6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat
Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának a szorzatával egyenlő, axb merőleges az a és b vektorok által meghatározott síkra, továbbá a, b és axb ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkot. Ha a és b párhuzamosak, akkor axb = 0. A vektoriális szorzás tehát két vektorhoz egy harmadik vektort rendel.
Tulajdonságok axb = a b sinφ A vektoriális szorzat hossza megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével.
Tulajdonságok Állítás: Tetszőleges a, b vektorok és λ valós szám esetén: 2. axb = -bxa 3. λ(axb) = (λa)xb = ax(λb) Bizonyítás: 1. triviálisan következik a definícióból, 2. esetszétválasztással, λ előjele szerint.
Tulajdonságok A vektoriális szorzás nem asszociatív. (axb)xc ax(bxc), hiszen a bal oldalon pl. a=b esetén 0, a jobb oldalon pedig ha a és c nem párhuzamosak, akkor nem 0 áll.
Tulajdonságok Az egységvektorral való vektoriális szorzás geometriai jelentése: Ha e egységvektor, akkor exa az a-nak az e re merőleges síkra való merőleges vetületének e irányából nézve +90 fokos elforgatottja.
Tulajdonságok (exa)xe az a vektor e-re merőleges komponense. a m = (exa)xe, tehát a = (exa)xe + (ea)e
Tulajdonságok Tétel: A vektoriális szorzás disztributív, azaz tetszőleges a, b és c vektorok esetén cx(a+b) = cxa + cxb és (a+b)xc = axc + bxc.
Tulajdonságok Bizonyítás: Elég az első állítást belátni, abból következik a második. Ha c=0, akkor nyilvánvaló. Először c = 1 esetén bizonyítunk. Ekkor a c-vel való vektoriális szorzás geometriai jelentése alapján cx(a+b) = cxa + cxb, hiszen összeg merőleges vetülete, illetve elforgatottja megegyezik az összeadandók merőleges vetületének, illetve elforgatottjának összegével. Mivel c = c c 0, ezért ezt felhasználva kapjuk, hogy:
Tulajdonságok cx(a+b) = c (c 0 x (a+b)) = c (c 0 xa + c 0 xb) = c (c 0 xa) + c (c 0 xb) = cxa + cxb. Két, tetszőleges számú összeadandóból álló vektorösszeget úgy szorzunk össze, hogy az első tényező minden tagját megszorozzuk a második tényező minden tagjával, és a szorzatokat összeadjuk. (Σλ i a i ) x (Σμ j b j ) = (Σλ i μ j a i x b j )
Tulajdonságok Tétel: Két vektor vektoriális szorzata pontosan akkor 0, ha a vektorok párhuzamosak egymással. Bizonyítás: Mivel csak a 0 abszulútértéke 0, ezért elég axb = 0-t vizsgálni. Szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, ezért a b sinφ = 0 pontosan akkor, ha a = 0, b = 0, vagy sinφ = 0. A 0 vektort minden vektorral párhuzamosnak tekintjük.
Tulajdonságok A Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer alapvektoraira ixi = jxj = kxk = 0, ixj = k, jxk = i, kxi = j. Ha a koordinátái (a 1,a 2,a 3 ), b koordinátái pedig (b 1,b 2,b 3 ), akkor axb = (a 1 i + a 2 j + a 3 k)x(b 1 i + b 2 j + b 3 k) = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i + (a 3 b 1 - a 1 b 3 )j + (a 1 b 2 -a 2 b 1 )k
Tulajdonságok Könnyen megjegyezhető determinánsos alak: i j k a x b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3
Vektorazonosságok Kifejtési tétel: Tetszőleges a,b,c vektorok esetén: ax(bxc) = (ac)b (ab)c és (axb)xc =(ac)b (bc)a. (Ebből is látszik, hogy a vektoriális szorzás nem asszociatív.)
Vektorazonosságok Elég az egyiket belátni, mert ha pl. a másodikat tudjuk, akkor: ax(bxc) = - (bxc)xa =-((ba)c (ca)b )= (ac)b (ab)c Ezután több lehetőségünk is van. Az egyszerű, de unalmas módszer: koordinátákkal kiszámoljuk (házi feladat).
Vektorazonosságok Bizonyítás: Ha a és b párhuzamosak, akkor az állítás nyilvánvaló, mindkét oldalon 0 áll. Ha nem párhuzamosak, akkor elég három olyan c vektor esetén belátni, melyek bázist alkotnak, mert a lineáris kombinációt az egyenlőség mindkét oldala megtartja. Ez a három vektor legyen a 0, b 0 és axb.
Vektorazonosságok c = axb: A bal oldal 0, mert egy vektor önmagával vett vektoriális szorzata. A jobb oldal is 0, mert axb a-ra is és b-re is merőleges. c = a 0 : (axb)xa 0 = a (a 0 xb)xa 0 = ab, m (aa 0 )b (ba 0 )a = ab - ab = ab. p m c = b 0 : (axb)xb 0 = - b (b 0 xa)xb 0 = - ba, m (ab 0 )b (bb 0 )a = bba - ba = - ba. m p
SZÜNET
Vektorazonosságok Jacobi-azonosság: Tetszőleges a,b,c vektorok esetén (axb)xc + (bxc)xa + (cxa)xb = 0. Bizonyítás: Egyszerű számolással adódik a kifejtési tételből: (axb)xc + (bxc)xa + (cxa)xb = ((ac)b (bc)a) + ((ba)c (ca)b) + ((cb)a (ab)c)= 0.
Vegyesszorzat Definíció: Az a,b,c vektorok vegyesszorzata az abc = (axb)c szám. A vegyesszorzat háromváltozós művelet. Az abc jelölést csak a vegyesszorzatra használjuk.
Vegyesszorzat Tétel: abc értéke akkor és csak akkor 0, ha ahárom vektor egysíkú. Bizonyítás: Ha axb = 0, akkor a és b párhuzamosak. Ha axb 0, de abc = 0, akkor c merőleges axb-re, azaz benne van az a és b által meghatározott síkban.
Vegyesszorzat Tétel: abc értéke megegyezik az a, b és c által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogatával. Bizonyítás: V= alapterület magasság = axb ( c cosφ) = abc Az előjel pozitív, ha a,b,c jobbrendszer, negatív, ha balrendszer.
Vegyesszorzat Tétel: Ha egy Descartes-féle koordinátarendszerben a = (a 1,a 2,a 3 ), b = (b 1,b 2,b 3 ) és c = (c 1,c 2,c 3 ), akkor a 1 a 2 a 3 abc = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Bizonyítás: Azonnal adódik axb determinánsos alakjából és a skaláris szorzat kiszámolási szabályából.
Vegyesszorzat A determináns tulajdonságaiból (is) kapjuk a vegyesszorzat műveleti tulajdonságait: λ(abc) = (λa)bc = a(λb)c = ab(λc) (a+d)bc = abc + dbc a(b+d)c = abc + adc ab(c+d) = abc + abd abc = bca = cab = -bac = -cba = -acb Felcserélési tétel: (axb)c = a(bxc)
Vektorazonosságok Lagrange-azonosság: Tetszőleges a,b,c vektorok esetén (axb)(cxd) = (ac)(bd) (bc)(ad) Bizonyítás: Legyen v = cxd, alkalmazzuk a felcserélési, majd a kifejtési tételt: (axb)(cxd) = (axb)v = a(bxv) = a(bx(cxd)) = a((bd)c - (bc)d) = (ac)(bd) (bc)(ad)
Vektorazonosságok Ha a Lagrange-azonosságban a = c és b = d, akkor: (axb) 2 = a 2 b 2 (ab) 2 Ezt persze egyszerűbben is beláthatjuk, felhasználva, hogy sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Vektorazonosságok Mivel 0 (axb) 2 = a 2 b 2 (ab) 2, ezért a vektorok koordinátáira ebből az ismert (a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) 2 (a 12 +a 22 +a 32 )(b 12 +b 22 +b 32 ) Cauchy-féle egyenlőtlenség adódik.