KGFB-t ahogy a nevében is benne van kötelez minden gépkocsi üzembentartójának igénybe venni a törvény szerint. Egy baleset okozása nagyon megviseli az embereket, mégha csak egy kis koccanásról is van szó. De az els nagy megrázkodtatás után, érdemes elgondolkodnunk rajta, hogy mekkora kárt okoztunk. Természetesen kár mértékénél kizárólag vagyoni kárról beszélünk. El fordulhat ugyanis, hogy a kár összege nem haladja meg az éves díjunk felét se. Természetesen a biztosító a kár méretétül függetlenül büntet minket a kiszabott díjpótlékkal. Ebben az esetben felmerül egy olyan lehet ség, hogy mi zessük ki az okozott kárt a biztosító helyett. Cserébe a bíztosító nem terhel ránk magasabb díjat, hanem továbbra is kármentesnek tekint minket. Csakhogy megtörténhet, hogy az év további szakaszában szerencsétlenségünkre újabb kárt okozunk. Ekkor a biztosító mégiscsak sújt minket díjpótlékkal, Ugyan nem akkorával, mintha kárt okoztunk volna, de talán jobban jártunk volna, ha az els kárt mégsem mi zetjük ki. Persze el fordulhat az is, hogy mindkét kárunk olyan csekély, hogy a legjobb ha mindet kizetjük. Másrészt viszont a gyakori károkozók esetében el fordulhat, hogy a következ évben a legalacsonyabb bónusz-osztályban kezdhetjük az évet, ami azt jelenti, hogy magasabb díjat már nem szabhat ki ránk a bíztosító. Ilyenkor nyilvánvalósan, egy 0 Ft érték kárt se érdemes kizetnünk. Ezzel szemben, egy "jó vezet " esetében talán mindegyiket ki kéne zetnünk. Az lenne a cél, hogy megel legezzünk egy olyan stratégiát, amelyel vélhet en a legjobban járunk. Azt szeretnénk kideríteni, hogy egy adott bónusz-osztályba egy adott kárszám után, mekkora az az összeg kár maximuma, amit még nekünk kellene kizetnünk, ahhoz, 1

hogy várhatóan a legtöbb pénzt spóroljuk meg hosszútávon. Ehhez rengeteg számolásra lesz majd szükség. Egyrészt meg kell állapítani, hogy milyen valószín ségekkel mozgunk majd ezzel a stratégiával a bonus-malus rendszerben, ami a biztosítási díj meghatározására szolgál. Másrészt meg kell tudnunk jósolni, hogy várhatóan mennyit költünk majd a károk kizetésére. Ehhez szükségünk lesz a kárszám illetve a kárnagyság eloszlására [1]. Ebb l a összetev b l próbáljuk meg kitalálni az optimális stratégiát. Els lépésben megismerkedünk a magyar bonus-malus rendszer szabályaival és lehet ségeivel [1], []. Bemutatjuk a károk száma és a bonus-fokozatok közti kapcsolatot. Azután, felírjuk a stratégiát általánosan, ismeretlen összegekkel. Végül kiszámítva a várható költséget a változók segítségével, megpróbáljuk az optimalizálni [3], hogy végül megkapjuk a kívánt értékeket. Sajnos el fordulhat, hogy a stratégiánk nem válik be, közbe szól a balsors, és minden óvatosságunk ellenére a vártnál több vagy nagyobb balesetet okozunk, amivel tönkretehetjük a szépen felépített pénzmegatakarítási szándékunkat. Mindenkinek kellemes és balesetmentes vezetést kívánok!

. fejezet Bonus-malus rendszer Minden magyarországi telephely gépjárm üzemben tartója köteles az e rendeletben és mellékleteiben foglalt feltételek szerinti felel sségbiztosítási szerz dést kötni, és azt folyamatos díjzetéssel hatályban tartani. Gépjárm a Magyar Köztársaság területén kizárólag e feltételek fennállása esetén üzemeltethet.190/004. VI. 8. Korm. rendelet.ÿ 1.bek. Az üzemben tartó jogosult arra, hogy a biztosítónak a teljes kárkizetés összegér l szóló írásbeli értesítését követ hat héten belül a teljes kárösszeget a biztosítónak megzesse, és így a bonus-malus osztályba sorolását ne rontsa.190/004. VI. 8. Korm. rendelet III.szám melléklet 9. Európában általánosan elterjedt, hogy a gépjárm -üzembentartókat un. bonusmalus osztályba kell sorolni.1, és az abban elért fokozatuk alapján kerül sor a biztosítási díj megállapítására. A bonus-malus fokozatba történ besorolást a biztosítók nyilvántartják, így ha valaki másik biztosítót választ, bónusz fokozatát viszi magával az új biztosítóhoz. Magyarországon 008. január 1-t l a meggyelési id szakok a naptári évhez igazodnak. Tehát 009-ben a meggyelési id szak: 008.01.01-008.1.31. Továbbiakban a magyar bonus-malus rendszerrel foglalkozunk..1. Kármentességi díjengedmény Ha a gépjárm vel kapcsolatban a meggyelési id szakban kárkizetés nem történt, vagy a károsulttaknak kizetett teljes kártérítési összeget a károkozó gépjárm üzembentartója biztosított az err l szóló értesítést követ hatvan napon belül saját elhatározásából visszazette a biztosító társaságnak, akkor az üzembentartó kármentességi díjengedményre jogosult, amely az jelenti, hogy besorolási fokozata 1 fokozattal javul a meggyelési id szakot követ év január 1-jével. Kivételt képeznek azok, akik már elérték a legmagasabb, a B10-es fokozatot. Ebben az esetben nincs több díjengedmény. 3

fokozat díjszorzó M4 M3 1.65 M 1.35 M1 1.15 A0 1 B1 0.95 B 0.9 B3 0.85 B4 0.8 B5 0.75 B6 0.7 B7 0.65 B8 0.6 B9 0.55 B10 0.5.1. táblázat. Bonus-malus fokozatok.. Károkozás miatti pótdíj Ha a meggyelési id szakban a gépjárm vel bármikor okozott kárral kapcsolatban els kárkizetés történt, a meggyelési id szakot követ naptári évben az üzembentartó az els kárkizetések számától függ en pótdíjat köteles zetni, egy gyelembe vett kár esetén két fokozatot, két gyelembe vett kár esetén négy fokozatot, három gyelembe vett kár esetén hat fokozatot romlik a szerz d bonus-malus besorolása a tárgyévihez képest. Ha a szerz d négy gyelembe vett kárt okozott, akkor az M4-es bonus-malus osztályba kerül..3. Új belép k A bonus-malus rendszer az üzembentartó személyéhez köt dik, és nem a gépjárm hez. Ennek megfelel en a gépjárm eladása, cseréje stb. esetén amelyek a kötelez felel sségbiztosítási szerz dés megsz nését eredményezik, az új üzembentartóra "nem száll át" a korábbi kötelez gépjárm -felel sségbiztosítási szerz dés alapján elért bonus-malus fokozat. Új belép nek min sül az, aki két éven belül nem volt azonos gépjárm kategóriába tartozó kötelez gépjárm -felel sségbiztosítás szerz d je. Új belép esetén a szerz dés 4

bonus-malus besorolása csak A0 lehet. Jelöljük Z n -nel egy biztosítás n-edik évi díjfokozatát. Feltesszük, hogy P Zn i Z0, Z1,, Zn 1 P Zn i Zn 1, tehát Zn Markov-lánc. A magyar rendszer esetén bármely i I állapotból bármely j I állapotba pozitív valószín séggel eljuthatunk, és lnko{n : P Zn i Z0 i} 1. Ebben az esetben Z n egy irreducibilis, aperiodikus, véges állapotter Markovlánc. Feltesszük, hogy a kárszám eloszlása λ paraméter Poisson-eloszlás. p i : i darab kár okozásának valószín sége λi i! e λ Az átmenetvalószín ségek mátrixát a.-es táblázatban mutatjuk be. M4 M3 M M1 A0 B1 B B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 M4 1 p 0 p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M3 1 p 0 0 p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M 1 p 0 0 0 p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M1 1 p 0 p 1 p 1 0 0 p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A0 1 p 0 p 1 0 p 1 0 0 p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B1 1 p 0 p 1 p p 0 p 1 0 0 p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 1 p 0 p 1 p 0 p 0 p 1 0 0 p 0 0 0 0 0 0 0 0 B3 1 p 0 p 1 p p 3 p 3 0 p 0 p 1 0 0 p 0 0 0 0 0 0 0 B4 1 p 0 p 1 p p 3 0 p 3 0 p 0 p 1 0 0 p 0 0 0 0 0 0 B5 1 p 0 p 1 p p 3 0 0 p 3 0 p 0 p 1 0 0 p 0 0 0 0 0 B6 1 p 0 p 1 p p 3 0 0 0 p 3 0 p 0 p 1 0 0 p 0 0 0 0 B7 1 p 0 p 1 p p 3 0 0 0 0 p 3 0 p 0 p 1 0 0 p 0 0 0 B8 1 p 0 p 1 p p 3 0 0 0 0 0 p 3 0 p 0 p 1 0 0 p 0 0 B9 1 p 0 p 1 p p 3 0 0 0 0 0 0 p 3 0 p 0 p 1 0 0 p 0 B10 1 p 0 p 1 p p 3 0 0 0 0 0 0 0 p 3 0 p 0 p 1 0 p 0.. táblázat. Átmenetvalószín ségmátrix 5

3. fejezet Módszer 3.1. A bonus-malus kiskapui Mivel a cél az, hogy a költségeket minimálisra csökkentsük, igénybe vehetjük a nem tökéletes rendszer által adta lehet ségeket. Ha málusz osztályba jutnánk, akkor van mód arra, hogy helyette A0 fokozatba kerüljünk. Például: Új belép knek álcázhatjuk magunkat, átíratjuk az autót másra. Ezért a 15 bónusz-málusz fokozat helyett a továbbiakban csak 11-gyel számolunk 3.1. fokozat díjszorzó A0 1 B1 0.95 B 0.9 B3 0.85 B4 0.8 B5 0.75 B6 0.7 B7 0.65 B8 0.6 B9 0.55 B10 0.5 3.1. táblázat. Bonus fokozatok 6

3.. Stratégia Amint azt a bevezet ben említettük, a célunk az, hogy a költségeket minimalizáljuk. Tegyük fel, hogy egy X nagyságú kárt okozunk. Ha X < b ij akkor kizetjük a kárt, ha nagyobb, akkor a biztosítóra hagyjuk, és vállaljuk a bonus fokozatunk csökkenését. A cél az, hogy meghatározzuk, azokat az összeghatárokat, ami alatt magunkra vállaljuk a károk kizetését. i: aktuális bonus fokozatunk, j: az eddig okozott károk száma az adott biztosítási id szakban. A b ij -ket úgy kellene meghatározni, hogy a kárkizetések és KGFB díjak összege minimális legyen. Új belép ként 11 évre el re tervezünk. A belépésünk éve a 0. év, és további 10 évet vizsgálunk, mert ez alatt az id alatt, minden fokozatot lehet ségünk van megjárni. λ: az átlagos éves kárszám. Ezzel az új módszerrel az átmenetvalószín ségek módosulnak, mert akkor is feljebb lépünk, ha az összes kárt amit okozunk kizetjük. Tehát akkor lesz 0 db kárunk, ha vagy nem okozunk kárt, vagy az összes kár amit okozunk olyan kicsi, hogy érdemes inkább nekünk kizetni. Az összes többi kárszám valószín sége is módosul, mert azoknál is el fordulhatnak olyan károk, amelyeket nem a biztosítóval zettetünk ki. Ha kiszámoljuk ezeknek a valószín ségét, akkor kicserélve a régi értékeket az átmenetvalószín ség mátrixban követni tudjuk bonus fokozatunk változását a 10 év alatt. Az új kárszámeloszlások a továbbiakban a bonus fokozattól is függnek, mivel minden osztályban más-más lehet az optimális összeg ami alatt a kárt kizetjük. Továbbá meg kell határoznunk, hogy várhatóan hány kárt fogunk kizetni bizonyos összeghatárok alatt, mert ezentúl a díjakon kívül ezek is a mi költségeinket terhelik. Ezek az összeghatárok egy bonus osztályon belül is változhatnak, attól függ en, hogy hány kárt okoztunk, amit nem zettünk ki. Végül meg kell határoznunk, hogy az összeghatár alatti károk amit mi térítünk meg, várhatóan mekkorák. Két különböz káreloszlást is összehasonlítunk: Exponenciális és Pareto. 3.3. A lejt módszer A számolások elvégzése után egy 44 ismeretlenb l álló egyenletrendszerhez jutunk, ahol a változók a különböz összeghatárokhoz tartozó valószín ségek. Azaz, azok a d i,j értékek amik megegyeznek a py < d i,j valószín ségekkel, ahol y a kárnagyság 7

valószín ségi változója, az i és a j paraméterek pedig azt jelölik, hogy az i-edik bonus fokozatban járunk, j1 db kárszámmal. Ennek a 44 ismeretlenes egyenletrendszernek a kiszámításához egy numerikus eszközhöz fogunk folyamodni, amellyel, reményeink szerint, jól meg tudjuk közelíteni az optimális értékeket [3]. A szakdolgozatnak nem témája a lejt módszer részletes ismertetése, és célravezet ségének bizonyítása, ezért csak nagy vonalakban mutatjuk be, mir l is van tulajdonképpen szó. Adott gx : D R folytonos függvény, ahol D korlátos és zárt halmaz R n -ben. Keresend lokális vagy totális x minimumhely, vagyis olyan x D amelyre teljesül az x valamely környezetében. gx gx Deníció. Egy p 0 vektort a gx függvény lejt jének nevezzünk valamely x helyen, ha megadható olyan δ > 0, hogy minden 0 < h < δ-ra gx hp < gx, vagyis gx lokálisan csökken a p irányában. Tétel. Tegyük fel, hogy gx parciálisan deriválható az x helyen. Ekkor, ha grad gx T p < 0 akkor p lejt x-ben. A minimum keresésére az alábbi iterációt értelmezzük, amely az optimális lejt módszerek általános alakja: adott x 0 D kezd közelítés esetén legyen x m1 : x m α m grad gx m m 0, 1, ahol λ α m -et abból a feltételb l határozzuk meg, hogy gx m1 min λ>0 gx m λ grad gx m Az utóbbi ún. vonalmenti minimum biztosan létezik és gx m1 < gx m m 0, 1, Esetünkben x m a valószín ségek 11 4-es mátrixa. A g függvény pedig a költségünk függvénye lesz. Tehát ezzel az eljárással fogunk közelíteni a függvény minimumához. 8

4. fejezet Lépések 4.1. A biztosító által kizetett károk számának valószín sége 0 kár valószín sége. 0 kárunk úgy lehet, hogy egyáltalán nem okoztunk kárt, vagy az összes kár amit okoztunk d i1 alatt volt. Egyel re nem teszünk különbséget az osztályok között: d ij helyett d j -t használunk, ahol j 1 az eddig okozott, biztosító által megtérített károk száma. η: az eredeti kárszám, feltételezésünk szerint Poisson eloszlású valószín ség változó. ξ: az új kárszám valószín ségi változója. pξ 0 pξ 0 η k pη k k0 Ebb l Tehát k0 pη k λk k! eλ pξ 0 η k py < d 1 k pξ 0 k0 py < d 1 k λk k! eλ py < d 1 λ k e py< d 1 λ e 1py< d 1 λ k! e 1py< d 1 λ pξ 0 e 1d 1λ 9

Bevezetünk egy új jelölést: d j py < d j 1 kár valószín sége. 1 kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána már csak d alatti károkat okozunk. pξ 1 pξ 1 η k pη k k1 k1 k1 Összegezzük a mértani sort k1 k l1 k l1 d1 d l1 1 1 d 1 d kl λk k! eλ d d 1 d k 1 d 1 d 1 1 d 1 λd 1 k d 1 d k! k1 l1 1 d 1 d k1 λk k! eλ 1 d 1 d k1 λk k! eλ λd k e λ k! k1 Tehát 1 d 1 d 1 d 1 e λd 1 e λ1d 1 1 e λd e λ1d pξ 1 pξ 1 η k pη k k1 1 d 1 d 1 d e λ1d 1 e λ1d kár valószín sége. kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána van d feletti kár, utána már csak d 3 alatti károkat okozunk. k1 k k1 k l1 l1 pξ pξ η k pη k k d l1 1 1 d 1 d l1 1 1 d 1 Összegezzük az utolsó -mát! k ml1 d k ml1 d 3 d m1l 1 d d km 3 λk k! eλ 10 m1l 1 d d kl1 3 λk k! eλ

k1 k l1 k1 k l1 d 1 d l1 k1 k l1 d l1 1 1 d 1 d l1 1 d 1 1 d d d 3 Összegezzük a mértani sorokat! k 1 d 1 1 d d d 3 1 d 1 1 d d d 3 Tehát d kl d 3 1 1 d d kl 3 λk d d 3 k! eλ 1 1 d 1 dkl d kl 3 d d 3 1 d 1 1 d λ k d d 3 k! eλ d k1 λk k! eλ 1 d λk k! eλ k1 k1 d k1 1 d k1 d 1 d l1 l1 d 1 d 3 1 d 1 1 d d d 3 d dk1 1 d k1 3 d 3 d 1 d 3 d k1 3 λk k! eλ 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 d d 1 e λ1d 1 1 e λd λd e λd e λ1d d 1 d 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 d3 d 1 e λ1d 1 1 e λd 3 λd 3 e λd 3 e λ1d 3 d 1 d 3 1 d 1 1 d e λ1d1 e λ d d 1 e λ1d e λ d d 3 d 1 d e λ1d 1 e λ d3 d 1 e λ1d 3 e λ d 1 d 3 1 1 d 1 1 d e λ1d1 e λ d e λ1d e λ d 1 d 1 d d 3 d 1 d eλ1d 1 e λ d 3 e λ1d 3 e λ d 1 d 1 d 3 1 1 d 1 1 d e λ1d1 d e λ1d d 1 d 1 d d 3 d 1 d eλ1d 1 d 3 e λ1d 3 d 1 d 1 d 3 pξ pξ η k pη k k e λ1d 1 1 d 1 1 d d 1 d d 1 d 3 e λ1d e λ1d 3 d d 1 d d 3 d 3 d d 3 d 1 11

3 kár valószín sége. 3 kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána van d feletti kár, utána van d 3 feletti kár, utána már csak d 4 alatti károkat okozunk. k d l1 1 1 d 1 k3 l1 pξ 3 k1 ml1 Összegezzük az utolsó -mát! k d l1 1 1 d 1 k3 l1 k k3 l1 Újabb összegzés k3 l1 d l1 1 1d 1 k d l1 1 1d 1 k3 k1 ml1 d k 1 d k d 1 d pξ 3 η k pη k k3 d m1l 1 d k1 ml1 d d 3 d m1l k nm1 1 d dkm 3 d km 4 d 3 d 4 m1l d k1l d k1l 3 d d 3 d d 3 dk 3 d 1 d 3 d 3 d d 3 1 d k d kl1 3 d m1l d4 kl1 d 4 d 3 dk1l d k1l 4 d 4 d d 4 d k 1 d k d 1 d d nm1 3 1 d 3 d kn 4 λk k! eλ 1 d 3 λk k! eλ 1 d 1 d 3 λk d 3 d 4 k! eλ 1 d 1 d 3 λk d 3 d 4 k! eλ d d 4 dk 1 d k 4 d 1 d 4 d 4 d d 4 Ebb l 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 λk k! eλ 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 3 d d 1 d 1 d d d 3 1 eλd λd e λd λd e λd e λ1d d 3 d d 1 d d d 3 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 3 d 1 d 1 d 3 d d 3 λd 3 1 eλd 3 λd 3 e λd 3 e λd 3 e λ1d 3 d 1 d 3 d d 3 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 4 d d 1 d 1 d d d 4 1 eλd λd e λd λd e λd e λ1d d 4 d d 1 d d d 4 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 4 d 1 d 1 d 4 d d 4 1 eλd 4 λd 4 e λd 4 λd4 e λd 4 e λ1d 4 d 1 d 4 d d 4 1

1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d d 3 d 1 d 1 d d d 3 1 e λd λd e λd e λ1d d 3 d 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 3 1 e λd 3 λd d 3 e λd 3 e λ1d 3 1 d 1 d 3 d d 3 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d d 4 1 e λd λd d e λd e λ1d d 4 d 1 d 1 d d d 4 1 e λd 1 λd 1 e λd 1 e λ1d 1 d 4 1 e λd 4 λd d 4 e λd 4 e λ1d 4 1 d 1 d 4 d d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 e λ1d 1 e λ λd 1 e λ d d 3 d 1 e λ1d e λ λd e λ d3 d d 1 d d d 3 e λ1d1 e λ λd 1 e λ d 3 e λ1d3 e λ λd d 3 e λ 1 d 1 d 3 d d 3 e λ1d1 e λ λd 1 e λ d d 4 e λ1d e λ λd d e λ d4 d 1 d 1 d d d 4 e λ1d1 e λ λd 1 e λ d 4 e λ1d4 e λ λd d 4 e λ 1 d 1 d 4 d d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 d 3 d 4 Az e λ1d 1 együtthatói összegezve: d d 3 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 1 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d d 3 d 3d 4 d 1 1 d d 3d 4 d 1 1 d 3d 4 d 1 1 d d 3 d 1 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d 1 d d 3d 4 d d 4 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d d 3d 4 d 1 1 d d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 1 d 3d 4 d 1 1 d d 4 d 1 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3 d 4 d 1 d d 3d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d d 4 d d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d 1 d d 3 d d 3 d 4 d d 3 d 3d 4 d d 4 d d 3 d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d d 4 d d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d 1 13

A többi tag kiesik Az e λ1d együtthatói összegezve: d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 1 e λ1d 1 d 1d 3 d 1d 1 d 3d 4 d 1 d 3 d 4 d 1 d 1 d 3d 4 d 1 d 3 d 1 d 1 d 3d 4 d 3d 4 d 1 d 3d 4 d 1d 4 d 1d 1 d 3d 4 d 1 d 3 d 4 d 1 d 1 d 3d 4 d 1 d 4 d 1 d 1 d 3d 4 d 3 d 4 d 1 d 3d 4 d 1 d d d 3 d d 4 d 1d 3 d 1d 4 d 1 d 4 d 1 d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d d 1d 3 d 1 d 3 d 3d 4 d 1d 4 d 1 d 4 d 3 d 4 d 1 d d d 3 d d 4 d 1d 3 d 1d 4 d 1 d 4 d 1 d 3 d 3d 4 d 3 d 4 1 e λ1d A többi tag kiesik Tehát d d 1 d d 3 d d 4 1 e λ1d pξ 3 pξ 3 η k pη k k3 e λ1d 1 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 e λ1d d d 1 d d 3 d d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 e λ1d 3 d 3 d d 3 d 1 d 3 d 4 e λ1d4 d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 1 d 1 1 d 1 d 3 Legalább 4 kár valószín sége. Legalább 4 kárunk úgy lehet, hogy van d 1 feletti kár, utána van d feletti kár, utána van d 3 feletti kár, és utána van egy d 4 feletti kár, és utána már mindegy milyen károkat okozunk, mert úgyis M4-be kerülünk. A korábbi egyenletek szabályszer ségéb l következtethetünk a következ re: k3 k4 l1 Tehát d l1 1 1d 1 pξ 4 k ml1 pξ 4 η k pη k k4 d m1l 1d k1 nm1 e λ1d 1 d 1 1d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 e λ1d d 1d d 1 d d 3 d d 4 e λ1d 3 d 3 1d 3 d d 3 d 1 d 3 d 4 e λ1d 4 d 4 1d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 d nm1 3 1d 3 k on1 d on1 4 1d 4 λk k! eλ 1 d 1 1 d 1 d 3 1 d 4 1d 1 1d 1d 3 1d 4 1 A biztosító által kizett károk számának valószín ségei könnyen ellen rizhet k, mert az összegük 1. 14

Az új átmenetvalószín ségmátrixot bonyolultsága miatt külön-külön mutatjuk be.. q 10,10 e 1d 10,1λ q i,i1 e 1d i,1λ i 1... 9 q i,i 1d 1 d 1 d e λ1d1 e λ1d i 4... 10 e q i,i4 1d i,1 1d i, λ1d i,1 d i,1 d i, d i,1 d i,3 e λ1d i, d i, d i,1 d i, d i,3 e λ1d i,3 d i,3 d i, d i,3 d i,1 i 6... 10 q i,i6 e λ1d i,1 d i,1 d i, d i,1 d i,3 d i,1 d i,4 e λ1d i, d i, d i,1 d i, d i,3 d i, d i,4 e λ1d i,3 d i,3 d i, d i,3 d i,1 d i,3 d i,4 e λ1d i,4 d i,4 d i, d i,4 d i,3 d i,4 d i,1 i 8... 10 q i,1 1 10 j q i,j A többi elem 0. 1 d i,1 1 d i, 1 d i,3 1 d i,1 1 d i, 1 d i,3 Ha a mátrixot n-edik hatványra emeljük, és vesszük az els sorát, akkor megkapjuk, hogy A0-ból indulva n év után az egyes osztályokban milyen valószín séggel fordulhatunk meg. Ezt szorozva a díjszorzók vektorával megkapjuk, hogy várhatóan mennyi díjat fogunk zetni a 10 év alatt. A díjak költségéhez még hozzá kell számolni azokat a károkat, amelyeket ki fogunk zetni. Ehhez szükségünk lesz a várható kárszámra és a várható kárnagyságra. 4.. Kizetett károk számának várható értéke A továbbiakban el sz r meghatározzuk az általunk kizetett károk számának várható értékét. A számolások helyességét szimulációval ellen rizzük, amit 1.000.000 mintán futtatunk le.. d 1 alatti károk számának várható értéke. Legyen ψ i a d i alatti károk számának valószín ségi változója. k k1 l1 E d1 d l 1 λk k! eλ pψ 1 l l1 k1 l1 kl A szimulációs ellen rzést a 4.1-es ábrán mutatjuk be. d l 1 λk k! eλ d k1 1 d 1 λk d 1 1 k! eλ d 1 d 1 1 eλ1d 1 d 1 d 1 1 15

átlagos kárszám 1.0 1.5.0.5 3.0 3.5 4.0 számolt szimuláció 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 4.1. ábra. d 1 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d alatti károk számának várható értéke. E d pψ l l1 Mértani sor összegzés l1 kl1 l1 kl1 m0 l1 kl1 kl1 d m 1 1 d 1 d l λk k! eλ 1 d kl 1 d l λk k! eλ d kl 1 d l λk k! eλ 16 kl1 d l λk k! eλ

átlagos kárszám 0.0 0.5 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 számolt szimuláció 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 4.. ábra. d alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye Újabb összegzés Ebb l k1 d l λd 1 k k! k l1 k d 1 d e λ1d 1 d 1 d d 1 d e λ d l λk k! eλ d k d 1 d k 1 d dk d λk d 1 d d 1 k! eλ d 1e λ1d d e λ1d 1 eλ1d d d 1 d d 1 e λ1d A szimulációs ellen rzést a 4.-es ábrán mutatjuk be. d 1 d 1 1 d d 1 d 17

d 3 alatti károk számának várható értéke. k3 l1 kl kl l1 kl m0 1 d kl1 1 d 1 d 1 d d 1 d d k1 3 d 3 d 3 1 e λ1d 1 k k3 l1 d3 d 1 1 d d 1 d 1 d E d3 pψ 3 l l1 d m1 1 d m1 1 d 1 1 d d l 3 λk d 1 d k! eλ d 1 1 d 1 dkl1 d 1 d 1 d 1 d d 1 d 1 d d d 1 d d l 3 λk d 1 d l λd 1 k k! e λ 1 d 1 d 1 d d3 d l 3 λk k! eλ k! eλ l λd k e λ k! d dk1 3 d 1 d k1 1 d 3 d 3 d 1 1 d 1d d 1 d dk1 3 d d k1 d 3 d 3 d λk k! eλ d k 3 d 3 d k3 3 d 1 d d 1 dk 3 d 1 dk 1 d 3 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d 1 d 1d dk 3 d dk d 3 3 d 1 d d 3 d d d 3 d 3 e λ1d 3 1 1 d d 1 1 d 3 d 3 d 3 d 1 d d 3 d 3 d 1 1 d 1 d d 1 d d 3 d 3 d 1 d d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 1 d e λ 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d d 3 d 3 λk k! eλ e λ 1 d d 1 d 1 d d 3 d 3 d 1 1 d 1 d d 1 d d 3 d 3 d 1 d d 3 d 1 d d 3 d 1 1 d 1 d 3 d 1 d d 3 d λ e λ 1 1 d 1d 1 d d 1 d 1 d d 3 e λ1d 3 1 1 d 3 d 3 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 1 d d 3 d 1 3 d 1 d d 3 d 3 d 1 d 3 d e λ1d 1 d 1 d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d 1 d e λ 3 d 3 d 1 d d 1 d 3 1 d 1d d 3 3 d 1 d d 3 d 1 d d 3 d 3 e λ1d 3 1 1 d 3 d 3 d d 1 d 3 d 1 d d 1 d d 3 d 1 d d d 3 d d 1 d d 1d 3 d 1 d 3 d 1 d d 3 d 3 d 1 d 3 d e λ1d 1 1 d d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 1 d e λ 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d d 3 d 1 d 3 3 d 3 d 3 d 1 d d 3 d 1 d 3 d d 1 d d 3 d 1d d 3 d 1 d d 3 d 1 d d 3 d 1 d d 1 d d 3 e λ1d 3 d 3 1d 3 d 3 d 1 d 3 d d 3 e λ1d 1 1 d d 3 e λ1d 1 d 1 d 3 e λ 1 d 3 d 3 1 1 d 3 d 1 d d 3 d 1 d 1 d d 3 d d 3 d 3 e λ1d d 3 3 1 d 1 1 d 1 d 3 d 1 d 3 d d 3 d 3 e λ1d 1 1 d 3 1 d d 3 d 1 d d 1 d 3 A szimulációs ellen rzést a 4.3-es ábrán mutatjuk be. 18 e λ1d 1 d 1 d 3 d 1 d d d 3

átlagos kárszám 0.05 0.10 0.15 0.0 számolt szimuláció 0.5 0.30 0.35 0.40 0.45 4.3. ábra. d 3 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye d 4 alatti károk számának várható értéke. kl3 l1 kl3 m0 E d4 pψ 4 l l1 d m 1 d 1 d d 1 d 3 d m d d 1 d d 3 d m 3 d 3 d 1 d 3 d l1 kl3 1 d 1 1 d 1 d 3 d l 4 λk k! eλ d 1 dkl 1 1 d 1 d 3 d 1 d d 1 d 3 d dkl 1 d 1 1 d 3 d d 1 d d 3 d 3 dkl 3 1 d 1 1 d d 3 d 1 d 3 d d l 4 λk k! eλ 19

k3 k4 l1 1 d 11 d 3 d 1 d d d 3 k4 d l 4 λk k! eλ 1 d 1 d 3 d 1 d d 1 d 3 d4 d l λd k k! d4 d 1 e λ 1 d 11 d d 1 d 3 d d 3 d k 4 d 4 λk d 4 1 k! eλ d 1 1 d 1 d 3 l λd 1 k e λ k! d4 d 3 d 1 d d 1 d 3 dk 4 d 1 d k 1 d 4 d 4 d 1 l λd 3 k e λ k! λk k! eλ d 1 d 11 d 3 dk 4 d d k d 4 λk d 1 d d d 3 d 4 d k! eλ d 3 1 d 11 d dk 4 d 3 d k 3 d 4 λk d 1 d 3 d d 3 d 4 d 3 k! eλ λ d 1 1 d 1 d 3 d d 3 d eλ 1 d 11 d 3 d 1 d 3 d 3 1 d 11 d d 1 d d 1 d d 1 d 3 d d 3 λ eλ λ e λ d 4 1 d 1d 4 d 1 1 d 1 d 3 d d 3 d 4 d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 d d 4 d 1 d 1 1 d 3 d 1 d 3 d 3 d 4 d 3 1 d 1 1 d d 1 d d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 e λ d 4 d 4 1 d 4 d 4 d 4d 1 d 1 1 d 1 d 3 d d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 d 4 d 4d d 1 d 11 d 3 d 1 d 3 d 4 d 4d 3 d 3 1 d 11 d d 1 d d 4 d 1 d d 1 d 3 d d 3 e λ1d 1 1 d 1 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 eλ1d 1 d 1 1 d 3 d 4 d 1 d d d 3 d d 4 e λ1d 3 1 d 1 1 d d 4 d 1 d 3 d d 3 d 3 d 4 d 4 1 d 4 e λ1d 4... 1 d 3 1... d 3 4 1 d 1 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d 4 d 3 1 d 11 d 3 d 3 3 d 1 d d d 3 d d 4 d 1 d 11 d 4 d 1 d 3 d d 3 d 3 d 4 d 4 1 d 3 1 d 3 4 1 d 1 d 3 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 d 3 1 d 11 d 3 d 1 d 3 d 1 d 4 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 d 3 3 1 d 11 d d 1 d d 1 d 4 d d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 d d 3 d d 4 d 3 d 4 d 4 e λ1d 4 d 4 1 d 1 1 d 1 d 3 e λ1d 1 1 d 1 d 3 d 4 E d4 1 d 4 d 1 d 4 d d 4 d 3 d 4 d 1 d d 1 d 3 d 1 d 4 e λ1d e λ1d 3 1 d 1 1 d 3 d 4 d 1 d d d 3 d d 4 A szimulációs ellen rzést a 4.4-es ábrán mutatjuk be. 1 d 1 1 d d 4 d 1 d 3 d d 3 d 3 d 4 d 4 1 d 4 0

átlagos kárszám 0.0 0.04 0.06 0.08 0.10 számolt szimuláció 0.0 0.5 0.30 0.35 4.4. ábra. d 4 alatti károk valószín sége és az átlagos kárszám függvénye 4.3. Várható kárnagyság Az általunk kizett károk nagyságának várható értékére is szükségünk lesz. A várható kárnagyság meghatározásánál gyelembe kell vennünk, hogy csak egy bizonyos összeg alatt mozoghat. EX X < d i EX EX X < d i P X < d i EX X > d i P X > d i EX X < d i EX EX X > d i P X > d i P X < d i 1

Exponenciális káreloszlás. Az örökifjú tulajdonság miatt: EX X > d i 1 µ d i d i P X < d i 1 e µ d i ebb l: d i ln1d i µ EX X < d i Pareto káreloszlás. d i EX β α1 és d i feletti rész valószín sége: 1 µ 1 µ d i 1 d i d i P X < d i 1 P X < x X > d i az új eloszlás α, β d i paraméter Pareto. β 1 µ 1ln1d i µ 1 d i d i β β d i α ebb l: di α β d i α β β d i α β βx d i β 1d i α β és EX X > d i β d i α1 d i βα d i α1 EX X < d i βα β α1 β 1d i α β α1 1 d i d i β 1 α1 1 α1d i α α1 1 d i d i 4.4. Az alapdíj meghatározása A kezdeti díj összegét, azaz az alapdíjat a várható károk összegéb l fogjuk meghatározni. Amikor a biztosító meghatározza a díjakat, valószínüleg nem feltételezi, hogy az átlag ember eéle stratégiákhoz folyamodna, ezért csak az eredeti kárszám, illetve kárnagyság játszik szerepet az összeg meghatározásában. S t még a 15 bonus fokozatú rendszert fogjuk használni a számoláshoz. Tehát abból indulunk ki, hogy az egy f re jutó átlagos díjnak fedeznie kell az egy f re jutó átlagos kár összegét. Az átlagos kárösszeget pedig úgy kapjuk, hogy az átlagos kárszámot szorozzuk az átlagos kárnagysággal. Már csak az hiányzik, hogy megtudjuk, vajon hányszorosa az átlagos díj az alapdíjnak. A stacionárius eloszlás közelíti legjobban, hogy az emberek hány százaléka tartózkodik az egyes osztályokban. A stacionárius eloszlást az átmenetvalószín ség mátrix λ 1 sajátértékéhez tartozó baloldali sajátvektora adja. ππ λi 0 egyenletb l könnyen számolható pl. a MAPLE-lel, ahol Π-vel az átmenetvalószín ség mátrixot, I-vel az egységmátrixot, λ-val az 1 érték sajátértéket, π-vel meg a keresett sajátvektort jelöltük. A kapott vektort skalárisan szorozva a díjszorzók vektorával megkapjuk a kívánt összeget.

5. fejezet Eredmények A számoláshoz szükség van bizonyos adatokra. A KSH Központi Statisztikai Hivatal adatai alapján adjuk meg a kezdeti értékeket. Az átlagos kárszám: λ 0, 14. Az átlagos kárnagyság m 450.000 Ft. Feltételezzük, hogy a biztosító a díj 5%-át egyéb költségekre fordítja, 75%-át meg a károk kizetésére. λ 0, 14-gyel számolva az átlagos díj az alapdíj 54%-a lesz. Ebb l megkapható az alapdíj, ami 155.556 Ft. Az átmenetvalószín ség mátrix n-edik hatványának els sora adja, hogy az n. évben milyen valószín séggel melyik osztályban leszünk. Ezt a sort skalárisan szorozva a díjszorzók vektorával, és a kapott eredményt az alapdíj összegével, megkapjuk, hogy az n. évben várhatóan mennyi díjat fogunk zetni. Ezt n 1... n-re összeadva kapjuk a 11 év alatt ezetend díj várható értékét. Ehhez jön még a 11 év alatt zetend károk összege. Ha nem használunk semmilyen stratégiát, akkor 1.50.935 Ft-ot zethetünk a biztosítónak 11 év alatt. Az Exponenciális káreloszlást feltételez eloszlással, ez az összeg 1.438.610 Ft-ra csökkent, Pareto eloszlást feltételezve pedig 1.460.37 Ft. Látható, hogy mindkét eloszlásnál a stratégia eredményre vezet. A pareto eloszlásnál az eredményessége nem jelent s. Hosszabb id szak vizsgálatánál esetleg komolyabb összegre is számíthatunk. 5.1. Az optimális eredmények Exponenciális kárnagyság esetén Az Exponenciális eloszlás paraméterét a várható értékb l határozzuk meg. Ex 450.000 1 µ 3 µ 1 450000

Az 5.1-es mátrixban a 0-kat önkényesen beírtuk. Hiszen ha a kárszám alapján már úgyis a legkisebb osztályban kerültünk, akkor attól kezdve okozott károkat biztosan nem érdemes kizetnünk. bonus fokozat 1.kár.kár 3.kár 4.kár A0 317197 B1 35343 B 358154 B3 356343 9917 B4 353685 9934 B5 35185 99335 86043 B6 34967 9991 86047 B7 348839 9736 86047 7731 B8 350098 996 86078 771 B9 35946 95671 8581 7633 B10 34978 99350 86045 7707 5.1. táblázat. Az Exponenciális eloszlás eredményei 5.. Az optimális eredmények Pareto kárnagyság esetén Pareto eloszlásnál meg kell adni a paramétereket. A várható értékb l 450.000 Ft kapunk összefüggést közöttük. α-t 4-nek választva: Ex β α 1 β Ex α 1 1350000 4

bonus fokozat 1.kár.kár 3.kár 4.kár A0 33943 B1 339785 B 340407 B3 341179 31917 B4 341889 31934 B5 343637 319335 316043 B6 344774 31991 316047 B7 345765 31736 316047 31731 B8 348906 3196 316078 3171 B9 349704 315671 31581 31633 B10 34978 319350 316045 31707 5.. táblázat. A Pareto eloszlás eredményei 5.1. ábra. Exponenciális és Pareto eloszlás feltételezése melletti összeghatárok 5

6. fejezet Új tényez k 6.1. Új kárszám eloszlás Tudni szeretnénk, hogy jobb illetve rosszabb vezet k esetében, hogyan változnak az összeghatárok. Tehát az egészet újra számoljuk λ 0, 04, illetve λ 3 0, 54 paraméterekre. A változások leginkább az els kárnál gyelhet k meg. Grakonon mutatjuk be, a különböz paraméter kárszám eloszlások, hogyan változtatják a d 1 értékeit. 6.1. ábra. A d 1 értékei különböz kárszámok függvényében, Exponenciális és Pareto eloszlás feltételzése mellett 6.. Az id Látható, hogy a stratégiánk ugyan eredményre vezet, de ahhoz, hogy jelent sebb összeget takarítsunk meg legalább hosszú évekig kellene vezetnünk. Bevezetünk egy új változót a képletünkbe, amivel nomíthatunk egy kicsit a stratégián. Nem árt gyelembe venni, hogy mennyi id telt el az évb l, amikor a balesetet okozzuk. Az új stratégia, hogy akkor zetjük ki a kárt, ha 1 t λ µ X < b i,j 6