Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező Horváth Árpád 2010. június 18. A segédletek egy része az http://elearning.bmf.hu oldal Számítástudomány kurzusában található, de esetleg a matek honlapon is érdemes végignézni: http://www.roik.bmf.hu/matek Kötelező irodalom: Bagyinszki György: Diszkrét matematika főiskolásoknak, TypoTEX Kiadó, Bp. 2001. György Kárász Sergyán Vajda Záborszky: Diszkrét matematika példatár, Bp. 2003, BMF-NIK-5003, (Továbbiakban Példatár). Levelezősöknek a matek honlapon elérhető NetworkX-es segédlet. Ajánlott irodalom: Tóth Mihály: Számítástudomány algebrai alapjai Tóth Mihály: Bevezetés a formális nyelvek és automaták elméletébe (Handout, 1992.) Fellegi Tibor: Absztrakt algebrai összefoglaló (a matek honlapról utalás van rá) Demetrovics, Denev, Pavlov: A számítástudomány matematikai alapjai (a formális nyelvek és absztrakt automaták részhez) Beadás: a https://elearnin.bmf.hu oldalon megadott határidővel papíron vagy a következő elektronikus formákban pdf, png, gif, jpg, odt (OpenOffice, Abiword vagy KWord), Microsoft Word (.doc). Ahol nem tüntetünk fel mást, a feladatsorszámok a Diszkrét matematika példatár feladataira utalnak. 1
1. Gráfelmélet 1.1. Mintafeladatok 5.1. fejezetből 1., 2., 3. (három feladat!), 6. 7. Az illeszkedési mátrix E V (4 csúcs, 3 él esetén 4 3-as) típusú mátrix, ij-dik eleme 1, ha i-dik csúcs rajta van j-dik élen, különben 0. 8., 14., 15. (izomorfia), 5.2. fejezetből 1., 4. (csak Euler-séta kell) 5.4. fejezetből 1., 3., 4., 8., 9., 10., 11., 1.2. Beadandó feladatok 1. 1.1. feladat. Írjuk fel az alábbi gráf szomszédsági mátrixát. Adjunk meg benne egy feszítőfát. Található-e a gráfban Euler-séta? 5 6 1 2 7 8 3 4 1.2. feladat. Ábrázoljuk az alábbi súlymátrix-szal megadott súlyozott mátrixot! Adjunk meg egy lehetséges maximális súlyú feszítőfát az ábrán (élek vastagításával vagy színezésével)! Írjuk fel a feszítőfa súlyát valamint az élek sorrendjét, ahogy hozzávettük a fához! 10 6 10 7 8 7 7 2 9 S = 2 4 3 6 8 9 4 7 3 1.3. feladat. Írjuk fel az alábbi fa Prüfer-kódját! 5 6 1 2 7 8 3 4 1.4. feladat. Az alábbi Prüfer-kódok esetén rajzoljuk fel a fát, amennyiben lehetséges: 62, 121314, 54321 2
1. ábra. Példa nyílt és zárt Euler-sétára 1.3. Alapfogalmak A fogalmak definíciói megtalálhatóak a feladatgyűjtemény 23. oldalától kezdődően. Ezek és a további részekben szereplőek kellenek: gráf, csúcs fokszáma (mi d(n)-el jelöltük), élsorozat és annak hossza, út, kör, izolált pont, többszörös él, hurokél, teljes gráf, részgráf, feszített részgráf, mátrixreprezentációk, összefüggőség, komponensek. 1.1. definíció. Egy gráfot egyszerű gráfnak nevezünk, ha nincs benne többszörös és hurokél. 1.2. definíció. Euler-sétának vagy Euler-bejárásnak nevezzük azt az élsorozatot a gráfban, amely minden élet pontosan egyszer érint. (Minden élen átmegy, és egyiken sem többször.) Az Euler-sétát zártnak nevezzük, ha az utolsó csúcsa egyezik az elsővel, különben nyílt Euler-sétának nevezzük. 1.1. tétel. Ha egy gráfban zárt Euler-séta van, akkor minden csúcs fokszáma páros. Ha egy gráfban nyílt Euler-séta van, akkor pontosan két csúcs fokszáma páratlan, ezek a séta kezdő és végpontjai. A fenti állítások fordítottjai is igazak összefüggő gráfok esetén. Azaz ha egy összefüggő gráfban a fokszámok párosak, akkor van zárt Euler-séta, ha kettő páratlan, a többi páros, akkor van nyílt Euler-séta a gráfban. Akár az élek (csúcspárok) listáját, akár az illeszkedési mátrixát ismerjük egy nagyobb méretű gráfnak, elég nehéz megállapítani, hogy összefüggő-e. A gyakorlaton használt NetworkX modul szerencsére képes ezt megállapítani. A fokszámokat az illeszkedési mátrixból könnyedén megállapíthatjuk, hiszen csak a megfelelő sorokat kell összegezni. A 1. ábrán található egy-egy példa a zárt és nyílt Euler-sétára. 1.4. Fák 1.3. definíció. Fáknak az összefüggő körmentes gráfokat nevezzük. 1.4. definíció. Egy összefüggő gráf feszítőfáján olyan fákat értünk, melyek részgráfjai az eredeti gráfnak, tartalmazzák annak összes csúcsát, és fák. 1.4.1. Három fákkal kapcsolatos algoritmus 1.2. tétel. Egy n csúcspontú fát egy olyan n 2 elemű listával (egy számsorozattal) egyértelműen leírhatunk, melyek elemei a számok 1-től n-ig. Ezt a listát nevezzük a fa Prüfer-kódjának Ez az alábbi algoritmussal bizonyítható. 3
1.5. A Prüfer-kód előállítása Kiindulás: egy fa valamilyen formában megadva (ábra, szomszédsági mátrix) 1. Legyen v 0 elemű lista. Sorszámozzuk meg a csúcsokat 1-től n-ig. 2. Keressük meg a legkisebb sorszámú egyfokszámú csúcsot a (maradék) fán. Hagyjuk el az élet, és fűzzük a lista végéhez az él másik végén található csúcs sorszámát. 3. Ismételjük a 2. pontot addig, amíg egy él marad, az így kapott lista lesz a Prüfer-kód. 1.3. tétel. A Prüfer-kód csak egy fához tartozhat, és bármilyen {1,2,...,n} elemekből álló n 2 elemű Prüfer-kód egyetlen fát ír le. Ez az alábbi algoritmussal bizonyítható. A fenti két tételből következik, hogy az ilyen kódok száma n n n = n n 2, és ezzel az n csúcspontú fák száma is ennyi, mivel a Prüfer-kódok és fák között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, algebrai nyelven bijekció van. 1.6. A Prüfer-kódból a fa visszaállítása 1. Legyen v a Prüfer-kód, számoljuk ki n-et, ha a kód hossza n 2. Legyen E = {1,2,...,n} a csúcsok halmaza. Induljunk ki egy n csúcsú 0 élű gráfból. 2. Vegyük a lista (a Prüfer-kód) első elemét. Kössük össze ezt a sorszámot E halmaznak azzal a legkisebb x sorszámával, ami nem szerepel a listában. 3. Hagyjuk el a lista első elemét, és töröljük x-et az E halmazból. 4. Ismételjük a 2. és 3. pontot addig, amíg el nem fogy a lista összes eleme. 5. Az E megmaradt két elemét kössük össze. 1.5. definíció. (V 1,E 1 ) és (V 2, E 2 ) gráfokat izomorfnak nevezzük, ha létezik a csúcsaik között olyan f : V 1 V 2 bijekció, melynél a,b V 1 pontosan akkor van összekötve, ha f (a) és f (b) is össze vannak kötve. Ha adott csúcsszámú fák közül nem különböztetjük meg az izomorfakat, akkor az így előálló fák száma lényegesen kisebb annál, mint a fentieknél meghatározott n n 2 esetszám. 1 2 a b a c G 1 3 4 c G 2 d d A fenti első két gráfábra esetén például lerajzolva máshogy néz ki, mégis izomorfak. A következő az egyik lehetséges bijekció a kettő közül. G 2 2 c, 1 a, 3 d, 4 b Például a {2,1} élnek a másodikban a {c,a} él felel meg, mindkettő össze van kötve. A {2,4} élnek a másodikban a {c,b} él felel meg, egyik sincs összekötve. Végigvizsgálva az összes csúcspárt G 1 -ben, mindegyik G 2 -beli képe pontosan akkor lesz összekötve, ha az eredeti is össze van kötve. Ha két gráf izomorf, akkor át is rajzolhatom őket úgy, hogy ugyanúgy nézzenek ki, ahogy G 2 esetén is tettem. b 4
1.7. A legkisebb súlyú feszítőfa létrehozása 1.6. definíció. Az olyan egyszerű gráfokat nevezzük súlyozott gráfoknak, melynek minden éléhez egy pozitív számot rendelünk. A számot az él súlyának nevezzük, az összes él súlyának összegét a gráf súlyának nevezzük. 1.7. definíció. Egy n csúcsú súlyozott gráf súlymátrixának olyan n n-es mátrixot nevezünk, amelyben, ha i és j között él fut, akkor a mátrix ij-edik eleme, és természetesen ji-dik eleme is az él fokszáma. A többi esetben a mátrixelem végtelen. (Programban a végtelent egy olyan szám helyettesítheti, amely biztosan nagyobb a program által kezelt gráfok fokszámánál.) Algoritmus: Feladat: Legyen adott egy összefüggő súlyozott n-csúcsú G gráf például súlymátrix-szal. Keressük meg a minimális feszítőfáját, azaz azt a részgráfját, amely fa, és kisebb súlyú az ilyen fáknál. 1. A kezdőgráfunk legyen egy csúcsú él nélküli G gráf. A pont sorszámát válasszuk 1-nek. (Vagy bárminek 1 és n között.) Ezt a gráfot tekintsük a G részhalmazának. 2. Keressük meg, azokat az éleket a G gráfban, amelyek a G gráfból kivezetnek. Keressük meg ezek közül a minimális súlyút. (Ha több ilyen van, akkor válasszunk közülük.) Vegyük hozzá G -höz ezt az élt és a másik végpontját. 3. Ismételjük a 2. pontot, amíg G-t kifeszítő fát nem kapunk. Ez lesz a minimális súlyú feszítőfa. A fenti algoritmusban minden minimális helyett írhatunk maximálisat. 5
2. Halmazok A halmaz alapfogalom. Axiómák vannak rá, elég bonyolult. A középiskolai szintű halmazfogalom elegendő számunkra. Eszerint a halmaz adott, ha bármiről eldönthető, hogy hozzá tartozik-e vagy sem. Tehát a sorrend és a darabszám lényegtelen. {a,b} = {b,a} = {a,b,a} Megadás lehet felsorolással vagy a tulajdonságának megadásával. H = {1;5;7}, P = {x x prímszám}, A = {x x Z, 5 < x 7} A függőleges vonal előtt jelöljük, hogy mivel jelölöm a halmaz elemeit, utána pedig, hogy milyen feltételeket szabok rá ki. A dupla szárú jeleknek speciális jelentésük van, azok állandó jelölések, míg a sima nyomtatott nagybetűket tetszőleges halmazra használhatjuk egy feladatban, bizonyításban. Az egyre bővebb számhalmazok jelölései a következőek: Jel név pár eleme, ami az előzőben nincs benne N természetes számok 0; 1; 2;... Z egész számok 1; 2; 3;... Q racionális számok 1/2; 2/7; 7/3; 0,1 R valós számok 2; e; π C komplex számok 3 + 4i; 5i; lg( 1) A valós számokból ha kivesszük a racionális számokat, tehát azokat, amelyek felírhatóak két szám hányasdosaként, az irracionális számok halmazát kapjuk. Jele Q. R = Q Q, azaz Q = R \ Q Felső indexben gyakran használjuk a + és jeleket, amely arra utal, hogy a halmazt leszűkítjük a pozitív illetve negatív elemeire, hasznájuk továbbá a halmaz többszörösét, valamint halmazhoz szám hozzáadását: Jel név pár eleme N + = Z + pozitív egész számok 1; 2;... Z negatív egész számok 1; 2; 3;... R + pozitív valós számok 2; e; π 2Z páros számok...; 4; 2; 0; 2; 4;... 2Z + 1 páratlan számok...; 3; 1; 1; 3; 5;... 3Z + 1 hárommal osztva egy maradékúak...; 5; 2; 1; 4; 7;... A halmazokon általában három kétváltozós és egy egyváltozós műveletet szoktunk definiálni. Jel név A B unió két változós A B metszet két változós A \ B különbség két változós A (felülvonás) komplementer egy változós A komplementer akkor értelmezhető, ha adva van egy H alaphalmaz. Az A halmaz komplementere A tartalmazza ilyenkor azokat az elemeket, amelyek a H elemei, de A-nak nem. A = H \ A 6
A példatárból szükséges még ismerni a hatványhalmaz fogalmát, és a halmazokon értelmezett relációkat (,, =). 3. Relációk, számosság, algebrai struktúrák Definíciók, tételek A következő foglamak és tételek szükségesek pl. a példatár 5. és 19. oldaláról illetve a következő fejezetekből. Descartes-szorzat, reláció (bináris, homogén), homogén bináris reláció tulajdonságai (dichotóm, ha a R b és a R b közül egyik mindig teljesül). Részbenrendezés, teljes rendezés. Ekvivalenciareláció, ekvivalenciaosztályok Függvénytulajdonságok (szürjektív, injektív, bijektív) a osztója b-nek, a kongruens b-vel Kétváltozós művelet, tulajdonságai (asszociativitás, kommutativitás, idempotencia, disztributivitás) Félcsoport, csoport, Abel-csoport, gyűrű, test 3.1. Relációk 3.1. példa. Alább példákat mutatunk a később definiálandó kételemű (binér) relációkra. Számok között: =,,< osztó (a osztója b-nek) akár ez is lehet: a négyzetgyöke b-nek Egyenesek között: párhuzamos, metsző, kitérő Egyenes és sík között: az egyenest tartalmazza a sík az egyenes metszi a síkot az egyenes párhuzamos a síkkal Ember és település között: a település az ember szülőhelye 3.1. feladat. Határozzunk meg binér relációkat a következők között: két ember; két háromszög; determináns és valós szám; ember és egész szám, két egész szám. A relációk általános definíciójának megadásához a Descartes-szorzattal kell kezdenünk. 3.1. definíció. Rendezett n-esnek nevezzük az olyan felsorolásokat, ahol a felsorolt elemek sorrendje és száma lényeges. A felsorolt elemeket ilyenkor kerek zárójelbe tesszük. (1,2,3) (1,3,2) (1,3,2,2) 7
3.2. definíció. Legyenek H 1,...,H n halmazok. Ekkor a D = {(h 1,...,h n ) h i H i } halmazt a H i halmazok Descartes-szorzatának nevezzük és a H 1 H n kifejezéssel jelöljük. 3.2. példa. Legyen A = {1, 2} és legyen B = {a,b}. Ekkor a Descartes-szorzat A B = {(1,a),(1,b),(2,a),(1,b)}. 3.3. definíció. Legyen H 1 H n a H i (1 i n) halmazok Descartes-szorzata. Ekkor a R H 1 H n halmazt a H i halmazokon értelmezett relációnak nevezzük. 3.3. példa. Legyen A = B = {1, 2, 3}. Reláció-e ekkor R = {(a i,b i ) a i < b i és a i A valamint b i B}? Igen, mert R = {(1, 2),(1, 3),(2, 3)} A B. 3.4. példa. Legyen A = {Lánczos Kornél, Esterházy Péter, Neumann János, Csoóri Sándor}, T a magyar települések halmaza, E az évszámok halmaza, F a foglalkozások halmaza. Válogassunk ki úgy elemnégyeseket, amelynél az első tag ember A-ból van, a második az ember születési helye, a harmadik a sz. éve, a negyedik a foglalkozása. Ez reláció, mert része az A T E F halmaznak. (Lánczos Kornél, Székesfehérvár, 1893, fizikus) (Esterházy Péter, Csákvár, 1950, író) (Neumann János, Budapest, 1903, matematikus) (Csoóri Sándor, Zámoly, 1930, költő) (Csoóri Sándor, Zámoly, 1930, politikus) És ez már hasonlít egy szokványos relációs adatbázishoz, amelyről más tantárgyban esik szó. Ott tanulják meg, hogy az utolsó két sorban látható ismétlődésekhez hasonlóakat hogyan lehet csökkenteni egy adatbázisban. Az előbbi relációt 4-változósnak nevezzük, és általánosan definiálható az n-változós reláció. Minket a továbbiakban a kétváltozós reláció érdekel amit binér relációnak is nevezünk. 3.4. definíció. Egy relációt homogénnek nevezünk, ha a Descartes-szorzat tényezői mind azonos halmazok. 3.2. feladat. Adjuk meg a következők esetén, hogy hány változósak, és homogének-e. Pont illeszkedik az egyenesre. Egyenesek párhuzamossága. A valós számok a kisebb műveletre nézve. {(x, y,z) ahol egy virágnak x a latin neve, y a hivatalos magyar neve, z a szirmainak a száma} 8
3.2. Homogén binér relációk A A alakú szorzatok részhalmazai. Az ilyen relációt úgy szoktuk jelölni, hogy megadjuk az A alaphalmazt, és a rajta értelmezett reláció jelét egy rendezett párban. Például (R, ) A homogén binér relációkat a következő tulajdonságok szerint csoportosíthatjuk: 3.5. definíció. Az alábbiakban R az A halmaz feletti R homogén binér reláció, a, b és c tetszőleges elemei az A-nak (azaz bárhogy is választjuk ezeket A-ból, a tulajdonság feltételének mindig teljesülniük kell). 1. Reflexív: ara 2. (a) Szimmetrikus: Ha arb akkor bra. (b) Antiszimmetrikus: Ha arb és bra akkor a = b. 3. Tranzitív: Ha arb és brc, akkor arc. 4. Dichotóm: arb és bra közül legalább egyik teljesül. Elnevezés Ekvivalenciareláció Rendezés vagy félig-rendezés Teljes rendezés definíció reflexív, szimmetrikus és tranzitív reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív és dichotóm 3.6. definíció. Legyenek a és b egész számok. Azt mondjuk, hogy a osztója b-nek, ha van olyan c Z, melyre a c = b. Jelölése: a b. Azt mondjuk, hogy a kongruens b mod m, ha m (a b) (azaz azonos maradékot adnak m-mel való osztáskor). Jelölése a b mod m vagy tömörebben a m b. 3.7. definíció. Két halmazt diszjunktnak nevezünk, ha nincs közös elemük (azaz metszetük üres). Egy halmaz diszjunkt felbontásán olyan H 1, H 2...H n halmazokból álló halmazt értünk, melyre H i H j = bármely olyan i és j pár esetén, melyek nem egyenlőek, és az összes halmaz uniója a H halmazt adja. 3.1. tétel. Bármely (H, R) H halmaz feletti R ekvivalenciareláció esetén a H halmaznak létezik H 1, H 2...H n diszjunkt felbontása, melyre 1. arb ha a és b ugyanabban a H i halmazban találhatóak 2. a és b ugyanabban a H i halmazban találhatóak, akkor arb Ezt a felbontást a H halmaz R ekvivalencia-reláció szerinti ekvivalenciaosztályainak nevezzük. A m kongruenciához tartozó ekvivalenciaosztályokat gyakran egyszerűen és kissé pongyolán a 0, 1,... m 1 számokkal jelöljük. Nyilván az adott szám jelöli azt az ekvivalenciaosztályt, amelybe az adott szám tartozik. 9
3.3. Függvények A már megszokott függvényeket most a relációkból származtatjuk úgy, hogy elhagyjuk a többértékű függvényeket : egy értékhez csak egy másikat rendelhet a függvény. Például a négyzetgyök függvénynél csak a nemnegatív értéket hagyom meg. A továbbiakban a relációknál megszokott R jelölés helyett a függvényekhez jobban illeszkedő f jelölést használjuk. 3.8. definíció. Az olyan nem feltétlenül homogén, de binér relációkat nevezzük függvényeknek, amelyben egy elem csak egyszer lehet a reláció bal oldalán. Másképpen fogalmazva, ahol a f b és a f c csak akkor teljesülhet, ha b = c. A függvényeknél az a f b jelölés helyett f (a) = b jelölésmódot vezetünk be. Az f (x) = y esetén azt mondjuk, hogy f az x változóhoz az y-t rendeli, vagy másképp, az x képe y. Egy f függvény esetén a zárójelben szereplő elemek halmazát a függvény értelmezési tartományának nevezzük és D f -el jelöljük. (Angolul domain of f.) Egy f függvény esetén a képként fellépő elemek elemek halmazát a függvény értékkészletének nevezzük és R f -el jelöljük. (Angolul range of f.) Ha egy f függvény az A B Descartes-szorzatból származik és D f = A, akkor a függvényt A B típusúnak nevezzük és így jelöljük ezt: f : A B Egy f : A B függvényt bijekciónak (vagy kölcsönösen egyértelmű függvénynek) nevezünk, ha minden elem egyszer lép fel képként. Kissé precízebben: ha f (a) = b és f (c) = b csak akkor teljesülhet, ha a = c. és B a függvény értékkészlete (nem bővebb annál). 3.4. Halmazok számossága A halmazok egyenlőségének definíciója azon a nyilvánvaló tényen alapul, hogyha egy katonai táborban minden katona felül egy lóra és nem marad üres ló, akkor ugyanannyi a lovak és katonák száma. A pontos definíció azonban a végtelen számosságú halmazok szövevényes világában is alkalmazható. Érdemes tudatosítani, hogy míg a számok határértékeként csak egyféle pozitív végtelen szerepel, addig a halmazok számosságában többféle. 3.9. definíció. A és B halmazokat egyenlő számosságúnak nevezzük, ha létezik közöttük f : A B bijekció. Jele: A = B. Egy A halmaz számossága A = n Z +, ha A = {1,2,...,n}. Ha van ilyen n, vagy üres halmaz esetén a halmazt véges halmaznak nevezzük (az üres halmaz számossága 0). 3.10. definíció. A természetes számok számosságát megszámlálhatóan végtelen számosságnak nevezzük. 3.2. tétel. Az egész számok, a páros számok, a prímszámok és a racionális számok számossága is megszámlálhatóan végtelen. N = {páros számok} bizonyítása: az n 2n bijekció létezik a két halmaz között. N = Q bizonyítása kell. Lásd Példatár 1.3.1. c) megoldása. 10
3.3. tétel. A valós számok számossága nagyobb, mint megszámlálhatóan végtelen. Ezt kontinuum számosságnak nevezzük. 3.11. definíció. Halmaz hatványhalmaza: az összes részhalmazaiból álló halmaz. Az A halmaz hatványhalmazásnak jelölése P(A) vagy 2 A. 3.5. példa. P({a,b}) = { ;{a};{b};{a,b}}. 3.4. tétel. Egy n elemű halmaz hatványhalmaza 2 n elemű. 3.5. tétel. Minden halmaz hatványhalmaza nagyobb számosságú az eredeti halmaznál. 3.5. Absztrakt algebra Az absztrakt algebrában az a célunk, hogy a mveletek tulajdonságaiból származó következményeket egyszerre tárjuk fel különböző matematikai objektumok esetén. Nem érdemes ugyanis ugyanazt külön bizonyítani számokra, mátrixokra, vektorokra és más pl. a kvantummechanikában szükséges bonyolultabb struktúrákra, érdemesebb ezeket egyszerre kezelni. n-változós művelet Algebrai struktúra 3.6. Egyműveletes struktúrák 3.12. definíció. Félcsoportnak nevezünk egy halmazt egy műveletre nézve, ha a művelet 1. nem vezet ki soha a halmazból, 2. a művelet asszociatív a halmaz felett, azaz bármely a,b,c G elemek esetén (a b) c = a (b c). Azaz mindegy melyik melyik művelete végzem el előbb, ugyanazt kapom. Példák: a valós számok az osztásra nézve (R,/) zárt, az egész számok az osztásra nézve (Z,/) nem az, mert ott például a 3/2 kivezet a számhalmazból. 3.13. definíció. Egy (G, ) félcsoportot csoportnak nevezünk, ha 3. létezik egységeleme, azaz olyan e G melyre bármely G-beli a elem esetén e a = a e = a. Azaz van olyan elem, amivel a halmaz bármely másik elemét megszorozva ármelyik oldalról, azt a másik elemet kapjuk vissza. 4. minden G-beli a elemnek létezik (a 1 -nel jelölt) inverzeleme, melyre a 1 a = a a 1 = e. 3.14. definíció. Egy (G, ) csoportot Kommutatív csoportnak vagy Abel-csoportnak nevezünk, ha a művelet kommutatív a csoport felett, azaz bármely G-beli a és b esetén a b = b a. 11
Niels Henrik Abel norvég matematikusról matematikai díjat is neveztek el. A díjat odaítélő öt fős nemzetközi bizottság tagja volt 2004 és 2006 között a jelenleg élő egyik legnagyobb magyar matematikusunk, Lovász László is. 3.3. feladat. Mi lesz a valós számok körében egy szám inverze, ha a művelet az összeadás, és mi lesz, ha a művelet a szorzás? Nézzük meg, hogy a természetes, egész, racionális, valós és komplex számok körében az összeadás illetve a szorzás művelettel csoportot, Abel-csoportot alkotnak-e? Csoportot alkotnak-e a sík adott pont körüli elforgatásai? Ha igen, mi lesz az egységelem és egy adott forgatás inverze? Hogyan definiálhatnánk a kivonást és az osztást az összeadás és szorzás segítségével? Gondoljunk az inverzelemekre. És egy nehezebb kérdés: Vajon miért csak az utóbbi kettő alapművelet tulajdonságait vizsgáljuk a számok esetében? 3.7. Kétműveletes struktúrák Ezt még sajnos a feladatgyűjteményből kell megnézni. gyűrű, test 3.6. tétel. Az alábbi fontosabb algebrai struktúrákat érdemes ismerni: (Z, +, ) gyűrű (Q, +, ) test (R, +, ) test (C, +, ) test Megjegyzések a feladatmegoldáshoz és mintafeladatok Gyakori feladat, hogy valamely véges halmaz feletti struktúrát műveleti táblázattal (kétműveletesnél két táblázattal) adunk meg, és meg kell állapítani, hogy milyen algebrai struktúrát alkot a halmaz az adott egy vagy két műveletre. Általában az asszociativitás megállapítása a legnehezebb, ezért általában meg szoktuk adni a feladatban, hogy asszociatív a művelet a halmazon. A további tulajdonságok esetén indokolni kell, hogy miért mondjuk. Egységelem esetén meg kell adni, hogy a struktúra melyik eleme az. Ha minden elemnek van inverzeleme, akkor azokat meg kell adni. A kommutativitást is indokolni kell (a táblázat szimmetrikus a főátlóra). 1.2.23.; 1.2.26.; (1.3.1. megérteni a megoldást); 1.3.2. a) b) 4.1.2.; (4.2.1. és 4.2.1.) b) e) h); 4.2.4. a) f); 4.2.5.; 4.2.6; 4.3.1; 4.3.3; 4.3.6. a) c) Döntsük el, hogy igaz-e az alábbi állítás. Válaszunkat indokoljuk! 1. Van olyan halmaz, amelynek számossága egyezik valamely valódi részhalmazásnak számosságával. 12
4. Beadandó feladatok 2a) Halmazok, relációk 4.1. feladat. 1.3.2. b) (részletezve, szöveges magyarázattal) 4.2. feladat. Legyen H = P({0; 1; 2}) halmaz a {0; 1; 2} halmaz hatványhalmaza, Igaz-e az efelett értelmezett részhalmaz relációra, hogy a) kétváltozós b) reflexiv c) szimmetrikus d) antiszimmetrikus e) tranzitív f) dichotóm? Ezek alapján milyen típusú reláció? 4.3. feladat. Ugyanilyen módon vizsgáljuk meg a valós számok felett értelmezett < relációt és a feljebb definiált mod 3 maradékosztályokon értelmezett m kongruenciát. 4.4. feladat. Írjuk fel H = P({0; 1; 2; 3}) hatványhalmazt elemeinek felsorolásával. Hány eleme van? 4.5. feladat. Döntsük el, hogy igazak-e az alábbi állítások. Válaszunkat indokoljuk! (Nemleges válasz esetén általában ellenpéldával indokolhatunk.) 1. Minden rendezés teljes rendezés. 2. A mod 5 kongruenciareláció ekvivalenciareláció. 3. Van a komplex számok halmazáénál nagyobb számosság. 5. Beadandó feladatok 2b) Absztrakt algebra 5.1. feladat. Döntsük el, hogy igazak-e az alábbi állítások. Válaszunkat indokoljuk! (Nemleges válasz esetén általában ellenpéldával indokolhatunk.) 1. A valós számok a szorzásra nézve Abel-csoportot alkotnak. 2. Az adott pont körüli elforgatások csoportot alkotnak a két forgatás egymás utáni végzésére nézve. (Jelöljük az indoklásban az α szögű elforgatást f α jellel, a forgatások egymás utáni végzését művelettel ( f α f β ). 5.2. feladat. Határozza meg, milyen algebrai struktúrát alkot az {a; b; c; d} halmaz az alábbi műveletre nézve. Az asszociativitás teljesül, azt nem kell vizsgálni. (Ha van, meg kell adni a neutrális elemet és az inverzeket is, nem elég megállapítani, hogy létezik.) a b c d a a b c d b b a d c c c d b a d d c a b 5.3. feladat. Határozza meg, milyen algebrai struktúrát alkot az ({0;1;2;3},+, ). Az asszociativitás mindkét műveletre teljesül, azt nem kell vizsgálni. A disztributivitás is teljesül, egy példán ellenőrizzük. (Ha van, meg kell adni a neutrális elemeket és az inverzeket is, nem elég megállapítani, hogy létezik.) + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Határozzuk meg (2 + 3) (3 + 3) értékét! 13
5.4. feladat. Milyen algebrai struktúrát alkotnak a reguláris mátrixok a mátrixszorzás műveletére nézve? (Reguláris mátrixok azok a négyzetes (n n-es) mátrixok, amelyeknek nem nulla a determinánsuk.) 5.5. feladat. A mod 5 maradékoszályokra írjuk fel a szorzás és az összeadás műveleti tábláját. ({0;1;2;3;4}, 5, 5 ) milyen algebrai struktúrát alkot? 5, 5 az összeadás és szorzás maradéka öttel való osztás után. 14
6. Formális nyelvek, automaták A formális nyelvek rész egy külön Formális nyelvek és automaták segédletben találhatóak. Az ott látható követelményrendszer más tárgyra vonatkozik, Számítástudományhoz csupán az ott látható elméleti anyag és a feladatok kellenek. 7. Beadandó feladatok 3. Formális nyelvek és absztrakt automaták A Formális nyelvek segédletben található feladatok. 15
Tartalomjegyzék 1. Gráfelmélet 2 1.1. Mintafeladatok............................ 2 1.2. Beadandó feladatok 1......................... 2 1.3. Alapfogalmak............................. 3 1.4. Fák................................... 3 1.4.1. Három fákkal kapcsolatos algoritmus........... 3 1.5. A Prüfer-kód előállítása....................... 4 1.6. A Prüfer-kódból a fa visszaállítása................. 4 1.7. A legkisebb súlyú feszítőfa létrehozása............... 5 2. Halmazok 6 3. Relációk, számosság, algebrai struktúrák Definíciók, tételek 7 3.1. Relációk................................ 7 3.2. Homogén binér relációk....................... 9 3.3. Függvények.............................. 10 3.4. Halmazok számossága........................ 10 3.5. Absztrakt algebra........................... 11 3.6. Egyműveletes struktúrák....................... 11 3.7. Kétműveletes struktúrák....................... 12 4. Beadandó feladatok 2a) Halmazok, relációk 13 5. Beadandó feladatok 2b) Absztrakt algebra 13 6. Formális nyelvek, automaták 15 7. Beadandó feladatok 3. Formális nyelvek és absztrakt automaták 15 16