MATEMATIKAI STATISZTIKAI ESZKÖZÖK Tartalomjgyzék../Bvztés...3./Néhány nvzts loszlástípus...3../normális loszlás... 3../A logaritmikus normális loszlás... 5.3./Wibull loszlás... 7 3./Spciális matmatikai statisztikai szközök... 3./Numrikus módszrk... 3.../Normális és lognormális loszlás... 3.../Wibull loszlás... 3./Grafikus ljárások... 3.../A tapasztalati s rüség és loszlásfüggvény... 3.../Az loszlásfüggvény grafikus bcslés... 3 4./Példa fárasztóvizsgálat kiértéklésér...5 4../Kiértéklés a Wibull loszlás hipotézis alapján... 6 4../Kiértéklés a normális loszlás hipotézis alapján... 0 4.3./Kiértéklés a lognormális loszlás hipotézis alapján... 0
Géptrvzés I. Márialigti:Mat. Stat.(994) 3/3 MATEMATIKAI STATISZTIKAI ESZKÖZÖK. Bvztés. Mind a gépjárm, mind az építô- és anyagmozgató gépk mértzés szmpontjából lgszmbt nôbb tulajdonsága az, hogy a brndzéskt illtv annak alkatrészit érô üzmi trhlésk (F) mint idôfüggvényk rndkívül tág határok között váltakozhatnak. Egy-gy konkrét gyd (pl. gy adott autóbusz, daru stb.) stén pdig nm is láthatjuk lôr, hogy milyn ténylgs trhlésfüggvény fog érvényr jutni. A trhlésk vonatkozásában így a valószín séglmélt és a matmatikai statisztika szközivl kll dolgoznunk. Ismrts továbbá, hogy váltakozó igénybvétl hatására szrkzti anyagainkban az un. kifáradási folyamat indul mg és a tönkrmntlig tartó élttartam, még azonos alkatrész és trhlésváltakozás stén is rndkívül nagy szórást mutat. Gyakorlatilag használható rdménykhz itt is csak a valószín ségszámitás és matmatikai statisztikia szközivl juthatunk. A továbbiakban néhány, a fnti tudománytrültkn alkalmazott spciális loszlástípust és matmatikai statisztikai módszrt tárgyalunk.. Néhány nvzts loszlástípus. Mind a trhlésanalízis, mind az élttartam vizsgálatok stén célunk az, hogy a kísérlti rdményk (statisztikai minta) alapján a vizsgált jlnség valószín ségi vislkdését lírjuk. A tapasztalatok arra mutatnak, hogy a fnti trültk nagy részénk valószín ségi tulajdonságait három, folytonos loszlástípussal tudjuk jól közlítni: a normál, lognormál és Wibull (ponnciális) loszlásokkal... Normális loszlás. A valószín ségi változó normális loszlású, ha s rüségfüggvény az alábbi alakú: f ( ) m () ahol m a várható érték, >0 a szórás, az loszlás két paramétr.
4/3 Márialigti:Mat. Stat.(994) Géptrvzés I. Az loszlásfüggvény: t m F P dt () Az () gynltb bvztv az u=(-m)/ standard normális loszlású, standardizált változót, mivl = u+m és d/du=, a (u) s rüségfüggvény és a (u) loszlásfüggvény az alábbi alakú: u u (3) u u t dt ahol (u) az m=0 várható érték, = szórású N(0,) standard normális loszlás. A normális loszlás s rüségfüggvény -val normált ordinátájú koordinátarndszrbn az. ábra szrinti, míg a különbözô szórásokhoz tartozó függvényk a. ábrán láthatók..ábra. A normális loszlás s rüségfüggvény. Annak az sménynk a valószín ség, hogy gy normális loszlású változó a várható érték körüli szimmtrikus intrvallumba sik, a kövtkzô módon számítható:
Géptrvzés I. Márialigti:Mat. Stat.(994) 5/3 P m m m m u du t m dt (4) ( ) néhány értékét az alábbi táblázatban foglaltuk össz: [ (- )=- ( )].táblázat ( ) ( )- 0 0,5 0,843 0,686 0,977 0,9544 3 0,9987 0,9974 3,4 0,9996 0,999.ábra. A normális loszlás s rüségfüggvény különbözô szórások stén... A logaritmikus normális loszlás. Egy valószín ségi változó lognormális (vagy logaritmikus normális) loszlású, ha a logaritmusa normális loszlású, azaz ha az =ln transzformált változó normális loszlású.
6/3 Márialigti:Mat. Stat.(994) Géptrvzés I. Jlölj lna és az változó loszlásának a paramétrit, kkor : L P ln P ln ln P ln t ln a dt 0 (5) ahonnan diffrnciálással a s rüségfüggvényt kapjuk: l( ) ln ln a 0 (6) A lognormális loszlás származtatását a 3. ábrán mutatjuk b, a jobb áttkinthtôség érdkébn olyan lognormális loszlású változóra, amlynk logaritmusa spciálisan a standard normális loszlás. Az l() a standard normális loszlású változó s rüségfüggvényévl, az [ln()-ln(a)]/ hlyttsítéssl : l ln ln a (7) A 3. ábrán az N(0,) standard normális loszlású változó és a = logaritmikus normális loszlású változó (y), L() loszlás és (y), l() s rüségfüggvényit ábrázoltuk. -ra lna=0, így a= és =. Az loszlásfüggvényk közötti kapcsolat a diagram alapján közvtlnül adódik, míg a változó s rüségfüggvényét a normális loszlású változó s rüségfüggvény alapján számolhatjuk, a (7) összfüggés flhasználásával. A lognormális loszlású változó paramétri, ha az N(lna, ) paramétr normális loszlás, az alábbi összfüggéskkl számítható: M a ; D a (9) 0-s alapú logaritmussal dolgozva, ha =lg és N(lga, ) normális loszlású, akkor: l M 0, 4343 a0 lg, 53, 306, 306 ; lg a D a 0 0 (0)
Géptrvzés I. Márialigti:Mat. Stat.(994) 7/3 3.ábra. A logaritmikus normális loszlás származtatása..3.wibull loszlás. Egy alakú: valószín ségi változó Wibull loszlású, ha loszlásfüggvény az alábbi F P b 0 0 () három paramétrs függvény. A s rüségfüggvény:
8/3 Márialigti:Mat. Stat.(994) Géptrvzés I. df d f b 0 b 0 b 0 () 0 > 0 hlyparamétr > 0 skálaparamétr, b > 0 alakparamétr. A s rüségfüggvény alakja a 4. ábra szrinti, ahol az = 0 + hlyttsítéssl F( 0 + )=- - = 0,63. Az 0 és b paramétrk különbözô értékir néhány jllgzts loszlástípus adódik: 0 = 0 stén b F (3) a kétparamétrs Wibull loszlás, (5./a. ábra) b = stén 0 F (4) a kétparamétrs ponnciális loszlás, 5/b. ábra. b = és 0 =0 stén F (5) az ponnciális loszlás, 5/c. ábra.
Géptrvzés I. Márialigti:Mat. Stat.(994) 9/3 4.ábra. A W( 0,, b) Wibull loszlás s rüség és loszlásfüggvény. 5.ábra a./ Kétparamétrs Wibull, b./ kétparamétrs ponnciális, c./ Eponnciális loszlás s rüségfüggvényi. A Wibull loszlás fontos tulajdonsága, hogy 0 =0 stén az = ln valószín ségi változó az u.n. kttôs ponnciális loszlásba mgy át, amlynk az trém értékk loszlásában, valamint a Wibull loszlás "linarizálásában" ign nagy jlntôség van. Lgyn > 0 W(, b ) kétparamétrs Wibull loszlású valószín ségi változó és lgyn = ln. Lgyn továbbá E(y) az változó loszlásfüggvény. Ekkor :
0/3 Márialigti:Mat. Stat.(994) Géptrvzés I. E y P y y P ln b y P y (6) Bvztv az u = és = /b paramétrkt és (6)-ot átrndzv: E y y u y (7) a kttôs ponnciális, KE( u, változót, y = z + u, így a ) loszlás. Bvztv a z=(y - u) / standardizált E z z z (8) KE(0,) standard kttôs ponnciális loszláshoz jutunk, amlynk paramétri thát: u=0 és =. Ha 0-s alapú logaritmussal dolgozunk, a transzformációs gynltk az alábbiak: P y P lg y y u,, E y (9) ahol a kétparamétrs Wibull loszlású valószín ségi változó loszlásfüggvényénk b és paramétrir b, ln0 ; u, ln0 (0)
Géptrvzés I. Márialigti:Mat. Stat.(994) /3 3.Spciális matmatikai statisztikai szközök. Mind a trhlésanalízis, mind az élttartamvizsgálatok stén célunk az, hogy a kísérlti rdményk-statisztikai minta- alapján a jlnségt líró analitikus loszlásfüggvény paramétrit mghatározzuk. Illszkdés vizsgálatra -mly loszlásfüggvény típus írja l jobban a jlnségt - fôlg kifáradási vizsgálatok stén az általában kis mintalmszám ( n«50 ) miatt nincs mód, így itt gy bizonyos loszlástípust a-priori lfogadunk. Grafikus ljárások alkalmazása stén azonban némi tájékozódást rrôl is nyrhtünk. Ebbn a részbn a paramétrbcslésk néhány spciális módjának ismrttésér szorítkozunk, mgjgyzv hogy trmésztsn mindn, a matmatikai statisztikában ismrt ljárás is alkalmazható. 3..Numrikus módszrk. 3...Normális és lognormális loszlás. Ismrts, hogy normális loszlás stén a mintalmk átlaga a várható érték, míg a korrigált tapasztalati szórásnégyzt a szórásnégyzt torzítatlan bcslés. Lgyn a,,... n normális loszlásból vtt n lm minta. Ekkor az N( m, ) normális loszlás paramétrir : m n n i n i n i i * n () 3...Wibull loszlás. A Wibull loszlás paramétrink numrikus bcslésér az ismrt ljárások (maimum liklihood módszr, momntumok módszr stb.) alkalmazható és általában tkintélys mnnyiség számitási munkával jár, zért számítógép alkalmazás célszr. Ezzl itt nm foglalkozunk. 3..Grafikus ljárások. Spciális grafikus ljárások alkalmazásával a paramétrk bcslését sok stbn gyorsan és gyszr n mgkaphatjuk, függtlnül az stlgs pontosabb gépi kiértékléstôl. A továbbiakban gy spciális ljárást, a valószín ségi koordinátarndszr (papír) fogalmát és használatát ismrttjük, rövidn összfoglalva lôször a mintáról való tájékozódás szokásos grafikus szközit.
/3 Márialigti:Mat. Stat.(994) Géptrvzés I. 3...A tapasztalati s r ség és loszlásfüggvény. Lgyn,,... n n lm minta, a kísérltk véltln sorrndjébn, és lgyn *, *, * n a nagyság szrint sorba rndztt n lm rndztt minta. Tkintsük gy adott mintavétlzés (kísérlt,mérés) során azok mgvalósult konkrét, * =, * =, * n = n értékit. A gyakorisági és s rüséghisztogram, mint a ténylgs s rüségfüggvény minta alapján adódó bcslés (közlítés) szmlélts képt ad az adatok szóródásáról, lhlyzkdésérôl. Lgyn a < i < b az ábrázolandó intrvallum két végponja és osszuk fl az [ a;b ] intrvallumot az a< y 0 < y <...< y r =b osztópontokkal r részr. Lgyn az (y j-,y j ) intrvallumba sô i mintalmk száma g j, j =,,...,r, az abszolút gyakoriság. Rajzoljunk mindn (y j-,y j ) intrvallum fölé olyan téglalapot, amlynk magassága g j / ( y j - y j- ). Ekkor a téglalapok trült arányos az j-dik intrvallumba sô lmk g j számával és a tljs trültösszg n. Ez a gyakorisági hisztogram. Ha a téglalapok magasságát g j j / n( y jj - y j- ) értékr vsszük, a s r ség hisztogramot kapjuk, ahol f j = g jj / n a rlatív gyakoriság. A tapasztalati loszlásfüggvényt hasonló módon szrkszthtjük mg úgy, hogy az gys y jj osztópontokhoz az F j = k=0...j f k rlatív összggyakoriság értékét mérjük. Kimutatható, hogy n növkdésévl F jj F, ahol F az loszlásfüggvény. 6.ábra A tapasztalati loszlás és s rüségfüggvény ábrázolása. Mgjgyzés:
Géptrvzés I. Márialigti:Mat. Stat.(994) 3/3./Szokás az loszlásfüggvény bcslését a G jj = k=0...j g k összggyakoriság értékkl is mgrajzolni, ami az F jj függvénytôl csak léptékbn különbözik../az F i összggyakoriság adott dfiniciója stén F k=, ami gyakorlatilag nm információ az loszlásra vonatkozóan. Kis mintalmszám stén zn gy adat mgmntés is fontos, zért kkor másképp járunk l. A kis mintalmszám miatt a mintalmk intrvallumokba való osztályozása sm valósítható mg. Ezért kkor a tapasztalati loszlásfüggvény mgrajzolásánál a * i rndztt mintalmk értékihz mérjük fl közvtlnül a tapasztalati loszlásfüggvény ordinátáinak F i =i/(n+) korrigált értékit, ami a ténylgs loszlásfüggvény adott * i értékhz tartozó ordinátájának közlítését adja, azaz F i = i/(n+) F( * i ). Az loszlásfüggvény grafikus mgjlnítés a statisztikai sokaság loszlásfüggvényénk jllgér vonatkozóan kvéssé karaktrisztikus. Ezért is van nagy jlntôség az -gy-gy konkrét loszlásfüggvényhz tartozó - spciális valószín ségi koordinátarndszrknk (vagy valószín ségi papíroknak) amlykbn az loszlásfüggvény gynsként jlnik mg. Ilyn spciális koordinátarndszrbn ábrázolva a tapasztalati loszlásfüggvényt, az gy gyns közlítésként jlnik mg, fltév hogy a statisztikai sokaság krstt loszlásának típusa ténylg mggyzik a választott valószín ségi koordinátarndszrhz tartozó loszlással. Az gynshz való illszkdés jósága vizuálisan is mgítélhtô és a pontokhoz jól illszkdô gyns grafikusan is bhúzható. Az így kapott kigynlítô gyns paramétri alapján mghatározhatók a krstt loszlás paramétrink bcslési is. 3... Az loszlásfüggvény grafikus bcslés. Valószín ségi koordinátarndszr mindn olyan kétparamétrs loszlástípushoz rndlhtô, amlynk változója standardizálható. A valószín ségi koordinátarndszr lvét a normális loszlás példáján mutatjuk b. Lgyn N(m, ) paramétr, F() loszlásfüggvény normális loszlású valószín ségi változó. Ekkor az =( -m)/ standardizált változó, mint ismrts, (y) loszlásfüggvény, N(0,) standard normális loszlású és z az loszlásfüggvény ismrt.(l... fjzt.) A és változók között lináris függvénykapcsolat áll fnn, igy azt ~y koordinátarndszrbn ábrázolva gynst ad y = / - m/ gynlttl, ahol / és m/ az gyns paramétri. Ábrázoljuk ismrt N(m, ) loszlásfüggvény stén az y~ ( ~ ) függvényt, amly gy gyns, 7. ábra. Ábrázoljuk az y tngly mint függtln változó tnglyhz a (y) N(0,) ismrt loszlásfüggvényt, értlmszr n 90 0 fokkal lforgatva. Ha most a (y) értékkt a hozzájuk tartozó y értékkhz visszavtítjük, az y tnglyn gy u.n. valószín ségi skálát kapunk (az y tnglyt átskáláztuk) és így az ~y gyns gybn az F() loszlásfüggvény, bbn a spciális, valószínôségi koordinátarndszbn. Tkintsünk ugyanis gy ttszésszrinti értékt, az tnglyn Ekkor:
4/3 Márialigti:Mat. Stat.(994) Géptrvzés I. F()= P( <) = P( <y +m) = P(( -m)/ <y) =P( <y) = (y) () A hozzárndlést a 7. ábrán ábrázoltuk. A könnybb áttkinthtôség érdkébn az y és F() tnglykt külön is ábrázoltuk. Tgyük fl, hogy * k gy, az F() loszlásfüggvény statisztikai sokaságból vtt n lm rndztt minta k-adik lm, és lgyn a tapasztalati loszlásfüggvény zn lmhz rndlt érték F k = k/(n+). A * k, F k pontot az ~ (y) (~y) koordinátarndszrbn ábrázolva, lméltilg gy, az gynsr illszkdô pontot klln kapnunk. A minta végsség miatt trmésztsn az illszkdés 0 valószín ség, a statisztikai ingadozások miatt csak az gynshz többé kvésbé közli pontot fogunk kapni. A tljs mintát így ábrázolva, gy az gyns körül ingadozó ponthalmazt fogunk kapni, amlyr illszttt gyns tkinthtô thát az loszlásfüggvény bcslésénk. 7.ábra. A valószín ségi skála szrksztés. Az így adódó gyns y=a - b alakú gynltébôl az F() loszlásfüggvény paramétri az a=/ és b= m/ alapján =/a és m=b/a, így N(m, )=N(b/a,/a). Tkintttl arra, hogy N(0,) standard normális loszlás ismrt, az u.n. normál valószín ségi papír mindn további nélkül mgszrkszthtô. Egy véltln
Géptrvzés I. Márialigti:Mat. Stat.(994) 5/3 mintavétlzésbôl származó rndztt minta tapasztalati loszlásfüggvényét bbn a koordinátarndszrbn flrajzolva gynshz jól illszkdô ponthalmazra jutunk, ha az alapsokaság ténylgsn normális loszlású volt. Ellnkzô stbn az alapsokaság normalitására vonatkozó hipotézis mgkérdôjlzhtô. Ilyn értlmbn alkalmas z a módszr a paramétrk mghatározása lôtt közlítô illszkdésvizsgálatra is. Trmésztsn minél kisbb a mintalmszám, annál kvésbé lsz döntésünk mgbízható. Mgjgyzésk../Mivl a valószín ségi változó akkor lognormális loszlású ha az =lg normális, a normál valószín ségi koordinátarndszr vízszints tnglyén logaritmikus skálát alkalmazva, a változó loszlásfüggvény bbn a koordinátarndszrbn gyns lsz. Így a normális valószín ségi papír a lognormális loszláshoz is használható../a.3 fjzt (6..8) összfüggésivl kimutattuk, hogy a kétparamétrs W(,b) Wibull loszlású valószín ségi változó logaritmikus transzformáltja kttôs ponnciális loszlású, amly szintén standardizálható.így arra is szrkszthtô u.n. Wibull valószín ségi papír. A Wibull loszlású sokaságból vtt minta kiértéklésér így itt is kéznfkvôn adódik a grafikus út.e lhtôség a 3 paramétrs, W( 0,, b) Wibull loszlás stén is járható, mivl ha W( 0,, b) looszlású, akkor az y=- 0 változó W(, b) loszlású. 4.Példa fárasztóvizsgálat kiértéklésér. Egy a =30 MPa, m =0 fszültségszintn, bmtsztt acél próbatstn végztt fárasztóvizsgálat a. táblázat () sorszámú oszlopában lévô törési ciklusszámokat adta, a ténylgs, véltln sorrndbn. Összsn db. próbatst krült vizsgálatra, így n=. A ciklusszámot a továbbiakban N -l jlöljük, F( N ) a krstt élttartamloszlás, ahol az élttartamot ciklusszámban mérjük.az F( N ) élttartamloszlás függvény mgadja annak a valószín ségét, hogy gy adott próbatst élttartama, vagyis a törési ciklusszáma milyn valószín séggl lsz gy adott N ciklusszámnál kisbb, azaz P( <N)=F( N ). A fárasztóvizsgálat illtv a törési ciklusszámok zn élttartamloszlású sokaságra vtt véltln minta, a mintalmk a törési ciklusszámok; zkt a továbbiakban i -vl jlöljük. Fladatunk az ismrtln F( N ) loszlásfüggvény mghatározása, ponosabban annak a minta alapján történô bcslés. A nagyság szrint növkvô sorrndb rndztt * i rndztt mintalmk a. táb-lázat (3) oszlopában találhatók. Az gys mintalmkhz tartozó F i = =i/(n+)=i/3 értékk a. táblázat (4) oszlopában találhatók. 4..Kiértéklés a Wibull loszlás hipotézis alapján.
6/3 Márialigti:Mat. Stat.(994) Géptrvzés I. A. táblázatban lévô F i és * i értékkt Wibull valószín ségi papiron ábrázoljuk, azaz fltsszük, hogy a mintalmk kétparamétrs, W(,b) Wibull modllt kövtnk. A Wibull valószín ségi koordinátarndszr vízszints tnglyén a logaritmikus skálát alkalmazzuk, mivl a Wibull loszlású változó logaritmusa kttôs ponnciális loszlású.(.3 fjzt, (3) gynlt). (8. ábra.) A kapott pontok határozottan alulról homurú görbét mutatnak, ami arra utal, hogy N 0 (= 0 ) 0, azaz háromparamétrs, W( 0,,b) paramétr modll fltétlzhtô. A görb trapolálásával N 0 = =80000 fltétlzhtô lsô közlítésbn. Bvztv az * i = * i - N 0 változót, amly, ha N 0 a ténylgs hlyparamétr jó bcslés, a G(L) loszlásfüggvény, kétparamétrs W(,b) loszlású Wibull loszlást kövti. 8.ábra. A kísérlti adatok ábrázolása Wibull valószín ségi koordinátarndszrbn..táblázat. 3 4 5
Géptrvzés I. Márialigti:Mat. Stat.(994) 7/3 Sorszám i Törési ciklusszám i Törési ciklusszám i * F i G i i * - N 0 (N 0 =,8.0 5 ) 8,95.0 5,.0 5 0,043 0,3.0 5 5,9.0 5,3 0,086 0,5.0 5 3 3,.0 6,8 0,3.0 5 4,8.0 5 3,7 0,73,9.0 5 5 4,.0 5 4, 0,7,3.0 5 6 6.0 5 4,6 0,6,8.0 5 7 9.0 5 5, 0,304 3,3.0 5 8,4.0 6 5,9 0,347 4,.0 5 9 7,05.0 5 6 0,39 4,3.0 5 0 6,.0 6 7,05 0,435 5,35.0 5 4,5.0 6 8 0,478 6,.0 5,.0 6 8,95 0,5 7,5.0 5 3,9.0 6 9 0,565 7,.0 5 4 3,7.0 5,05.0 6 0,608 8,7.0 5 5 5,.0 5, 0,65 9,.0 5 6,.0 6,4 0,695,.0 6 7 4,6.0 5,55 0,739,37.0 6 8 8.0 5,9 0,78,7.0 6 9,55.0 6, 0,86,0.0 6 0,05.0 6 3, 0,869,9.0 6,3.0 5 4,5 0,93 4,3.0 6,.0 5 6, 0,956 6,0.0 6 A táblázat 5. oszlopában szrplô * i és a 4. oszlopban szrplô F i =G ii össztartozó értékpárokat ismétltn Wibull valószín ségi koordinátarndszrbn ábrázoljuk, a kapott ponthalmaz jó közlítéssl gy gyns mntén rndzôdik, így az N 0 =80 000 értékt és a Wibull loszlás hipotézisét lfogadjuk. Határozzuk mg lôször a W(,b) kétparamétrs loszlás paramétrit. Bhúzva a kigynltô gynst, lôször nnk paramétrit határozzuk mg, az gyns két kiválasztott pontja sgítségévl. A Wibull koordinátarndszr származtatásánál láttuk, hogy az valójában a (9) gynlt szrinti, KE(u, ) paramétr kttôs ponnciális loszláshoz tartozik, a W(,b) kétparamétrs
8/3 Márialigti:Mat. Stat.(994) Géptrvzés I. Wibull loszlás logaritmikus transzformálásával azonban ilyn loszlásfüggvény változóhoz jutunk. Lgyn thát a =lg a H(y) loszlásfüggvény, KE(u, ) pa- ramétr valószín ségi változó. Így lôször a KE(u, ) loszlás u, paramétrit határozzuk mg. 9. ábra. A kétparamétrs Wibull loszlás paramétrink mghatározása. Lgyn a két kiválasztott pont: L * =.0 5 és L * = 3.0 6. A G(L) loszlásfüggvény pontokhoz tartozó értékit a függôlgs tnglyn közvtlnül l tudjuk olvasni, mig az y változó mgfllô értéki a kiválasztott L értékk logaritmusai. A mgfllô értékk: L * =.0 5 G( L * )= 0, y * =lgl * = 5,3 L * = 3.0 6 G( L * )= 0,88 y * =lgl * = 6,477 A bhúzott kigynlító gyns valójában az y, KE(u, ) loszláú változónak a z, KE(0,) loszlású standard kttôs ponnciális loszlású változóvá való transzformálását ábrázolja. Lgyn a z loszlásfüggvény E(z). A
Géptrvzés I. Márialigti:Mat. Stat.(994) 9/3 transzformációs gynlt: y = z + u, lásd (7, 8) gynltk. A kiválasztott y * és y * pontokhoz tartozó z *, z * pontokat vagy a rdukált változó tnglyn tudjuk lolvasni, vagy a (8) gynlt invrtálásával adódó alábbi összfüggéssl határozhatjuk mg: z * i * i ln ln E lgl (3) A mgfllô értékk: z * =-,445, z * = 0,755. Ezn adatokkal a két ponton átmnô gyns gynltét mghatározva a rdukált változóra az alábbi összfüggést kapjuk: z=(y-6,077)/0,5359 (4) Ez gybn azt is jlnti, hogy u=6,077, és =0,5359, azaz a kttôs ponnciális loszlású változó KE(6,077 ; 0,5359) alakú. A (0) transzformációs összfüggéskt flhasználva, a kétparamétrs W(,b) gynlt paramétri: b 0, 5359ln0 6, 077ln0 0, 8 ; 93 988 (5) azaz G(L)=W( 93 988 ; 0,8). Igy az változó kétparamétrs loszlásfüggvény 0, 8 N 93988 G L (6) és a változó, vagyis az élttartam W ( 0,,b) alakú loszlásfüggvény: 0, 8 N 80000 93988 F N (7) A (6) loszlásfüggvény alapján kiszámítható már bármly cikluszámhoz a törési valószín ség, vagy fordítva. Lgyn gy adott, p százalékban kifjztt törési valószín séghz tartozó ciklusszám N p, azaz P( < N p )= 0,0.p (=p%). Két nvzts pont érték: N = 84 079, N 50 = 939 430.
0/3 Márialigti:Mat. Stat.(994) Géptrvzés I. 4..Kiértéklés a normális loszlás hipotézis alapján. Ehhz olyan normális valószín ségi koordinátarndszrt alkalmazunk, amlynk a vízszints tngly lináris skálájú. Ugyan azon * i,f i értékpárokat ábrázolva, a pontok lhlyzkdés határozott görbültt mutat, ami gyértlm n arra utal, hogy a normális loszlás mint mgfllô lmélti modll nm fogadható l az adott sokaság lírására. (0. ábra.) 0.ábra. Kiértéklés normál valószín ségi koordinátarndszrbn. 4.3.Kiértéklés a lognormális loszlás hipotézis alapján. A valószín ségi koordinátarnszr tárgyalásánál láttuk, (3.3.. fjzt) hogy a normál valószín ségi papír alkalmas lognormális loszlású változó kzlésér is, ha a valószín ségi változó tnglyén logaritmikus skálát alkalmazunk. A logaritmikus normális loszlású változónak ugyanis a logaritmusa normális loszlású, thát ha a mintalmk logaritmusát mérjük fl, az ad gynst a normális valószín ségi koordinátardszrbn. Ezt könnyíti mg a logaritmikus skála alkalmazása.
Géptrvzés I. Márialigti:Mat. Stat.(994) /3.ábra. Kiértéklés a lognormális loszlás hipotézis alapján. Így a rndztt mintalmk számértékivl és a hozzájuk tartozó F i értékkkl mint koordinátákkal adódó pontokat ábrázolva mgállapítható, hogy a pontok itt is, fôlg a szélkn, gynstôl való ltérést mutatnak, azonban a " jól" kigynlítô gyns mgadható. (. ábra) A bhúzott kigynlítô gynst thát lfogadjuk, mint a lognormális loszlású sokság F(N) loszlásfüggvényénk a bcslését. Fladatunk az loszlásfüggvény paramétrink a mghatározása. Ehhz lôször az =lg transzformációval adódótt, N(lga, ) paramétr G(y) loszlásfüggvény normális loszlás paramétrit határozzuk mg. Lgyn z=(y-lga)/ az y standarduzált alakja, E(0,) loszlásfüggvénnyl. A kigynlítô gyns gynltét thát bbn a formában krssük. Vgyünk fl a kigynlítô gynsn a G( y * )=0,05 és G(y * )=0,95 ordinátájú pontokat. Az zkhz tartozó N * =50 000 és N * =5 400 000 lolvasással adódik, az y változók értéki pdig zk logaritmusai: y * =lg N * =5,76 és y * =lgn * = =6,73. A z rdukált változó értékit a flvtt G( y * i ) értékkhz a rdukált változó tnglyén tudjuk lolvasni, vagy standard normális változó táblázatból kivnni. Estünkbn az értékk: z * =-,65 és z * =,65, így az gyns gynlt (a [-,65; 5,76] és [,65;6,73] pontokkal)
/3 Márialigti:Mat. Stat.(994) Géptrvzés I. z=(y-5,94)/0,476 thát a G(y) loszlásfüggvény N(5,94;0,476) paramétr. Igy a N változó lognormális loszlásának várható érték és szórásnégyzt a (0) gynlt alapján: M N 0 5, 94. 0 53,. 0, 476 570566 D N 0 5, 94. 0, 306. 0, 476. 0, 306. 0, 476 5, 550. Az a érték a lognormális loszlás mdiánja, itt ugyanis a várható érték nm sik gyb a mdiánnal. A tapasztalati loszlásfüggvény grafikonja alapján bármly ciklusszámhoz l tudjuk olvasni a törés bkövtkzésénk valószín ségét vagy bármly törési valószín séghz tartozó ciklusszámot. Az összhasonlítás kdvéért a 3. táblázatban összfoglaltuk a kétfél kiértékléssl adódott, gys törési valószín ségkhz tartozó ciklusszámok értékit. Ezn értékk lolvasással vagy -az loszlásfüggvényk paramétrink ismrtébn- számítással is mghatározhatók, az loszlásfüggvényk invrtálásával. 3. táblázat Törési valószín ség [%] Lognormális loszlás Törési ciklusszám Wibull loszlás (3 par) 0 0 80 000 66 000 84 079 9 000 89 658 3 5 000 96 034 5 50 000 0 5 50 870 963 939 430 Mgjgyzés../A 3. táblázatból is látható, hogy a lognormális loszlás alapján történô kiértéklés a Wibull kiértékléshz képst konzrvatívabb
Géptrvzés I. Márialigti:Mat. Stat.(994) 3/3 rdménykt ad. Ez az loszlásfüggvényk jllg alapján nm mglpô../a lognormális loszlás grafikus ábrázolása alapján mgállapítható, hogy a kísérlti adatok az lmélti loszlástól, különösn a kis törési valószín ségknél, a nagyobb élttartamok flé szóródnak. Ez arra utal, hogy a lognormális loszlás alapján adódó értékk a ténylgsn várható élttartamoknál kisbbk. 3./A három paramétrs Wibull modll alapján adódó rdményk a kis törési valószínôségknél a kisérlti adatok jobb illszkdését mutatják, ami a Wibull loszlás lfogadása mlltt szól. Figylmb kll azonban azt is vnni, hogy mintalm valójában kis mintának számit, ami az rdményk statisztikai mgbízhatóságát csökknti. Ez alapján az N 0 = =80000 ciklusszám mint biztosan törésmnts élttartam kilégítô biztonsággal nm fogadható l. Így a kis törési valószín ség zónában a két adat közötti élttartamértékk valószín síthtôk. A lognormális kiértéklés adatai a várható élttartamok alsó bcslésink tkinthtôk.