Tartalomjegyzék 1 Bevezetés Történelmi áttekintés Szabadalomkutatás A forgattyús hajtómű rezgését leíró egyenletek

Tartalomjegyzék 1 Bevezetés...6 2 Történelmi áttekintés...6 3 Szabadalomkutatás...8 4 A forgattyús hajtómű rezgését leíró egyenletek... 17 4.1 Erőhatás... 17 4.1.1 Kiegyensúlyozás... 17 4.1.2 A szerkezetre ható erők... 18 4.1.3 számítása... 19 4.2 Kiegyensúlyozás... 23 4.3 Nyomatéki hatás... 30 4.3.1 A hajtókar... 30 4.3.2 Helyettesítve két tömegponttal... 30 4.3.3 Általános eset... 31 4.3.4 számolása... 33 5 A függvény, változó szögsebesség mellett... 36 5.1 Az erőhatás alakulása... 36 5.2 A nyomatéki hatás alakulása... 37 6 Matlab Simulink blokkvázlat... 39 7 Egy dugattyús kompresszor vizsgálata... 40 7.1 Változtatható paraméterek... 41 7.2 Számolt paraméterek... 42 8 Következtetések... 44 8.1 r/l érték változtatása... 44 8.2 m 0 tömeg változtatása... 44 8.3 m a tömeg változása... 44 8.4 m b tömeg változása... 44 8.5 ω változtatása... 44 8.6 a,b távolság változása... 44 8.7 m 2 tömeg változása... 45 8.8 Kiegyensúlyozás... 45 9 Első eset... 45 10 Második eset... 45 11 Harmadik eset... 45 1

12 Optimális forgattyús hajtómű... 45 13 Irodalomjegyzék... 46 14 Melléklet... 47 14.1 r/l viszony változtatásának hatása a rendszerre... 47 14.1.1 Az Fx erő... 47 14.1.2 Az Fy erő... 47 14.1.3 Fx erő első felharmónikusa... 48 14.1.4 Fx erő második felharmónikusa... 49 14.1.5 Fx erő első kiegyensúlyozás... 49 14.1.6 Fy erő első kiegyensúlyozás... 50 14.1.7 Fx erő második kiegyensúlyozás... 51 14.1.8 Fy erő második kiegyensúlyozás... 51 14.1.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás... 52 14.1.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás... 53 14.1.11 Mz nyomaték... 53 14.1.12 Mz nyomaték első felharmónikusa... 54 14.1.13 Mz nyomaték második felharmónikusa... 55 14.1.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa... 55 14.2 m 0 tömeg változtatása... 56 14.2.1 Az Fx erő... 56 14.2.2 Az Fy erő... 57 14.2.3 Fx erő első felharmónikusa... 57 14.2.4 Fx erő második felharmónikusa... 58 14.2.5 Fx erő első kiegyensúlyozás... 59 14.2.6 Fy erő első kiegyensúlyozás... 59 14.2.7 Fx erő második kiegyensúlyozás... 60 14.2.8 Fy erő második kiegyensúlyozás... 61 14.2.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás... 61 14.2.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás... 62 14.2.11 Mz nyomaték... 63 14.2.12 Mz nyomaték első felharmónikusa... 63 14.2.13 Mz nyomaték második felharmónikusa... 64 14.2.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa... 65 14.3 ma tömeg változtatása... 66 2

14.3.1 Az Fx erő... 66 14.3.2 Az Fy erő... 66 14.3.3 Fx erő első felharmónikusa... 67 14.3.4 Fx erő második felharmónikusa... 68 14.3.5 Fx erő első kiegyensúlyozás... 68 14.3.6 Fy erő első kiegyensúlyozás... 69 14.3.7 Fx erő második kiegyensúlyozás... 70 14.3.8 Fy erő második kiegyensúlyozás... 70 14.3.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás... 71 14.3.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás... 72 14.3.11 Mz nyomaték... 72 14.3.12 Mz nyomaték első felharmónikusa... 73 14.3.13 Mz nyomaték második felharmónikusa... 74 14.3.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa... 74 14.4 mb tömeg változtatása... 75 14.4.1 Az Fx erő... 75 14.4.2 Az Fy erő... 76 14.4.3 Fx erő első felharmónikusa... 76 14.4.4 Fx erő második felharmónikusa... 77 14.4.5 Fx erő első kiegyensúlyozás... 78 14.4.6 Fy erő első kiegyensúlyozás... 78 14.4.7 Fx erő második kiegyensúlyozás... 79 14.4.8 Fy erő második kiegyensúlyozás... 80 14.4.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás... 80 14.4.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás... 81 14.4.11 Mz nyomaték... 82 14.4.12 Mz nyomaték első felharmónikusa... 82 14.4.13 Mz nyomaték második felharmónikusa... 83 14.4.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa... 84 14.5 ω változtatása... 85 14.5.1 Az Fx erő... 85 14.5.2 Az Fy erő... 85 14.5.3 Fx erő első felharmónikusa... 86 14.5.4 Fx erő második felharmónikusa... 87 3

14.5.5 Fx erő első kiegyensúlyozás... 87 14.5.6 Fy erő első kiegyensúlyozás... 88 14.5.7 Fx erő második kiegyensúlyozás... 89 14.5.8 y erő második kiegyensúlyozás... 89 14.5.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás... 90 14.5.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás... 91 14.5.11 Mz nyomaték... 91 14.5.12 Mz nyomaték első felharmónikusa... 92 14.5.13 Mz nyomaték második felharmónikusa... 93 14.5.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa... 93 14.6 a, b súlyponti távolságpár változtatása... 94 14.6.1 Az Fx erő... 94 14.6.2 Az Fy erő... 95 14.6.3 Fx erő első felharmónikusa... 95 14.6.4 Fx erő második felharmónikusa... 96 14.6.5 Fx erő első kiegyensúlyozás... 97 14.6.6 Fy erő első kiegyensúlyozás... 97 14.6.7 Fx erő második kiegyensúlyozás... 98 14.6.8 Fy erő második kiegyensúlyozás... 99 14.6.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás... 99 14.6.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás... 100 14.6.11 Mz nyomaték... 101 14.6.12 Mz nyomaték első felharmónikusa... 101 14.6.13 Mz nyomaték második felharmónikusa... 102 14.6.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa... 103 14.7 m2 tömeg változtatása... 104 14.7.1 Az Fx erő... 104 14.7.2 Az Fy erő... 104 14.7.3 Fx erő első felharmónikusa... 105 14.7.4 Fx erő második felharmónikusa... 106 14.7.5 Fx erő első kiegyensúlyozás... 106 14.7.6 Fy erő első kiegyensúlyozás... 107 14.7.7 Fx erő második kiegyensúlyozás... 108 14.7.8 Fy erő második kiegyensúlyozás... 108 4

14.7.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás... 109 14.7.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás... 110 14.7.11 Mz nyomaték... 110 14.7.12 Mz nyomaték első felharmónikusa... 111 14.7.13 Mz nyomaték második felharmónikusa... 112 14.7.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa... 112 5

1 Bevezetés A tanulmányon keresztül feltérképezzük a forgattyús mechanizmus dinamikus erőviszonyait és felépítünk egy modellt, amely leírja a szerkezet mozgását. A szerkezetet első körben állandó szögsebesség mellett vizsgáljuk, majd megnézzük, milyen dinamikus változásokat kapunk, mikor nem állandó a szögsebesség. Erre a feladatra használjuk a Matlab Simulink programot. Itt blokkvázlatként írjuk fel a kapott egyenleteket és a program ezek segítségével számolja ki az eredményeket. Az eredményeket ábrázoljuk a program segítségével. A mai korszerű számítógépes technológia segítségével nagyon komplex egyenletek is könnyen ábrázolhatóak. Ezek segítségével nagyon gyorsan végezhetőek eredményértékelések. Először nyitott hengerű mechanizmust vizsgálunk, majd megnézzük, hogy milyen erők hatnak a dugattyúra kompresszor esetén. A mechanizmus vizsgálata lehetőséget ad egy optimális forgattyús mechanizmus tervezéséhez, amikor is változtathatjuk az állandó tervezhető paramétereket és ezekkel befolyásolhatjuk a szerkezet rezgéseit, dinamikus változását. Megvizsgáljuk a szerkezet viselkedését, azon paraméterek változtatásai mellett és következtetéseket vonunk le a kapott eredményekből. A később látható diagramok nagyon szépen szemléltetik a forgattyús mechanizmus viselkedését állandó szögsebesség mellett. 2 Történelmi áttekintés A forgattyús mechanizmus gépben történő alkalmazásakor vagy körmozgást veszünk le az egyik oldalról vagy ingázó mozgást veszünk le egy eszköz működtetéséhez. Az első forgattyús szerkezetek karral alkottak igazi forgattyús mechanizmust. Ilyenek volt a keltibér Spanyolországban talált kézi malom excentrikusan elhelyezett forgattyúja, amely i.e. 5. századra tehető.[5.][6.][7.] A forgattyús mechanizmus gépben való alkalmazása a 3. század környékén történhetett először a késő római hiaropolisi fűrészmalom szolgáltat erre bizonyítékot.[5.][6.] 1. ábra A hiaropolisi fűrészmalom A 9. század elejéből származó karolin kézirat, az Utrechti Psalterium egy köszörűkorong forgatására szolgált.[4.][5.][6.] Néhány forgattyús mechanizmus meg- 6

jelenik a Banū Mūsā testvérek Jeles találmányok című könyvében, amit a 9. század közepén írtak.[5.] Al-Jazari (1136-1206) arab tudós forgattyús hajtóművet vázolt két vízemelő berendezésnél is.[5.][6.][8.] Guido da Vigevano (1280-1349) olasz tudós egy olyan hajót illusztrált, melynek lapátkerekét kézi forgattyúval hajtották, és egy harci járművet, melyet szintén kézi forgattyúval hajtottak fogaskerekes áttételeken keresztül.[6.][7.] A forgattyús hajtómű használata a 15. században terjedt el Európában.[5.][6.] Konrad Kyeser harcászati eszközök mérnöke, aki Német származású gyakran alkalmazta munkáiban ezt a mechanizmust.[5.][6.][7.][8.] Az olasz Roberto Valturio 1463-ban tervezett egy csonakot 5 üléssel, ahol mindegyik forgattyú kapcsolódott egy közös hajtórúdhoz.[6.] A 16. században Agostimo Ramelli The Drives and Artifactitious Machines 1588című műve 18 példát tartalmazott. Georg Andreas Böckler Theatrum Machinarum Novum műve 45 különböző találmányban használ forgattyús mechanizmust.[6.] Gőzgépeknél először James Pickard alkalmazta a forgattyús mechanizmust 1779-ben. Ez volt az első gőzgép, amely forgómozgást hozott létre.[5.][6.] Ezek után kezdték el használni a forgattyús mechanizmus előnyeit különböző területeken (varrógépek, fonógépek, szövőgépek, szivattyúk, motorok, stb.) 1860 Etine Lenoir 2 ütemű működőképes világítógáz hajtású motor.[9.] 1862 Alphonse Eugene Beau derochas világítógáz helyett folyadék üzemanyagot használt, megszűnt a helyhez kötöttség.[9.] 1867 Nicolaus August Otto 4 ütemű Működőképes világítógáz hajtású motor.[9.] 1873 Reitmann gázmotor.[9.] 2. ábra Szelepvezérlésű 4 ütemű Otto motor 1879 Benz az első gépkocsi.[9.] 1893 Bánki Donát, Csonka János a porlasztó kivitelezése, a hatásfok ugrásszerű növekedése.[9.] 1897 Rudolf Diesel diesel motor.[9.] 7

1900 Wright fivérek a repülés kezdete. Az I. világháború nagy húzóereje volt a repülés fejlődésének.[9.] 1921 Hibridmotor kialakulása Owen Magnetic Model 60[10.] 3. ábra Owen Magnetic Model 60 1995 Daimler gáz és benzinmotor.[9.] 3 Szabadalomkutatás 434143 Steam engine (1890.aug.12.) 4. ábra Gőzgép Ez a szabadalom a gőzgép vezérlésére irányul, úgy hogy a vezérlő szelepek vezérlése a főtengelyfordulatához vannak kötve. Vagyis a szelepek vezérlései a főtengely szög elfordulásától függenek. Továbbá az is megfigyelhető, hogy ez egy radiális dugattyús gőzgép. 8

464206 Oscillating steam engine (1891.dec.1.) 5. ábra Ingó gőzgép Ebben a fejlesztésben a gőzgép képes előre és visszafelé is beindulni, úgy hogy nem teszi tönkre a gép alkatrészeit. A henger képes egy ingó mozgásra, így követi a hajtókar mozgását és mindig párhuzamos marad arra. 544214 Gas engine (1895.aug.6.) 6. ábra Gázmotor Itt egy fejlesztést láthatunk a gázmotor kezdetéhez. Ezt a berendezést a szószerinti fordításban robbanó elegyekkel így gázzal is hajthatjuk és a kor akkori lehetőségeihez mérten a leg korszerűbb alkatrészekkel van megtervezve. 9

563821 Bicycle crank (1896.jul.14.) 7. ábra Bicikli hajtókar Ez a szabadalom a hajtás visszafelé történő ütemét próbálja lerövidíteni. A kerékpár hajtása a lábbal együtt egy forgattyús mechanizmust eredményez, úgy mintha a térd lenne a dugattyú. 713367 Internal combustion engine (1902.nov.11) 8. ábra Belsőégésű motor Ez egy kéthengeres belsőégésű motor szabadalma, amelyben egy szelep vezérli a ki és beáramlást az akkor még olaj keverékkel dolgozó motorban. 10

1018532 Internal combustion engine (1912.feb.27.) 9. ábra Belsőégésű motor Itt egy másik tengelyt hajt meg a főtengely és ez a tengely vezérli a szelepeket, melyek hatására ömlik be az üzemanyag vagy nyílik meg a szellőzés. 1205895 Engine crank movement (1916.nov.21.) 10. ábra A szerkezet Ebben a szabadalomban próbáltak kialakítani egy tökéletesebb energiaátvitelt az energia veszteségek csökkentését, a könnyebb futást és a rezgések kiküszöbölését. A hajtórúd ebben a szabadalomban mindig párhuzamos a henger falára. Egy lineáris mozgást végző mechanizmus követi a forgó mozgásból adódó kapcsolódási pont változását. 11

1931401 Eight cylinder radial motor (1933.okt.17.) 11. ábra Csillagmotor Ebben a szabadalomban a főtengelyre radiálisan helyezték el a hengereket és a szelepek egy vezérműtengelyen keresztül vannak meghajtva. 2680427 V type engine (1954.jun.8.) 12. ábra V típusú motor henger elhelyezése Ebben a tételben egy V motort próbálnak meg tervezni. Meghatározzák, hogy mely szög lesz az optimális dőlési szög a hengerek között. Idézve a szerzőt talán egy kiegyensúlyozott motort érhetünk el. 12

2877663 Radial engine master crank pin bearing assembly (1959.mar.17.) 13. ábra Az összeállítás Ez az újítás egy 4 ütemű radiális motorról szól, amelyben az újítás a főtengely és a tűgörgős csapágy összeállítása. Az írás megmondja azt is, hogy ha a hengerek páratlan számúak, akkor könnyebb a karbantartás. 4212163 Heat engine (1980.jul.15.) 14. ábra Hő motor Ez egy hő motor, amelyik eléget gáz vagy folyadék üzemanyagot az égéstérben, majd az energia meghajtja a dugattyút és mechanikai munka keletkezik. Az a szög intervallum, amikor mindkét szelep nyitva van fordítottan arányos a nyomással. Ebben a témában a klasszikus Joule körfolyamatot akarják elérni ezzel a szerkezettel. 13

4517933 Crank shaft of V type internal combustion engine (1985.máj.21.) 15. ábra V típusú belsőégésű motor Ez a szabadalom egy V típusú motorral foglalkozik, ahol néhány erőhatás ki van küszöbölve a főtengelyen lévő forgó tömeggel (lendítőkerék). Az első és második henger V formát alkot a motorblokkon, amelyekben egy-egy dugattyú mozog. A szelepek egy szelepvezérlő tengely segítségével vannak irányítva, amely tengely össze van kötve a főtengellyel. 4899705 Trammel crank engine (1990.feb.13.) 16. ábra Bolondok malma típusú motor Ez az újítás egy magyar nyelven úgynevezett bolondok malma mechanizmussal működik. A dugattyú fel-le mozgása közben, két szánvezeték mozog és irányítja a folyamatot. A motor szelepei a főtengelyhez csatlakoztatott vezértengellyel vannak irányítva. 14

4953531 Crank angle detector for an engine (1990.szep.4.) 17. ábra A detektor felépítése Itt egy újítást láthatunk a főtengely szöghelyzetének meghatározására, mialatt a motor magas fordulatszámmal mozog. Így számolható a motor sebessége és fordulatszáma is. A kiálló tagok a forgó korongok referencia pontjai, melyeket szenzorok érzékelnek. Attól függően tudjuk meghatározni a főtengely szög pozícióját, hogy mikor melyik szenzor jelez. 5025673 Crank case of engine for motor-bicycle (1991.jun.25.) 18. ábra A motor ábrája Ezen a fejlesztésen a motor házában változtattak, mégpedig elkülönítették az erőátvitelt a váltótértől, így ez egy külön erre a célra kialakított térben helyezkedik el. 15

5297448 Crank mechanism (1994.már.29.) 19. ábra A mechanizmus Ebben az újításban az a figyelemre méltó, hogy nincsen tangenciális erőkomponens a forgattyú körmozgásban. 6202622 Crank system for internal combustion engine (2001.már.20.) 20. ábra A hajtóka Itt az energia maximális kihasználására törekednek. Mivel a felső holtpontban kap nyomást a szerkezet, így egy egyenes hajtórúddal ki tudjuk küszöbölni a tangenciális energiaveszteségeket. 16

4 A forgattyús hajtómű rezgését leíró egyenletek A forgattyús hajtómű egyenleteinek ábrázolása érdekében állandó paramétereket voltunk kénytelenek felvenni. Az állandó paraméterek változtatásával elérhetünk egy optimális hajtóműhez. A paramétereket az alábbi táblázat tartalmazza. Meg kell jegyezni, hogy az ω szögsebességet csak akkor használjuk mikor állandó ez a paraméter. A főtengely és a hajtókar helyettesített tömege A hajtókar és a hajtórúd helyettesített tömege A hajtórúd és a dugattyú helyettesített tömege m o =0.7kg m a =0.5kg m b =0.5kg A hajtókar hossza A hajtórúd hossza A főtengely szögsebessége r=0.04m l=0.12m ω=20 1/s A hajtórúd súlyponttól mért távolsága a hajtókar felé A hajtórúd súlyponttól mért távolság a dugattyú felé A hajtórúd tömege a=0.05m b=0.07m m 2 =0.4kg 4.1 Erőhatás 4.1.1 Kiegyensúlyozás 21. ábra A szerkezet vázlatos felépítése 21. ábraábrán láthatjuk a tömegek eloszlását a szerkezeten. A hajtórúd, a hajtókar, a főtengely és a dugattyú tömegeit redukáljuk, azokhoz a középpontokhoz, ahol az alkatrészek egymáson elmozdulnak. Így kapjuk az (1), (2), (3), (4), (5), (6) egyenleteket. 17 (1)

(2) (3) (4) (5) (6) 4.1.2 A szerkezetre ható erők 22. ábra Az erők felírása 22. ábraábrán látható a szerkezetre ható dinamikai erők, melyekkel meghatározható a főtengelyre és azon keresztül a csapágyakra ható erők változása az idő függvényében. A számítást ω 1 = állandó esetben számoljuk, a dugattyú lefelé mozog és a dugattyúra semmilyen erő nem hat, vagyis nem egyenes mozgásból készítünk forgó mozgást, hanem forgó mozgást alakítunk át egyenes alternáló mozgássá. Első lépésben felírjuk az erő egyenletet. A következőkben összevonjuk az m a és r, majd az m b és r állandókat, hogy a későbbi egyenletünk egyszerűbben áttekinthető és értelmezhető legyen. (7) (8) (9) 18

(10) Az összevonás után az alábbi egyenleteket kapjuk (11), (12), melyekből látható, hogy az számítása szükséges a megoldáshoz. (11) (12) 4.1.3 számítása φ β 23. ábra A szerkezet paramétereinek definiálása Az vagyis a gyorsulás x összetevőjének meghatározásához szükségünk van az x vagyis az út függvény meghatározására az időben. Első lépésben az x függvényt a hajtókar szögelfordulásából és hosszából, a hajtórúd szögelfordulásából és hosszából határozzuk meg. A probléma az, hogy két ismeretlen szög van a függvényünkben. Ennek kiküszöbölése érdekében meghatározzuk a cosβ kifejezést a φ függvényében. (13) (14) (15) (16) 19 (17)

A Taylor sort alkalmazva a fenti problémára, kapjuk a (20) egyenletet, melyben csak a Taylor sor harmadik tagjáig alkalmazzuk az egyenletet. A többi tagot elhanyagoljuk azzal az indokkal, hogy nagyon kis mértékben befolyásolná a rendszerünket. (18) (19) A (20) egyenletben látható, hogy szinuszos φ értékek szerepelnek, holott a (13) kezdeti egyenletünkben koszinuszos φ érték szerepel. Ahhoz, hogy számolható megoldáshoz jussunk meg kell határozni a (20) egyenlet koszinuszos megfelelőjét. (20) (21) (22) 18cos4 (23) (24) A (13) egyenletből kifejezhető idő szerint megkapjuk az.. Majd ezt a képletet kétszer deriválva az Ebbe az egyenletbe behelyettesítve a kapott koszinuszos összefüggést kapjuk a (26) egyenletet. (25) (26) (27) 20

(28) Majd ezt a képletet kétszer deriválva az idő szerint megkapjuk az. (29) (30) A kapott eredményt behelyettesítve a (11) egyenletbe, megkapjuk a főtengelyre ható dinamikus erőt az idő függvényében. (31) (32) (33) (34) 24. ábra Az Fx erő 21

25. ábra Az Fy erő 26. ábra az Fx erő első felharmonikusa 27. ábra Az Fx erő második felharmonikusa 22

4.2 Kiegyensúlyozás Ebben a fejezetben csökkenteni akarjuk a szerkezet rezgését és optimalizálni azt. Egy tömeg szerkezethez való csatolása segíthet megoldani a problémát. Ezt egy m r kifejezéssel meg is tudjuk tenni, ha egyenlővé tesszük egy bizonyos értékkel. Ezeket az értékeket a következőkben határozzuk meg. 28. ábra A kiegyensúlyozás paraméterei (35) (36) Lehetőségek: Első lehetőség: (37) (38) (39) Második lehetőség: (40) (41) (42) Harmadik lehetőség: (43) (44) (45) 23

29. ábra A kiegyensúlyozás első esete Fx erőre 30. ábra A kiegyensúlyozás első esete Fy erőre 31. ábra A kiegyensúlyozás második esete Fx erőre 24

32. ábra A kiegyensúlyozás második esete Fy erőre 33. ábra A kiegyensúlyozás harmadik k=1/2 esete Fx erőre 25

34. ábra A kiegyensúlyozás harmadik k=1/2 esete Fy erőre 35. ábra A kiegyensúlyozás harmadik k=1/3 esete Fx erőre 26

40. ábra A kiegyensúlyozás harmadik k=1/5 esete Fy erőre 41. ábra A kiegyensúlyozás harmadik k=1/10 esete Fx erőre 42. ábra A kiegyensúlyozás harmadik k=1/10 esete Fy erőre 29

4.3 Nyomatéki hatás Figyelembe kell vennünk, hogy az ω 1 = állandó és ω 3 =0, mivel a hajtórúd állandó szögsebességgel van hajtva és a dugattyú, alternáló egyenes vonalú mozgást végez. Ekkor igaz, a (46) és (47) egyenlet. Így a hajtókar nyomatékhatását kell csak figyelembe vennünk. 4.3.1 A hajtókar (46) (47) 43. ábra A hajtókar vázlata A hajtókar tömege helyettesíthető a súlypontjába vett tömeggel, ami a 43. ábra szerint az S 2 pontban van. 4.3.2 Helyettesítve két tömegponttal Ha felírjuk a nyomatéki egyenletet, úgy hogy a végeredménye 0 legyen, akkor kapjuk a (51) és (52) képleteket. (48) (49) (50) 30

(51) (52) 44. ábra A hajtókar mozgása és a hajtókar paramétereit A (50), (51), (52) képleteket felhasználva kiszámíthatjuk -t. Vagyis meghatározhatjuk azt a súlyponti távolságot a főtengelytől, amikor a nyomaték zérusértékű a főtengelyre. A 44. ábra jelöléseit felhasználva kapjuk a következőket. (53) (54) (55) Vagyis az a távolság ahol a nyomaték 0 értéket vesz fel. 4.3.3 Általános eset A folyamatosan változik, a koordinátarendszer kezdőpontjához viszonyítva, a forgás következtében. Vagyis leírható, valamilyen módon az idő függvényében. Mégpedig az x távolság változása meghatározható és meghatározható az y mozgás változása is. Ezen két függvény négyzetgyökének a négyzetösszege megadja az aktuális súlyponti távolságot az O ponttól. (56) (57) 31

22cos2 cos + 2216cos22 38cos4 cos 2 332cos4 cos2 + 3225 6cos24 0 cos 24cos2 316cos4 + 2 (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) 22cos2 cos + 2216cos22 38cos4 cos 2 332cos4 cos2 + 3225 6cos24 + 2 0+ 2 (65) A súlyponti távolság négyzetének és a hajtórúd tömegének szorzata megadja a tehetetlenségi nyomatékot az idő függvényében. (66) 22cos2 cos + 2216cos22 38cos4 cos 2 332cos4 cos2 + 3225 6cos24 + 2 0+ 2 (67) Majd a nyomatékot felhasználva megkapjuk az általános nyomatéki egyenletet. (68) (69) 32

(70) Vagyis ha, akkor. y 4.3.4 számolása r l φ β 45. ábra A szerkezet paraméterei x A hajtókar szögsebességének számításánál a (15) képletből indulunk ki. (71) Tudjuk, hogy így a (71) egyenlet második deriváltját keressük és annak valamelyik arkhuszát, valamint ω=állandó. Felhasználva a (17) egyenletet és a Taylor sort megkapjuk a (20) egyenletet. Ezt deriválva kiadódik a (72) egyenlet. Sinβ közel azonos sinφ-el így egyszerűsíthetünk vele úgy, hogy közben nem követünk el nagy hibát. Majd a (72) egyenletet átalakítva és újból deriválva kapjuk a (82) egyenletet. (72) 33

(73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) A konstansok a deriválásnak megfelelően változtak vagyis: (83) Az visszahelyettesítésével a (70) képletbe, megkapjuk a nyomaték dinamikus változását. (84) 34

46. ábra Az Mz nyomaték 47. ábra Az Mz nyomaték első felharmonikusa 35

48. ábra Az Mz nyomaték második felharmonikusa 49. ábra Az Mz nyomaték harmadik felharmonikusa 5 A függvény, változó szögsebesség mellett 5.1 Az erőhatás alakulása A fenti megoldások mind φ=ωt feltétel mellett igazak. Mikor azonban φ az időnek valamilyen függvénye, akkor egészen más kifejezést kapunk. Most vizsgáljuk meg ezt az esetet is. A különbséget a két egyenlet között a (28) egyenlet adja, mikor is deriválnunk kell a kifejezést. 36

Ennek a függvénynek az idő szerinti deriváltja a következőképpen néz ki. Ezek után lederiváljuk még egyszer a függvényt az idő szerint és megkapjuk a (86) egyenletet. (85) sin4 (86) Majd a (86) egyenletet visszahelyettesíteni a (11) egyenletbe a (87) megoldást kapjuk. sin2 + 344 2cos4 +sin4 (87) Az y irányú erő a (88) egyenlet szerint alakul. 5.2 A nyomatéki hatás alakulása A nyomatéki hatás vizsgáltnál a (20) egyenletet felhasználva fogjuk megkapni a z irányú nyomaték alakulását. (88) Ezt deriválva kiadódik a (89) egyenlet. Figyelembe véve azt, hogy sinβ majdnem egyenlő sinφ-vel, akkor eltüntethetjük sinβ zavaró tagot a függvényünkből úgy, hogy a kapott megoldásunk közel egyenlő a valós megoldással. Majd a (89) egyenletet átalakítva és újból deriválva kapjuk a (99) egyenletet. (89) (90) (91) 37

(92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) Az visszahelyettesítésével a (70) képletbe, megkapjuk a nyomaték dinamikus változását. a esetben. 3sin3 2 33cos3 (100) 22cos2 cos + 2216cos22 38cos4 cos 2 332cos4 cos2 + 3225 6cos24 +( )2 0+ 2)+, (101) 38

6 Matlab Simulink blokkvázlat A blokkvázlat szerinti ábrázoláshoz szükségem van a, és a értékére. Három lehetőségünk van. Az első, hogy megoldjuk ezt a nem lineáris egyenletet és megkapjuk az értékeket. A második az, hogy megmérjük ezeket az értékeket. Vagyis folyamatosan mérünk egy motor főtengelyének szöggyorsulását és ebből számolhatjuk a többi paramétert. A harmadik, hogy visszacsatolással a Matlab Simulink programban megoldjuk a problémát. A legegyszerűbb a harmadik szituáció. Ehhez a megoldáshoz szükségünk van a φ második deriváltjára. Ha ez az érték meg van, akkor ezt kétszer integrálva az integráló tag segítségével megkapjuk a -t és a -ot. A kifejezéséhez szükségünk van egy olyan egyenletre, amelynek értéke egy olyan változó, amelynek kifejezésében megtalálható a. Mivel egyenletét már felhasználtuk, így egy másik egyenletet kellene találnunk, amellyel meg lehet oldani a problémát. Kutatásaim során nem sikerült másik egyenletet találnom és megoldani a visszacsatolást, így csak a méréshez szükséges blokkvázlatot tudom megmutatni a munkámban. 50. ábra A (87) Fx egyenlet ábrázolása blokkvázlatként 51. ábra A (88) Fy egyenlet ábrázolása blokkvázlatként 39

52. ábra A (101) Mz egyenlet ábrázolása blokkvázlatként Ha a jelgenerátorban beállítjuk az adott gép szöggyorsulás változásának mért jelét a φ függvényében, akkor megkapjuk a nyomaték és az erők változását a φ függvényében. 7 Egy dugattyús kompresszor vizsgálata Az előző esetekben a henger nyitott volt és nem hatott a dugattyúra semmi féle erő a gyorsuláson kívül. Ebben a fejezetben viszont kíváncsiak vagyunk, hogy milyen erő is hat a dugattyúra egy kompresszor esetén. Ennek számításához, szükségünk lesz a gázegyenletekre is. A kompresszort ideálisnak tekintjük és adiabatikus állapotváltozással fogunk számolni, mikor is a folyamat reverzibilis és a rendszer zárt. 53. ábra Az ideális kompresszor indikátordiagram 40

Ekkor az 53. ábraán vázolt jelleggörbének megfelelően alakul a gáznyomás a térfogathoz viszonyítva. Az 53. ábraán szerepelt jelleggörbe csak szemléltető, ehhez hasonló jelleggörbét fogunk kapni az általunk felállított rendszerre is. Nos, először is állítsuk fel a rendszerünket, határozzuk meg a kompresszor tervezése során változtatható paramétereket. 7.1 Változtatható paraméterek Az első ilyen paraméter a dugattyú átmérő. Ez a paraméter a dugattyú alapterültét határozza meg, ami viszont befolyásolja a befogadott gáz térfogatát. A második ilyen paraméterünk a szívónyomás, amit a szelep nyitásának állításával határozhatunk meg. A szívó szelep 0,9 bar hatására fog nyitni. Mivel a hengerben kisebb nyomás uralkodik, mint az atmoszférikus nyomás, így a levegő a kisebb nyomású hely felé áramlik, vagyis feltöltődik a dugattyú. A harmadik ilyen paraméter a nyomószelep állításával befolyásolt nyomó nyomás, amit a kompresszor fog létrehozni a kompresszió üteme alatt. A nyomó nyomás kinyitja a nyomószelepet és azon keresztül üríti a hengerben lévő gázt. A negyedik ilyen paraméter a szelepek elhelyezéséhez szükséges minimum térfogat, amit felső holtponti térfogatnak is nevezhetünk. Minden adiabatikus folyamatot egy κ kitevővel illetünk, melynek állandó értéke van. Ez az érték általában mindig ugyan az. Az atmoszférikus nyomásra is szükségem lesz az erő meghatározásánál, amit most 1 bar-nak veszek átlagosan. 41

7.2 Számolt paraméterek Az első paraméter, amit számolni tudunk az a dugattyú alapterülete, amit a (92) egyenlet mutat. (107) Majd a henger térfogatát az idő függvényében. Itt a dugattyú útját leíró függvényt alkalmazzuk, amit a (108) egyenlet fejez ki. (108) (109) (110) (111) Ez a henger térfogat függvény csak akkor szolgáltatja az aktuális hengertérfogatot, ha a legalsó értékét eltoljuk a V FH pontba, ezt a (113) egyenlet adja. (112) (113) A dugattyú útja így meghatározza a henger maximális térfogatát, ami a hajtókartól és a hajtórúdtól függ, ezt láthatjuk a (114) egyenletnél. (114) Az 53. ábraából látható, hogy, majd Ez egy nagyon fontos megállapításunk a továbbiakban. Most határozzuk meg azt a térfogati pontot, amikor a kompresszió elkezdődik. Határozzuk meg az a térfogati pontot, ahol az expanzió kezdődik el. (115) Az aktuális kompresszió nyomás értékét a (117) egyenlet mutatja. (116) 42

(117) Az aktuális expanzió nyomás értékét a (118) egyenlet mutatja. (118) A dugattyúra ható aktuális erőt így nagyon könnyen ki lehet számolni. Ez az erő négy részből áll, az első a szívóerő. Kompresszió erő Nyomó erő Expanzió erő (119) (120) (121) (122) Ezek az erők hatnak egy kompresszor dugattyújára munka közben. Ezekkel az erőkkel kell számolni a (7) képletnél. (123) (124) 43

8 Következtetések A mellékletekben feltüntetett diagramok alapján a következő megállapításokat vonhatom le a szerkezetről. 8.1 r/l érték változtatása r/l érték csökkentése M z nyomaték és annak felharmonikusainak növekedésével jár. A nyomatékokban plusz csúcsok jelentkeznek, melyek egyenetlenítik a rezgésképet. Az F x és F y erők növekednek mind alap mind a kiegyensúlyozás állapotában. Ez a kifejezés az F x erő felharmonikusaira is hatással van, mégpedig növeli azokat. Ha növeljük az értéket, vagyis a hajtórúd sokkal nagyobb, mint a hajtókar, akkor a nyomaték rezgése simul és csökken az amplitúdója is. Szintén csökken az erők rezgésének amplitúdója is. 8.2 m 0 tömeg változtatása m 0 tömeg változtatása nem jár semmiféle közvetlen hatással a rendszerre, viszont ha ennek hatására változik az m a tömeg, akkor az m a tömeg változásának megfelelő hatások lépnek életbe. 8.3 m a tömeg változása m a tömeg változása nincs hatással nincs hatással a nyomatékra és nincs hatással az erők kiegyensúlyozására és az F x erő felharmonikusainak változására. Viszont ha m a tömeg nő, akkor nő az F x és az F y erő is. 8.4 m b tömeg változása m b tömeg változása nincs hatással a nyomatéki hatásra, viszont ha nő, akkor nő az F x erő és annak felharmonikusai. az F y erőre nincs hatással viszont a kiegyensúlyozásnál az F y erő is növekszik. A kiegyensúlyozásnál szintén nő az F x, ha az m b tömeg nő. 8.5 ω változtatása ω növekedése mindegyik egyenletre kihat, vagyis ha az ω nő, akkor a rezgés amplitúdók egyre nagyobbak lesznek és a rezgéskép egyre sűrűbb. Tehát a rezgés intenzitása nő és egyre nagyobb rezgési amplitúdóval fog a rendszerünk mozogni. 8.6 a,b távolság változása a,b távolság változása nagyon kis mértékben befolyásolja a függvényeket, olyannyira, hogy a diagramokon nem vehető észre. Az erőkre egyáltalán nem hat ez a változás! 44

8.7 m 2 tömeg változása m 2 tömeg változása nincs közvetett hatással az erők változására. Viszont ha ennek hatására változik az m a vagy az m b tömeg, akkor az ezekre jellemző változások fognak fellépni az erőkre is. Ha az m 2 tömeg növekszik, akkor növekszik az M z nyomaték amplitúdója is és hatással van a nyomaték felharmonikusainak amplitúdóinak növekedésére. 8.8 Kiegyensúlyozás 9 Első eset Az F x erőt csökkentettük, viszont az F y erő nem változik és nagy marad. 10 Második eset Az F y erő ugyan 0, de az F x erő nagyon nagy lesz. 11 Harmadik eset Itt ha k csökken, akkor F y csökken viszont F x nő. A köztes állapot a k=1/2 értéknél van. Ez bizonyul a legjobb megoldásnak, mert ekkor kapunk az F y és F x értékek maximuma közül a leg kisebb értéket. 12 Optimális forgattyús hajtómű Az optimális hajtómű esetében az l/ r viszony minél magasabb. Az érték viszont nem haladhat meg egy bizonyos értéket mivel a hajtórúdnak is van kilengése. Ez az érték általában 3-4 között van. Az m a, m b tömegeket minél kisebbre kell választani, de ezek nem nagy hatást gyakorolnak a hajtóműre. ω változása viszont annál inkább. Ha nő az érték, akkor bonyolultabb függvényeket kapunk. Viszont a cél az, hogy nagy értéknél is egyenletes függvényeket kapjunk. Ezt az értéket változtatnunk kell az életben is! Szóval ezzel nem tudunk mit tenni. És végül a harmadik kiegyensúlyozást kell választanunk a tervezéskor. 45

13 Irodalomjegyzék [1.] http://arri.uta.edu/acs/history.htm [2.] Bennett S. A History of controll engineering 1930-1955, London: Peter Peregrinus Ltd. [3.] Bennett S. A History of controll engineering 1800-1930, London: Peter Peregrinus Ltd. 1979. [4.] http://control.ee.ethz.ch/hurwitz/hurwitz.php [5.] http://hu.wikipedia.org/wiki/forgatty%c3%bas_mechanizmus #T.C3.B6rt.C3.A9nete [6.] http://www.museumstuff.com/learn/topics/crank_mechanism:: sub::history [7.] http://en.academic.ru/dic.nsf/enwiki/220159 [8.] http://explorer.cekli.com/document/crank%20%28mechanism %29 [9.] http://hu.wikipedia.org/wiki/a_k%c3%b6zleked%c3%a9s_t %C3%B6rt%C3%A9nete [10.] http://www.hibridszalon.hu/index.php?q=node/6 46

14 Melléklet 14.1 r/l viszony változtatásának hatása a rendszerre 14.1.1 Az Fx erő 54. ábra r/l=0.03/0.12 55. ábra r/l=0.04/0.12 56. ábra r/l=0.06/0.12 57. ábra r/l=0.08/0.12 14.1.2 Az Fy erő 58. ábra r/l=0.03/0.12 59. ábra r/l=0.04/0.12 47

60. ábra r/l=0.06/0.12 61. ábra r/l=0.08/0.12 14.1.3 Fx erő első felharmónikusa 62. ábra r/l=0.03/0.12 63. ábra r/l=0.04/0.12 64. ábra r/l=0.06/0.12 65. ábra r/l=0.08/0.12 48

14.1.4 Fx erő második felharmónikusa 66. ábra r/l=0.03/0.12 67. ábra r/l=0.04/0.12 68. ábra r/l=0.06/0.12 69. ábra r/l=0.08/0.12 14.1.5 Fx erő első kiegyensúlyozás 70. ábra r/l=0.03/0.12 71. ábra r/l=0.04/0.12 49

72. ábra r/l=0.06/0.12 73. ábra r/l=0.08/0.12 14.1.6 Fy erő első kiegyensúlyozás 74. ábra r/l=0.03/0.12 75. ábra r/l=0.04/0.12 76. ábra r/l=0.06/0.12 77. ábra r/l=0.08/0.12 50

14.1.7 Fx erő második kiegyensúlyozás 78. ábra r/l=0.03/0.12 79. ábra r/l=0.04/0.12 80. ábra r/l=0.06/0.12 81. ábra r/l=0.08/0.12 14.1.8 Fy erő második kiegyensúlyozás 82. ábra r/l=0.03/0.12 83. ábra r/l=0.04/0.12 51

84. ábra r/l=0.06/0.12 85. ábra r/l=0.08/0.12 14.1.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás 86. ábra r/l=0.03/0.12 87. ábra r/l=0.04/0.12 88. ábra r/l=0.06/0.12 89. ábra r/l=0.08/0.12 52

14.1.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás 90. ábra r/l=0.03/0.12 91. ábra r/l=0.04/0.12 92. ábra r/l=0.06/0.12 93. ábra r/l=0.08/0.12 14.1.11 Mz nyomaték 94. ábra r/l=0.03/0.12 95. ábra r/l=0.04/0.12 53

96. ábra r/l=0.06/0.12 97. ábra r/l=0.08/0.12 14.1.12 Mz nyomaték első felharmónikusa 98. ábra r/l=0.03/0.12 99. ábra r/l=0.04/0.12 100. ábra r/l=0.06/0.12 101. ábra r/l=0.08/0.12 54

14.1.13 Mz nyomaték második felharmónikusa 102. ábra r/l=0.03/0.12 103. ábra r/l=0.04/0.12 104. ábra r/l=0.06/0.12 105. ábra r/l=0.08/0.12 14.1.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa 106. ábra r/l=0.03/0.12 107. ábra r/l=0.04/0.12 55

108. ábra r/l=0.06/0.12 109. ábra r/l=0.08/0.12 14.2 m 0 tömeg változtatása 14.2.1 Az Fx erő 110. ábra m 0 =0.35 111. ábra m 0 =0.7 112. ábra m 0 =1.4 56

14.2.2 Az Fy erő 113. ábra m 0 =0.35 114. ábra m 0 =0.7 115. ábra m 0 =1.4 14.2.3 Fx erő első felharmónikusa 116. ábra m 0 =0.35 117. ábra m 0 =0.7 57

118. ábra m 0 =1.4 14.2.4 Fx erő második felharmónikusa 119. ábra m 0 =0.35 120. ábra m 0 =0.7 121. ábra m 0 =1.4 58

14.2.5 Fx erő első kiegyensúlyozás 122. ábra m 0 =0.35 123. ábra m 0 =0.7 124. ábra m 0 =1.4 14.2.6 Fy erő első kiegyensúlyozás 125. ábra m 0 =0.35 126. ábra m 0 =0.7 59

127. ábra m 0 =1.4 14.2.7 Fx erő második kiegyensúlyozás 128. ábra m 0 =0.35 129. ábra m 0 =0.7 130. ábra m 0 =1.4 60

14.2.8 Fy erő második kiegyensúlyozás 131. ábra m 0 =0.35 132. ábra m 0 =0.7 133. ábra m 0 =1.4 14.2.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás 134. ábra m 0 =0.35 135. ábra m 0 =0.7 61

136. ábra m 0 =1.4 14.2.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás 137. ábra m 0 =0.35 138. ábra m 0 =0.7 139. ábra m 0 =1.4 62

14.2.11 Mz nyomaték 140. ábra m 0 =0.35 141. ábra m 0 =0.7 142. ábra m 0 =1.4 14.2.12 Mz nyomaték első felharmónikusa 143. ábra m 0 =0.35 144. ábra m 0 =0.7 63

145. ábra m 0 =1.4 14.2.13 Mz nyomaték második felharmónikusa 146. ábra m 0 =0.35 147. ábra m 0 =0.7 148. ábra m 0 =1.4 64

14.2.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa 149. ábra m 0 =0.35 150. ábra m 0 =0.7 151. ábra m 0 =1.4 65

14.3 ma tömeg változtatása 14.3.1 Az Fx erő 152. ábra m a =0.25 153. ábra m a =0.5 154. ábra m a =1 14.3.2 Az Fy erő 155. ábra m a =0.25 156. ábra m a =0.5 66

157. ábra m a =1 14.3.3 Fx erő első felharmónikusa 158. ábra m a =0.25 159. ábra m a =0.5 160. ábra m a =1 67

14.3.4 Fx erő második felharmónikusa 161. ábra m a =0.25 162. ábra m a =0.5 163. ábra m a =1 14.3.5 Fx erő első kiegyensúlyozás 164. ábra m a =0.25 165. ábra m a =0.5 68

166. ábra m a =1 14.3.6 Fy erő első kiegyensúlyozás 167. ábra m a =0.25 168. ábra m a =0.5 169. ábra m a =1 69

14.3.7 Fx erő második kiegyensúlyozás 170. ábra m a =0.25 171. ábra m a =0.5 172. ábra m a =1 14.3.8 Fy erő második kiegyensúlyozás 173. ábra m a =0.25 174. ábra m a =0.5 70

175. ábra m a =1 14.3.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás 176. ábra m a =0.25 177. ábra m a =0.5 178. ábra m a =1 71

14.3.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás 179. ábra m a =0.25 180. ábra m a =0.5 181. ábra m a =1 14.3.11 Mz nyomaték 182. ábra m a =0.25 183. ábra m a =0.5 72

184. ábra m a =1 14.3.12 Mz nyomaték első felharmónikusa 185. ábra m a =0.25 186. ábra m a =0.5 187. ábra m a =1 73

14.3.13 Mz nyomaték második felharmónikusa 188. ábra m a =0.25 189. ábra m a =0.5 190. ábra m a =1 14.3.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa 191. ábra m a =0.25 192. ábra m a =0.5 74

193. ábra m a =1 14.4 mb tömeg változtatása 14.4.1 Az Fx erő 194. ábra m b =0.25 195. ábra m b =0.5 196. ábra m b =1 75

14.4.2 Az Fy erő 197. ábra m b =0.25 198. ábra m b =0.5 199. ábra m b =1 14.4.3 Fx erő első felharmónikusa 200. ábra m b =0.25 201. ábra m b =0.5 76

202. ábra m b =1 14.4.4 Fx erő második felharmónikusa 203. ábra m b =0.25 204. ábra m b =0.5 205. ábra m b =1 77

14.4.5 Fx erő első kiegyensúlyozás 206. ábra m b =0.25 207. ábra m b =0.5 208. ábra m b =1 14.4.6 Fy erő első kiegyensúlyozás 209. ábra m b =0.25 210. ábra m b =0.5 78

211. ábra m b =1 14.4.7 Fx erő második kiegyensúlyozás 212. ábra m b =0.25 213. ábra m b =0.5 214. ábra m b =1 79

14.4.8 Fy erő második kiegyensúlyozás 215. ábra m b =0.25 216. ábra m b =0.5 217. ábra m b =1 14.4.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás 218. ábra m b =0.25 219. ábra m b =0.5 80

220. ábra m b =1 14.4.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás 221. ábra m b =0.25 222. ábra m b =0.5 223. ábra m b =1 81

14.4.11 Mz nyomaték 224. ábra m b =0.25 225. ábra m b =0.5 226. ábra m b =1 14.4.12 Mz nyomaték első felharmónikusa 227. ábra m b =0.25 228. ábra m b =0.5 82

229. ábra m b =1 14.4.13 Mz nyomaték második felharmónikusa 230. ábra m b =0.25 231. ábra m b =0.5 232. ábra m b =1 83

14.4.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa 233. ábra m b =0.25 234. ábra m b =0.5 235. ábra m b =1 84

14.5 ω változtatása 14.5.1 Az Fx erő 236. ábra ω=10 237. ábra ω=20 238. ábra ω=40 14.5.2 Az Fy erő 239. ábra ω=10 240. ábra ω=20 85

241. ábra ω=40 14.5.3 Fx erő első felharmónikusa 242. ábra ω=10 243. ábra ω=20 244. ábra ω=40 86

14.5.4 Fx erő második felharmónikusa 245. ábra ω=10 246. ábra ω=20 247. ábra ω=40 14.5.5 Fx erő első kiegyensúlyozás 248. ábra ω=10 249. ábra ω=20 87

250. ábra ω=40 14.5.6 Fy erő első kiegyensúlyozás 251. ábra ω=10 252. ábra ω=20 253. ábra ω=40 88

14.5.7 Fx erő második kiegyensúlyozás 254. ábra ω=10 255. ábra ω=20 256. ábra ω=40 14.5.8 y erő második kiegyensúlyozás 257. ábra ω=10 258. ábra ω=20 89

259. ábra ω=40 14.5.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás 260. ábra ω=10 261. ábra ω=20 262. ábra ω=40 90

14.5.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás 263. ábra ω=10 264. ábra ω=20 265. ábra ω=40 14.5.11 Mz nyomaték 266. ábra ω=10 267. ábra ω=20 91

268. ábra ω=40 14.5.12 Mz nyomaték első felharmónikusa 269. ábra ω=10 270. ábra ω=20 271. ábra ω=40 92

14.5.13 Mz nyomaték második felharmónikusa 272. ábra ω=10 273. ábra ω=20 274. ábra ω=40 14.5.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa 275. ábra ω=10 276. ábra ω=20 93

277. ábra ω=20 14.6 a, b súlyponti távolságpár változtatása 14.6.1 Az Fx erő 278. ábra a=0.05, b=0.07 279. ábra a=0.06, b=0.06 280. ábra a=0.08, b=0.04 94

14.6.2 Az Fy erő 281. ábra a=0.05, b=0.07 282. ábra a=0.06, b=0.06 283. ábra a=0.08, b=0.04 14.6.3 Fx erő első felharmónikusa 284. ábra a=0.05, b=0.07 285. ábra a=0.06, b=0.06 95

286. ábra a=0.08, b=0.04 14.6.4 Fx erő második felharmónikusa 287. ábra a=0.05, b=0.07 288. ábra a=0.06, b=0.06 289. ábra a=0.08, b=0.04 96

14.6.5 Fx erő első kiegyensúlyozás 290. ábra a=0.05, b=0.07 291. ábra a=0.06, b=0.06 292. ábra a=0.08, b=0.04 14.6.6 Fy erő első kiegyensúlyozás 293. ábra a=0.05, b=0.07 294. ábra a=0.06, b=0.06 97

295. ábra a=0.08, b=0.04 14.6.7 Fx erő második kiegyensúlyozás 296. ábra a=0.05, b=0.07 297. ábra a=0.06, b=0.06 298. ábra a=0.08, b=0.04 98

14.6.8 Fy erő második kiegyensúlyozás 299. ábra a=0.05, b=0.07 300. ábra a=0.06, b=0.06 301. ábra a=0.08, b=0.04 14.6.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás 302. ábra a=0.05, b=0.07 303. ábra a=0.06, b=0.06 99

304. ábra a=0.08, b=0.04 14.6.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás 305. ábra a=0.05, b=0.07 306. ábra a=0.06, b=0.06 307. ábra a=0.08, b=0.04 100

14.6.11 Mz nyomaték 308. ábra a=0.05, b=0.07 309. ábra a=0.06, b=0.06 310. ábra a=0.08, b=0.04 14.6.12 Mz nyomaték első felharmónikusa 311. ábra a=0.05, b=0.07 312. ábra a=0.06, b=0.06 101

313. ábra a=0.08, b=0.04 14.6.13 Mz nyomaték második felharmónikusa 314. ábra a=0.05, b=0.07 315. ábra a=0.06, b=0.06 316. ábra a=0.08, b=0.04 102

14.6.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa 317. ábra a=0.05, b=0.07 318. ábra a=0.06, b=0.06 319. ábra a=0.08, b=0.04 103

14.7 m2 tömeg változtatása 14.7.1 Az Fx erő 320. ábra m 2 =0.2 321. ábra m 2 =0.4 322. ábra m 2 =1 14.7.2 Az Fy erő 323. ábra m 2 =0.2 324. ábra m 2 =0.4 104

325. ábra m 2 =1 14.7.3 Fx erő első felharmónikusa 326. ábra m 2 =0.2 327. ábra m 2 =0.4 328. ábra m 2 =1 105

14.7.4 Fx erő második felharmónikusa 329. ábra m 2 =0.2 330. ábra m 2 =0.4 331. ábra m 2 =1 14.7.5 Fx erő első kiegyensúlyozás 332. ábra m 2 =0.2 333. ábra m 2 =0.4 106

334. ábra m 2 =1 14.7.6 Fy erő első kiegyensúlyozás 335. ábra m 2 =0.2 336. ábra m 2 =0.4 337. ábra m 2 =1 107

14.7.7 Fx erő második kiegyensúlyozás 338. ábra m 2 =0.2 339. ábra m 2 =0.4 340. ábra m 2 =1 14.7.8 Fy erő második kiegyensúlyozás 341. ábra m 2 =0.2 342. ábra m 2 =0.4 108

343. ábra m 2 =1 14.7.9 Fx erő harmadik kiegyensúlyozás 344. ábra m 2 =0.2 345. ábra m 2 =0.4 346. ábra m 2 =1 109

14.7.10 Fy erő harmadik kiegyensúlyozás 347. ábra m 2 =0.2 348. ábra m 2 =0.4 349. ábra m 2 =1 14.7.11 Mz nyomaték 350. ábra m 2 =0.2 351. ábra m 2 =0.4 110

352. ábra m 2 =1 14.7.12 Mz nyomaték első felharmónikusa 353. ábra m 2 =0.2 354. ábra m 2 =0.4 355. ábra m 2 =1 111

14.7.13 Mz nyomaték második felharmónikusa 356. ábra m 2 =0.2 357. ábra m 2 =0.4 358. ábra m 2 =1 14.7.14 Mz nyomaték harmadik felharmónikusa 359. ábra m 2 =0.2 360. ábra m 2 =0.4 112

361. ábra m 2 =1 113