12. tétel: A Boole-algebra alapfogalmai, a főbb logikai műveletek igazságtáblái. Definíció: Állításon vagy kijelentésen olyan kijelentő mondatot értünk, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. (Nem lehet igaz és hamis; sem igaz, sem hamis) Definíció: Logikai műveleten olyan eljárást értünk, amely egy vagy több kijelentésből olyan kijelentést képez, amelynek igaz vagy hamis voltát a tagok igaz illetve hamis volta egyértelműen meghatározza. Főbb logikai műveletek: Negáció: Egy A kijelentés negációján (tagadásán) a Nem igaz, hogy A kijelentést értjük. Jelölése: A Konjunkció: Két kijelentés A és B konjunkcióján (összekötésén,együttállásán) az A és B kijelentést értjük. Jelölése: A B Diszjunkció: Két kijelentés A és B diszjunkciója(elválasztása,szembeállítása) olyan művelet, amely akkor és csak akkor hamis, ha mindkét kijelentés hamis. Ha a két kijelentés közül legalább az egyik igaz, akkor igaz.( megengedő vagy ) Jelölése: A B Implikáció:Ha A akkor B alakú kifejezéseket implikációnak nevezzük. Jelölése: Ekvivalencia: A ha A akkor B, és ha B akkor A alakú kifejezéseket ekvivalenciának nevezzük. (akkor és csak akkor) Jelölése: Antivalencia: Nem igaz, hogy ha A akkor B és ha B, akkor A alakú kifejezések.( kizáró vagy, csak akkor hamis,ha mindkettő hamis, vagy ha mindkettő igaz) Jelölése: Webb-féle művelet (a vagy művelet tagadása) : Ha A és B a kijelentések, akkor a sem A,sem B összetett kijelentést Webb-féle műveletnek nevezzük. ( sem-sem művelet) Jelölése: Sheffer-féle művelet ( az és tagadása): Ha A és B a kijelentések, akkor a nem A vagy nem B alakú kifejezéseket Sheffer-féle műveleteknek nevezzük. Jelölése: Igazságtáblázataik: A B A B A B A B A B A B A B A B A B i i h h i i i i h h h i h h i h i h h i h i h i i h h i i h i h i h h i i h h i i h i i
Az elemeknek egy rendszere Boole-algebrát alkot, ha a rendszerben teljesülnek az alábbi követelmények: A/ Van az elemek között két különböző kitüntetett elem, ezeket I vel, illetve Ø val jelöljük. B/ Az elemek között egyértelműen definiált egy egyváltozós és két kétváltozós művelet, s a rendszer e műveletekre nézve zárt. E műveletek: 1. Minden A elemnek van komplementuma: Ā ( A mat.log-ban nem A ) 2. Bármely A, B elempárnak van uniója: A B (logikai megengedő vagy ) és metszete A B ( logikai és ) C/ A rendszer tetszőleges A, B, C elemeire érvényesek az alábbi azonosságok: 1. A A= A 1. 2. A B=B A kommutatív tulajdonság 3. A B C =A B C asszociatív tulajdonság 4. A B B = A 5. A B C = A B A C disztributív tulajdonság 6. A B = A B 7. A= A 8. A A= I 9. I =
16. tétel kombinatorika Permutáció: véges számú elem sorbarendezése. Kétféle ~-t ismerünk, az ismétlés nélküli és az ismétléses ~-t. Az ismétlés nélküli ~ lényege, hogy van n db különböző elem, amelyeket sorba kell rendeznünk úgy, hogy egy elem csak egyszer szerepelhet. Az n elem egy sorbarendezését az elemek egy ~- jának nevezzük. Például : adottak az 1,2,3,4,5 számok. Ezek egy lehetséges permutációja 34251,vagy 54321, stb. Az összes ismétlés nélküli permutációk száma a példában 5 4 3 2 1=5! =120.Magyarázat:az első helyre 5 elemből választhatunk, a másodikra 4-ből,a harmadikra 3-ból a negyedikre 2-ből, az ötödikre 1-ből.Általánosan: n különböző elem összes ismétlés nélküli permutációinak száma : P n =n!=n (n-1) (n-2) 3 2 1. Az ismétléses ~ esetén az Az n nem feltétlenül különböző elem egy sorbarendezését ismétléses ~- jának nevezzük. Például: A,A,M,M betűk permutációja lehet AAMM, vagy AMAM, vagy MAMA, stb. Hány ilyen felírás lehetséges(hányféle szót lehet ezekből a betűkből felírni)? Ha mind a négy betűt különbözőnek tekintjük, akkor a ~-k száma 4!, vagyis 24 lenne. De a két A és a két M betűt nem tudjuk megkülönböztetni egymástól ( mindegy, hogy a MAMA szóhoz az első M betűt használjuk az első,vagy a harmadik helyen; ugyanígy az A betűnél is mindegy a második és a negyedik hely), ezért a különbözőknek tekintett betűk által kiszámított sorrendet 2! 2!-szorosként vettük. Így a sorrendek száma: 24:(2! 2!)= 24:4=6. A betűkből felírható szavak :AAMM,AMAM,AMMA,MAAM,MAMA,MMAA. Általánosan:ha n elemből k 1,k 2,...k l egyforma, ahol k 1 +k 2 +...k l = n, akkor az n elem ismétléses n! k1,k2,...kl permutációinak száma: P n = k 1! k 2! k l! Variáció: véges számú n különböző elemből k darabot kiválasztunk és azokat sorba rendezzük. Kétféle ~-t ismerünk, az ismétlés nélküli és az ismétléses ~-t. Az ismétlés nélküli~ lényege, hogy a kiválasztott k db (k n) elem sorbarendezésekor egy elem csak egyszer fordulhat elő. A k elem valamely sorbarendezését az n elem k-ad osztályú egyik variációjának nevezzük. Például: adottak az 1;2;3;4;5 számok, adjuk meg az 5 elem egy-egy harmadosztályú variációját. Az elemek egy harmadosztályú ismétlés nélküli ~-ja lehet: 123;145;135; stb. Az összes harmadosztályú ismétlés nélküli ~-k száma 5 4 3=60.(Magyarázat: az első helyre 5, a másodikra 4, a harmadikra 3 elemből választhatunk.) Általánosan: n különböző n! elem k -ad osztályú ismétlés nélküli variációinak száma: V nk =n (n-1) (n-2)...(n-k+1)=. n k! Az ismétléses ~ lényege, hogy az n különböző elemből úgy képezünk rendezett k-asokat, hogy egy-egy elem többször is előfordulhat. Ezeket a sorbarendezéseket ismétléses variációknak nevezzük. Maradva az előző számoknál: az 1;2;3;4;5 számok egy harmadosztályú ismétléses ~ ja lehet pl :111,122,123,145,255, stb. Az öt szám harmadosztályú ismétléses ~-nak száma 5 3. (Magyarázat: az első helyre 5, a másodikra 5 és a harmadikra is 5 elemből választhatunk, így 5 5 5=5 3 =125 lehetőségünk van.) Általánosan: n különböző elem k -ad osztályú variációinak száma : V n k(i) = n k A kombináció lényege, hogy n különböző elemből kell kiválasztani k darabot úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít. (A kiválasztott elemeket nem kell sorrendbe rakni.) Két fajtája van, az ismétlés nélküli kombináció: Általánosan: Ha n különböző elemből k darabot szeretnénk kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít ( az elemeket nem kell sorrendbe rakni )és egy elemet csak egyszer választhatunk ki, akkor a kiválasztások száma: n k = n! Másként fogalmazva: Egy n elemű halmaznak hány k elemű részhalmaza k! n k! van. Az ismétléses kombináció: n különböző elem k - ad osztályú ismétléses kombinációján az n- féle elem közül k db elem egyszerre történő kiválasztását értjük, ahol egy elemet többször is kiválaszthatunk.
20. tétel: Statisztikai alapfogalmak. A statisztika a tömegesen előforduló jelenségek és folyamatok számbavételével, az így nyert adatok vizsgálatával, elemzésével foglalkozik. A megalapozott következtetések levonásához nagyon fontos a reprezentatív mintavétel. Az adatokat( amelyek leggyakrabban számértékek) táblázatba rendezzük. Ha egy-egy szám többször fordul elő, akkor csak egyszer tüntetjük fel, megadva vele az előfordulások számát is. Ezt a számot az adat gyakoriságának nevezzük. Ha túl sok adatunk van, akkor a hasonló adatokat egy osztályba soroljuk, és az egyes osztályokba tartozó adatok gyakoriságát adjuk meg. Rossz osztályozással adatainkat torzítani lehet! Az adatokat szemléletesen is ábrázolhatjuk,például oszlopdiagramon, kördiagramon. Példa: Egy osztály tanulói közül 4 írt jeles(5),7 jó(4),10 közepes(3), 6 elégséges(2), 1 elégtelen(1) matematika dolgozatot. Két tanuló nem írt. Készítsük el a jegyek gyakorisági táblázatát,az oszlopdiagramot és a kördiagramot. Érdemjegyek jeles(5) Jó(4) Közepes(3) Elégséges(2) Elégtelen(1) Nem írt 12 Tanulók száma 4 7 10 6 1 2 10 8 6 4 1 2 3 4 5 nem írt 2 0 1 2 3 4 5 nem írt Az összegyűjtött adatokat jól jellemzik a statisztikai mutatók: Számtani közép (átlag), mintaközép vagy mintaátlag : a számsokaság összegének és számának hányadosa. Példánkban: x= 4 5 7 4 10 3 6 2 1 1 =3,25 28 A gyakorlatban, ha az átlag nem véges tizedestört, akkor az átlagot eggyel több tizedesjegyre számítjuk ki, mint ahányra az adatok voltak megadva. Tehát például ha adataink egész számok, akkor az átlagot egy tizedesjegy pontossággal kell kiszámítanunk úgy, hogy az utolsó jegy kerekített legyen. Módusz: a számsokaságban leggyakrabban előforduló elem. (példánkban 3) Ha több ilyen is van, akkor a móduszok halmazáról beszélünk. Medián: a nagyság szerint sorbarendezett számsor középső eleme, ha két középső van, akkor a kettő átlaga.(példánkban 3) Terjedelem: a számsokaság legnagyobb és legkisebb számának különbsége.(példánkban 5-1) n xi x Átlagos eltérés: az átlagtól való eltérés. i=1 (Nem jellemzi teljesen az n adatsokaságot,mert például az 1,2,3,4,5 átlaga 3, átlagos eltérése 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 =0.) Figyelmen kívül kell hagynunk a 5 különbségek előjelét. A minta szórtságára az abszolút eltérések átlaga lesz jellemző. Az S n = n xi x i=1 Ebben az esetben azonban a kis és nagy eltérések egyforma súllyal n szerepelnek, míg sok esetben érdemesebb a kiugró értékeket érdemesebb figyelembe venni.
Átlagos négyzetes eltérés: az x 1,x 2,...x n számsokaság egy tetszőleges x számtól való átlagos négyzetes eltérésének nevezzük a D 2 n x = x 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2 számot. n Ha x éppen a sokaság átlaga, akkor a számsokaság szórása a szórásnégyzet négyzetgyöke: n = D 2 n x (példánkban 1,056) A szórás azt méri, hogy az értékek az átlagtól milyen mértékben térnek el. Hisztogram: ugyanaz, mint az oszlopdiagram.
15. tétel: Valószínűségszámítás Néhány alapfogalom: Esemény: a véletlen kísérlet, jelenség lehetséges kimeneteleinek egyike. Elemi esemény: amire a kísérlet végződhet. ( Az események jele mindig nagybetű) Mindig ki kell elégítenie három feltételt bármelyik eseményről egyértelműen eldönthető, hogy bekövetkezik-e vagy sem semelyik kettő sem következik be egyidejűleg az elemi események közül egy mindig bekövetkezik. Összetett esemény: elemi eseményekből áll. Eseménytér: Az elemi események halmaza. Az esemény az eseménytér egy részhalmaza az elemi esemény egyelemű részhalmaz az összetett esemény többelemű részhalmaz. Biztos esemény: mindig bekövetkezik. ( jelölése: I ) Lehetetlen esemény: soha nem következik be, a biztos esemény ellentettje. ( jelölése: Ø) Műveletek eseményekkel: Az A+B esemény legalább az egyik esemény bekövetkezését jelenti. Az A B jelenti az A és B esemény együttes bekövetkezését. A valószínűségszámítás abból a feltevésből indul ki, hogy minden véletlen eseményhez hozzárendelhető egy (0 és 1 közötti) szám, amely az adott esemény bekövetkezésének valószínűsége. A valószínűség azt mutatja meg, hogy sok kísérlet után az eseteknek körülbelül mekkora hányadában következik be az esemény. Egy A esemény valószínűségének jelölése: P(A). Ha egy kísérletnek, véletlen jelenségnek véges sok elemi kimenetele lehetséges, és az elemi eseményeknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérlettel kapcsolatos események és ezek valószínűségei együtt úgynevezett klasszikus valószínűségi mezőt alkotnak. Ebben az esetben az A kedvező esetek száma esemény valószínűségének kiszámítási módja: P(A)= összes esetek száma Az Például: Mennyi a valószínűsége, hogy ötösünk lesz a lottón? A jó esetek száma,ha az általunk beikszelt 5 számot húzzák ki úgy, hogy a kihúzás sorrendje nem számít (ismétlés nélküli kombináció) 5 5 =1 Az összes esetek száma 90 5 =43949268. 1 Az ötös elérésének esélye: 43949268 =2,3 10 8, ami 2,3 10-6 %. Mi az esélye, hogy négyesünk lesz? A jó esetek számát úgy kapjuk meg, hogyha az általunk bejelölt öt számból négyet húznak ki, a maradék 1 számot a megmaradt 85-ből. 5 4 85 1 =425 Az összes esetek száma ugyanannyi, mint az előbb. 425 A négytalálatos szelvény valószínűsége : 43949268 =9,6 10 6, ami 9,6 10-4 %. Hasonlóképpen számolható ki a hármasok, kettesek, egyesek esélye is.
14. tétel: Gráfelméleti alapfogalmak Gráfnak olyan ábrát nevezünk, amely pontokból és vonaldarabokból (élekből) áll, minden vonaldarab két - nem feltétlenül különböző - pontot köt össze. Például: Egy véletlenül összejött 5 tagú társaság tagjait jelöljük A,B,C,D, E betűvel. Tudjuk, hogy a társaságban vannak, akik ismerik egymást. A ismerősei: C,D B ismerőse: C C ismerősei: A,B D ismerőse: A E nem ismer senkit Megrajzoljuk az ismeretség grafikáját (gráfját). A felsorolt betűk a gráf pontjai, az őket összekötő vonaldarabok a gráf élei. Definíciók: Az élekkel összekötött pontokat szomszédos pontoknak nevezzük. Ha két pontot több él köt össze, akkor a gráfban többszörös élek találhatók. (Például egy kétfordulós mérkőzés első fordulójában A játszik B-vel, a második fordulóban ismét játszanak egymással.) Amely ponthoz nem illeszkedik él, azt izolált pontnak nevezzük. (Ebben az esetben az E pont.) Ha az egy pontból kiinduló él ugyanabba a pontba tér vissza, akkor az élet hurokélnek nevezzük. ( Mindenki ismeri önmagát.) A gráf egy P pontjához illeszkedő élvégek számát a P pont fokszámának, vagy fokának nevezzük. Jelölése: f(p).( f(a)=3, f(f)=4, stb.) Ha egy gráf sem többszörös éleket, sem hurokéleket nem tartalmaz, akkor egyszerű gráfnak nevezzük. A továbbiakban az egyszerű gráfokra vonatkozó néhány tételt és definíciót ismerhetünk meg. Tétel:Bármely gráf pontjainak fokösszege megegyezik az élek számának kétszeresével. Bizonyítás: A fokszámok összegéhez minden él 2-vel járul hozzá, mivel 2 pontot köt össze, ezért mindkét végpontjához 1-1-gyel.Tehát a fokszámok összege annyiszor kettő, ahány éle van a gráfnak. A tételből következik, hogy a fokszámok összege mindig páros szám. Tétel:A páratlan fokszámú pontok száma páros. Bizonyítás: Ha a gráfban a páratlan fokszámú pontok száma páratlan lenne, akkor fokszámaik összege is páratlan lenne, a páros fokszámúaké pedig páros, de egy páratlan és egy páros szám összege mindig páratlan Ez pedig ellentmond az előző tételnek. Tétel: A legalább két pontot tartalmazó egyszerű gráfnak van két azonos fokú pontja. Bizonyítás: A gráf pontjainak száma legyen. Akkor egy pontjának fokszáma legfeljebb n-1. (Önmagába nem megy él, csak a többi pontba.) A gráfban a következő fokszámok szerepelhetnek: 0,1,2,...,n-1. Ez n db különböző szám. Ha a gráfban
van nulladfokú (izolált) pont, akkor nem lehet n-1-edfokú pont, tehát a fokszámok lehetnek 0,1,2,...,n-2.Ha nincs izolált pont, akkor a fokszámok lehetnek 1,2,3,...,n-1. Mindkét esetben a fokszámok száma n-1 lehet. Van n pontunk és n-1 fokszámunk. Az n pontot kell az n-1 fokszámra beskatulyáznunk, ez csak úgy lehet,hogy egy skatulyába két elem kerül. Definíciók: Ha egy F gráf minden pontjának és élének kölcsönösen egyértelműen megfeleltethető egy G gráf minden pontja és éle, akkor a két gráfot izomorfnak nevezzük. Azt az egyszerű n pontú gráfot, melynek bármely két pontja között él húzódik teljes n- gráfnak nevezzük. Ha egy n pontú egy szerű G gráfot kiegészítünk teljes n-gráffá, és ebből töröljük G elemeit, akkor szintén egyszerű gráfot kapunk, melyet G kiegészítő gráfjának vagy komplementerének nevezünk, és G'- vel jelöljük. n n 1 Tétel: A teljes gráf éleinek száma: 2 Bizonyítás: A teljes n-gráf minden pontjának foka n-1, így a fokszámok összege n(n-1), de minden élt két ponthoz számoltunk, ezért az élek száma: n n 1 2 Definíciók: Út: az egymáshoz csatlakozó élek sora, amely nem megy át egy ponton 1-nél többször. Összefüggő gráfnak nevezzük azt a gráfot, amelynél bármely pontba eljuthatunk valamilyen úton. Körnek nevezzük a kezdőpontba visszavezető utat. Fának nevezzük azt az összefüggő gráfot, amely nem tartalmaz kört. Ligetnek (erdőnek) nevezzük azokat a gráfokat, amelyek nem tartalmaznak kört. Egy liget fa- komponensekből épül fel. Ha egy gráf minden éle irányított, akkor a gráfot irányított gráfnak nevezzük.( pl: egy körmérkőzés gráfjánál azt is jelezzük, hogy a mérkőzésen ki lett a nyertes.) A gráf nem egyszerűen vihető fel a számítógépre, de a szomszédossági mátrix igen. Ekkor a mátrix elemei azt mutatják meg, hogy a sorokat és az oszlopokat meghatározó pontok között húzódik-e él. Példánkban: A B C D E A i i B C i i D i E i A szomszédossági mátrix tulajdonságai: Ha a gráf nem irányított, akkor a mátrix a főátlójára szimmetrikus. Az esetleges hurokéleket a mátrix főátlójában találhatjuk. A mátrix soraiban levő igaz értékek száma a sorhoz tartozó pontból kimenő élek számát, az oszlopokban levő igenek száma oszlopokhoz tartozó pontba bemenő élek számát adja meg. A mátrix lehetőséget ad a többszörös élek feltüntetésére is, amennyiben az i helyett számokat írunk be a megfelelő cellákba. A 0 jelenti az él hiányát, n pedig azt, hogy a két pont között hány él halad. i
A mátrix kitöltésénél egyes gráfok esetében sok üres cella található, amely jelentősen megnöveli a memória lefoglaltságát. Ezért használjuk a szomszédossági listát. A szomszédossági lista az egyes pontokból induló élek végpontjait tünteti fel. A példánkban levő gráf szomszédossági listája: A C D B C C A B D E A E
13. tétel: A lineáris algebra, a determináns, a mátrix Oldjuk meg a következő egyenletrendszert! a 1 x+b 1 y= c 1 a 2 x+b 2 y= c 2 Szorozzuk be az első egyenletet b 2 -vel, az elsőt b 1 -gyel. Kapjuk a következő két egyenletet: a 1 b 2 x+b 1 b 2 y=c 1 b 2 a 2 b 1 x+b 1 b 2 y=c 2 b 1 Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat. a 1 b 2 x- a 2 b 1 x=c 1 b 2 -c 2 b 1 Emeljük ki az x-et az egyenletünk bal oldalán. x(a 1 b 2 -a 2 b 1 )=c 1 b 2 -c 2 b 1 Ha a 1 b 2 -a 2 b 1 0, akkor x= c 1 b 2 c 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 Hasonló módon kapjuk y-ra, hogy y= a 1 c 2 a 2 c 1 a 1 b 2 a 2 b 1 Ha megnézzük a megoldásokat, akkor azt tapasztaljuk, hogy hasonló szerkezetűek. Mindkét tört számlálójában és nevezőjében is négy- négy számból egy újabb számot képeztünk. Ha megfigyeljük akkor a nevezőkben a változók együtthatóiból képeztük az új számot, az x kiszámításánál a számlálóban az x együtthatóit cseréltük ki a konstansra, az y kiszámításánál az y-ét. Bevezetünk egy új jelölést és egy új elnevezést. a 1 b 1 a 2 b 2 =a 1 b 2 a 2 b 1 = D, az egyenlet determinánsa. Ezt a determinánst másodrendű determinánsnak nevezzük. Kiszámítási módja: a főátlóban levő elemek szorzatából kivonjuk a mellékátlóban levő elemek szorzatát. A fentiek alapján: x= D x D és y= D y D A determináns tulajdonságai: A determináns értéke nem változik, ha megfelelő oszlopait és sorait felcseréljük, vagyis az elemeket a főátlóra tükrözzük. Ha a determináns két sorát, vagy két oszlopát felcseréljük, akkor a determináns értéke -1-szeresére változik. Ha a determináns két sora, illetve két oszlopa elemről elemre megegyezik, akkor a determináns értéke 0. Ha a determináns valamely sora, vagy valamely oszlopa csupa 0, akkor a determináns értéke 0. Ha a determinánsban valamely sor vagy oszlop minden eleme felbontható két elem összegére, akkor a determinánst felírhatjuk két determináns összegeként. Ha a determináns valamely oszlopának, illetve sorának minden elemét megszorzunk egy k konstanssal, akkor a determináns k-szorosát kapjuk. Ha a determináns egyik sorának, illetve oszlopának a másik sor, illetve oszlop többszöröse, akkor a determináns értéke 0. A determináns értéke nem változik, ha valamely oszlopához illetve sorához hozzáadjuk valamely oszlopának illetve sorának számszorosát. Ha a determináns főátlója alatt vagy felett csupa 0 áll, akkor a determináns értéke a főátlóban álló elemek szorzata. A determináns kiszámítása: A harmadrendű determináns kiszámításánál a Sarrus- szabályt tudjuk alkalmazni. Egészítsük ki gondolatban a determinánst az első és a második oszloppal. Ha a főátlók mentén levő elemek szorzatából kivonjuk a mellékátlók mentén levő elemek szorzatát, akkor a determináns értékét kapjuk. Pl:
2 5 4 2 8 3 1 3 6 2 5 4 2 8 = 48 48 50 32 12 30 = 104 10 Magasabb rendű determináns értékét az aldeterminánsok segítségével kapjuk meg. Az aldetermináns elemeit úgy kapjuk meg, hogy a determináns elemeiből elhagyjuk azt a sort és oszlopot, amely azt az elemet tartalmazza, amelyikhez az aldeterminánsot meg akarjuk határozni. Az elemekhez tartozó előjelet az úgynevezett sakkszabály tartalmazza. + - + - + - + - + A harmadrendű determináns értékét is ki tudjuk számolni a fenti módon. Pl : D= 1 3 6 2 8 10 3 =1 8 10 1 6 6 3 2 3 6 6 3 1 3 6 8 =84 2 45 18 =156 10 Definíció: Az n x m számú, téglalap alakba rendezett valós számot mátrixnak nevezzük. Az (n;m) számpár a mátrix típusa. Azt mutatja meg, hogy a mátrix n sorból és m oszlopból áll. Jele félkövér nagybetű,pl :A A= a11 a12 a1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm Az a ij az i-edik sor j-edik eleme. Két ~ akkor és csak akkor egyenlő, ha azonos típusúak és megfelelő helyen álló elemeik egyenlőek. A mátrixok főbb típusai: négyzetes, vagy kvadratikus ~ : a sorok és az oszlopok száma egyenlő (n=m) sor~ : egyetlen sora van (n=1) oszlop~ : egyetlen oszlopa van (m=1) zérus~ : minden eleme 0 egység~ : olyan négyzetes ~, amelynek főátlójában egyesek vannak, azon kívül minden eleme 0 szimmetrikus ~ : olyan négyzetes ~, amelynek főátlóra való tükörképe önmaga ( a ij = a ji ) Mátrixműveletek: Összeadás, kivonás :csak azonos típusú ~-ok esetén lehetséges. Legyen A és B azonos típusú ~. A két ~ C összegén egy olyan ~-ot értünk, amely minden egyes eleme az A és a B megfelelő elemeinek összege. C=A+B c ij =a ij +b ij Szorzás számmal (skalárral) : Egy ~ λ-szorosa egy ugyanolyan típusú ~-ot eredményez, melynek minden eleme a ~ megfelelő helyen álló elemének λ-szorosa. C=λ A elemei: c ij =λ a ij Ha A 1,A 2...A n azonos típusú ~-ok; k 1,k 2...k n valós számok, akkor az L= k 1 A 1 +k 2 A 2 +...+k n A n összeget az A 1, A 2...A n ~ok lineáris kombinációjának nevezzük. Két ~ szorzata:ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint B-nek sora, akkor A és B
ilyen sorrendben konformábilisak. Csak konformábilis ~-ok szorozhatók össze. Az n x m típusú A és az m x l típusú B ~ A B szorzatán azt az n x l típusú C ~-ot értjük, amelynek elemeire teljesül : c ik =a i1 b 1k +a i2 b 2k +...+ a im b mk Transzponálás: a ~ minden sorát a megfelelő oszloppal felcseréljük. Jele :A* (a ij )* m x n = (a ji ) n x m Mátrix determinánsa: Egy négyzetes mátrix determinánsán a mátrix elemeiből képzett determinánst értjük. Jele A vagy det A. A mátrix reguláris, ha deta 0, szinguláris, ha det A = 0. Mátrix inverze: Az A ~ inverzén azt az A -1 ~-ot értjük, a mellyel a ~-ot jobbról vagy balról megszorozva egységmátrixot kapunk.
2. tétel: Halmazok A halmaz és a halmaz eleme fogalmát nem nem definiáljuk, alapfogalomnak tekintjük. Azt, hogy egy a dolog eleme az A halmaznak az a A, tagadását az a A szimbólummal jelöljük. Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenlőnek, ha ugyanazok az elemeik. Jelölése: A=B. Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával, képlettel, közös tulajdonsággal. Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük és -val vagy {}-val jelöljük. Az A halmazt B halmaz részhalmazának tekintjük, ha A minden eleme eleme B-nek is. Jele: A B. Az A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak, ha részhalmaza, de nem egyenlő vele. Jele: A B Egy A halmaz összes részhalmazainak halmazát az A hatványhalmazának nevezzük Jele: P(A). Legyen egy H halmaz egy részhalmaza az A halmaz. Azt a halmazt, amelybe azok a H halmazbeli elemek tartoznak, amelyek nem elemei az A halmaznak az A halmaz H- ra vonatkozó kiegészítő, vagy komplementer halmazának nevezzük. Jele: A. Az A és B halmazoknak az A B szimbólummal jelölt Descartes -féle szorzatán az összes olyan rendezett párokból álló halmazt értjük, amelyekre a A és b B. Halmazműveletek: Az A és B halmaz uniója azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek valamelyik halmaznak elemei. Jelülése: A B Az A és B halmaz metszete azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek mindkét halmaznak elemei. Jelölése: A B Ha a két halmaz metszete az üreshalmaz, akkor a két halmazról azt mondjuk, hogy diszjunkt halmazok. Az A és a B halmaz ilyen sorrendben vett különbséghalmazán azoknak az elemeknek a halmazát értjük, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem. Jelölése: A B Az A és B halmazok szimmetrikus differenciáján értjük az A B B A halmazt. A halmaz számossága elemeinek számát jelenti. Két halmaz számosságát akkor tekintjük egyenlőnek, ha van olyan kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, amely A elemeit B elemeihez rendeli. Végesnek nevezzük azt a halmazt, amelynek vége számú elemei vannak. Megszámlálhatóan végtelen az a halmaz, amelynek ugyanannyi eleme van, mint ahány természetes szám van. A reláció két vagy több halmaz Descartes- -féle szorzatának egy részhalmaza. Ha egy A halmaz elemeihez adott utasítás alapján hozzárendeljük a B halmaz legalább egy elemét, akkor azt mondjuk, hogy az A halmazt leképeztük a B halmazra. Ha A minden eleméhez B-ből egyetlen elemet rendelünk hozzá, akkor a leképezés függvény. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya, a B halmaz a függvény értékkészlete, vagy nála bővebb halmaz.
A lineáris egyenletrendszerek általános alakja: a 11 x 1 +a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+ a mn x n = b n, 18. tétel: Lineáris egyenletrendszerek ahol x j valós szám az ismeretleneket, a ij valós számok az ismeretlenek együtthatóit jelentik. Az egyenletrendszer felírható az együtthatóiból képzett mátrixokkal is. Legyen az A mátrix: a 11 a 12 A= a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Vezessük be az x=[x 1, x 2,, x n ] és a b=[b 1, b 2,, b m ] oszlopmátrixokat. Ekkor felírható a mátrixegyenlet: Ax=b Abban az esetben, ha a b vektor minden eleme 0, az egyenletrendszert homogénnek, ellenkező esetben inhomogénnek nevezzük. A homogén egyenletrendszernek mindig van megoldása, x i =0. Ha az egyenlet determinánsa nem 0, akkor az egyenlet egyértelműen megoldható. Meghatározzuk az egyenletrendszer determinánsát, D-t, ha ez nem 0, akkor az egyenletrendszernek egyértelmű gyökei vannak. Meghatározzuk Dx-et, amelyet úgy kapunk D-ből, hogy az x 1 együtthatóit kicseréljük a konstansokra. Az x 1 -et úgy kapjuk meg, hogy a D x1 -et elosztjuk a D-vel. Létezik a Gauss-féle eliminációs módszer is. Ez annyit jelent, hogy az első egyenlet k1, k2, -szorosát levonjuk a második, harmadik,... egyenletből, majd ezt az eljárást folytatjuk a második, harmadik, egyenlettel, míg az egyenletrendszerből egyetlen ismeretlen marad. Ennek az ismeretlennek az értékét visszahelyettesítjük a megelőző egyenletbe, majd ezt az eljárást folytatjuk a többi meghatározott ismeretlennel.