Lineáris algebra (10A103) Dr. Hartmann Miklós
Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~hartm Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat teljesítése.
Vizsga: írásbeli - I/H kérdések: 20 pont - definíciók, tételkimondások: 10 pont - számolós feladatok: 50 pont - Két paraméteres feladat: 20 pont Mintavizsgák a félév közepe felé felkerülnek majd a honlapomra. Ponthatárok: - 0-49: elégtelen - 50-62: elégséges - 63-74: közepes - 75-87: jó - 88 - :jeles
Gyakorlatok 100 pontot lehet elérni, ponthatárok ugyanazok, mint a vizsgán A 100 pont a következőképpen jön össze: 10 pont két röpdolgozatból, 80 pont két ZH-ból és 10 pont online feladatmegoldásból További 10 plusz pont szerezhető a gyakorlatvezetők által meghatározott módon A röpdolgozatok NEM javíthatók, illetve pótolhatók. Az egyik ZH-t az utolsó gyakorlaton lehet javítani, illetve pótolni.
1. Előadás
Mátrixok n m-es mátrix: táblázat n sorral és m oszloppal. KEREK zárójelek között. Elemei VALÓS számok. 3 1 0.5 2 0 2 1 1 1 0 0 0 4 3
A mátrixokat általában az ABC elejéről vett nagybetűkkel jelöljük (A, B, C...). A R 5 6 : 5 sorból és 6 oszlopból álló valós számokat tartalmazó mátrix.
A mátrixokat általában az ABC elejéről vett nagybetűkkel jelöljük (A, B, C...). A R 5 6 : 5 sorból és 6 oszlopból álló valós számokat tartalmazó mátrix. A mátrix eleme: a B mátrix i. sorának j. elemére használhatjuk a b ij jelölést, de ugyanezt az elemet (B) ij -vel is szokás jelölni. Az elemeket az oszlopokban fentről lefelé, míg a sorokban balról jobbra számozzuk.
Példa Sütöde "termelési" mátrixa liszt víz só energia kenyér 0.8 0.3 1.1 2.4 kifli 0.3 0.1 0.4 1.1 zsömle 0.5 0.2 0.6 1.9 Sütöde "árfolyam" mátrixa dec. 1. dec. 2. dec. 3. liszt 15 13 12 víz 10 11 14 só 23 12 17 energia 9 11 13
Mennyibe került egy kenyér előállítása dec. 1-én? Egy kenyér előállítása liszt víz só energia kenyér 0.8 0.3 1.1 2.4 kifli 0.3 0.1 0.4 1.1 zsömle 0.5 0.2 0.6 1.9 dec. 1. dec. 2. dec. 3. liszt 15 13 12 víz 10 11 14 só 23 12 17 energia 9 11 13 0.8 15 + 0.3 10 + 1.1 23 + 2.4 9 = 61.9 Ft-ba került. Hasonlóképpen kiszámítható a következő táblázat minden eleme.
liszt víz só energia kenyér 0.8 0.3 1.1 2.4 kifli 0.3 0.1 0.4 1.1 zsömle 0.5 0.2 0.6 1.9 dec. 1. dec. 2. dec. 3. liszt 15 13 12 víz 10 11 14 só 23 12 17 energia 9 11 13 dec. 1. dec. 2. dec. 3. kenyér 61.9 53.3 63.7 kifli 24.6 21.9 26.1 zsömle 40.4 36.8 43.7
Markov-láncok Egy nagyon kis (2 településből álló) ország populációdinamikáját modellezzük borzasztó egyszerűen: megnézzük, hogy egy évben az A településből hányan költöznek B-be, és viszont (a lakosság minden más változásától most eltekintünk). Ezen adatokból a következő mátrixot állítjuk össze: ( ) 0.8 0.3 M = 0.2 0.7 Az első oszlop az A-ból költözőknek, míg a második a B-ből költözőknek felel meg. Vagyis egy év alatt az A-beli lakosok 80%-a marad helyben, illetve 20%-a költözik B-be. Hasonlóképpen, B lakosainak 30%-a költözik A-ba, és 70%-a marad helyben.
Markov-láncok Ha most A lakosainak száma 10, 000, B lakosainak száma pedig 50, 000, akkor mennyi lesz a lakosok száma egy év múlva? Világos, hogy A és B lakosainak száma lesz egy év múlva. A : 0.8 10, 000 + 0.3 50, 000 = 23, 000; B : 0.2 10, 000 + 0.7 50, 000 = 37, 000 A fenti számolások nagyon hasonlítanak a sütödés példában szereplőkhöz - ez nem véletlen. Mindkét példa mögött ugyanaz a matematikai jelenség, a mátrixszorzás áll.
Markov-láncok Világos, hogy az egyszerű modell szerint a két város összlakosságszáma változatlan. Kérdés, hogy ez matematikailag igazolható-e. Úgy tűnik, hogy hosszú távon A egyre gyarapodik, B pedig fogy, egészen addig, amíg egy egyensúlyi állapot beáll. Igaz-e ez minden esetben (vagyis akkor is, ha mondjuk 10, 000 település van)? Ha van egyensúlyi állapot, akkor vajon egyértelmű-e? Ha van egyensúlyi állapot, és egyértelmű, akkor meg tudjuk-e hatékony módon határozni? (Itt már milliárdos nagyságrendű településszámra kell gondolni).
Markov-láncok A fenti kérdések megválaszolására többféle matematikai eszköz áll a rendelkezésünkre. Mátrixszorzás, mátrixműveletek tulajdonságai, gyors hatványozás. Vektorterek, alterek, dimenzió fogalma. Mátrix sajátértéke, sajátaltere.
Markov-láncok Próbáljuk meghatározni az egyensúlyi helyzetet. Ez akkor áll be, ha az A-t és B-t elhagyó lakosok száma megegyezik. Az A-t elhagyó lakosok száma A 0.2, a B-t elhagyók száma pedig B 0.3. Vagyis A 0.2 = B 0.3, vagyis A = B 1.5. Látható, hogy az egyensúlyi helyzet többféleképpen állhat be az összlakosság függvényében, de az A és B lakosságszáma közötti arány minden esetben ugyanannyi lesz. Ez a példa nagyon egyszerű volt. Kérdés, hogy több város esetén is ugyanez-e a helyzet, vagyis hogy az egyensúlyi helyzetben a városok egymáshoz viszonyított lakosságszáma egyértelműen meghatározott. Látni fogjuk, hogy ez nem igaz: ha a fent említett sajátaltér dimenziója nem egy, akkor nincs egyértelmű egyensúlyi helyzet, vagyis a fenti példa nagyon megtévesztő, az intuíciónk hamis.
Mátrixszorzás Definíció: mátrixszorzat létezése Ha A n m-es, B pedig m k-as mátrix, akkor létezik a szorzatuk, A B, amely n k-as mátrix. Más esetben a szorzat nem létezik. Definíció: mátrixok szorzata Ha létezik az A B szorzatmátrix, akkor az i. sorának j. elemét a következőképpen kapjuk: összeszorozzuk A i. sorának elemeit B j. oszlopának megfelelő elemeivel (a szorzótényezők mérete miatt mindkettőnek ugyanannyi, m db eleme van), majd az így kapott számokat összeadjuk.
Példa ( 0 1 2 1 2 3 ) 1 2 0 1 2 3 = ( c11 c 12 c 21 c 22 ) c 11 = 0 1 + 1 0 + 2 ( 2) = 4 c 12 = 0 2 + 1 ( 1) + 2 3 = 5 c 21 = ( 1) 1 + 2 0 + 3 ( 2) = 7 c 22 = ( 1) 2 + 2 ( 1) + 3 3 = 5
Példa ( 0 1 2 1 2 3 ) 1 2 0 1 2 3 = ( 4 5 7 5 ) c 11 = 0 1 + 1 0 + 2 ( 2) = 4 c 12 = 0 2 + 1 ( 1) + 2 3 = 5 c 21 = ( 1) 1 + 2 0 + 3 ( 2) = 7 c 22 = ( 1) 2 + 2 ( 1) + 3 3 = 5
Mátrixszorzás definíciója Legyen A n m-es, B pedig m k-as mátrix: a 11 a 12... a 1m b 11... b 1k a 21 a 22... a 2m A =......, B = b 21... b 2k..... a n1 a n2... a nm b m1... b mk. Ekkor az A B mátrix n k-as és i. sorának j. eleme: m (A B) ij = a it b tj. t=1
Összeadás Definíció: mátrixok összegének létezése Ha A n m-es és B is n m-es mátrix, akkor összeadhatók, és az összegük is n m-es lesz, azaz csak azonos méretű mátrixok adhatók össze. Definíció: mátrixok összege Az összegmátrix i. sorának j. eleme A i. sora j. elemének és B i. sora j. elemének az összege, azaz a mátrixokat elemenként adunk össze. (A + B) ij = a ij + b ij.
Példa 1 2 3 4 2 1 + 2 1 0 1 2 4 = c 11 c 12 c 21 c 22 c 31 c 32 c 11 = 1 + 2 c 12 = ( 2) + ( 1) c 21 = 3 + 0 c 22 = 4 + 1 c 31 = 2 + 2 c 32 = 1 + 4
Példa 1 2 3 4 2 1 + 2 1 0 1 2 4 = 3 3 3 5 4 5 c 11 = 1 + 2 c 12 = ( 2) + ( 1) c 21 = 3 + 0 c 22 = 4 + 1 c 31 = 2 + 2 c 32 = 1 + 4
Mátrix szorzása skalárral Skalár=szám... Létezés Mindig létezik. Definíció: mátrix szorzása számmal Mátrixot úgy szorzunk λ skalárral, hogy minden elemét megszorozzuk λ-val. (λa) ij = λa ij.
Példa ( 1 2 3 3 1 0 1 ) = ( 3 6 9 3 0 3 ) 0.3 2 e 2 0 3 2 2 + 3 1 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Transzponálás Mátrix transzponáltja mindig létezik. Egy n m-es mátrix transzponáltja m n-es. Definíció: mátrix transzponáltja Az eredeti mátrix sorait beírjuk az oszlopokba. 1 1 2 1 0 0 1 1 1 2 3 4 T = 1 1 1 2 1 0 1 3 2 0 1 4