Bonyolultságelméleti problémák algebrai struktúrákban

Átírás

1 Bonyolultságelméleti problémák algebrai struktúrákban Doktori értekezés Készítette: Horváth Gábor Matematika Doktori Iskola Elméleti Matematika Doktori Program Iskolavezet : Dr. Laczkovich Miklós Programvezet : Dr. Sz cs András Témavezet : Dr. Szabó Csaba, DSc, egyetemi docens Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2010

2

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. Deníciók, jelölések 7 3. Kommutatív gy r k Nilpotens gy r k Szigma ekvivalencia Szigma egyenletmegoldhatóság Modulusok Szigma ekvivalencia Szigma egyenletmegoldhatóság Nilpotens csoportok Meta-Abel csoportok Csoportosítás Ekvivalencia Egyenletmegoldhatóság Nem feloldható csoportok El készületek Ekvivalencia Kiterjesztett problémakör Abel féle normálosztó

4 8.2. Kiterjesztett ekvivalencia Kiterjesztett egyenletmegoldhatóság Hivatkozások 60 Összefoglalás 64 Summary 65

5 1. fejezet Bevezetés Napjainkban az algebrai, számítógépalgebrai és automataelméleti kutatások egyik f iránya a különböz algebrai kérdések bonyolultságelméleti vizsgálata. Az univerzális algebra, automataelmélet és formális nyelvek legfontosabb kérdései közé tartozik két kifejezés ekvivalenciájának eldöntése, valamint egy egyenlet megoldhatóságának eldöntése különböz véges algebrák felett. Az ekvivalencia probléma egy adott A algebra felett azt a kérdést vizsgálja, hogy teljesül-e két tetsz leges kifejezésre (p és q), hogy minden A-beli behelyettesítésre egyenl értéket vesznek fel, azaz p q azonosság-e A-ban. Az egyenletmegoldhatóság probléma pedig azt kérdezi, hogy a p = q egyenletnek van-e megoldása A felett. Mindkét probléma eldönthet egy adott véges A algebrára: mindössze ellen rizni kell az összes A-beli helyettesítést. Azonnal adódik tehát a kérdés, hogy mennyire gyorsan lehet eldönteni a fenti problémákat a különböz algebrákra, azaz a fenti döntési problémák milyen bonyolultsági osztályba esnek. A dolgozat ezen bonyolultsági osztályokat vizsgálja véges gy r kre és csoportokra. Mind az ekvivalencia, mind pedig az egyenletmegoldhatóság problémának két változata van. Az els ben az inputként kapott p és q kifejezések termek, azaz olyan kifejezések, melyek változókból és az algebra alapm veleteib l épülnek fel. A másik változatban mindkét kifejezés polinom, azaz olyan kifejezés, mely változókból, algebrából való konstansokból és az algebra alapm veleteib l áll. Így kapjuk a term-ekvivalencia (röviden ekvivalencia), a polinom-ekvivalencia, valamint a term egyenletmegoldhatóság és poli-

6 2 BEVEZETÉS nom egyenletmegoldhatóság (röviden egyenletmegoldhatóság) problémákat. A term egyenletmegoldhatósággal nem foglalkozunk, ez ugyanis gy r kre és csoportokra triviális. Azontúl, hogy ezek a problémák önmagukban is érdekesek, komoly alkalmazásaik vannak a matematika különböz területein. Az univerzális algebra egyik fontos megoldatlan kérdése, hogy egy A algebra benne van-e egy V varietásban. Itt a V varietás kétféleképpen lehet megadva: vagy azon azonosságokkal, melyek minden V-beli algebrában teljesülnek, vagy egy B algebra által generálva. Utóbbi esetben V-ben pontosan azok az azonosságok teljesülnek, melyek B-ben is teljesülnek. Így például ha ellen rizzük, hogy A-ban teljesülnek-e a V-beli azonosságok, akkor el tudjuk dönteni, hogy A benne van-e V-ben. Az egyenletek megoldhatóságával kapcsolatos eredményeket automataelméletben használják. Egy nyelv felismerése például visszavezethet az automata szintaktikus monoidja felett egy egyenlet megoldhatóságának eldöntésére. Eleinte számítástudományi berkekben foglalkoztak különböz algebrai strukrúrák fölött az ekvivalencia problémával. Legel ször a Syracuse-i Egyetem Computer Science tanszékének kutatói találkoztak a problémakörrel, k vezették be a term ekvivalencia (term equivalence) elnevezést is. A kérdést csak véges kommutatív gy r k és véges hálók fölött vizsgálták. Kutatásaiknak gyakorlati háttere volt: gyógyszeripari kísérletek összehangolása vezetett a fenti kérdésekre. Bebizonyították, hogy egy R véges, kommutatív gy r feletti ekvivalencia probléma P-beli, ha R nilpotens, és conp-teljes egyébként [17]. Kés bb Burris és Lawrence [4] bebizonyították, hogy ugyanez teljesül tetsz leges (nem feltétlenül kommutatív) gy r kre is. Burris és Lawrence a bizonyításukban a SAT problémát visszavezették összegek szorzatainak ekvivalenciájára. Azonban ezen polinomokat monomok összegére bontva a kapott új polinom hossza akár exponenciális is lehet az eredeti polinom méretében. Ez motiválta Ross Willardot az úgynevezett szigma ekvivalencia és szigma egyenletmegoldhatóság problémák deniálásában, ahol a bemen polinom monomok összege, ahogy az a gy r elméletben megszokott. Willard és Lawrence [21] azt sejtette, hogy egy véges gy r feletti szigma ekvivalencia P-beli, ha a Jacobson radikál szerinti faktor kom-

7 1 Bevezetés 3 mutatív, és conp-teljes egyébként. Szabó és Vértesi bebizonyították a sejtés conp-teljes részét: [31, 32, 33]-ban igazolják, hogy a szigma ekvivalencia conp-teljes minden olyan gy r felett, melyre a Jacobson radikál szerinti faktor nem kommutatív. A dolgozat 3. fejezetében igazoljuk a sejtést kommutatív gy r kre. Tétel (3.1. tétel). Legyen R véges, kommutatív gy r. Ekkor az R feletti szigma (polinom) ekvivalencia probléma P-beli. A szigma egyenletmegoldhatóságról egyel re nem jelent meg dolgozat, de Szabó és Vértesi [33]-ban szerepl ötlete alapján igazolható, hogy a szigma egyenletmegoldhatóság NP-teljes minden olyan gy r felett, melyre a Jacobson radikál szerinti faktor nem kommutatív. A 3. fejezetben speciális alakú kommutatív gy r kre meghatározzuk a szigma egyenletmegoldhatóság bonyolultságát. Tétel (3.2. tétel). Legyen az R gy r véges testek, Z 4 -ek és nilpotens gy r k direkt összege. Ekkor az R feletti szigma egyenletmegoldhatóság P-beli. Az els eredmények megjelenése óta az ekvivalencia és egyenletmegoldhatóság problémaköröket az utóbbi évtizedben er s nemzetközi érdekl dés övezi a különböz véges algebrákra. Számos félcsoportokkal és monoidokkal kapcsolatos cikk jelent meg [18, 19, 20, 28, 29, 30, 34]. Csoportokra a fenti kérdések meglehet sen nyitottak. A nilpotens csoportok feletti ekvivalencia probléma P-beli Burris és Lawrence eredménye alapján [5]. Goldmann és Russell [8]-ban és [9]-ben bebizonyítják, hogy a nilpotens csoportok feletti egyenletmegoldhatóság P-ben van. Bizonyításukban a nilpotens csoportok feletti egyenletmegoldhatóságot nyelveknek a nilpotens csoportokhoz rendelt nem uniform, véges, determinisztikus automaták általi felismerésére vezetik vissza. Ezen automatákat Péladeau és Thérien vizsgálta a csak francia nyelven megjelent [24]-ben, ám számos, a bizonyításban fontos szerepet játszó tulajdonságuk [35]-ben belátott eredményekre épül. Goldmann és Russell bizonyításának magva így elvész a fenti cikkláncolatban. Az 5. fejezetben egy olyan közvetlen bizonyítást adunk, mely a fenti három cikkb l összeállítható gondolatmenethez

8 4 BEVEZETÉS képest kicsivel tisztább, valamivel egyszer bb, kijön bel le az ekvivalencia, és nem hivatkozik másokra. Tétel (5.2. tétel). Legyen G nilpotens csoport. A G feletti (polinom) ekvivalencia és az egyenletmegoldhatóság P-beli. A nilpotens csoportok után természetesen adódik azon csoportok vizsgálata, melyek két Abel csoport szemidirekt szorzataként állnak el. Burris és Lawrence [5]-ben felvetette a nem nilpotens, feloldható csoportokra az ekvivalencia bonyolultságának problémáját. Ondrej Klíma félcsoportokra vizsgálta az ekvivalencia és egyenletmegoldhatóság bonyolultságát: [19]-ben az S 3 csoport kivételével meghatározta minden legfeljebb hatelem félcsoportra ezen bonyolultságokat. Goldmann és Russell [8]-ban megkérdezte az S 3 feletti egyenletmegoldhatóság bonyolultságát. A 6. fejezetben nem nilpotens véges csoportok osztályaira határozzuk meg az ekvivalencia és egyenletmegoldhatóság bonyolultságát. Így megválaszoljuk Klíma, Goldmann és Russel kérdését, valamint részeredményeket érünk el a Burris és Lawrence által felvetett probléma megoldásában. Tétel (6.3. következmény). Az alábbi csoportokra a (polinom) ekvivalencia probléma P-beli. 1. G = A B, ahol A és B is Abel, 2. G = Z n B, ahol a B feletti (polinom) ekvivalencia P-beli. 3. G = Z n1 (Z n2 (Z nk (A B))), ahol az n i -k pozitív egészek és A, B kommutatív csoportok. Tétel (6.5. következmény). Az alábbi csoportok felett az egyenletmegoldhatóság P-beli. 1. G = Z p B, ahol B véges kommutatív csoport, p prím; 2. G = Z 4 B, ahol B véges kommutatív csoport; 3. G = Z 2 2 B, ahol B véges kommutatív csoport, 2 B ;

9 1 Bevezetés 5 4. G = Z 2 p Z 2, ahol p páratlan prím. A fenti csoportosztályok egy részére vonatkozó eredmények [16]-ban angol nyelven, [12]-ben magyar nyelven megtalálhatók. A 6. fejezetben egy olyan bizonyítást közlünk, mely az A B csoport feletti ekvivalencia és egyenletmegoldhatóság problémákat visszavezeti az A, mint End A gy r feletti modulusra vonatkozó problémákra. Mindeddig az irodalomban nem deniálták modulusokra az ekvivalenciát és egyenletmegoldhatóságot. A 4. fejezetben deniáljuk a moduluspolinom és modulusmonom fogalmát, majd segítségükkel deniáljuk az ekvivalencia és egyenletmegoldhatóság szigma változatait. A 4. fejezet eredményei ugyan önmagukban is érdekesek, ám els sorban más tételek bizonyításaihoz használjuk fel ket. Ezért a 4. fejezet eredményeit els sorban f bizonyítási technikáknak tartjuk. A 6. fejezet fent említett eredményeihez az alábbi tételeket használjuk fel. Tétel (4.1. tétel). Legyen R egy kommutatív, egységelemes gy r, M egy R feletti h modulus. Legyen S az R egy részcsoportja. Ha f modulusmonomok összegeként felírt moduluspolinom, akkor f polinomidejében eldönthet, hogy az S-beli helyettesítésekre teljesül-e, hogy (R, M) = f 0. Tétel (4.2. tétel). Legyen R = l i=1f i, ahol F i test minden 1 i l-re. Legyen M egy R feletti modulus. Legyen S = S i, ahol S i az Fi egy részcsoportja. Legyen f modulusmonomok összegeként felírt moduluspolinom. Ekkor f polinomidejében eldönthet, hogy f = 0 megoldható-e S-beli helyettesítéssel (R, M) felett. A 7. fejezetben nemfeloldható csoportokat vizsgálunk. Az egyenlet megoldhatóság probléma véges, nem feloldható csoport felett NP-teljes [8, 9]. Az alábbi tétel angolul [13]-ban, magyarul [14]-ben olvasható: Tétel (7.1. tétel). Véges, nem feloldható csoport feletti (polinom) ekvivalencia probléma conp-teljes. Ezen tétel bizonyítása általánosítható ún. függvényteljes algebrákra, azaz olyan A algebrákra, melyekben minden n-re minden f : A n A függvény kifejezhet A-nak polinomjaként. Ennek az olvasó részletesebben [15]-ben nézhet utána.

10 6 BEVEZETÉS Gyakran el fordul, hogy egy kifejezést egyszer bb megadni új m veletekkel, mint csak az algebra alapm veleteivel. Például az [[[x 1, x 2 ], x 3 ],..., x n ] kifejezés hossza csupán n, ha használhatjuk a kommutátort, ám kifejtve a csoportszorzással exponenciális hosszú lenne n-ben. A kifejezések hosszának változása maga után vonhatja az ekvivalencia és egyenletmegoldhatóság problémák bonyolultságának megváltozását. Ez motiválja, hogy a 8. fejezetben bevezetjük az úgynevezett kiterjesztett problémákat, amikor az inputként kapott kifejezések használhatnak új, az algebra alapm veleteib l el állított termeket. A 8. fejezet f eredménye, hogy csoportok esetén a kiterjesztett problémákra dichotómia van. Tétel (8.2. tétel). Legyen G = (G, ) egy véges csoport. Ha G nilpotens, akkor a G feletti kiterjesztett (polinom) ekvivalencia és kiterjesztett egyenletmegoldhatóság problémák mindegyike P-beli. Ha G nem nilpotens, akkor van olyan f term, hogy a (G,, f) feletti (polinom) ekvivalencia conp-teljes, valamint a (G,, f) feletti egyenletmegoldhatóság NP-teljes. Az értekezés legtöbb eredménye ezután kerül publikálásra. Az értekezés témájában eddig megjelent publikációim angol nyelven [13, 15, 16], magyar nyelven [12, 14]. Ezen eredményekre több, a témában kés bb megjelent cikk is hivatkozik, például [1, 2, 19, 25, 28, 36]. Megjelent dolgozataim hatására meghívtak el adónak a Rényi Alfréd Matematika Kutatóintézet Algebra szemináriumára, a brit University of Hertfordshire Mathematical Computer Science and Applications szemináriumára, a brit Univesity of Essex által megrendezett Algorithms, Computability, Combinatorics and Algebra Workshop-ra, a linzi Johannes Kepler University Algebra szemináriumára valamint a szegedi Bolyai Intézet Algebra és számelmélet szemináriumára.

11 2. fejezet Deníciók, jelölések Legyen A egy véges algebra, jelölje A az A alaphalmazát. Egy A feletti t (x 1,..., x n ) term az x i változókból az algebra alapm veleteivel felépített kifejezés. Egy A feletti p (x 1,..., x n ) polinom az x i változókból és az algebra alaphalmazának elemeib l az algebra alapm veleteivel felépített kifejezés. Legyen p (x 1,..., x n ) egy (term vagy polinom) kifejezés A felett. Ekkor p A -val jelöljük a p-hez rendelt p A : A n A, (a 1,..., a n ) p (a 1,..., a n ) függvényt. Legyenek p (x 1,..., x n ) és q (x 1,..., x n ) két kifejezés (term vagy polinom) A felett. Azt mondjuk, hogy p (x 1,..., x n ) és q (x 1,..., x n ) ekvivalensek A felett (jele: A = p (x 1,..., x n ) q (x 1,..., x n ), vagy röviden A = p q), ha p A és q A azonos függvények, azaz ha minden (a 1,..., a n ) A n esetén p (a 1,..., a n ) = q (a 1,..., a n ). Az A feletti term ekvivalencia probléma (röviden ekvivalencia probléma) azt vizsgálja, hogy két term kifejezés ekvivalens-e A felett. Az A feletti polinom ekvivalencia probléma azt kérdezi, hogy két polinom ekvivalens-e A felett. Az A feletti egyenletmegoldhatóság probléma azt vizsgálja, hogy két A feletti polinom (legyenek p (x 1,..., x n ) és q (x 1,..., x n )) esetén a p = q egyenlet megoldható-e, azaz van-e olyan (a 1,..., a n ) A n, hogy p (a 1,..., a n ) = q (a 1,..., a n ). Az egyenletmegoldhatóság term változatát nem deniáljuk. Ennek az az oka, hogy a dolgozatban els sorban csoportokra és gy r kre vizsgáljuk ezen problémákat, mely struktúrák felett minden term egyenletnek van egy triviális megoldása. Csoportok (gy r k) esetén ha minden változó helyébe az egységelemet (gy r k esetén zéruselemet) helyettesítjük, akkor

12 8 DEFINÍCIÓK, JELÖLÉSEK egy term értéke az egységelem (gy r k esetén a zéruselem). A fenti problémák véges algebrák esetén mindig eldönthet ek például az összes helyettesítés ellen rzésével. Mi ezeknek a döntési problémának a bonyolultságát fogjuk vizsgálni. A bonyolultságelméleti alapfogalmak megtalálhatók például [7]-ben Deníció. Az ekvivalencia probléma (egy A adott véges algebrára) bemenete két A feletti term kifejezés (s és t), és azt kérdezi, hogy s és t ekvivalensek-e A felett, azaz igaz-e, hogy A = s t. A polinom ekvivalencia probléma (egy A adott véges algebrára) bemenete két A feletti polinom (p és q), és azt kérdezi, hogy p és q ekvivalensek-e A felett, azaz igaz-e, hogy A = p q. Az egyenletmegoldhatóság probléma (egy A adott véges algebrára) bemenete két A feletti polinom (p és q), és azt kérdezi, hogy van-e olyan A feletti helyettesítés, melyre p A és q A azonos értéket vesz fel, azaz a p = q egyenlet megoldható-e A felett. Mindhárom probléma esetén a bonyolultságot a bemenet méretében vizsgáljuk, melyhez deniálnunk kell kifejezések hosszát. A különböz egymással ekvivalens deníciók közül mi a következ t választjuk: 2.2. Deníció. Legyen A egy véges algebra. Egy p (term vagy polinom) kifejezés hosszát induktívan deniáljuk és p -vel jelöljük. Egy x változó vagy egy c konstans hossza 1: x = c = 1. Ha f az A algebra egy m változós alapm velete, akkor az f (p 1,..., p m ) polinom hossza (amennyiben f (p 1,..., p m ) értelmes) a p i polinomok hosszainak összege: f (p 1,..., p m ) = m i=1 p i. Így f (x 1,..., x m ) hossza m. Egy kifejezés hossza tehát a kifejezésben el forduló változók és konstansok száma multiplicitással. A deníció egyenes következménye, hogy a hossz kompozícióra szorzódik, azaz minden A feletti p, q 1,..., q n polinomra p (q 1,..., q n ) p max { q i i = 1,..., n }. Az ekvivalencia problémák conp-beliek: ugyanis, ha p (x 1,..., x n ) és q (x 1,..., x n ) (term vagy polinom) kifejezésekre nem teljesül, hogy A = p q, akkor vannak olyan a 1,..., a n A elemek, hogy p (a 1,..., a n )

13 2 Deníciók, jelölések 9 q (a 1,..., a n ). Ezt egy helyettesítéssel ellen rizhetjük p és q hosszainak polinomidejében. Ugyanígy az egyenletmegoldhatóság NP-beli: ha p (x 1,..., x n ) és q (x 1,..., x n ) (term vagy polinom) kifejezésekre p = q megoldható, akkor vannak olyan a 1,..., a n A elemek, hogy p (a 1,..., a n ) = q (a 1,..., a n ). Ezt is egyetlen helyettesítéssel ellen rizhetjük p és q hosszainak polinomidejében. Továbbá, ha az A feletti egyenletmegoldhatóság probléma P-beli, akkor egy A feletti egyenletnek polinomid ben tudunk gyökét keresni. Legyen ugyanis p és q két n változós polinom, melyekre p = q megoldható. Minden a A-ra ellen rizzük, hogy p (a, x 2,..., x n ) = q (a, x 2,..., x n ) megoldhatóe. Mivel p = q megoldható, ezért találunk egy olyan a 1 A-t, melyre p (a 1, x 2,..., x n ) = q (a 1, x 2,..., x n ) megoldható. Rögzítjük a 1 -et, majd az x 2 helyébe helyettesítjük A elemeit: minden a A-ra ellen rizzük, hogy p (a 1, a, x 3,..., x n ) = q (a 1, a, x 3,..., x n ) megoldható-e. Így találunk egy olyan a 2 A-t, melyre p (a 1, a 2, x 3,..., x n ) = q (a 1, a 2, a 3,..., x n ) megoldható, stb. A változók helyébe sorban végigpróbálva A elemeit találunk egy (a 1,..., a n ) gyökét a p = q egyenletnek. Ez az algoritmus polinomidej, ha az egyenletmegoldhatóság eldöntése polinomidej, ugyanis az egyenletmegoldhatósági algoritmust legfeljebb (n A + 1)-szer alkalmazzuk. A dolgozatban els sorban csoportokra és gy r kre vizsgáljuk az ekvivalencia és egyenletmegoldhatóság problémák bonyolultságát. Egy G = (G, ) véges csoport alatt egy G véges halmazt értünk egy asszociatív szorzással. Az egyszer ség kedvéért az inverz m veletet és az egységelemet nem tekintjük G alapm veletének. Ezek véges csoportok esetén kifejezhet ek a szorzással. Egy csoportkifejezés tehát változók szorzata, míg egy csoportpolinom változók és csoportbeli elemek szorzata. Hasonlóan egy R = (R, +, ) véges gy r alatt egy R véges halmazt értünk egy + összeadással és egy szorzással. Nem tekintjük a zéruselemet, valamint a kivonást R alapm veletének, ezek véges gy r kre kifejezhet ek az összeadás segítségével. Egy G véges csoportra pontosan akkor teljesül, hogy G = p q, ha G = pq 1 1. Csoportok esetén tehát elegend azt vizsgálni, hogy egy t kifejezésre teljesül-e t 1. Hasonlóan elegend egy t kifejezésre t = 1 megoldhatóságát vizsgálni. Ugyanígy, gy r k esetén azt fogjuk vizsgálni, hogy egy t kifejezésre igaz-e, hogy R = t 0, vagy t = 0 megoldható-e.

14 10 DEFINÍCIÓK, JELÖLÉSEK Mivel minden term polinom is, ezért ha a polinom ekvivalencia P-beli, akkor az ekvivalencia is P-beli. Hasonlóan, ha az ekvivalencia conp-teljes, akkor a polinom ekvivalencia is conp-teljes. Továbbá, ha A egy véges gy - r vagy csoport, melyre az egyenletmegoldhatóság P-beli, akkor a polinom ekvivalencia is P-beli: ugyanis legyen A = { a 1,..., a N }. Ekkor könnyen eldönthetjük, hogy teljesül-e A = t a 1 : minden 2 k N-re ellen rizzük, hogy t = a k megoldható-e A felett. Ha van olyan 2 k N, hogy t = a k megoldható, akkor nem teljesül, hogy A = t a 1. Ha nincs ilyen k, akkor teljesül, hogy A = t a 1. Legyenek f, g : Z + Z + függvények. Ha f(n)/g(n) felülr l korlátos, akkor azt mondjuk, hogy g (n) = O (f (n)). Ekvivalensen azt mondjuk, hogy g (n) = O (f (n)), ha van pozitív egész C, hogy minden pozitív egész n-re g (n) C f (n).

15 3. fejezet Kommutatív gy r k Az alábbi fejezetben a kommutatív gy r kre vonatkozó szigma ekvivalencia és szigma egyenletmegoldhatóság problémákat vizsgáljuk. Ahogy a bevezet ben is említettük, a szigma problémák abban különböznek a hagyományos problémáktól, hogy a bemenetként kapott polinom monomok összegeként van felírva. A fejezet f eredményei a következ ek Tétel. Legyen R véges, kommutatív gy r. Ekkor az R feletti szigma (polinom) ekvivalencia probléma P-beli Tétel. Legyen az R gy r véges testek, Z 4 -ek és nilpotens gy r k direkt összege. Ekkor az R feletti szigma egyenletmegoldhatóság P-beli. Tekintsük át el ször a véges kommutatív gy r k szerkezetér l ismert eredményeket, melyeket a fejezet további részében hivatkozás nélkül használunk. Az olvasó [11, 22, 26, 37]-ben megtalálhatja a részleteket. Minden kommutatív gy r egy nilpotens gy r és néhány lokális, prímhatvány karakterisztikájú gy r direkt összegére bomlik. Mint látni fogjuk, a szigma ekvivalencia probléma visszavezethet komponensekre, így a 3.1. tétel állítását elegend nilpotens, valamint lokális, prímhatvány karakterisztikájú gy r kre igazolni. A 3.1. szakaszban bebizonyítjuk, hogy a véges nilpotens gy r feletti szigma (polinom) ekvivalencia és szigma egyenletmegoldhatóság problémák mindegyike P-beli, ilyen gy r kre ugyanis elég korlátos méret helyettesítéseket ellen rizni.

16 12 KOMMUTATÍV GY R K A lokális, prímhatvány karakterisztikájú gy r k elméletében fontos szerepet játszanak az úgynevezett Galois gy r k. Ha h d (y) egy egyváltozós, d-edfokú, egész együtthatós, 1 f együtthatójú polinom, mely egy p prímre irreducibilis modulo p, akkor a Z [y] / (p c, h d (y)) faktorgy r t p c karakterisztikájú d fokú Galois gy r nek nevezzük és GR (p c, d)-vel jelöljük: GR (p c, d) = Z [y] / (p c, h d (y)). A GR (p c, d) gy r egyértelm en meghatározott a p, c, d egészek által, és nem függ a h d polinom választásától. A GR (p c, d) gy r karakterisztikája p c, elemszáma p cd. Megjegyezzük, hogy GR (p, d) izomorf a p d elem testtel, míg ha h d (y) els fokú, akkor a GR (p c, 1) gy r izomorf Z p c-vel. Minden I GR (p c, d) ideálhoz van 0 i c, hogy I = (p i ), azaz minden ideál f ideál. Így minden GR (p c, d) gy r feletti végesen generált modulus ciklikus GR (p c, d)-modulusok direkt összege. A GR (p c, d) Jacobson radikálja (p). Ez az egyetlen maximális ideál GR (p c, d)-ben, így GR (p c, d) kommutatív, lokális gy r, p c karakterisztikával. Minden 1 i c esetén GR (p c, d) / (p i ) izomorf GR (p i, d)-vel. Speciálisan a Jacobson radikál szerinti faktor izomorf a p d elem testtel. Legyen R egy véges, kommutatív, lokális gy r, jelölje J a Jacobson radikálját. Ha R karakterisztikája p c, R/J pedig izomorf a p d elem testtel, akkor létezik GR (p c, d)-vel izomorf R 0 részgy r R-ben. Az R 0 részgy r multiplikatív csoportjában létezik ( p d 1 ) -edrend elem. Jelöljünk egy ilyen elemet r-rel, ekkor az R csoport direkt szorzata az S = { r i 1 i p d 1 } ciklikus csoportnak és az { 1 + u u J } p- csoportnak. Továbbá minden R-beli elem egyértelm en áll el egy J -beli és egy S { 0 }-beli elem összegeként, azaz S { 0 } egy reprezentáns rendszer R/J -hez. A 3.1. tételt a 3.2. szakaszban, a 3.2. tételt a 3.3. szakaszban bizonyítjuk. A 3.1. tétel bizonyításának gondolatmenete a következ : Egy R kommutatív, lokális, prímhatvány karakterisztikájú gy r re bebizonyítjuk, hogy a szigma ekvivalencia probléma P-beli. Legyen f R [x 1,..., x n ] monomok összege. Az els ötlet, hogy minden (r 1,..., r n ) R n helyettesítésre az r i elemek egyértelm en írhatók s i + u i alakban, ahol s i S { 0 } és u i J. Tehát f értékkészlete megegyezik az f (x 1 + u 1,..., x n + u n ) polinomok S { 0 }-beli

17 3.1 Nilpotens gy r k 13 helyettesítéseknél vett értékkészleteinek uniójával (u i J ). A 3.1. szakaszban a nilpotens gy r kre bizonyított eredményekhez hasonlóan van olyan d, csak R-t l függ állandó, hogy az f (x 1 + u 1,..., x n + u n ) polinomok értékkészletének uniójához elegend azon (u 1,..., u n ) J -ket tekinteni, ahol legfeljebb d darab u i értéke nem 0. Így J n darab új polinom vizsgálata helyett elegend O ( n d) darab új polinomot vizsgálni S { 0 }-beli helyettesítésekre. Ezután tekintsük R-et, mint az R 0 Galois részgy r feletti modulust. Ekkor R ciklikus R 0 -modulusok direkt összege, így egy polinom pontosan akkor azonosan 0, ha minden részmodulusban azonosan 0. Ezzel visszavezettük a problémát Galois gy r k feletti polinomok vizsgálatára, ahol a változók helyébe S { 0 }-beli elemeket helyettesítünk. Végül karakterizáljuk egy Galois gy r felett azon polinomokat, melyek az S { 0 }-beli helyettesítésekre mindig 0-t adnak Nilpotens gy r k Ebben a szakaszban belátjuk, hogy az ekvivalencia és egyenletmegoldhatóság problémák hagyományos és szigma változata is P-beli minden nilpotens gy r re. Az ekvivalencia probléma P-beliségét [17]-ben bizonyították. A szakasz f eredménye, hogy nilpotens gy r k fölött az egyenletmegoldhatóság polinom id ben eldönthet, valamint, hogy új, egységes bizonyítást adunk a nilpotens gy r k fölötti összes szóbajöv probléma P-beliségére. Minden r = (r 1,..., r n ) R n -re és I { 1,..., n }-re jelölje r I azt az (u 1,..., u n ) gy r beli n-est, ahol u i = r i, ha i I és u i = 0, ha i / I. Az alábbi lemma alapján egy polinom értékkészlete kiszámolható korlátos méret helyettesítéseken Lemma. Minden R véges, nem feltétlen kommutatív, nilpotens gy r - höz van csak R-t l függ d pozitív egész szám, hogy ha f R [x 1,..., x n ] monomok összege és r = (r 1,..., r n ) R n, akkor van olyan I { 1,..., n }, I d, hogy f ( r I ) = f ( r). Bizonyítás. Legyen c az a legkisebb pozitív egész, hogy c r = 0 minden r R-re, azaz c az (R, +) Abel csoport exponense. Legyen t az a legki-

18 14 KOMMUTATÍV GY R K sebb pozitív egész, amelyre R t = 0. Legyen f R [x 1,..., x n ] monomok összege. Mivel egy helyettesítésre minden legalább t változótól függ monom értéke 0, ezért feltehet, hogy f minden monomja kevesebb, mint t változótól függ. Csoportosítsuk f monomjait a bennük el forduló változók szerint: legyen minden I { 1,..., n }-re f I azon f-beli monomok összege, melyek pontosan az I index változóktól függnek. Legyen r = (r 1,..., r n ) R n tetsz leges, és tekintsük f ( r)-et. Jelölje H azon indexeket, melyekre r i 0, azaz H = { 1 i n r i 0 }. Keresünk H-nak egy olyan I valódi részhalmazát, hogy ha r-ben az I index elemeket 0-ra változtatjuk, akkor ezen új helyettesítésre az f polinom értéke továbbra is f ( r) marad. Legyen most I H tetsz leges, és számítsuk ki f értékét arra a helyettesítésre, ahol r-ben az I index elemeket 0-ra változtatjuk, azaz f ( r ) H\I -t. Ekkor f-ben éppen azon monomok értéke változik 0-ra, melyek I egy részhalmazától függnek, azaz f ( r ) H\I = f ( r) f { i } ( r) f { i,j } ( r) f { i,j,k } ( r)... i I i,j I i,j,k I Olyan I H-t fogunk találni, melyre a i I f { i } ( r), i,j I f { i,j } ( r), stb. összegek mindegyike 0. Ehhez színezzük H részhalmazait R elemeivel: egy I H részhalmaz színe legyen f I ( r). Ramsey tételének az alábbi változatát (lásd pl. [10]) használjuk: Ramsey Tétel. Legyenek k és t pozitív egészek. Színezzük egy H halmaz legfeljebb t elem részhalmazait k színnel. Ekkor minden m-hez van olyan d, hogy ha H > d, akkor van H-nak olyan m elem I részhalmaza, hogy I-nek minden azonos elemszámú, legfeljebb (t 1) elem részhalmaza azonos szín. A Ramsey tétel alapján tehát minden m-hez létezik egy olyan d, hogy ha H > d, akkor van H-nak egy olyan m elem I részhalmaza, hogy I- nek minden 1 elem részhalmaza azonos szín, minden 2 elem részhalmaza azonos szín, stb., minden (t 1) elem részhalmaza azonos szín. Jelölje γ(i) az i elem részhalmazok (azonos) színét. Azaz, γ (i) = f I0 ( r), ahol I 0 - nak az I halmaz bármely i elem részhalmazát választhatjuk. Ekkor f értéke

19 3.2 Szigma ekvivalencia 15 az r H\I helyettesítésre f ( r ) H\I = f ( r) f { i } ( r) t 1 ( ) m f { i,j } ( r)... = f ( r) γ (i). i i,j I i I Ha például m-et úgy választjuk meg, hogy minden ( m i ) binomiális együttható osztható c-vel, akkor f ( r H\I ) = f ( r) teljesül. Például az m = (t 1)! c választás megfelel a feltételeknek. Ha H > d, akkor találtunk olyan I H- t, hogy f ( r H\I ) = f ( r). Amennyiben H \ I > d, úgy ismételjük meg az eljárást H = H \ I-re addig, míg végül H \ I d nem teljesül. Megjegyezzük, hogy a Ramsey tétel alapján kapott d értéke a gy r méretéhez képest igen nagy, körülbelül m m mn, ahol t darab m áll a toronyban. Ám d értéke csak az R gy r t l függ, a bemeneti polinomtól nem, és nekünk erre volt szükségünk Tétel. Legyen R egy véges nilpotens gy r. Az R feletti (szigma) (polinom) ekvivalencia és (szigma) egyenletmegoldhatóság P-beli. Bizonyítás. Legyen d a 3.3. lemmában szerepl, csak R-t l függ állandó. Legyen g (x 1,..., x n ) egy tetsz leges polinom R felett. Hozzuk g-t monomok összegére úgy, hogy felbontjuk a zárójeleket. Az így kapott polinomot jelöljük f-fel. Világos, hogy minden r 1,..., r n R-re g (r 1,..., r n ) = f (r 1,..., r n ). A 3.3. lemma miatt f (és így g) értékkészletéhez elegend azon g (r 1,..., r n ) értékek kiszámolása, melyeknél legfeljebb d darab r i nem 0. Jelöljük az ilyen n-esek számát T d -vel. Ez tehát d ( ) n d T d R j (n R ) j (d + 1) (n R ) d = O ( g d) j j=0 j=0 helyettesítés kiszámolása. Ezzel polinomid ben megkaptuk g értékkészletét. Pontosan akkor teljesül R = g 0, ha g értékkészlete { 0 }. Továbbá pontosan akkor oldható meg g = 0, ha a 0 szerepel g értékkészletében. i= Szigma ekvivalencia Ebben a szakaszban bebizonyítjuk a 3.1. tételt. Használjuk a fejezet elején áttekintett, véges gy r kre vonatkozó eredményeket, melyeket az olvasó

20 16 KOMMUTATÍV GY R K [11, 22, 26, 37]-ben részletesebben is megtalálhat. Minden kommutatív véges gy r felbomlik egy nilpotens gy r és néhány lokális, prímhatvány karakterisztikájú gy r direkt összegére. Egy polinom pontosan akkor ekvivalens 0-val, ha a gy r minden komponensében ekvivalens 0-val. Így elegend az ekvivalencia probléma P-beliségét nilpotens, valamint lokális, prímhatvány karakterisztikájú gy r re bizonyítani. Nilpotens gy r re a 3.4. tétel alapján az ekvivalencia probléma P-beli. A szakasz további részében tehát lokális, prímhatvány karakterisztikájú gy r ket tekintünk. Legyen R egy véges, kommutatív, lokális gy r. Legyen R karakterisztikája p c valamilyen p prímre. Jelöljük R Jacobson radikálját J -vel és legyen t az a legkisebb pozitív egész, melyre J t = { 0 }. Tegyük fel, hogy R/J izomorf a p d elem testtel. Ekkor létezik egy olyan R 0 R részgy r, mely izomorf a GR (p c, d) Galois gy r vel. Legyen q = p d, ekkor létezik egy (q 1)-ed rend r R 0 eleme R -nak. Legyen S = { r j 1 j q 1 } és legyen S 0 = S { 0 }. Ekkor S 0 egy reprezentáns rendszer R/J -hez, azaz R = { s + u s S 0, u J }. Legyen f R [x 1,..., x n ] monomok összegeként felírva. El ször visszavezetjük a problémát S 0 -beli helyettesítések vizsgálatára. Legyenek u 1,..., u n tetsz leges J -beli elemek és legyen ū = (u 1,..., u n ). Legyen továbbá fū (x 1,..., x n ) = f (x 1 + u 1,..., x n + u n ) az a polinom, melyet úgy kapunk, hogy az x i változó helyébe (x i + u i )-t írunk, majd a zárójeleket felbontva felírjuk monomok összegeként. Nem írjuk fel azokat a monomokat amelyekben legalább t darab u i szerepel szorzótényez ként, ugyanis ezek értéke minden helyettesítésnél 0. Így fū kiszámolható O ( f t) id ben, valamint fū = O ( f t). Tekintsük az összes fū-t minden lehetséges u 1,..., u n J -re. Világos, hogy f értékkészlete megegyezik az fū polinomok S 0 -beli helyettesítésre felvett értékkészleteinek uniójával. Összesen J n darab fū polinomunk van, ami exponenciális f -ben. Nincs azonban szükségünk mindegyikükre az f értékkészletének meghatározásához. Legyen d a 3.3. lemmában szerepl egész szám. Legyen s 1,..., s n S 0 és u 1,..., u n J tetsz leges, és tekintsük az fū (s 1,..., s n ) értéket. A 3.3. lemmához hasonlóan van egy olyan ū = (u 1,..., u n), hogy legfeljebb d darab

21 3.2 Szigma ekvivalencia 17 u i = u i, a többi u i = 0, valamint fū (s 1,..., s n ) = fū (s 1,..., s n ), azaz fū és fū ugyanazt az értéket veszi fel az s 1,..., s n S 0 helyettesítésre. Tehát f értékkészlete megegyezik azon fū polinomok értékkészletének uniójával, melyekre ū = (u 1,..., u n )-ben az u i -k között legfeljebb d darab nem 0 szerepel. Ez összesen d j=0 ( ) n J j j d j=0 (n R ) j (d + 1) (n R ) d = O ( f d) darab polinom. ( Tehát pontosan akkor teljesül, hogy R = f 0, ha a fent emített O f d) darab polinom mindegyike ekvivalens 0-val az S 0 - beli helyettesítésekre. Mindegyik polinom kiszámolható O ( ( f t) id ben, összesen O f d) sok polinomot vizsgálunk, így a visszavezetés polinomiális. Rögzítsünk tehát egy ū = (u 1,..., u n )-t, ahol legfeljebb d darab u i nem 0. Legyen g = fū. Belátjuk, hogy g polinomidejében ellen rizhet, hogy R = g 0 teljesül-e az S 0 -beli helyettesítésekre. Minden g-ben el forduló monomot hozzunk x k 1 1 x k x kn n r alakra, ahol r R. Ez R kommutativitása miatt megtehet. A kapott polinomot osszuk el (x q i x i)-vel minden 1 i n-re. Ez megtehet O (n g ) id ben: minden monomban az x i kitev jét maradékosan elosztjuk (q 1)-gyel, és lecseréljük a kitev t az osztás maradékára az { 1, 2,..., q 1 } halmazból. Végül összevonjuk azokat a monomokat, melyekben az x 1,..., x n kitev i rendre megegyeznek. Az így kapott polinom minden S 0 -beli helyettesítési értéke megegyezik a g polinom S 0 -beli helyettesítési értékeivel. A szakasz elején kiválasztottuk R-nek egy GR (p c, d)-vel izomorf R 0 részgy r jét. Egy Galois gy r feletti modulus ciklikus modulusok direkt összegére bontható. Tekintsük R-et, mint R 0 feletti modulust. Ekkor R felbomlik ciklikus R 0 -modulusok direkt összegére, azaz léteznek olyan b 1,..., b k R elemek, hogy R = R 0 b 1 R 0 b k, mint R 0 -modulus. Ekkor minden r R egyértelm en írható fel k i=1 r ib i alakban, ahol r i R 0 (1 i k). Írjuk a g-ben szerepl konstansokat k i=1 r ib i alakba, majd írjuk fel g-t a megfelel komponensek összegeként.

22 18 KOMMUTATÍV GY R K Ekkor k g (x 1,..., x n ) = g i (x 1,..., x n ) b i, i=1 ahol g i R 0 [x 1,..., x n ] már R 0 feletti polinom (nem pedig R feletti), és g i minden monomjában minden változó legfeljebb a (q 1)-edik hatványon szerepel. A g i polinom kiszámolható O ( g ) id ben, valamint g i = O ( g ) (1 i k). Tehát pontosan akkor teljesül, hogy R = g 0 az S 0 - beli helyettesítésekre, ha minden 1 i k-ra és minden s 1,..., s n S 0 -ra g i (s 1,..., s n ) Ann { b i }. Mivel Ann { b i } ideál R 0 -ban, és R 0 -ban minden ideál f ideál, ezért van olyan 0 c i c egész szám, hogy Ann { b i } = (p c i ). Így pontosan akkor teljesül, hogy g i (s 1,..., s n ) Ann { b i }, ha p c ci g i (s 1,..., s n ) = 0. Összefoglalva: pontosan akkor teljesül, hogy R = g 0 az S 0 -beli helyettesítésekre, ha minden 1 i k-ra teljesül, hogy R 0 = p c ci g i 0 az S 0 -beli helyettesítésekre. Visszavezettük tehát a problémát olyan R 0 = GR (p c, d) feletti polinomok vizsgálatára, melyek minden monomjának minden változója legfeljebb (q 1)-edik hatványon szerepel, és minden monom legfeljebb egyszer fordul el. A bizonyítás hátralev részében c-re vonatkozó teljes indukcióval belátjuk, hogy ha h egy ilyen GR (p c, d) feletti polinom a fenti normál formában, melyre GR (p c, d) = h 0 teljesül az S 0 -beli helyettesítésekre, akkor h minden monomjának együtthatója 0, azaz h maga a 0 polinom. Ez polinomid ben eldönthet. A c = 1 eset (amikor R izomorf a q elem testtel) megtalálható pl. [6]-ban, a bizonyítás a változók száma szerinti indukcióval történik. Legyen most c 2. Legyen F = GR (p c, d) /(p), ekkor F a q elem test, és S 0 /(p) = F. Mivel F = h 0, így az indukciós feltevés miatt h minden együtthatója osztható p-vel, azaz h = p h alakú. Ha tehát GR (p c, d) = h 0 az S 0 -beli helyettesítésekre, akkor h minden értéke benne van a (p c 1 ) ideálban. Tehát GR (p c, d) / (p c 1 ) = h 0. Mivel GR (p c, d) / (p c 1 ) GR (p c 1, d), így az indukciós feltevés alapján h minden együtthatója 0 a GR (p c, d) / (p c 1 ) faktorgy r ben. Tehát a GR (p c, d) gy - r ben h minden együtthatója osztható p c 1 -gyel, így h minden együtthatója osztható p c -vel. Ezzel a 3.1. tételt bebizonyítottuk Megjegyzés. Ha R véges lokális, egységelemes, p c karakterisztikájú, nem

23 3.3 Szigma egyenletmegoldhatóság 19 feltétlen kommutatív gy r, ahol R/J a p d elem test, valamint az R-ben részgy r ként megtalálható GR (p c, d) minden eleme felcserélhet R minden elemével, akkor a fenti bizonyítás alkalmazható R-re. Ez a feltétel teljesül például minden olyan R egységelemes, lokális gy r re, ahol az R/J test elemszáma prím Szigma egyenletmegoldhatóság Ebben a szakaszban bebizonyítjuk a 3.2. tételt. Legyen R véges testek, Z 4 -ek és nilpotens gy r k direkt összege. Egy f polinomra pontosan akkor oldható meg f = 0 az R gy r ben, ha minden komponensében megoldható. elegend véges testekre, Z 4 -re, valamint nilpotens gy r kre igazolni a tételt. Nilpotens gy r kre a szigma egyenletmegoldhatóság P-beli a 3.1. szakaszban bizonyított 3.4. tétel alapján. Véges testek, valamint Z 4 felett visszavezetjük a szigma egyenletmegoldhatóságot a szigma ekvivalenciára. Legyen F egy q elem véges test és legyen f F [x 1,..., x n ] monomok összege. Legyen g (x 1,..., x n ) = 1 f q 1 (x 1,..., x n ) monomok összegére bontva. A g polinom O ( f q ) id ben kiszámolható f-b l. Továbbá könny látni, hogy pontosan akkor nem oldható meg f = 0, ha F = g 0 teljesül. Utóbbi a 3.1. tétel alapján ellen rizhet g = O ( f q ) polinomidejében. Tekintsük végül a Z 4 gy r t, és legyen f Z 4 [x 1,..., x n ] monomok összege. Legyen g (x 1,..., x n ) = (f (x 1,..., x n ) + 1) (f (x 1,..., x n ) 1) (f (x 1,..., x n ) 2) monomok összegére bontva. A g polinom O ( f 4) id ben kiszámolható f- b l. Továbbá könny látni, hogy pontosan akkor nem oldható meg f = 0, ha Z 4 = g 0 teljesül. Utóbbi a 3.1. tétel alapján ellen rizhet g = O ( f 4) polinomidejében. Így

24 4. fejezet Modulusok Ebben a fejezetben kiterjesztjük az ekvivalencia és egyenletmegoldhatóság problémákat gy r kr l modulusokra. Azon túl, hogy ezen problémák bonyolultsága modulusokra önmagában is érdekes, az itt bizonyított eredményeket felhasználjuk a 6. fejezetben. Ott Abel csoportok szemidirekt szorzatait vizsgáljuk, melyek fölötti ekvivalencia és egyenletmegoldhatóság problémákat visszavezetjük modulusok feletti ekvivalenciára és egyenletmegoldhatóságra. A továbbiakban legyen R egy véges, egységelemes gy r, M pedig egy R feletti balmodulus. Legyen X = { x 0, x 1,... } és legyen Y = { y 0, y 1,... }. Az R [X] polinomgy r feletti Y által generált szabad M-modulus elemeit modulustermeknek nevezzük. Moduluspolinomnak nevezünk egy olyan kifejezést, melyet egy modulustermb l úgy kaphatunk, hogy néhány Y -beli változóba M-beli elemet helyettesítünk. Az f (x 1,..., x n ; y 1,..., y k ) moduluspolinomra tehát úgy gondolunk, hogy a pontosvessz el tt szerepl x i változók helyébe R-beli elemeket helyettesíthetünk, a pontosvessz utáni y j változók helyébe M-beli elemeket helyettesíthetünk. A gy r k feletti polinomok ekvivalenciájának mintájára deniálhatjuk a moduluspolinomok ekvivalenciáját is. A továbbiakban azonban hasznos lesz kicsit általánosabban kezelnünk ezt a fogalmat. Legyen S R. Ekkor az x i változók helyébe S-beli helyettesítéseket tekintünk. Azt mondjuk, hogy az f (x 1,..., x n ; y 1,..., y k ) és g (x 1,..., x n ; y 1,..., y k ) moduluspolinomok ekvivalensek (R, M) felett az S- beli helyettesítésekre, ha minden s 1,..., s n S és minden a 1,..., a k M

25 4 Modulusok 21 elemre teljesül, hogy f (s 1,..., s n ; a 1,..., a k ) = g (s 1,..., s n ; a 1,..., a k ). Ekkor azt írjuk, hogy (R, M) = f g teljesül az S-beli helyettesítésekre. Hasonlóan, azt mondjuk, hogy f = g megoldható (R, M) felett S-beli helyettesítéssel, ha vannak s 1,..., s n S és a 1,..., a k M elemek, hogy f (s 1,..., s n ; a 1,..., a k ) = g (s 1,..., s n ; a 1,..., a k ). A modulus polinom ekvivalencia probléma tehát azt vizsgálja, hogy két moduluspolinom ekvivalens-e (R, M) felett az S-beli helyettesítésekre. Hasonlóan, a modulus egyenletmegoldhatóság probléma azt vizsgálja, hogy két moduluspolinomhoz (legyenek f és g) az f = g egyenlet megoldható-e (R, M) felett S-beli helyettesítéssel. A gy r khöz hasonlóan itt is elegend azt vizsgálni, hogy egy moduluspolinom ekvivalens-e 0-val, illetve hogy van-e olyan helyettesítés, ahol 0-t vesz fel. Továbbá az M = R speciális esetben visszakapjuk a hagyományos gy r problémákat. A gy r kre használt gondolatmenetek segítségével könny igazolni, hogy az (R, M) feletti ekvivalencia conp-teljes, ha Ann M = R, és P-beli egyébként. Hasonló tétel bizonyítható az egyenlet megoldhatóságra. Így a fejezet további részében a modulus ekvivalencia és modulus egyenletmegoldhatóság problémák szigma változtatait fogjuk vizsgálni, ahol tehát a bemeneti moduluspolinom úgynevezett modulusmonomok összegeként áll el. Modulusmonomnak nevezzük az m y és az m a kifejezéseket, ahol m egy R feletti monom, y egy Y -beli változó, a pedig egy M-beli elem. A modulus szigma polinom ekvivalencia tehát abban különbözik a modulus polinom ekvivalenciától, hogy a bemeneti moduluspolinom modulusmonomok összegeként van felírva. Hasonlóan, a modulus szigma egyenletmegoldhatóságban a bemeneti moduluspolinom modulusmonomok összege. A fejezet két f eredménye a következ : 4.1. Tétel. Legyen R egy kommutatív, egységelemes gy r, M egy R feletti h modulus. Legyen S az R egy részcsoportja. Ha f modulusmonomok összegeként felírt moduluspolinom, akkor f polinomidejében eldönthet, hogy (R, M) = f 0 teljesül-e az S-beli helyettesítésekre.

26 22 MODULUSOK 4.2. Tétel. Legyen R = l i=1f i, ahol F i test minden 1 i l-re. Legyen M egy R feletti modulus. Legyen S = S i, ahol S i az Fi egy részcsoportja. Legyen f modulusmonomok összegeként felírt moduluspolinom. Ekkor f polinomidejében eldönthet, hogy f = 0 megoldható-e S-beli helyettesítéssel (R, M) felett. A 4.1. tételt a 4.1. szakaszban, a 4.2. tételt a 4.2. szakaszban bizonyítjuk. Megjegyezzük, hogy a bizonyítások apró módosításával a 4.1. és 4.2. tételek állítása igaz S = R esetén is, azaz amikor a változók helyébe tetsz leges gy r elemet helyettesíthetünk. Mivel a dolgozatban ezeket az eredményeket kés bb nem használjuk, így a bizonyításaikat nem részletezzük. A fejezetet a Z 4 gy r feletti ciklikus modulusok vizsgálatával zárjuk Állítás. Legyen M egy Z 4 feletti ciklikus modulus. Legyen S a Z 4 egy multiplikatív részcsoportja. Legyen f egy modulusmonomok összegeként felírt moduluspolinom. Ekkor f polinomidejében eldönthet, hogy f = 0 megoldható-e S-beli helyettesítéssel (Z 4, M) felett Szigma ekvivalencia Ebben a szakaszban bebizonyítjuk a 4.1. tételt. A bizonyítás jellegénél fogva hasonlít a 3.1. tétel bizonyítására. Használjuk a 3. fejezet elején áttekintett, véges gy r kre vonatkozó eredményeket, melyeket az olvasó [11, 22, 26, 37]- ben részletesebben is megtalálhat. Minden egységelemes, kommutatív, véges gy r felbomlik lokális, prímhatvány karakterisztikájú gy r k direkt összegére. Vannak tehát R i kommutatív, lokális, prímhatvány karakterisztikájú gy r k, hogy R = l i=1r i. Ekkor M = RM = R i M miatt M az R i M részmodulusok direkt összege. Továbbá R i M egy R i feletti modulus, és minden j i-re R j R i M = { 0 }. Legyen S i az S vetülete R i -re, nyilván S i az R i egy részcsoportja. Legyen f egy modulusmonomok összegeként felírt moduluspolinom. Minden 1 i l-re legyen f i az a polinom, melyet úgy kapunk f-b l, hogy az R-beli konstansokat lecseréljük az R i -beli komponensükre, az M-beli konstansokat pedig az R i M-beli komponensükre. Könny látni, hogy pontosan akkor teljesül (R, M) = f 0 az S-beli helyettesítésekre,

27 4.1 Szigma ekvivalencia 23 ha minden 1 i l-re teljesül (R i, M i ) = f i 0 az S i -beli helyettesítésekre. Elegend tehát lokális, prímhatvány karakterisztikájú gy r k feletti modulusokat vizsgálni. A továbbiakban legyen R egy véges, kommutatív, prímhatvány karakterisztikájú, lokális gy r, M egy R feletti modulus, és legyen S az R egy részcsoportja. Legyen R karakterisztikája p c valamilyen p prímre. Jelöljük R Jacobson radikálját J -vel és legyen t az a legkisebb pozitív egész, melyre J t = { 0 }. Tegyük fel, hogy R/J izomorf a p d elem testtel. Ekkor létezik egy olyan R 0 R részgy r, mely izomorf a GR (p c, d) Galois gy r vel. Legyen q = p d, ekkor létezik egy (q 1)-ed rend r R 0 eleme R -nak. Legyen S 0 = { r m 1 m q 1 }. Ekkor R = { s (1 + u) s S 0, u J }. Továbbá S-hez létezik egy S 0 S 0 részcsoport és egy olyan J 0 J részhalmaz, hogy S = S 0 (1 + J 0 ) = { s (1 + u) s S 0, u J 0 }. Mivel S 0 ciklikus, ezért létezik egy k pozitív egész szám, melyre S 0-t generálja r k, azaz S = { s k (1 + u) s S 0, u J 0 }. Legyen f (x 1,..., x n ; y 1,..., y k ) modulusmonomok összegeként felírt moduluspolinom. El ször visszavezetjük a problémát S 0 -beli helyettesítések vizsgálatára. Legyenek u 1,..., u n J 0 tetsz leges elemek és jelöljük ū-sal az (u 1,..., u n ) gy r beli n-est. Legyen továbbá fū (x 1,..., x n ; y 1,..., y k ) = f ( x k 1 (1 + u 1 ),..., x k n (1 + u n ) ; y 1,..., y k ) az a moduluspolinom, melyet úgy kapunk, hogy minden x i változó helyébe x k i (1 + u i )-t írunk, majd a zárójeleket felbontva felírjuk modulusmonomok összegeként. Nem írjuk fel azokat a modulusmonomokat, amelyekben legalább t darab u i szerepel szorzótényez ként, ugyanis ezek értéke minden helyettesítésnél 0. Így fū kiszámolható O ( f t+1) id ben, valamint fū = O ( f t+1). Tekintsük az összes fū-t minden lehetséges u 1,..., u n J 0 -ra. Világos, hogy az f moduluspolinom S-beli helyettesítésekre felvett értékkészlete megegyezik az fū moduluspolinomok S 0 -beli helyettesítésre felvett értékkészleteinek uniójával. Összesen J 0 n darab fū polinomunk van, ami exponenciális f -ben. Nincs azonban szükségünk mindegyikre az f értékkészletének meghatározásához. Legyen d a 3.3. lemmában szerepl egész

28 24 MODULUSOK szám. Legyenek s 1,..., s n S 0, u 1,..., u n J 0 és a 1,..., a k M tetsz legesek, és tekintsük az fū (s 1,..., s n ; a 1,..., a k ) értéket. A 3.3. lemmához hasonlóan van egy olyan ū = (u 1,..., u n), hogy legfeljebb d darab u i = u i, a többi u i = 0, valamint fū (s 1,..., s n ; a 1,..., a k ) = fū (s 1,..., s n ; a 1,..., a k ), azaz fū és fū ugyanazt az értéket veszi fel az s 1,..., s n S 0, a 1,..., a k M helyettesítésre. Tehát f értékkészlete megegyezik azon fū moduluspolinomok értékkészletének uniójával, melyekre ū = (u 1,..., u n )-ben az u i -k között legfeljebb d darab nem 0 szerepel. Ez összesen d ( ) n d J 0 j (n R ) j (d + 1) (n R ) d = O ( f d) j j=0 j=0 darab moduluspolinom. Tehát pontosan akkor ( teljesül (R, M) = f 0 az S-beli helyettesítésekre, ha a fent emített O f d) darab moduluspolinom mindegyike ekvivalens 0-val az S 0 -beli helyettesítésekre. Mindegyik polinom kiszámolható O ( f t+1) ( id ben, összesen O f d) sok moduluspolinomot vizsgálunk, így a visszavezetés polinomiális. Rögzítsünk tehát egy ū = (u 1,..., u n )-t, ahol legfeljebb d darab u i nem 0. Legyen g = fū. Belátjuk, hogy g polinomidejében ellen rizhet, hogy (R, M) = g 0 teljesül-e az S 0 -beli helyettesítésekre. Minden g-ben el forduló modulusmonomot hozzunk x k 1 1 x k x kn n r y i vagy x k 1 1 x k x kn n a alakra, ahol r R, a M. Ez R kommutativitása miatt megtehet. A kapott polinomot osszuk el ( x q 1 i 1 ) -gyel minden 1 i n-re. Ez megtehet O (n g ) id ben: minden modulusmonomban az x i kitev jét maradékosan elosztjuk (q 1)-gyel, és lecseréljük a kitev t az osztás maradékára. Végül összevonjuk azokat a modulusmonomokat, melyekben az x 1,..., x n kitev i rendre megegyeznek. Az így kapott moduluspolinom minden S 0 -beli helyettesítési értéke megegyezik a g moduluspolinom S 0 -beli helyettesítési értékeivel. Csoportosítsuk a g-ben szerepl modulusmonomokat aszerint, hogy melyik y i változó vagy a M moduluselem szerepel bennük. Ekkor k g (x 1,..., x n ; y 1,..., y k ) = g i (x 1,..., x n ) y i + g a (x 1,..., x n ) a, a M i=1 ahol a g i R [x 1,..., x n ] polinomok R felettiek, a g a R [x 1,..., x n ] polinomok pedig R 0 felettiek. Továbbá g i és g a minden monomjában minden

29 4.1 Szigma ekvivalencia 25 változó legfeljebb a (q 2)-edik hatványon szerepel, a g a polinomok pedig konstansmentesek. Tekintsük R-et, mint R 0 feletti modulust, és tekintsük g i -t, mint egy (R 0, R) feletti moduluspolinomot. Mivel M h R-modulus, ezért pontosan akkor teljesül, hogy (R, M) = g 0 az S 0 -beli helyettesítésekre, ha minden 1 i k-ra teljesül, hogy (R 0, R) = g i 0 az S 0 -beli helyettesítésekre, valamint (R 0, M) = a M g a (x 1,..., x n ) a 0 teljesül az S 0 -beli helyettesítésekre. Elegend tehát belátni, hogy az R 0 feletti szigma modulus polinom ekvivalencia P-beli az S 0 -beli helyettesítésekre. Tekintsük tehát M-et, mint az R 0 Galois gy r feletti modulust. Jelölje h (x 1,..., x n ) a a M g a (x 1,..., x n ) a moduluspolinomot. Megjegyezzük, hogy h-ban minden x i kitev je legfeljebb (q 2). Belátjuk, hogy polinomid ben ellen rizhet, hogy (R 0, M) = h 0 teljesül-e az S 0 -beli helyettesítésekre. Mivel R 0 Galois gy r, M felbomlik ciklikus R 0 -modulusok direkt összegére, azaz léteznek olyan b 1,..., b l M elemek, hogy M = R 0 b 1 R 0 b l, mint R 0 -modulus. Ekkor minden a M egyértelm en írható fel l i=1 r ib i alakban, ahol r i R 0 (1 i l). Írjuk a h-ban szerepl M-beli konstansokat l i=1 r ib i alakba, majd írjuk fel h-t a megfelel komponensek szerint. Ekkor l h (x 1,..., x n ) = h i (x 1,..., x n ) b i, i=1 ahol a h i R 0 [x 1,..., x n ] polinomok mindegyike R 0 feletti, és h i minden monomjában minden változó legfeljebb a (q 2)-edik hatványon szerepel. Megjegyezzük, hogy h i kiszámolható O ( h ) id ben, valamint h i = O ( h ) (1 i l). Tehát pontosan akkor teljesül, hogy (R 0, M) = h 0 az S 0 - beli helyettesítésekre, ha minden 1 i l-re és minden s 1,..., s n S 0 -ra h i (s 1,..., s n ) Ann { b i } teljesül. Mivel Ann { b i } ideál R 0 -ban, és R 0 - ban minden ideál f ideál, ezért vannak olyan 0 c i c egész számok, hogy Ann { b i } = (p c i ). Így pontosan akkor teljesül h i (s 1,..., s n ) Ann { b i }, ha p c ci g i (s 1,..., s n ) = 0. Összefoglalva: pontosan akkor teljesül, hogy (R 0, M) = h 0 az S 0 -beli helyettesítésekre, ha minden 1 i l-re teljesül, hogy R 0 = p c ci h i 0 az S 0 -beli helyettesítésekre. Az utóbbi feltétel

30 26 MODULUSOK pontosan akkor teljesül, ha p c ci h i maga a 0 polinom. Ennek bizonyítása szó szerint megegyezik a 3.1. tétel bizonyításának utolsó lépésével. Tehát P-beli annak ellen rzése, hogy teljesül-e (R 0, M) = a M g a (x 1,..., x n ) a az S 0 - beli helyettesítésekre. Hasonlóan látható be, hogy P-beli annak ellen rzése, hogy teljesül-e (R 0, R) = g i 0 az S 0 -beli helyettesítésekre. Az egyetlen különbség, hogy M helyett R-et kell tekinteni, mint R 0 feletti modulust Megjegyzés. Érdemes megjegyezni, hogy ha R egy véges, kommutatív gy r, M egy R feletti modulus, akkor az (R, M) feletti modulus szigma polinom ekvivalencia probléma (az R-beli helyettesítésekre) P-beli. Mivel a dolgozatban ezt az eredményt kés bb nem használjuk, így ennek bizonyítását nem részletezzük Szigma egyenletmegoldhatóság Ebben a szakaszban bebizonyítjuk a 4.2. tételt. Legyen R = l i=1f i, ahol F i test minden 1 i l-re. Legyen M egy R feletti modulus. Legyen S = l i=1s i, ahol S i az Fi részcsoportja. Ekkor M = RM = l i=1f i M miatt M az F i M részmodulusok direkt összege. Továbbá F i M egy F i feletti modulus (azaz vektortér), és minden j i-re F j F i M = { 0 }. Legyen f egy modulusmonomok összegeként felírt moduluspolinom. Minden 1 i l-re legyen f i az a polinom, melyet úgy kapunk f-b l, hogy az R-beli konstansokat lecseréljük az F i -beli komponensükre, az M-beli konstansokat pedig az F i M- beli komponensükre. Mivel S = l i=1s i, ezért f = 0 pontosan akkor oldható meg S-beli helyettesítéssel, ha minden 1 i l-re f i = 0 megoldható S i -beli helyettesítéssel. Elegend tehát test feletti modulusokkal, azaz vektorterekkel foglalkozni. A továbbiakban legyen F test, M egy F feletti l-dimenziós vektortér, és legyen S az F egy részcsoportja. Legyen b 1,..., b l bázis M-ben. Legyen f (x 1,..., x n ; y 1,..., y k ) modulusmonomok összegeként felírt moduluspolinom. Gy jtsük össze f-ben az y j -t tartalmazó modulusmonomokat (1 j k). Továbbá írjuk fel az f-ben el forduló vektorokat a b i vektorok lineáris kombinációjaként, és gy jtsük össze azon modulusmonomokat, melyekben a