A ház probléma Szalay László laszalay@ktk.nyme.hu http://titanic.nyme.hu/ laszalay Matematikai és Statisztikai Intézet NYME KTK Sopron története Page 1 of 48
1. története Page 2 of 48
A fejtör [1] Egy szórakozott matematikaprofesszor elindult, hogy meglátogassa egy volt tanítványát. Mikor az utca elejére ért rájött, hogy elfelejtette a tanítvány házszámát. Ebben az utcában csak az egyik oldalon voltak házak, számozásuk 1-gyel kezd dött és egyesével növekedett. A professzor emlékezett rá, hogy legalább 200 és legfeljebb 500 ház van az utcában. Továbbá arra is, hogy tanítványa háza az utca numerikus középpontjában áll, azaz a házszámoknak az utca elejét l a házig vett összege megegyezik a háztól az utca végéig vett házszámok összegével. Rövid gondolkodás után a professzor rájött, hogy hova kell mennie. Meg tudjuk-e mi is határozni a kérdéses házszámot? története Page 3 of 48
A matematikai modell } {{ } } {{ } (1) 1 + 2 +... + (a 1) + a = a + (a + 1) +... + (b 1) + b a(a + 1) 2 = b(b + 1) 2 (a 1)a 2 története Page 4 of 48 (2b + 1) 2 2(2a) 2 = 1 B 2 2A 2 = 1 (B = 2b + 1, A = 2a)
A B 2 2A 2 = 1 egyenlet ( B + A )( 2 B A ) 2 = 1 ( B + A ) k ( 2 B A k 2) = 1 ) (B k + A k 2 )(B k A k 2 = 1 története Page 5 of 48
A B 2 2A 2 = 1 egyenlet ( B + A )( 2 B A ) 2 = 1 ( B + A ) k ( 2 B A k 2) = 1 ) (B k + A k 2 )(B k A k 2 Triviális megoldás: (B,A) = (1,0) Egy nemtriviális megoldás: (B,A) = (3,2) Végtelen sok megoldás: = 1 ) ( (B k + A k 2 = 3 + 2 k 2) (2) története Page 6 of 48
0 1 0 0 0 1 3 2 1 1 1 2 17 12 8 6 21 3 99 70 49 35 630 4 577 408 288 204 20910 5 3363 2378 1681 1189 707455 6 19601 13860 9800 6930 24015915 7 114243 80782 57121 40391 815736636... (2) (2)......... k B k A k b k a k 1 + 2 +... + a k története Page 7 of 48
) ( (B k + A k 2 = 3 + 2 ) k )( 2 = (B k 1 + A k 1 2 3 + 2 ) 2 B k = 3B k 1 + 4A k 1 (3) A k = 2B k 1 + 3A k 1 B k = 6B k 1 B k 2 B 0 = 1, B 1 = 3 A k = 6A k 1 A k 2 A 0 = 0, A 1 = 2 története Page 8 of 48
b k = 6b k 1 b k 2 + 2 b 0 = 0, b 1 = 1 b k = a k = a k = 6a k 1 a k 2 a 0 = 0, a 1 = 1 ( 3 + 2 ) k ( 2 3 2 ) k 2 4 2 ( 3 + 2 ) k ( 2 + 3 2 k 2) 2 4 1 ( 4 3 + 2 ) k 2 2 1 4 ( 3 + 2 ) k 1 2 2 KÉRDÉS: Van-e a fentieken kívül más pozitív megoldása a B 2 2A 2 = 1 egyenletnek? története Page 9 of 48
2. Vizsgáljuk általánosan az x 2 Dy 2 = 1 (4) ún. Pell-egyenletet az x és y egész ismeretlenekben, ahol D pozitív és nem négyzetszám. MEGJEGYZÉS: ˆ Elég a nemnegatív x és y egész megoldásokat tekinteni. ˆ Ha D nem négyzetszám, vagy D 0 akkor véges sok megoldás van. története Page 10 of 48
F eredmény TÉTEL(Lagrange, Legendre...):A(4)egyenletnek végtelen sok pozitív egész megoldása van. Minden (x, y) pozitív megoldás a legkisebb pozitív (x 1,y 1 ) megoldásból származtatható valamely k N segítségével az alábbi módon: x + y ( ) k D = x 1 + y 1 D. (5) KÉRDÉS: Hogyan lehet meghatározni a minimális megoldást? Vannak-e "jó" algoritmusok? története Page 11 of 48
1. "Brute force" algoritmus TÉTEL(Ginatempo, 1969[5]):Legyen d = [ D ]. Az x 2 Dy 2 = 1 minimális (x 1,y 1 ) megoldására teljesül hogy y 1 2(d + 1) ( 2 3 d + 1 ) 2d x 1 (d + 1)x 1 (6) Probléma: A korlátok nagyon nagyok. Pl. D = 61: y 1 563257931412, x 1 4506063451300. A tényleges alapmegoldás: 1766319049 2 61 226153980 2 = 1. története Page 12 of 48
2. Lánctörtekkel segítségével ( x + y )( D x y ) D = 1 } {{ }} {{ } NAGY kicsi ( x y D ) 0 = x y D, azaz: D egy "jó" racionális közelítésére volna szükség. Ezt lehet elérni lánctörtekkel! története Page 13 of 48
Általánosan: a R +, a = [a] + {a}, ahol 0 {a} < 1. Ha a N = {a} = 0 és ekkor a 1 = 1 {a} a = [a] + 1 a 1, a 1 > 1 Ha a 1 N = {a 1 } = 0 és ekkor a 2 = 1 {a 1 } 1 a = [a] + [a 1 ] + 1, a 2 > 1 a 2 története Page 14 of 48
α 0 = [a] és α i = [a i ] (i = 1,2,...) 1 a = [a]+ 1 [a 1 ] + 1 [a 2 ] + [a 3 ] + 1... 1 = α 0 + 1 α 1 + 1 α 2 + α 3 + 1 a = [α 0 ;α 1,α 2,α 3,...] Pl. 2 = 1,414213562373..., lánctört alakja: 2 = [1;2,2,2,...] = [1;2],... története Page 15 of 48 mivel 2 = 1 + 1 2 + 1.
1 = 1 1 < 2 1 + 1 2 = 3 2 = 1.5 > 2 1 + 1 2 + 1 = 7 5 = 1.4 < 2 2 története Page 16a of 48 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 17 12 = 1.41 6 > 2
1 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 2 + 1 2 + 1 2 = 8177 5741 < 2 története Page 16b of 48 8177 5741 = 1.41421355164... < 1.41421356237... = 2
TÉTEL: ˆ a R + lánctört alakja véges a Q; ˆ a R + lánctört alakja végtelen és periodikus a Q, a Q[ D]. ˆ ; 72 49 = [1;2,7,1,2] 1+ 5 2 = [1;1,1,1,...] = [1;1] ˆ 2 = [1;2,2,2,2,...] = [1;2] ; 7 = [2;1,1,1,4] ˆ 3 2 = [1;3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,1,10,2,1,4,12,...] ˆ e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1, 1,8,1, 1,10,1,...] ˆ π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,...] ˆ tg1 = [1; 1,1, 3,1, 5,1, 7,1, 9,1, 11,1,...] története Page 17 of 48
Táblázat a minimális megoldásokról D x 0 y 0 D x 0 y 0 D x 0 y 2 3 3 2 1 5 9 4 0 6 5 2 7 8 8 3 1 10 19 6 11 10 3 12 7 2 13 649 180 14 15 15 4 1 17 33 8 18 17 4 19 170 39 20 9 2 21 55 12 22 197 42 23 24 24 5 1 26 51 10 27 26 5 28 127 24 29 9801 1820 30 11 2 31 1520 273 32 17 3 33 23 4 34 35 35 6 1 37 73 12 38 37 6 39 25 4 40 19 3 41 2049 320 42 13 2 43 3482 531 44 199 30 45 161 24 46 24335 3588 47 48 48 7 1 50 99 14 51 50 7 52 649 90 53 66249 9100 54 485 66 55 89 12 története Page 18 of 48
Táblázat a minimális megoldásokról (folytatás) D x 0 y 0 D x 0 y 56 15 2 57 151 20 0 58 19603 2574 59 530 69 60 31 4 61 1766319049 226153980 62 63 8 63 8 1 65 129 16 66 65 8 67 48842 5967 68 33 4 69 7775 936 70 251 30 71 3480 413 72 17 2 73 2281249 267000 74 3699 430 75 26 3 76 57799 6630 77 351 40 78 53 6 79 80 9 80 9 1 82 163 18 83 82 9 84 55 6 85 285769 30996 86 10405 1122 87 28 3 88 197 21 89 500001 53000 története Page 19 of 48
D x 0 / y 3982 72474490268003744117 0 1148509367333405322 3983 568 9 3984 8553815 135519 3985 10433366221728547072854391061810531558256769 165276188540715393350595595628231937004176 3986 899964062499 14254648750 3987 442 7 3988 14418057673 228312234 3989 2489574099468737305876191605001 39417859660972040365509323300 története Page 20 of 48
3. története Arkhimédesz (i.e. 287?-212) tört... Page 21 of 48 Ókori mozaik másolata, Städtelsches Kunstinstitut, Frankfurt a.m.
Problema bovinum Arkhimédesz a Problema bovinumot az Alexandriában él Eratoszthenésznek ajánlotta egyik levelében. Ponori Thewrewk Emil Görög Anthólogiabeli Epigrammák cím összeállítása számos matematikai jelleg epigrammát tartalmaz. Baumgartner Alajos f gimnáziumi tanár (Állami Verb czy István Reálgimnázium) ebb l válogatott és ezt pótolta ki saját, illetve mások által lefordított epigrammákkal. Baumgartner egy egész matematikatörténeti sorozatot publikált a Középiskolai Mathematikai és Physikai Lapokban három részben. tört... Page 22 of 48
tört... Page 23 of 48
"Számítsd ki, barátom, a Nap tulkai számát; Buzgón keressed, hogy bölcsnek hívhassalak, Számítsd ki, hogy mennyi legelt a mez kön, Trinákia szép szigetének gazdag legel in. Négy nyáj vala együtt, más-más szín mindenik, Tejszín az egyik, másik színe fekete, És barna a harmadik, tarka a negyedik nyáj. Mindegyik nyájban több vala a bika, S így oszlottak meg szépen arányosan, Fehér bika annyi volt, mint a feketék fele És harmada s hozzá még valamennyi barna; Fekete annyi, mint a tarkák negyede S ötöde s hozzá még valamennyi barna; És tarka annyi, mint a fehérek hatoda S hetede s hozzá még valamennyi barna..." tört... Page 24 of 48
tört... Page 25 of 48 i.e. 6 századi váza, Cerveteri, Musée du Louvre, Párizs
Problema bovinum "A fehér bikák száma (w) a fekete bikák számának (b) felével meg egyharmadával volt több, mint a barna bikáké (y),..." w = ( 1 2 + 1 3) b + y tört... Page 26a of 48
Problema bovinum "...afeketékéatarkabikákszámának (d)negyedévelmeg ötödével (volt több, mint a barna bikáké),..." w = ( 1 2 + 1 3) b + y b = ( 1 4 + 1 5) d + y tört... Page 26b of 48
Problema bovinum "...atarkáképedigafehérekszámánakegyhatodávalmeg egyhetedével (volt több, mint a barna bikáké)..." w = ( 1 2 + 1 3) b + y b = ( 1 4 + 1 5) d + y d = ( 1 6 + 1 7) w + y tört... Page 26c of 48
Problema bovinum "...A fehér tehenek száma (w c ) az összes fekete marhák számának (b +b c ) egyharmada meg egynegyede volt,..." w = ( 1 2 + 1 3) b + y wc = ( 1 3 + 1 4) (b + bc ) b = ( 1 4 + 1 5) d + y d = ( 1 6 + 1 7) w + y tört... Page 26d of 48
Problema bovinum "...afeketetehenekszámaazösszestarkamarhákszámának (d + d c ) egynegyede meg egyötöde,..." w = ( 1 2 + 1 3) b + y wc = ( 1 3 + 1 4) (b + bc ) b = ( 1 4 + 1 5) d + y bc = ( 1 4 + 1 5) (d + dc ) d = ( 1 6 + 1 7) w + y tört... Page 26e of 48
Problema bovinum "...atarkatehenekszámaazösszesbarnamarhákszámának (d + d c ) egyötöde meg egyhatoda,..." w = ( 1 2 + 1 3) b + y wc = ( 1 3 + 1 4) (b + bc ) b = ( 1 4 + 1 5) d + y bc = ( 1 4 + 1 5) (d + dc ) d = ( 1 6 + 1 7) w + y dc = ( 1 5 + 1 6) (y + yc ) tört... Page 26f of 48
Problema bovinum "... a barna tehenek száma az összes fehér marha számának egyhatoda meg egyhetede..." w = ( 1 2 + 1 3) b + y wc = ( 1 3 + 1 4) (b + bc ) b = ( 1 4 + 1 5) d + y bc = ( 1 4 + 1 5) (d + dc ) d = ( 1 6 + 1 7) w + y dc = ( 1 5 + 1 6) (y + yc ) y c = ( 1 6 + 1 7) (w + wc ) tört... Page 26g of 48
Problema bovinum Folytatás: "... A fehér és fekete bikák sorai és oszlopai ellepik Trinákia mezejét ugyanakkora mélységben és szélességben,..." w = ( 1 2 + 1 3) b + y wc = ( 1 3 + 1 4) (b + bc ) b = ( 1 4 + 1 5) d + y bc = ( 1 4 + 1 5) (d + dc ) d = ( 1 6 + 1 7) w + y dc = ( 1 5 + 1 6) (y + yc ) y c = ( 1 6 + 1 7) (w + wc ) w + b = tört... Page 26h of 48
Problema bovinum Folytatás: "...mígatarkaésbarnabikáksokaságaháromszög alakzatot formál, az els sorban egy bikával, a másodikban kett vel, s hasonlóan továbbmenve." w = ( 1 2 + 1 3) b + y wc = ( 1 3 + 1 4) (b + bc ) b = ( 1 4 + 1 5) d + y bc = ( 1 4 + 1 5) (d + dc ) d = ( 1 6 + 1 7) w + y dc = ( 1 5 + 1 6) (y + yc ) y c = ( 1 6 + 1 7) (w + wc ) w + b = d + y = (7) tört... Page 26i of 48
w = ( 1 2 + 1 3 ) b + y wc = ( 1 3 + 1 4 ) (b + bc ) b = ( 1 4 + 1 5 ) d + y bc = ( 1 4 + 1 5 ) (d + dc ) d = ( 1 6 + 1 7 ) w + y dc = ( 1 5 + 1 6 ) (y + yc ) y c = ( 1 6 + 1 7 ) (w + wc ) lineáris egyenletrendszer megoldása: d c szabad paraméter, w = 246821 83710 d c b = 1243419 585970 d c y = 125739 106540 d c d = 367903 175791 d c w c = 17158 8371 d c b c = 815541 585970 d c y c = 1813071 1171940 d c lkkt(nevezők) = 3515820 = d c = 3515820 t tört... Page 27 of 48
t N w = 10 366 482t b = 7460514t y = 4149387t d = 7358060t w c = 7206360t b c = 4893246t y c = 5439213t d c = 3515820t Tehát összesen 50 389 082t Trinákia mezején. (8) bika és tehén legelészik tört... Page 28 of 48
Végül a (7) feltételekb l: (b+1)b a 2 = w + b = 17826996 t = 2 2 α { }} { 3 11 29 4657 t 2 = d + y = 11507447 t = 7 } 353 {{ 4657 } t β a 2 = 2 2 α t = t = α K 2 (2b + 1) } {{ } 2 = 8 β t + 1 = 8 β α K 2 + 1 L L 2 410286423278424K 2 = 1 tört... Page 29 of 48
L 2 410286423278424K 2 = 1 ˆ Meyer (1867) lánctörtekkel: 240 lépés, (203254 kellett volna) ˆ Amthor (1880) l 2 4729494 } {{ } k 2 = 1, ahol δ l = L, k = 2 4657 K. l 1 + k 1 δ = 109931986732829734979866232821433543901088049 + +50549485234315033074477819735540408986340 δ = = (300426607914281713365 609 + +84129 507677858393258 7766) 2 tört... Page 30 of 48
Állítás: Ha x 2 Dy 2 = 1 akkor x + y ( ) 2 x 1 x + 1 D = +. 2 2 Ezután megkereste azt a legkisebb megoldást, melyre 2 4657 k. Oszthatósági megfontolások után ( l 1 + k 1 δ ) 2329 = L1 + K 1 410286423278424. Logaritmus segítségével becsülte a kapott eredmények nagyságát. tört... Page 31 of 48
ˆ Lenstra (2002) [7] hatványszorzatokkal dolgozott. Végeredmény: t i = ( (l 1 + k 1 δ) 4658i 1 (l 1 +k 1 δ) 4568i ) 2 368238304 (i = 1,2,...) A végeredmény az összes marhák számát (8) illet en 47 oldal számítógépes nyomtatásban, 12 oldal s rítve a [11] dolgozatban. A legkisebb: 7,7602714... 10 206544. tört... Page 32 of 48
1. Arkhimédesz (i.e. 287-212) Problema bovinum. 2. Brahmagupta (598-670) Felfedezte a "kompozíciós módszert", ha (a,b) és (c,d) megoldása az x 2 Dy 2 = 1 egyenletnek, akkor (ac + Dbd,ad + bc) is. Ugyanis 1 1 { }} { { }} { ( a 2 Db 2 ) ( c 2 Dd 2 ) = (ac + Dbd) 2 D(ad + bc) 2 } {{ } 1 Tehát (a,b) és (a,b) (a 2 + Db 2,2ab) (a,b)és (a 2 +Db 2,2ab) (a 3 +3Dab 2,3a 2 b+db 3 ),stb. Például x 2 83y 2 = 1eseténegymegoldás: (x,y) = (82,9), amib l kompozícióval (82,9) (13447,1476) (2205226,242055)... tört... Page 33 of 48
3. Bhaskara (1114-1185) Továbbfejlesztette Brahmagupta módszerét, úgy hogy x 2 Dy 2 = 1 egy megoldását el állító algoritmust készített az (a, b) párból, ha a 2 Db kicsi. Pl. megoldotta 2 x 2 61y 2 = 1 egyenletet is. MEGJEGYZÉS: Az indiai matematikusok által használt módszerek teljesen ismeretlenek voltak az európai matematikusok el tt az 1600-as években. 4. Fermat (1601-1665) Az x 2 61y 2 = 1 és hasonló egyenletek megoldásának meghatározására "kalandra hívja" az angolszász, németalföldi és francia matematikusokat. Többen is elkezdtek dolgozni a problémán, leveleztek. tört... Page 34 of 48
5. Frenicle de Bessy (1605-1675) D 150-ig táblázatba gy jötte a megoldásokat, de sosem publikálta. 6. Brouncker (1605-1675) Lényegében a lánctörtek módszerét fedezte fel. Megoldotta pl. az x 2 313y 2 = 1 egyenletet Frenicle de Bessy kérésére. Saját bevallása szerint egy-két órát dolgozott az (x 1,y 1 ) = (32188120829134849,1819380158564160) megoldáson. 7. Wallis (1605-1675) 1658-ban publikálta az egymás közötti levelezéseket az 1657-58 évekb l. Brahmagupta módszerét igazolta. tört... Page 35 of 48
8. Pell (1611-1685) Rahn (1622-1676) könyvében megjelenik az egyenlet, állítólag Pell segítségével írta. Ez az egyetlen ismert kapcsolat Pell és egyenlete között. (Számelméletben dolgozott, pl. megjelentetett egy táblázatot 100000-ig a természetes számok prímfaktorairól, könyveket írt egyet a π-r l ) MEGJEGYZÉS: Akkoriban azt állították (pl. Fermat is), hogybármely D eseténvanmegoldás,deigazolninem tudták. 9. Euler (1707-1783) A lánctört módszer elméleti alapját adta, amit kés bb Lagrange nomított. Ž nevezte el az egyenletet hibásan Pell-egyenletnek, mert összekeverte Brouncker-rel. 10. Lagrange (1736-1813) Bizonyította, hogy bármely szóbajöhet D-re végtelen sok megoldás van. Módszere D lánctörtbe fejtését használja. (1) tört... Page 36 of 48
4. A (k, l)-balansz számok DEFINÍCIÓ: Legyen k és l két rögzített pozitív egész. Az x számot l)-hatvány numerikus középpontnak, vagy (k,l)-balansz számnak hívjuk ha létezik z N, hogy 1 k +... + (x 1) k = (x + 1) l +... + (z 1) l. (9) Legyen S k (x) = 1 k +... + (x 1), ekkor (9) ekvivalens az alábbi formával: k Pl. S 1 (x) = S k (x) + S l (x + 1) = S l (z). (x 1)x 2, S 2 (x) = (x 1)x(2x 1) 6 története Page 37 of 48
k = l = 1 = Ház probléma, Balansz számok Behera és Panda [2] x n+1 x n 1 = (x n + 1)(x n 1), x 2n = x 2 n x 2 n 1, x 2n+1 = x n (x n+1 x n 1 ). Liptai [8] Egyetlen balansz szám sem tagja a Fibonacci sorozatnak. története Page 38 of 48
k = l = 2 1 2 +... + (x 1) 2 = (x + 1) 2 +... + (z 1) 2 Finkelstein [4] Nincs második hatványú numerikus középpont. x(x + 1)(2x + 1) 6 következménye = z(z + 1)(2z + 1) 6 X 3 + 2Y 3 = 1, 3, 11, 33. Ennek megoldásai csak: x(x 1)(2x 1) 6 (X,Y ) = ( 1,1), (1,1), ( 5,4), (3, 2). története Page 39 of 48
k = l = 3 1 3 +... + (x 1) 3 = (x + 1) 3 +... + (z 1) 3 Steiner [12] Nincs köbös numerikus középpont. Közvetlen alkalmazása Ljunggren [9] és Cassel [3] munkáinak. Olyan háromszögszámokat kell keresni, melyek négyzete szintén háromszögszám. Pl. ( 1 2 2 k = l = 4, 5 k = l = 4 : ) 2 = 1 2 2 ; ( 3 4 2 ) 2 = 8 9 2 3X 5 10X 3 + 7X = 6Y 5 + 40Y 3 16Y Ingram [6] Nincs numerikus középpont. k = l = 4 : X 3 5X 2 + 7X 3 = 2Y 3 + 20Y 2 16Y története Page 40 of 48
Általános eredmények 1 k +... + (x 1) k = (x + 1) l +... + (z 1) l TÉTEL [10]: Rögzített k > 1 esetén véges sok olyan pozitív egész l és z van, melyekre x egy (k,l)-balansz szám. Amennyiben k < l akkor nem létezik (k, l)- balansz szám. TÉTEL [10]: Ha k rögzített, l {1,3} és (k,l) (1,1) akkor véges sok (k,l)-balansz szám létezik és ezek eektíve meghatározhatók. története Page 41 of 48
1 k +...+(x 1) k = (x+1) l +...+(z 1) l, (2 x z 2) k\l 1 2 3... 1 x n+2 = 6x n+1 x n z n+2 = 6z n+1 z n 2 2 (x, z) = (5, 10), (13, 39), (36, 177) no 3 (x,z) = (3,6), (8,41), (10, 65) sejtés no. 7 no. 15 no. története Page 42 of 48
Pl. (k,l) = (7,1) 4z 2 4z + 1 = x 8 4x 7 + 14 3 x6 7 3 x4 + 14 3 x2 + 4x + 1 X = 3x, Z = 3 4 (2z 1) Z 2 = X 8 12X 7 + 42X 6 189X 4 + 34 X 43 ([13]) +3042X 2 + 8748X + 6561 SEJTÉS: (k, l)-balansz szám csak l = 1 esetén létezik. története Page 43 of 48
További általánosítási lehet ségek ˆ x k és x l helyett rendre P(x) és Q(x) polinomok. x 1 i=0 P(i) = ˆ eggyel több változó bevezetése Pl. Pl. z 1 Q( j) j=x+1 1 +... + (x 1) = y +... + (z 1) (2x 1) 2 + (2y 1) 2 = (2z 1) 2 + 1 1 3 +... + (x 1) 3 = y 3 +... + (z 1) 3 2 x + 2 y = 2 z története Page 44 of 48
2 133 + 2 144 = 2 165 története Page 45 of 48
2 133 + 2 144 = 2 165 Köszönöm! története Page 46 of 48
References [1] Adams, J. P., Puzzles for Everybody, Avon Publications, New York, 1955, 27. 3 [2] Behera, A. Panda, G., On the square roots of triangular numbers, Fibonacci Quart., 37 (1999), 98-105. 38 [3] Cassels, J. W., Integral points on certain elliptic curves, Proc. London Math. Soc., 3 (1965), 55-57. 40 [4] Finkelstein, R., The house problem, Am. Math. Monthly, 72 (1965), 1082-1088. 39 [5] Ginatempo, N, Il mettodo dei tentativi per la risoluzione della equazione di Pell-Fermat, Inst. Mat. Univ. Messina, Pubblicazione No.1. (1969). 12 [6] Ingram, P., On kth-power numerical centres, Comptes Rendus Math. Acad. Sci, 27 (2005), 105-110. 40 [7] Lenstra, H., Solving Pell equations, Notices of the AMS, 49 (2002), 182-192. 32 története Page 47 of 48
[8] Liptai, K., Fibonacci balancing numbers, Fibonacci Quart., 42 (2004), 330-340. 38 [9] Ljunggren, W., Solution compléte de quelques équations du sixiéme degré á deux indéterminées, Arch. Math. Naturv., 48 (1946), 177-211. 40 [10] Liptai, K. - Luca, F. - Pintár, Á. - Szalay, L., Generalized balancing numbers, Indag. Math., (2008?). 41 [11] Nelson, H. L., A solution to Archimedes' cattle problem, J. Recreational Math., 13 (1980-81), 162-176. 32 [12] Steiner, R., On kth-power numerical centers, Fibonacci Quart., 16 (1978), 470-471. 40 [13] Szalay, L., Superelliptic equations of the form y p = x kp + a kp 1 x kp 1 +...+a 0, Bull. Greek Math. Soc., 46, (2002), 23-33. 43 [14] Szalay, L., On the resolution of simultaneous Pell equations, Annales Math. Inf., (2008?). története Page 48 of 48