Bevezető fizika (vill), 4. feladatsor Munka, energia, teljesítény 4. október 6., : A ai óráoz szükséges eléleti anyag: K unka W F s F s cos α skalárszorzat (száít az irány!). [W ] J F szakaszokra bontás, atáresetben integrálás (W s s Fds), azaz a görbe alatti terület! neézségi erőtér elyzeti energia: E g, ai negatív is leet (pl. talajszint alatt) F g F F s s g α kinetikus/ozgási energia: E k v g rugó: E r D ( a egnyúlás, D a rugóállandó) unkatétel E k W teljesítény (P W t kw 36 kj Órai feladatok: ), atásfok (η asznos összes ), 4.7. feladat: α 3 -os lejtőn valaki egy kilograos bőröndöt tol fel vízszintes irányú erővel éter agasra. A ozgási súrlódási együttató µ,. A bőrönd ozgása egyenletes. Mennyi unkát végez: a) az eber, b) a súrlódási erő, c) a bőröndre ató neézségi erő, d) a lejtő nyoóereje, e) a bőröndre ató erők eredője? (g /s ) Mivel állandó erők atnak, így a unkát ki leet száítani az erő és az elozdulás skaláris szorzataként. A feladat egoldásáoz először atározzuk eg, ogy ekkora F erőre van szükség. A Newtonegyenleteket felírva azt kapjuk, ogy : K g cos α F sin α : F cos α g sin α F s, aol F s µ K, és K az első egyenletből kifejezető: K g cos α + F sin α, elyet a ásodik egyenletbe elyettesítve: F cos α g sin α µ (g cos α + F sin α ) F cos α µ sin α g. Szükségünk lesz ég a többi erő nagyságára is: K g cos α + F sin α g cos α + g sin α cos α µ sin α cos α µ cos α sin α + sin α + µ cos α sin α g cos α µ sin α cos α µ sin α g, F s µk cos α µ sin α µg.
a) Az eber által végzett unka: W eber F s F s cos α cos α µ sin α g sin α cos α sin 3 +, cos 3 cos 3, sin 3 68,87 J. kg s b) A súrlódási erő által végzett unka: cos 3 sin 3 W s F s F s s µg cos α µ sin α sin α, kg s cos 3, sin 3 sin 3 8,87 J. c) A neézségi erő unkája W g g s g s g sin α kg s 4 J. sin α d) A lejtő nyoóereje ne végez unkát, iszen az erőleges az s elozdulásra. e) A bőröndre ató erők eredője nulla, iszen a bőrönd összgyorsulása nulla. Ennek unkája terészetesen nulla. Vegyük észre, ogy ezt a korábbi eredényekből is egkapjuk, iszen a összeadjuk az összes erő unkáját, akkor is nullát kapunk. 4.. feladat: Rugós erőérőt l c-rel kiúztunk. Mekkora unkát végeztünk a egnyújtáskor, a a utató F 5 N nagyságú erőt jelez? Először száoljuk ki a rugó állandóját: D F l 5 N, 5 N. Ennek a unkának a kiszáolásánál az a probléa, ogy az általunk kifejtett erő ne állandó, iszen tudjuk, ogy a rugóerő F r () D, aol a egnyúlás, és a i erőnk ennek az ellenereje. A unka kiszáolásáoz először tekintsünk azt a pillanatot, ikor éppen i -vel van egnyújtva a rugó. Próbáljuk ekkor a rugót ég egy nagyon pici osszal ég jobban egnyújtani. Ez olyan kis távolság, ogy ez alatt az erő gyakorlatilag ne változik, végig F r () D i. Ekkor a unkánk erre a kis szakaszra: W ( i ) F r () D i. A teljes egnyújtásra száolt unkát úgy kapjuk, ogy a l távolságot felosztjuk sok ilyen pici szakaszra, kiszáoljuk a unkát az egyes szakaszokra, ajd összeadjuk őket. Vegyük észre, ogy az így száított összeg, éppen az F r () függvény alatti terület téglalapösszege. F () F r ( i ) i N l F r () Ha egyre finoítjuk a felosztást, akkor az F r () függvény alatti területet kapjuk a [, l] tartoányon. A téglalapösszeg pedig egy integrálásba egy át: W li N l N i dw () ( D ( l) W ( i ) li N l ) N D i i 5 N (, ),5 J. ] l [ D d D ( ) D D ( l) 4.9. feladat: éter ély kútból, éterenként F lánc N súlyú lánccal vizet úzunk fel. A vödör súlya vízzel együtt F vödör N. Mekkora unka árán tudunk egy vödör vizet felúzni? Miközben úzzuk fel a vödröt a lánc kikerül a kútból és egyre kisebb lesz a súly, ait úzunk. Foralizálva a úzóerő a élység függvényében: F () F vödör + F lánc, aelyet összegeznünk kell -tól -ig. Az erőagasság grafikon:
F [N] 4.39. feladat: Az ábrán látató ingát 9 -kal kitérítjük és elengedjük. Az asztal szélén levő, vele egyenlő töegű golyóval teljesen rugalasan ütközik. Határozzuk eg, ogy az asztaltól ilyen távol ér a padlóra a lelökött golyó! W l A területet felosztatjuk egy négyzetre (a vödör felúzásának unkája), és egy kis ároszögre (lánc úzása). A két unka külön a terület alapján: W F vödör J, W ( F lánc ) 5 J. Összesen teát W W + W 7 J. Megteetjük azt is, ogy kiasználjuk, ogy az integrálszáítás érteében a unka: W F ()d [F vödör + F lánc (F vödör + F lánc ) d ] 7 J. 4.3. feladat: Oldjuk eg a unkatétellel a következő feladatot: v 5 /s sebességű puskagolyó 5 c élyen atol be a fába. Mekkora volt a sebessége s c élységben? Tételezzük fel, ogy a fa fékező ereje állandó. A unkatétel szerint E kin W, kifejtve W F fék, íg E kin v. Így a fékezőerő: F fék v. Ha csak c-t aladunk, akkor a ozgási energia egváltozása E kin v v, íg a unka W F fék s, azaz a unkatétel szerint: v v F fék s Aelyből fejezzük ki a sebességet: v ( s v ) v 387,3 /s. s A ozgás több részre bontató. Először az inga lelendül ( ), ajd egtörténik az ütközés ( 3), végül pedig a ásodik test leesik (3 4). Ezeket a speciális állapotokat ind összeköti a unkatétel, elyet asználatunk. : Az ingatest lelendül. Válasszuk a elyzeti energia nullszintjét az asztal szintjének. Ekkor a testnek az () pontban van elyzeti energiája, á nincs ozgási energiája, ezzel szeben a () elyzetben elyzeti energiája nincs, cserébe viszont ozgási energiája lett, iszen v sebességgel ozog. A testre a kötélerő at, ai sose végez unkát, illetve at rá a neézségi erő, annak a unkáját viszont elyzeti energiában vettük figyelebe. Ez alapján a unkatörvény: W ( ) E kin + E pot ( ) v (gl) v gl. 3: Itt történik eg az ütközés. Mivel az ütközés teljesen rugalas, így az ütközés során az energia egarad. Szintén ivel a külső erők unkája nulla, így az ipulzusegaradást is leet asználni. A két törvény: v + v 3 + u 3 v + v 3 + u 3, aol az u-val jelölt tagok a kezdetben álló golyó jellezői. A két egyenlet egyszerűsítve: v v 3 + u 3 3
v v 3 + u 3, ajd a ásodik egyenlet négyzetre eelve: v v 3 + u 3 + v 3 v 3, és ebből az első egyenletet kivonva: v 3 u 3, teát vagy az első vagy a ásodik test állni fog az ütközés után. Az ipulzusegaradást kifejező egyenletre pillantva látatjuk, ogy a az egyik sebesség nulla, akkor a teljes kezdeti sebességet a ásik test kapja eg. Innen adódik, ogy a kezdetben ozgó golyónak kell egállnia, és a ásiknak ugyanakkora sebességgel továbbaladnia, iszen a fordított eset ne leetséges. Teát v 3, u 3 v gl. 3 4: A ozgás utolsó szakaszában egy vízszintes ajítás történik. A leesés ideje T g, ely alatt a test s T u 3 g gl l utat tesz eg. 8.46. feladat: Egy részecske csupán az tengely entén ozogat. Az ábrán a részecske potenciális energiájának a elytől való függése látató. A; Ábrázoljuk grafikonon (ozzávetőlegesen) a részecskére ató erőt, int a ely függvényét. B; Feltéve, ogy a részecske valailyen rezgő ozgást végez, legfeljebb ennyi leet ozgási energiája? E pot E F A rezgő ozgás azt jelenti, ogy rögzített energia ellett különböző elyeken () is felveet ugyanakkora potenciális energiát. Ez az tengely alatti szakaszra érvényes. A iniális potenciális energia E, a ennél egy kicsit több van akkor abban a agasságban eletszve a függvényt egkapjuk a rezgés két végpontját. A végpontban a sebesség (lásd egy rugó), így a kinetikus energia is. Azonban aikor a köztes szakaszra érünk a potenciális energia lecsökken, és a különbségből lesz a kinetikus energiája. 4.4. feladat: g N súlyú testet F N nagyságú erővel eelünk. Mekkora a teljesítény az indulás után T ásodperccel? Mekkora az átlagteljesítény az első ásodperc alatt? A pillanatnyi teljesítény P F v. A testre ató erők eredője F e N N N, vagyis a test gyorsulása a N kg. s Kezdetben a test állt, T idő elteltével a test sebessége: v(t ) a T s 4 s s. Mivel ez a sebesség felfelé utat, így egy irányba esik az eelőerővel. A teljesítényünk teát: P ( s) N 4 s 48 W. Az átlagteljesítény kiszáításáoz tudnunk kell, ogy ogyan változik a pillanatnyi teljesítény az időben. Az időfüggés a sebességen keresztül történik: P (t) F v(t) F a t. E Vannak olyan esetek, aikor a erő felírató a potenciális erő segítségével. Ilyen a kapcsolat az, ogy erő ne ás, int görbe eredekségének ellentettje. Nézzük az ábrát. Kezdetben az energia csökken, teát a eredeksége negatív, vagyis az erő -ig pozitív lesz. Ott az iniu van, a eredekség és az erő is. Ezt követően a függvény növekszik, teát az erőnek negatívnak kell lennie. A kapott ábra: Mivel a teljesítény az idővel lineáris kapcsolatban áll, így az átlagteljesítény száolató, int a kezdeti és a végállapotban lévő pillanatnyi teljesítény szátani közepe: P átl P ( s) + P () Ottoni gyakorlásra: 48 W + 4 W. 4.6. feladat: Mekkora átlagos teljesíténnyel leet egy kg töegű szeélyautót ásodperc alatt, álló elyzetből k/ sebességre gyorsítani? 4
4.3. feladat: v 5 /s kezdősebességgel függőlegesen lefelé ajítunk egy követ. Mennyi idő alatt négyszereződik eg a ozgási energiája? 4.3. feladat: Egy ládát állandó sebességgel úzunk vízszintes talajon. Mozgás közben F s 5 N a fellépő súrlódási erő. Milyen esszire úzatjuk el a ládát W i, kw unka árán? 4.3. feladat: Egy ejtőernyős kiugrik egy agasságban szálló repülőgépből. (A gép vízszintesen repül, sebessége /s.) Az ejtőernyős sebessége földet éréskor 5 /s. Töege az ernyővel együtt kg. Mennyi unkát végzett a közegellenállás? 4.9. feladat: Mekkora unkavégzéssel jár egy 4 kg töegű test felgyorsítása vízszintes talajon v v 3 /s sebességre s éter úton, a a talaj és a test közötti súrlódás együttatója µ,3? (g /s ) D6. feladat: Az ábrán látató, kg töegű testtel l 7,5 c-rel összenyotuk a D 4 N/ rugóállandójú rugót, ajd a testet elengedtük. A test és a vízszintes felület közti ozgási súrlódási együttató értéke µ,5. Mekkora utat tesz eg a test a egállásig? v A feladatok forrása Dér Radnai Soós Fizikai feladatok. 5