Loops and Groups. tudni ezzel kapcsolatban valamit? A válasz: 4 nilpotenciaosztályú loopot sem találtak még kommutatív belső permutációcsoporttal.

Hasonló dokumentumok
3. Feloldható csoportok

Doktori értekezés tézisei. Loopok és csoportok

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

Frobenius-csoportok. S z a k d o l g o z a t. Guld Attila. III. éves matematika BSc hallgató. Témavezető: Dr. Pelikán József, egyetemi adjunktus

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

Algebra és számelmélet blokk III.

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

A azonosító számú ''Csoportelmélet'' című kutatás eredményeinek részletesebb ismertetése. Végtelen csoportok

Diszkrét matematika 2. estis képzés

MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) 1. Ismétlés február 8.február Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük)

Fejezetek az algebrából jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak

Gy ur uk aprilis 11.

OTKA azonosító: PD 77392, Vezető kutató: Figula Ágota

Csoportok II március 7-8.

1. Mellékosztály, Lagrange tétele

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom

Waldhauser Tamás december 1.

Csoportelméleti feladatok feldolgozása

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Ha G egy csoport, akkor g G : gg = Gg = G (mert gg G evidens és y G : y = g(g 1 y) gg, tehát G gg, ahonnan G = gg, hasonlóan a másik).

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Számelméleti feltételek csoportok

Egészrészes feladatok

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

Bonyolultságelméleti problémák algebrai struktúrákban

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

Adatbázisok elmélete 12. előadás

Diszkrét matematika I.

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja


Háromszögek fedése két körrel

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Hol hallod a sz hangot?

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Véges lineáris csoportok kombinatorikai vonatkozásai

VÉGES CSOPORTOK REPREZENTÁCIÓI: MONOMIALITÁSRÓL, BME TTK MATEMATIKA INTÉZET, ALGEBRA TANSZÉK H-1111 BUDAPEST, MŰEGYETEM RKP SZEPT 29.


Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás

Kijelentéslogika, ítéletkalkulus

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

Analízis I. Vizsgatételsor

4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények

FELVÉTELI VIZSGA, július 17.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

Periodikus függvények összege

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Matematikai logika és halmazelmélet

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

1. Polinomok számelmélete

Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei

1. ábra ábra

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)

1. Az integrál tégla-additivitása

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Lajos Mátyás György. Mintacsoportok

4. Előadás: Erős dualitás

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

Bonyolultságelméleti problémák algebrai struktúrákban

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Megoldások 9. osztály

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve)

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Alap fatranszformátorok II

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.

Az 1. forduló feladatainak megoldása

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,

Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 29 (2002) PARTÍCIÓK PÁRATLAN SZÁMOKKAL. Orosz Gyuláné (Eger, Hungary)

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

A matematika nyelvéről bevezetés

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Csoportelmélet jegyzet

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar


Átírás:

Válasz Szendrei Máriának a Loops and Groups című doktori értekezésem bírálatára Mindenek előtt nagyon megköszönöm Szendrei Mária alapos és körültekintő munkáját, amit a nagyon jó kérdései is bizonyítanak. 1. Kérdés: A Kepka-kérdésre adott ellenpéldának ismert-e a nilpotenciaosztálya? Válasz: Igen, a konstruált szorzáscsoportnak megfelelő loop nilpotenciaosztálya 3. A connected transzverzálisokban szereplő transzlációkkal való konjugálások mutatják, hogy a másodrendű centrummal lefaktorizálva az eredeti loop nucleusának a képe e faktorloop centrumába kerül. A nucleus szerinti faktorloop viszont már elemi Abel-2 3 - rendű csoport. 2. Kérdés: Az ellenpélda megszületése után természetesen adódik a kérdés: lehet-e egy kommutatív belső permutációcsoportú loop nilpotenciaosztálya akármilyen nagy? Lehet-e már tudni ezzel kapcsolatban valamit? A válasz: 4 nilpotenciaosztályú loopot sem találtak még kommutatív belső permutációcsoporttal. 3. Kérdés: Emlékeztetek rá, hogy minden T-csoport T -csoport is, és minden feloldható T - csoport szuperfeloldható is. Kapcsolódva az előző felsorolás utolsó pontjához, szeretném, ha a jelölt elemezné a 2.2.4., 2.3.20. Tételek, valamint a 2.3.7. Következmény kapcsolatát: (i) Következik-e közvetlenül a 2.2.4. Tétel (a), (b) részéből a 2.3.7. Következmény? Ha nem, akkor lehetne-e úgy módosítani megtartva az állítások,,szerkezetét és a használt fogalmak körét ezt a két állítást, hogy a feltételekből,,látszódjon a leírt két osztály közötti tartalmazás? (ii) Ugyanezek a kérdések a 2.2.4. Tétel (a) és (c) részének és a 2.3.20. Tételnek a vonatkozásában. (iii) Ugyanezek a kérdések a 2.3.20. Tételnek és a 2.3.7. Következménynek a vonatkozásában. Először emlékeztetnék, hogy a bíráló mely állítások közötti összefüggések elemzését kéri, illetve az állítások módosítását várja. 1

2.3.7. Következmény: Legyen G páratlan rendű feloldható csoport. G T-csoport akkor és csak akkor, ha G Hall-részcsoport és G minden prímhatványrendű részcsoportja H- részcsoport. 2.3.20. Tétel: G feloldható T -csoport akkor és csak akkor, ha G = M N, ahol N nilpotens Hall-részcsoport, M pedig olyan nilpotens Hall-féle normálosztó G-ben, hogy M minden prímhatványrendű részcsoportja pronormális G-ben, (M N = 1). Ez utóbbi a tétel megfogalmazásánál kimaradt, a bizonyításban viszont használjuk, de könnyen látható, hogy e feltétel nélkül is igaz marad az állítás. 2.2.4. Tétel: Egy G csoportra a következő állítások ekvivalensek: a) G szuperfeloldható. b) G Fit G és FitG gyengén S-quasinormális ciklikus prímhatványrendű részcsoportok szorzata. c) G-ben létezik egy olyan N nilpotens normálosztó, hogy G N és N gyengén S- quasinormális ciklikus prímhatványrendű részcsoportok szorzata. Sajnos közvetlenül nem látszik a kapcsolat. Először a 2.3.7. Következményben módosítjuk a szerkezeti leírást, úgy, hogy a 2.2.4. Tétel, illetve a 2.3.20. Tétel azonnal alkalmazható legyen egy páratlan rendű feloldható T- csoport szuperfeloldhatóságának, illetve T -csoportságának igazolására. A módosításhoz belátjuk a következő szerkezeti leírások ekvivalenciáját. 1. Tétel: Legyen G páratlan rendű feloldható csoport. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: a) G T-csoport. b) G Hall-részcsoport és G minden prímhatványrendű részcsoportja H-részcsoport G- ben. c) G nilpotens Hall-részcsoport és G minden prímhatványrendű részcsoportja normálosztó G-ben. d) G = G N, ahol N Abel-féle Hall-részcsoport, G nilpotens Hall-féle olyan normálosztó, hogy G minden prímhatványrendű részcsoportja pronormális G-ben, és G N = 1. e) G Fit G, G Hall-részcsoport, és Fit G minden prímhatványrendű részcsoportja normálosztó G-ben. Bizonyítás: a) b) a 2.3.7. Következmény miatt. c) b) nyilván igaz. 2

b) c) Gaschütz tétele [Theorem 2.3.3 a disszertációban] és a 2.3.4. Következmény miatt G nilpotens Hall-részcsoport. Innen, nyilván G minden prímhatványrendű részcsoportja a szubnormalitás miatt normálosztó G-ben. c) d). Alkalmazzuk a Schur Zassenhaus-tételt, így létezik egy N Abel-féle Hallrészcsoport a kívánt tulajdonságokkal. d) c). G prímhatványrendű részcsoportja szubnormális is, így a pronormalitásuk adja a normalitásukat. e) c). Fit G definíciója miatt igaz. c) e). Mivel G minden prímhatványrendű részcsoportja normálosztó G-ben, G FitG és G Hall-részcsoport, elegendő belátnunk, hogy ha Q q-csoport, ahol Q Fit G és q olyan prím, amelyre q osztója Fit G rendjének, de q nem osztója G rendjének, akkor Q normálosztó G-ben. A feltételek miatt nyilván Q G = 1, így Q Abel-féle, és FitG nilpotenciájából FitG N G (Q) következik. Mivel G Hall-féle normálosztó, a Schur Zassenhaus-tétel miatt létezik Q-t tartalmazó L komplementum a G kommutátor-részcsoporthoz, vagyis G = G L és G L = 1. L kommutativitása adja L N G (Q), így Q normálosztó G-ben. Most módosítjuk a 2.3.7. Következményt, úgy, hogy közvetlenül látszódjon a kapcsolata a 2.2.4. Tétellel, és így a páratlan rendű feloldható T-csoportokra azonnal igaz lesz a szuperfeloldhatóság. Ezzel választ adunk az (i) pontban megfogalmazott kérdésre. 2.3.7. Következmény. Legyen G páratlan rendű feloldható csoport. G T-csoport akkor és csak akkor, ha G Hall-részcsoport, G FitG és Fit G minden prímhatványrendű részcsoportja normálosztó G-ben (ami esetünkben a szubnormalitás miatt ekvivalens az H-részcsoportsággal). Bizonyítás: Lásd az 1. Tételben az a) és e) állítások ekvivalenciáját. 2. Tétel: Legyen G páratlan rendű feloldható T-csoport, ekkor G szuperfeloldható. Bizonyítás: G-re alkalmazható a 2.3.7* Következmény. Nyilván Fit G minden prímhatványrendű részcsoportja a normálosztóság miatt gyengén S-quasinormális is. G rendelkezik a 2.2.4. Tétel b) részében leírt tulajdonságokkal. Innen e tétel szerint G szuperfeloldhatósága következik. Most megadjuk a 2.3.7. Következmény egy másik módosítását, amiből látszódni fog a 2.3.20. Tétellel való kapcsolata, vagyis hogy egy páratlan rendű T-csoport T -csoport is. Így választ adunk az (iii) pontban megfogalmazott kérdésre. 2.3.7. Következmény: Legyen G páratlan rendű feloldható csoport. G T-csoport akkor és csak akkor, ha G = G N, ahol N Abel-féle Hall-részcsoport, G N = 1, G nilpotens Hall-féle normälosztó és G minden prímhatványrendű részcsoportja pronormális G-ben (a pronormalitás a szubnormalitás miatt ekvivalens azzal, hogy normálosztó, illetve H-részcsoport). Bizonyítás: Lásd az 1. Tételben az a) és d) állítások ekvivalenciáját. 3. Tétel: Legyen G páratlan rendű feloldható T-csoport, ekkor G T -csoport is. Bizonyítás: A 2.3.7 Következmény szerint G szerkezete megfelel a 2.3.20. Tételben leírt szerkezetnek M = G -vel, így G e tétel szerint T -csoport is. 3

Most módosítjuk a 2.3.20. Tételt, vagyis a feloldható T -csoportok egy másik jellemzését adjuk, bizonyítva a két szerkezeti leírás ekvivalenciáját. Ebből az új szerkezetből majdnem közvetlenül látszódik a kapcsolat a 2.2.4. Tételllel, így szinte azonnal igaz lesz, hogy egy feloldható T -csoport szuperfeloldható. Ezzel választ adunk az (ii) pontban megfogalmazott kérdésre. 2.3.20 Tétel: Egy G csoportra a következő állítások ekvivalensek: a) G feloldható T -csoport. b) G = M N, ahol N nilpotens Hall-részcsoport, M olyan nilpotens Hall-féle normálosztó G-ben, hogy M minden prímhatványrendű részcsoportja pronormális G-ben (M N = 1). c) G FitG, és ha P Syl p (FitG) tetszőleges P-Sylow-részcsoport FitG-ben, akkor P rendelkezik a következő tulajdonságok valamelyikével: i) G tetszőleges q-sylow-részcsoportja, ahol q p, centralizálja P-t. ii) P minden részcsoportja pronormális G-ben, és ekkor P Syl p (G) is. Bizonyítás: Nyilván a) b) a 2.3.20. Tétel szerint. Igazán lényeges számunkra a b) és c)-ben a megadott szerkezeti leírások ekvivalenciája. b) c). Legyen M = k P i, ahol P i Syl pi (M) Mivel M Hall-féle normálosztója G-nek, P i Syl pi (G) is következik minden 1 i k esetén. Tudjuk, hogy P i minden részcsoportja szubnormális is G-ben, a pronormalitásuk adja, hogy mindegyik részcsoport normálosztó is G-ben. Legyen a N, nyilván ( ) o(a), p i = 1 minden 1 i k esetén. Alkalmazva a disszertációban szereplő Lemma 2.3.24-et, adódik, hogy a C G (P i ) vagy az a elem fixpontmentesen hat a konjugálással P i -n. Legyen A i = N C G (P i ). Az N N G (P i ) összefüggés adja, hogy A i N. A fentiek miatt N/A i fixpontmentesen hat a konjugálással P i -n. Mivel P i minden részcsoportja normálosztó G-ben, N/A i ciklikus lesz, vagyis N kommutátor részcsoportja N A i minden 1 i k-ra, amiből N k A i igaz. Az A i megválasztásából következik, hogy A = k A i C G (M) és A nilpotens normálosztó G-ben. Felhasználva, hogy M nilpotens Hall-féle normálosztó G-ben, kapjuk, hogy W = MA is nilpotens normálosztó G-ben, vagyis W FitG. A G = M N összefüggésből N A azt adja, hogy G/W Abel-féle, így G W Fit G igaz. Legyen P Syl p (FitG). Nyilván P G. Tudjuk, G = M N. 1) Tegyük fel P M. Ekkor P normalitása miatt P N. Legyen Q Syl q (G) tetszőleges q-sylow-részcsoport, ahol q p. Ha Q M, az M FitG összefüggésből adódik, hogy Q C G (P). Ha Q N, akkor N nilpotenciájából következik, hogy Q C G (P). 4

Marad az az eset, amikor Q c N valamely c G esetén. Ekkor az előzőek szerint Q c C G (P), de a P G miatt Q C G (P) adódik most is. Tehát P teljesíti i)-t. 2) Tegyük fel, hogy P M. Ekkor állításunk feltételei biztosítják, hogy P minden részcsoportja pronormális G-ben és P Syl p (G). Tehát P teljesíti ii)-t. c) b). Jelölje M = t R i, ahol R i Syl ri (FitG) olyan, hogy teljesíti ii)-t, vagyis minden részcsoportja pronormális G-ben és R i Syl ri (G) is. Így M nilpotens Hall-féle normálosztója G-nek és minden prímhatványrendű részcsoportja pronormális G-ben. A Schur Zassenhaus-tétel miatt létezik olyan Hall-féle N részcsoport G-ben, hogy G = M N és M N = 1. Állításunk teljes bizonyításához elegendő belátni N nilpotenciáját. Legyen T Syl t (N), megmutatjuk, hogy T normálosztó N-ben. Jelölje H=FitG N. M és N megválasztása miatt FitG = M H. Legyen T = T H, nyilván H = T H 0, ahol H 0 nilpotens Hall-féle részcsoport H-ban. Mivel H 0 FitG, de H 0 M, H 0 Sylow-részcsoportjai teljesítik i)-t, így T C G (H 0 ). Innen HT = H 0 T nilpotenciája következik. Láttuk, hogy G/Fit G Abel-csoport, amiből adódik, hogy N/Fit G N = N/H, szintén Abel-féle, így HT = H 0 T normálosztó N-ben. HT nilpotenciája implikálja, hogy T normálosztó N-ben. (A bizonyítás nyilván akkor is igaz, ha T = T H = 1). Megmutatjuk, hogy ha egy G csoport rendelkezik a 2.3.20 Tétel c) részében leírt tulajdonságokkal, akkor eleget tesz a 2.2.4. Tétel b) részében levő szerkezeti leírásnak. 4. Tétel: Legyen G csoport. Tegyük fel, hogy G Fit G, és ha P tetszőleges p-sylowrészcsoport Fit G-ben, akkor P rendelkezik a következő tulajdonságok valamelyikével: i) G tetszőleges q-sylow-részcsoportja, ahol q p, centralizálja P-t. ii) P minden részcsoportja pronormális G-ben, és P Syl p (G) is. Ekkor G FitG és FitG gyengén S-quasinormális, ciklikus prímhatványrendű részcsoportok szorzata. Bizonyítás: 1) Tegyük fel, hogy P-re igaz i), akkor P minden részcsoportja nyilván S-quasinormális G-ben, így P S-quasinormális ciklikus részcsoportok szorzata. 2) Tegyük fel, hogy P teljesíti ii)-t, ekkor P tetszőleges részcsoportja szubnormális is, a pronormalitásukból következik, hogy P minden részcsoportja normálosztó is G-ben, amiből minden részcsoport gyengén S-quasinormalitása most is következik. Tehát FitG-re igaz tételünk állítása. Kombinálva a 4. Tételt a 2.3.20* és a 2.2.4 Tételekkel, végül kapjuk: 5. Tétel: Legyen G feloldható T -csoport. Ekkor G szuperfeloldható. 5 Csörgő Piroska