. Rugalas állandók érése PÁPICS PÉTER ISTVÁN csillagász, 3. évfolya 00.10.7. Beadva: 00.1.1.
1. A -ES, AZAZ AZ ABLAK FELLI MÉRHELYEN MÉRTEM. Ezen a laboron a férudak Young-oduluszát értük, pontosabban behajlást értünk, és ebbl száolhatunk Young-oduluszt. Külön vizsgáltuk az állandó rúdhossz és az állandó hajlítóer esetét az erre a célra szolgáló, állítható feltáasztási pontokkal rendelkez érórás kétkarú eelvel. Elször leérte csavarikroéterrel a két választott rúd paraétereit: a téglatest két rövidebbik oldalát, valaint a henger átérjét. Ezekre az adatokra a végs, Youngoduluszra vonatkozó képletben lesz szükség. Vegyük ost rudanként a éréseket és száításokat: A-ES RÚD: A rövidebb él érete csavarikroéterrel érve (±0,00 ): i d i () d i d i -d átl (d i ) ( ) 1 7,8 7,9-0,00871 0,00001837 3 7,9 0,00719 0,00003 7,9-0,00871 0,00001837 7,9-0,00871 0,00001837 7,9 0,00719 0,00003 7 7,9-0,00871 0,00001837 8 7,9 0,00719 0,00003 9 7,79 Itt d i az i-edik érés eredénye. Az 1. és utolsó pontot elhagyo, ert csak a rúd legvégén volt ilyen kiugró az érték, és a c hosszú rúdnak úgyis csak a 0 c hosszú középs részét használtuk fel a érés során. d átlag 7,987. A hiba száításához: 8 ( d ) i i s d 0,0000307 Így a rövidebbik oldalra d(7,9±0,00) átl 7 A hosszabbik él érete csavarikroéterrel érve (±0,00 ): i d i () d i d i -d átl (di) ( ) 1 11,9-0,001 0,000001 11,9-0,001 0,000001 3 11,9 0,009 0,000081 11,9-0,001 0,000001 11,9-0,001 0,000001 11,9-0,001 0,000001 7 11,9-0,001 0,000001 8 11,9-0,001 0,000001 9 11,9-0,001 0,000001 10 11,9-0,001 0,000001
Itt d i egint az i-edik érés eredénye. d átlag 11,91. A hiba száításához: 10 ( d ) i i 1 s d 0,001 Így a hosszabbik oldalra d(11,91±0,001) átl 10 9 Következzenek az eredények az ÁLLÍTOTT (a rövidebbik élén fekv) rúd behajlására elször közzétesze az illesztett egyenessel ellátott ábrát, ajd a részletes adatokat. A behajlás a ható er függvényében: A következ oldalon részletezett adatokban az alapterhelés ( 0 10g) és az annak hatására létrejöv behajlás (s 0 0,7) ár ne szerepel, de az illesztett egyenes eredeksége abban az esetben is ugyan akkora lenne, ha ezt a norálást ne hajtotta volna végre, csak a etszéspont ne az origóban lenne. Aiatt, hogy a Young-odulusz száításához csak a eredekség értékére van szükségünk, a tengelyetszettel ne foglalkozo. A behajlás leolvasási hibája ±0,00. Törekedte rá, hogy a behajlás (s) ne legyen nagyobb l/00-nál, ai. Terészetesen a grafikonon ég közelében sincsenek értékek, hiszen ott ár le van vonva a kezdeti 0,7-es behajlás! Lássuk a felhasznált adatsort: 3
- 0 (g) F (N) s-s 0 () 00,90 0,09 70 7,38 0,13 1000 9,810 0,17 100 1,71 0, 000 19,0 0,33 3000 9,30 0,0 000 39,0 0, 000 9,00 0,8 00 3,9 0,91 000 8,80 0,99 7000 8,70 1,1 Ezen adatokra gnuplottal illesztett egyenes eredeksége (1,8±0,00) 10 - /N A Young-odulusz száításához szükség van ég a következkre: A rúd hossza l(0,±0,000) A keresztetszet ásodrend nyoatéka és annak hibája pedig a következ ódon kapható a téglalap alapjának (a; ai ost a rövidebbik él) és agasságának (b; hosszabbik él) felhasználásával: I 3 ab 1 1,17177 10 9 I a b + 3 a b 0,00000 0,0079 + 3 0,000001 0,01191,099773 10,91889 10 13 I(1,171±0,000) 10-9 Végül a Young-odulusz és annak hibája a következ képletekbl adódik: 3 l 10 E 7,09188019 10 Pa 8 I l 0,000 0,00 3 + + 3 + + E l I 0, 1,8,73788097 10 E(7,09±0,0) 10 10 Pa 8 0,000 1,171,80117 10 3 Következzenek az eredények a FEKTETETT (a hosszabbik élén fekv) rúd behajlására elször közzétesze az illesztett egyenessel ellátott ábrát, ajd a részletes adatokat.
A behajlás a ható er függvényében: A felhasznált adatok: - 0 (g) s-s 0 () F (N) 0 0,000 0,00 0 0,100, 00 0,190,91 70 0,80 7,3 10 0,70 1, 100 0,70 1,7 000 0,70 19, 0 0,80,07 70 1,030,98 Az elz hasonló érésnél leírtak itt is érvényesek, a behajlás leolvasási hibája ±0,00. Törekedte rá, hogy a behajlás (s) ne legyen nagyobb l/00-nál, ai. Az adatokban az alapterhelés ( 0 10g) és az annak hatására létrejöv behajlás (s 0 0,93) ár ne szerepel. Az adatokra illesztett egyenes eredeksége (3,81±0,0) 10 - /N
A Young-odulusz száításához szükség van ég a következkre: A rúd hossza l(0,±0,000) A keresztetszet ásodrend nyoatéka és annak hibája a következ ódon kapható a téglalap alapjának (a; ai ost a hosszabbik él) és agasságának (b; rövidebb él) felhasználásával: I 3 ab 1,988899 10 10 I a b + 3 a b 0,000001 + 3 0,01191 0,00000 0,0079 8,39030890 10,1880799 10 13 I(,989±0,00) 10-10 Végül a Young-odulusz és annak hibája a következ képletekbl adódik: 3 l 10 E 7,01713 10 Pa 8 I l 0,000 0,0 3 + + 3 + + E l I 0, 3,81,870300 10 E(7,01±0,07) 10 10 Pa 8 0,00,989 9,801107713 10 3 A két eredénybl eléletileg igaznak kell lennie a következ összefüggésnek: ' " I" I' ' I' 1 " I" Az általa kapott adatokkal ez a hányados 0,989 ai inden lehetséges hibaforrást egybevetve jó eredénynek tekinthet. Az eredények alapján a hasáb anyaga valószínleg aluíniu vagy ún. szürkeöntvény. (Forrás: Négyjegy függvénytáblázatok 1998, Bp. Nezeti Tk.)
V-ES RÚD: A hengeres rúd átérje csavarikroéterrel érve (±0,00 ): i d i () d i d i -d átl (d i ) ( ) 1 11,9-0,007 0,00009 11,93 0,003 0,000009 3 11,9-0,007 0,00009 11,93 0,003 0,000009 11,9-0,007 0,00009 11,93 0,003 0,000009 7 11,93 0,003 0,000009 8 11,93 0,003 0,000009 9 11,93 0,003 0,000009 10 11,93 0,003 0,000009 Itt d i egint csak az i-edik érés eredénye. d átlag 11,97. A hiba száításához: 10 ( d ) i i 1 s d 0,0017 Így a sugárra adódik R(,93±0,0008) átl 10 9 Következzenek az eredények a HENGERES rúd behajlására elször közzétesze a részletes adatokat, ajd az illesztett egyenessel ellátott ábrát, és az egyenes eredekségét. - 0 (g) s-s 0 () F (N) - 0 (g) s-s 0 () F (N) 0 0,00 0,0000 0 0, 1,31 70 0,08 7,37 7000 0,73 8,700 1000 0,11 9,8100 70 0,7 71,1 10 0,13 1, 700 0,78 73,70 100 0,1 1,710 770 0,81 7,07 170 0,18 17,17 8000 0,83 78,800 000 0,1 19,00 80 0,8 80,93 00 0,,0 800 0,88 83,380 3000 0,31 9,300 9000 0,93 88,900 30 0,3 31,88 900 0,98 93,190 300 0,37 3,330 970 1,01 9,7 370 0,39 3,787 10000 1,03 98,1000 000 0,1 39,00 1000 1,08 103,000 0 0, 1,9 11000 1,13 107,9100 00 0,7,10 1100 1,19 11,810 70 0,9,97 1170 1,1 11,7 000 0, 9,000 1000 1, 117,700 00 0,7 3,90 100 1,9 1,0 000 0, 8,800 13000 1,3 17,300 7
A behajlás a ható er függvényében: Az elz hasonló érésnél leírtak itt is érvényesek, a behajlás leolvasási hibája ±0,00. Törekedte rá, hogy a behajlás (s) ne legyen nagyobb l/00-nál, ai. Az adatokban az alapterhelés ( 0 1000g) és az annak hatására létrejöv behajlás (s 0 0,0) ár ne szerepel. Az adatokra illesztett egyenes eredeksége (1,09±0,00) 10 - /N A Young-odulusz száításához szükség van ég a következkre: A rúd hossza l(0,±0,000) A keresztetszet ásodrend nyoatéka és annak hibája a következ ódon kapható: I π R 9,93337989 10 10 8
I R R 0,0008,93,3973 10,33000313 10 13 I(9,933±0,00) 10-10 Végül a Young-odulusz és annak hibája a következ képletekbl adódik: 3 l 11 E 1,798 10 Pa 8 I l 0,000 3 + + 3 + E l I 0, 7,8881 10 8 0,00 1,09 + 0,00 9,933,199089 10 E(1,80±0,008) 10 11 Pa elybl sejthet, hogy a rúd sárgarézbl készült. 3 Ezen a rúdon érte ki a BEHAJLÁS l 3 FÜGGÉSÉT is: Állandó + 0 10000g terhelés ellett érte (a behajlás leolvasási hibája ±0,00, íg a rúd hosszának leolvasási, beállítási hibája ±0,000, íg az er hibáját 1%-nak feltételezzük, így F±0,981N) l () s 0 () s () s-s 0 () l 3 ( 3 ) 00 0,9 0,8 0,09 8000000 0 0,9 0,3 0,1 108000 0 0,9 0,7 0,17 138000 0 0, 0,73 0,1 177000 80 0, 0,8 0,7 19000 300 0,0 0,9 0,3 7000000 30 0,0 1,0 0, 378000 30 0, 1,0 0,0 3930000 30 0, 1,3 0,9 000 380 0,9 1,0 0,71 87000 00 0, 1,9 0,83 000000 A következ oldalon ábrázolo a behajlás l 3 függését. Az adatokra illesztett egyenes eredeksége (0,0131±0,0001)/N Végül a Young-odulusz és annak hibája a következ képletekbl adódik: 9
F 11 E 1,7037777 10 Pa 8 I F 0,981 0,0001 0,00 + + + + 0,018139 E F I 98,1 0,0131 9,933,8891 10 E(1,7±0,03) 10 11 Pa 9 Ez az érték kicsit soknak tnik a sárgarézre, kérdés, ibl ered a két érés eltér eredénye. Feltételezheten a rúd hosszával összeérhet éret anyagszerkezeti, egunkálásbeli különbségekre vezethet vissza. 10
. A TORZIÓMODULUSZ MÉRÉSE. A érés ásodik felében torziós ingával értük ki egy torziós szál torzióoduluszát. Meg kellett érne a huzal (sajnos a száa valaiért nincs eg, de elékei szerint a -es) és az inga, valaint a súlyok (-ös és -os tárcsa) paraétereit, valaint az inga periódusidejét ezek iseretében akár iseretlen testek tehetetlenségi nyoatéka is száolható. Lássuk a ért lengésidket: a 1 (c) 10T (s) a (c ) 10T (s ) 0,8 0,00 791, 3,7 9,00 318,99 7,0 1,00 81,18 83,8,00 98,9 9,01 3,00 8838,3 7 10,8 9,00 10991, 8 11,38,00 13,77 9 17,73 81,00 131,7 10 139,8 100,00 198,8 Itt a 1 a tárcsák távolsága az inga forgástengelyétl, ennek hibája ±0,0, T pedig az inga lengésének periódusideje, elynek hibája a 10T hibájának tizede, így ha 10T hibáját ±0,00s-nek vesze, akkor T hibája ±0,000s. Lássuk ost a periódusid négyzetét a tengelytl ért távolság négyzetének függvényében: 11
Az inga beállításánál nagyon fontos szerepe van a precíz kezelésnek, a lengetések közel azonos szög elindításához, a torziós szál lengésének nullára csökkentésének, stb. Ezek sze eltt tartása ellett törekedte indig a lehet legjobban ugyan azt a körülényt reprodukálni, és inden lengést azonos feltételek ellett kiérni. A érési összeállítás sajátságainak kitapasztalása után hároszor egyás után reprodukálta pontosan ugyan azt a lengésidt, így úgy gondolo, a beállításból vagy csillapodásból ered hibát ne kell száolno. Az illesztett egyenes adatai: (190±0)s / b(8,1±0,1)s Az ingára helyezett két tárcsa adatai (az átérket inden esetben négy helyen érte tolóérvel, és ugyan az az érték adódott, így az átér hibájának a leolvasási hibát vette, íg a töegek leolvasási hibája ±0,0000g, de itt a több éréssel való száolásból kialakuló hibát használta): -ös tárcsa: d (,00±0,0) r (,0±0,03)(0,00±0,00003) i i (kg) i i - átl ( i ) (kg ) 1 0,19 0,000000,0E-1 0,191-0,0000001 1,0E-1 3 0,19 0,0000000 0,0E+00 0,191-0,0000001 1,0E-1 Itt i az i-edik érés eredénye. átlag 0,19 kg. A hiba száításához: ( ) i i 1 s 0,000000071 átl (0,190±0,00000007)kg 3 -os tárcsa: d (,00±0,0) r (,0±0,03)(0,00±0,00003) i i (kg) i i - átl ( i ) (kg ) 1 0,1998 0,0000000,700000E-13 0,1998 0,0000000,0999997E-1 3 0,19977-0,00000070 7,00001E-1 0,1997-0,00000070,00000E-13 1
Itt i az i-edik érés eredénye. átlag 0,19980 kg. A hiba száításához: ( ) i i 1 s 0,0000008 átl (0,19980±0,000000)kg 3 A torziós szál éretét csavarikroéterrel érte eg, itt se volt eltérés a szál teljes hosszán a leolvasott értékek között, így a leolvasási hibával száolok. Így a torziós szál átérje, sugara és a érszalaggal ért hossza: d(0,10±0,00) r(0,±0,003)(0,000±0,000003) l(0,90±0,000) Elször száoljuk ki K állandót és annak hibáját: K l 3,188073 10 r 8 π 1 3 K K l r + l r 0,000 0,90 + 0,000003 0,000 0,0790318 K 1,89779 10 1 3 K(3,±0,) 10 1-3 Ebbl a torzióodulusz és annak hibája: G K + 8,1987333 10 10 Pa G K + G K + + G,783093 10 + 9 Pa 0, 3, + 0,00000007 0,39090 + 0 190 0,08318 G (8,±0,) 10 10 Pa (8±)GPa Az eredénybl feltételeze, hogy a torziós szál acélból készült. Száoljuk ki a tárcsák és a rendszer tehetetlenségi nyoatékait és a hibákat: 1 Θ r,97133813 10 kg Θ Θ r + r 0,00000007 0,190 + 0,00003 0,00,7 10 3 Θ 1,3108 10 7 13
(,93±0,01) 10 - kg 1 Θ r,987931 10 kg Θ Θ r + r 0,000000 0,19980 + 0,00003 0,00,78 10 3 Θ 1,3178 10 7 (,97±0,01) 10 - kg Továbbá az inga+tárcsák rendszer nyoatéka: Gb Θ Θü + Θ + Θ + K + 0,190 + 0,19980 b + 190,808 10 + 0,39090 a ( + ) a Θ Θ + Θ + Θ + ( + ) ( + ) a 8,1 + ( 0,190 + 0,19980) a a rendszer,8 10 - kg+0,3909 a Ez alapján lássuk -t az a függvényében (a következ oldalon vannak az adatok): 1
a ( ) ( kg) 0,0000 0,00080 0,0009 0,00101007 0,001 0,0018370 0,00 0,00139 0,003 0,0000 0,009 0,007387 0,00 0,00310300 0,0081 0,003891 0,0100 0,00770 Száoljuk ki az üres rendszer tehetetlenségi nyoatékát, a hibaszáításban a töegérés pontossága iatt a töegeket tartalazó tagokat el lehet hagyni: Θ ü b +,908 10 Θ Θ kg 0,190 + 0,19980 8,1 (,93 +,97) 10 190 kg Θ Θ ü b 0,1 0 + + 0,0077 Θü, 10 ü b 8,1 190 üres (,9±0,03) 10 - kg Azzal, hogy a 11. oldal alján látható ábrán T és a között lineáris összefüggés utatkozik, lényegében a Steiner-tételt is bebizonyítottuk. Az illesztés során a korrelációs együttható r0,99999-nek adódott (ez szászersíti is a lineáris összefüggésre tett egérzésünket ). kg 1