Képrekonstrukció 4. előadás Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Szegedi Tudományegyetem
Vetület-szelet tétel szemléletesen A θ szögű vetület 1D FT-ja az eredeti kép 2D FT-jának egy a frekvencia térben az origón áthaladó θ irányszögű egyenesre eső része.
Fourier rekonstrukciós módszer vegyük a vetületek 1D FT-ját helyezzük el ezeket a megfelelő szögben a frekvencia térben vegyük az eredmény 2D FT-jának inverzét. Nem gyakran használt módszer (mintavételezés, interpoláció, inverz 2D FT)!
Szűrt visszavetítés (Filtered Backprojection)
Szűrt visszavetítés p(t,θ+π)=p(-t,θ) P(ω,Θ+π)=P(-ω,Θ)
Szűrt visszavetítés algoritmusa
Konvolúciós rekonstrukció Konvolúciós tétel alapján: Ha t=0: ezért A gyakorlatban az ideális ω szűrő helyett annak egy q(ω) függvénnyel ablakolt változatát alkalmazzuk a szűrés során (Hamming, koszinusz, stb.)
Konvolúciós kernelek (szűrők) Ramp: Egzakt kompenzáció (jó megoldás, ha nem zajos a vetület) Shepp-Logan: Zaj és felbontás közötti kompromisszum Hamming: Extrém magas frekvenciák lesimítása Slide: Alexander L.C. Kwan
A rekonstrukció lépései Input szinogram: 1. Szűrés 2. Visszavetítés 3. Összegzés
Szűrés before after
Visszavetítés
Összegzés
Szűrt visszavetítés Video: 2D szinogram Felüláteresztő szűrő minden szögre sinogram visszavetítése a képtérbe Forrás: http://hendrix.ei.dtu.dk/movies/moviehome.html
1 st Generation (G) CT Scanner Geometry - 1970 single source & detector parallel motion & rotation arbitrary # rays no scattering! slow (scan time: more days)
Data Sampling Geometries parallel beam fan beam cone beam
2G CT Scanner Geometry - 1972 fan beam parallel motion & rotation larger FOV less rotations! detector needs collimator! faster than 1G (scan time: few mins) scattering higher dose
3G CT Scanner Geometry - 1976 fan-beam over full FOV only rotation many detectors necessary (price) detector collimators faster than 2G (scan time: 1 s) higher dose (smaller detectors)
4G CT Scanner Geometry - 1978 stationary detector ring no detector collimation possible! scattering! larger detectors same dose as 3G, but faster
5G Electron Beam Scanner - 1979 Differing design avoids motion Electron beam (EB) steered by magnetic field Hits tungsten target ring (anode) X-rays collimated Stationary detector very expensive very fast (50 ms) beating heart
6G Spiral CT - 1990 source & detector from 3G & 4G helix motion continuous rotation 60 cm torso scan 30 sec
7G Multislice CT spiral CT cone beam instead fan beam array of slices (up to 64) faster less x-rays have to be filtered
Comparison of CT Generations
Vetületi geometriák parallel beam fan beam cone beam
Ekvianguláris nyalábok
Ekvidisztáns detektorok
Rekonstrukció legyezőnyaláb vetületekből Algebrai rekonstrukció Szűrt visszavetítés módosítása Re-binning: a legyezőnyaláb adatokból interpolációval párhuzamos vetületi adatok előállítása
Áttérés ekvianguláris geometriáról párhuzamosra Adott: γ, β, D t = Dsinγ ϴ = γ + β
Áttérés ekvidisztáns geometriáról Adott: s, β, D párhuzamosra t D sin D D 2 s s tan 1 2 s D
Rebinning
Axiális vs. helikális vetületképzés A klasszikus rekonstrukciós eljárások cirkuláris utat feltételeznek helikális adatot interpolálni kell a megfelelő síkra A helikális szkennelés esetén tetszőleges pozícióban számítható a keresztmetszeti kép Slide: Alexander L.C. Kwan
Helikális interpoláció Slide: Alexander L.C. Kwan
Algebrai rekonstrukciós technikák A transzformáció alapú technikák akkor adnak pontos eredményt, ha sok vetület van a vetületek eloszlása egyenletes 180 vagy 360 -on Algebrai rekonstrukciós technikák Akkor is alkalmazhatók, ha a fentiek nem, vagy csak részben teljesülnek (pl.: csonkolt vetületek) Kezelni tudják a vetületi vonalak kisebb elhajlását és a vetületi energiák gyengülését is Pontatlanabbak és lassabbak a transzformáció alapú technikáknál Kezelni tudják az a priori információt
A modell
Iteratív megoldás Az egyenletrendszer közvetlen megoldása nem lehetséges (nagy méret, aluldefiniáltság, zajból adódó inkonzisztencia) (f 1, f 2,, f N ): N-dimenziós térbeli pont Egyenletek: hipersíkok Megoldás: iteratív módon (Kaczmarz eljárása)
2 vetület, 2 képpont és egyértelmű megoldás esetén
A korrekciós lépés bizonyítása A B = A B cos(θ) A cos(θ): az A vetülete B-re
Finomabb megfontolások Ha a hipersíkok merőlegesek, akkor M lépésben megtaláljuk a megoldást, ha az általuk bezárt szögek kicsik, akkor a konvergencia lassú lehet válasszuk ennek megfelelően a hipersíkok sorrendjét Ha a megoldás nem egyértelmű, akkor a kezdeti megoldásjavaslathoz legközelebbi megoldáshoz konvergál az eljárás Inkonzisztenciát okozó zaj esetén nincs konvergencia
Egy egyszerű példa (Edwin L. Dove) vízszintes függőleges átlós