A Pell-egyenlet és története
|
|
- Edit Balázsné
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar A Pell-egyenlet és története Szakdolgozat Papp Franciska Matematika Bsc., elemz szakirány Témavezet k: Szabó Csaba, Algebra és Számelmélet Tanszék Pongrácz András, CEU Budapest 20.
2 Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Arkhimédesz és a marha-probléma Arkhimédesz élete Mese a Pell-egyenletr l Marha-probléma Pell-egyenlet Deníció, elnevezés A Pell-egyenlet története A Pell-egyenlet és a lánctörtek kapcsolata 7 5. A Pell-egyenlet egy speciális esete Lánctört-módszer Gy r elméleti módszer
3 . fejezet Bevezetés A diophantoszi egyenletek megoldása igen változatos módszereket igényel, univerzális megoldási módszer nem létezik. Ez a témakör b velkedik híres megoldatlan problémákban. Dolgozatom célja egy nevezetes diophantoszi egyenlet, a Pell-egyenlet részletesebb megismertetése, és történetének bemutatása. Már az ókori görögök is oldottak meg Pell-típusú egyenleteket. Arkhimédesz marhaproblémája is Pell-típusú egyenletre vezet, ezért el ször a tudós életét, majd a marhaproblémát és annak megoldását ismertetem. Ezen megoldás matematikusok több száz éves munkája által vált ismertté. Ezek után deniálom a Pell-egyenletet és bevezetem a hozzá tartozó legfontosabb tételeket és deníciókat. Matematikusokon keresztül szemléltetem a Pell-egyenlet megoldási módszereinek fejl dését, kialakulását. A Pell-egyenlet gyökeinek meghatározására számos módszer létezik: lánctörtekkel, absztrakt algebrai módszerekkel és kvantumszámítógéppel is kereshetjük a megoldásokat. A 4. fejezetben a lánctört fogalmát vezetem be, majd tételek segítségével mutatom meg, hogyan találjuk meg a Pell-típusú egyenletek megoldását a lánctört-módszer segítségével. Az utolsó fejezetben az x 2 2y 2 = Pell-egyenletnek keresem a megoldását a lánctört-módszer és a gy r elméleti módszer felhasználásával. 2
4 2. fejezet Arkhimédesz és a marha-probléma 2.. Arkhimédesz élete Arkhimédesz kb. i. e. 287., Szirakúza - i. e. 22., Szirakúza) természettudós, matematikus, lozófus, zikus, csillagász és mérnök volt. Életér l nagyon kevés írásos dokumentum maradt fenn. Ezek a iratok sem tekinthet k teljes érték eknek, mert sok bennük a bizonytalan tényez. Arkhimédeszt minden id k egyik legnagyobb matematikusaként tartják számon napjainkig is. Felfedezései, találmányai a mai technikával felszerelt világban is megdöbbentik az embert, és méltó csodálatot vívnak ki maguknak. Heracleides i. e Hérakleia, - i. e. 322., görög lozófus, csillagász) megírta Arkhimédesz életét, de sajnálatos módon ez az írásos dokumentum nem maradt fenn. Arkhimédesz i. e. 287-ben született Szirakúzában, és ott is halt meg i. e. 22-ben. Fenn maradt dokumentumok szerint 75 éves korában érte a halál, csak ez alapján következtetünk születési dátumára. Édesapja Pheidiasz nagy csillagász volt, aki valószín leg már gyermekkorában bevezette Arkhimédeszt a természettudomány szépségeibe. Gyermekkorától kezdve jó kapcsolatot ápolt Hieron királlyal és ával, egyes feljegyzések szerint rokoni kapcsolatban is álltak. Fiatal korában Alexandriában, a kor szellemi központjában élt és tevékenykedett. Itt ismerkedett meg többek között Eratoszthenésszel i. e Alexandria, i. e. 94., hellenisztikus matematikus, földrajztudós, csillagász, lozófus, költ, zenész.), aki állítólag ezekben az években magánál Euklidesznél i. e körül, görög matematikus, lozófus) lakott, és az tanítványa volt. Ezek alatt az évek alatt barátkozott össze Cononnal i. e. 260.). Szirakúzába való hazatérése után a matematikai kutatásának és találmányai- 3
5 nak szentelte életét, közben levelezést folytatott Cononnal és Eratoszthenészszel ezekben a témákban. Leveleiben felfedezései publikálása el tt mindig kikérte Conon véleményét. Eratoszthenésznek Módszer cím híres írása mellett a marha-problémát is elküldte, amely szakdolgozatom alappillére. Az életér l a római történészek is sok legendát riznek, melyek általában valamelyik találmányához köthet ek. Életében híressé a zseniális mechanikai találmányai tették, ilyen például az arkhimédeszi csavar és a csigasor. Szirakúza az Arkhimédesz által szerkesztett hadigépekkel állt ellen a Marcellus i. e i. e. 208.) vezette római ostromnak, a II. pun háború idején. Arkihimédesz munkássága csak levelezések, elbeszélések útján maradt fenn. Felfedezeséit nem hagyta fenn az utókorra, egyetlen könyvet írt, Gömb készítése címmel. Halálának körülményeit ugyanolyan misztikum övezi, mint életét. Plutarkhosz i. u. 45., Khairóneia - i. u. 20.) a következ képpen írta le a tudós halálát: A matematikus mértani idomokat tanulmányozott otthonában. Annyira elmerült ebben a munkában, hogy észre se vette amikor a rómaiak elfoglalták a várost. Egy római katona betört Arkhimédesz otthonába és felszólította, hogy azonnal kövesse t Marcellushoz. Arkhimédesz csak azzal a feltétellel egyezett ebbe bele, hogyha el tte végiggondolhatja a vizsgált geometriai problémát. Ez a válasz annyira felb szítette a katonát, hogy kardjával leszúrta a tudóst. Marcellus a gyilkos katonát megbüntette, Arkhimédeszt pedig a kívánsága szerint helyezte végs nyugalomba. Eszerint végakaratában arra kérte rokonait, barátait, hogy legkedvesebb tételének ábráját véssék sírkövére: egy egyenl oldalú hengerbe írt gömb és kúp körvonalait. A tétel szerint az egyenl alapú és magasságú kúp, félgömb és henger térfogatának aránya: :2:3. Ebb l arra lehet következtetni, hogy magának tulajdonította ezen arány felfedezését. Sok évvel kés bb i. e. 75-ben a híres római szónok, Cicero megtalálta és helyreállíttatta a már elvesztettnek hitt síremléket. Kés bb sajnos ismét elt nt, de 965-ben egy hotel építkezésekor rábukkantak Mese a Pell-egyenletr l A Pell-egyenlet eredetét Arkhimédesz nevéhez kapcsolják, pontosabban a tudós egyik feladványához. A feladatot marha-problémának nevezete el, és Eratoszthenésznek ajánlotta egyik levelében. Magyar nyelven Ponori Thewrewk Emil, Görög Anthólogiabeli Epigrammák cím m vében olvashatjuk, amelyben ezen kívül, több matematikai témájú 4
6 epigrammát gy jtött össze. Érdekessége a történetnek, hogy a feladvány 8 ismeretlent tartalmaz, de csak 7 egyenletet tudunk hozzá felírni az egyenletrendszerben. Ezen kívül tartozik még hozzá 2 segédegyenlet is. Arkimédesz feltehet leg ismerte a feladvány megoldását, ami azért csodálatraméltó, mert a fennmaradt feladványt csak a 7-8. században tudták matematikusok együttes er vel megfejteni. A megfejtéshez a mai napig nagyon hosszas számolásra, vagy számítógépes programok segítségére van szükség. A feladvány keletkezésének körülményeit kétes körülmények övezik. A legenda szerint, Arkhimédesz egy olimpia játék alkalmával adta fel ezt a feladatot az egyik néz társának, ezen beszélgetésnek Heiron király is tanúja volt. A néz nehezményezte, hogy miért csak zikális olimpiát rendeznek, a tudást, az észt miért nem mérik össze hasonló keretek között. Arkhimédesznek erre az volt a válasza, hogy ez azért lehetetlen, mert a bírónak minden kérdésre tudnia kellene a választ, ezáltal nem a gy ztest illetné meg a babérkoszorú, hanem magát a bírót. Azért, hogy az illet megnyugodhasson, feladta neki a marha-problémát, ha azt meg tudja fejteni, akkor méltán indulhatna a szellemi olimpián. A király felajánlott díj fejében egy aranybika szobrot. Az említett versenyz egy napot kért az eredmény kiszámolásához, Arkhimédesz nagyvonalúan két hetet adott probléma megoldásához. A történet szerint az úr sose jelentkezett a megoldással Marha-probléma A feladvány: A Napisten Thrinákia szigetén legeltette marháit. Négy csordája volt, az egyikben minden állat fehér, a másikban mind fekete, a harmadik csorda bikái és tehenei sárgásbarnák voltak, végül a negyedikben tarkák. Mindegyik csordában a bikák száma jóval meghaladta a tehenekét. A fehér bikák száma annyi, mint a fekete bikák fele meg egyharmada, meg valamennyi barna bika. A fekete bikáké annyi, mint a tarka bikák negyede meg ötöde meg valamennyi barna bika. Végül a tarka bika annyi van, mint a fehér bikák hatoda meg hetede meg valamennyi barna bika. A fehér tehenek száma annyi, mint az egész fekete csorda - tehát a bikák és a tehenek együtt - számának egyharmada meg egynegyede, a fekete tehenek száma annyi, mint a tarka csorda egynegyede meg egyötöde, tarka tehén annyi van, mint a barna csorda egyötöde meg egyhatoda, végül barna tehén annyi van, mint a fehér csorda egyhatodának meg egyhetedének az összege. Ha megfelel en állítjuk fel valamennyi fehér és fekete bikát, akkor az állatok alakzata egy négyzet lesz, ha pedig 5
7 a barna és tarka bikákat állítjuk fel, akkor háromszöget kapunk. Az egyszer ség kedvéért, a következ jelöléseket alkalmazom: x = fehér bikák, y = fekete bikák, z = barna bikák, t = tarka bikák, x = fehér tehenek y = fekete tenehek z = barna tehenek t = tarka tehenek A feladat matematikai formában: x = y 2 + y 3 + z y = t 4 + t 5 + z t = x 6 + x 7 + z x = y + y 3 y = t + t 4 t = z + z 5 z = z + z 6 + y + y 4 + t + t 5 + z + z 6 + z + z 7 A fenti egyenletrendszerb l fejezem ki az x-et, y-t és t-t. x = z, y = z, t = z Mivel x, y, t N, és az együtthatójukban, a számlálójuk és a nevez jük relatív prímszámok, ezért a z számról tudjuk, hogy oszthatónak kell lennie 297-tel, 99-cel és a 89-gyel. A három szám legnagyobb közös osztója a 89, tehát z = 89 k, ahol k N. Ebb l adódóan az egyenleteink: x= 2226k, y =602k, t= 580k. 6
8 Az így kapott eredményeket behelyettesítve az egyenletrendszerbe: x = 7 2 y k y = 9 20 t + 7k t = 30 z k z = 3 42 x + 689k. Ezekb l az egyenletekb l kifejezve x-et, y-t, z-t és t-t: x = egyenleteket kapjuk. k, y = k, z = k, t = k. Ahhoz, hogy x, y, z, t, x, y, z, t N feltételnek a megoldásaink eleget tudjanak tenni, az kell, hogy k = 4657n alakú legyen és n N. egyenletrendszerünk megoldása: Így a 8 ismeretlenes 7 egyenletb l álló x = n, y = n, z = n, x = n y = n z = n t = n, t = n. Összesen k marha legelészik Trinákia mezején. Most felhasználom az utolsó két feltételt, amely a bikák alakzatára vonatkozik. Ha megfelel en állítjuk fel valamennyi fehér és fekete bikát, akkor az állatok alakzata egy négyzet lesz: x + y = a 2 = = } {{ } k α a 2 = 2 α k k = a2 2 2 α = a2 2 2 α α 2 7
9 K = a 2 α, K2 = a2 2 2 α 2, k = K 2 α Ha a barna és tarka bikákat állítjuk fel megfelel en, akkor háromszöget kapunk: t + z = b+) b = t = } {{ } k b+) b 2 = β k, 2b + ) 2 = 8β k + β 2b + ) 2 = 8 β k + = 8 α β K } {{ } 2 + L L 2 8 α K 2 = L K 2 = Az egyenlet rövid megoldása: A megoldás megkönnyítése érdekében az L K 2 = egyenletet átírjuk a következ alakba: l } {{ } k 2 =, ahol l = L és k = K ϕ Az l, k ) számpár az l } {{ } k 2 = egyenlet minimális megoldása. Minimális ϕ megoldáson azt a számpárt értem, amely az egyenlet megoldásai közül a második változójában minimális.) l + k ϕ = ϕ = ) 2 Ezután megkeressük a minimális megoldást, amely eleget tesz a k oszthatóságnak: l + k ϕ) = L + K
10 k i = ) 2 l + k ϕ) i l +k ϕ) i =, 2,...) Hosszú számolások után kapjuk meg az összes marha számát, gyelembevéve az utolsó két feltételt. Ha megfelel en állítjuk fel valamennyi fehér és fekete bikát, akkor az állatok alakzata egy négyzet lesz, ha pedig a barna és tarka bikákat állítjuk fel, akkor háromszöget kapunk.) Az összes marha száma: 7, A teljes megoldás 47 oldal terjedelm, ezért is egészen elképeszt, ha Arkhimédesz valóban meg tudta oldani ezt a feladványt. Fontos kérdés lehet akár az is, hogy Arkhimédesz biztosan tudta-e, hogy a válasz létezik. 9
11 3. fejezet Pell-egyenlet 3.. Deníció, elnevezés Ebben a fejezetben bemutatom a dolgozatom f témáját a Pell-egyenletet, és deniálok néhány fogalmat, amelyeket a kés bbiek során felhasználok. Deníció: Diophantoszi egyenletnek általában olyan egész együtthatós algebrai egyenletet nevezünk, melynek a megoldásait is az egész esetenként a racionális) számok körében keressük. Az ax + by = c egyenletben a, b, c rögzített egész számok, és megoldáson, például egy x, y) egész számpárt értünk. A Pell-egyenlet az egyik legegyszer bb diophantoszi egyenlet. Deníció: Pell-egyenletnek nevezzük az x 2 dy 2 = alakú diophantoszi egyenletet, illetve általánosabb formában az x 2 dy 2 = b alakú egyenleteket, ahol d N, b Z és d / Q. Az x, y) megoldásokat tehát az egészek között keressük. Az x 2 dy 2 = egyenletnek vannak triviális megoldásai: x = ±, y = 0. Ha d <, akkor x 2 dy 2 >, kivéve, ha x = y = 0, így ez esetekben nincs megoldása az x 2 dy 2 = egyenletnek. Ha pedig d =, akkor további két triviális megoldása van: x = 0, y = ±. Végül, ha d = n 2 esetben is csak triviális megoldásai vannak, hiszen az x 2 dy 2 = x 2 n 2 y 2 = x + ny) x ny) = esetben x + ny = x ny = ±, 0
12 ami ismét csak az x = ±, y = 0 esetekben áll fönn. Így csak azt az esetet kell vizsgálnunk, amikor d > 0, és nem négyzetszám. Nyilvánvaló, hogy elegend a pozitív megoldásokat megkeresni, és ha x, y N megoldás, akkor ln.k.o.x, y ) =. Pell-egyenletre vezetett a korábbiakban említett marha-probléma is. A Pell-egyenlet elnevezése A Pell-egyenlet John Pell 6-685) angol matematikusról kapta a nevét, aki munkássága során algebrával és számelmélettel foglalkozott. F munkája egy táblázat megalkotása volt, amelyet 668-ban adott ki, amelyben az els szám szorzatra bontása szerepelt. Sokat publikált, f bb írásai: Idea of Mathematics 638), Controversiae de vera circuli mensura 647). Kés bb jutott csak napvilágra, hogy Euler tévesen nevezte el a x 2 dy 2 = típusú egyenleteket Pell-egyenletnek, az érdemi munka Lord Brouncker nevéhez f z dik A Pell-egyenlet története A Pell-típusú egyenletek több évszázadon keresztül foglalkoztatták a matematikusokat. Az egyenletet el ször Diophantosz nevéhez köthetjük, mivel a Pell-egyenlet egy diophantoszi egyenlet. Kés bbiekben két indai matematikus, Aryabhata és Brahmagupta az euklideszi algoritmus felhasználásával közelítette meg a problémát. Ezek után Bhaskara, Brahmagupta módszerét továbbfejlesztve megoldásokat el állító algoritmust adott meg az x 2 dy 2 = típusú egyenletekre. Több száz évig a probléma feledésbe merült, amíg Fermát felhívására a 7-8. században él matematikusok újabb megoldási módszereket nem kerestek. A 7. században Lord Brouncker a lánctört-módszerével általános eljárást adott a Pell-típusú egyenletek megoldására, amely helyességét kés bb Lagrange bizonyította. Ebben a fejezetben err l a fejl désr l írok részletesebben. Diophantoszt kb. i. e. 250.) az egyenletekkel kapcsolatos munkája emelte ki a görög matematikusok közül. Szakított a görög geometrikus hagyományokkal, és szinte kizárólag algebrai és számelméleti feladatokkal foglalkozott. Diophantoszt tekintik az algebrai jelrendszer megalapítójának. Els és másodfokú egyenleteket oldott meg, ezek megoldásait és együtthatóit az egész számok körében kereste. Minden feladatában speciális számértékeket használt, soha nem mondott ki általános tételeket. Többségében másodfokú egyen-
13 letekre vezet feladatokat oldott meg. Munkája során több, mint 30 egyenlet megoldását vezette le, minden esetben csak egyetlen gyököt keresett meg. Nem dolgozott ki általános megoldási módszert, ahogyan ezen egyenleteket nem is osztályozta. A kapott eredményei helyességét csupán azzal igazolta, hogy azok a behelyettesítéskor kielégítették a feladat feltételeit. Munkásságánál meg kell még említenünk a diophantikus approximációt, amely a valós számok racionális számokkal való közelítését vizsgálja. Látható az, hogy Diophantosz munkássága lényegében kiindulópontját képezte számos algebrai és számelméleti kutatásnak, mint a Pell-típusú egyenleteknek is. Aryabhata 500.) és Brahmagupta ) közös és egyéni felfedezései fontos szerepet játszottak az x 2 dy 2 = típusú egyenletek megoldásainak megtalálásában. Munkásságuknak jellemz vonása volt az aritmetikai algebrai jelleg, amely megmutatkozik abban, hogy szerettek egyenletekkel foglalkozni. Az x 2 dy 2 = típusú egyenlet megoldását az euklideszi algoritmusra alapozták. Új egyedi jelölésrendszert vezettek be, amelyet a lánctört sének is tekinthetünk. Ez azért is fontos, mert a lánctörtek módszere a Pelltípusú egyenletek ma ismert megoldási lehet ségeinek egyike. A lánctörtekkel a kés bbiekben még részletesebben foglalkozom.) Közös munkájuk során racionális megoldásokat találtak a Pell-egyenletre, mégpedig a következ módon: Észrevették, hogy ha az ax 2 y 2 = b és az ax 2 2 y2 2 = b 2 egyenleteknek van megoldása, akkor a b b 2 -nek is, ugyanis legyenek x, y és x 2, y 2, olyanok, hogy ax 2 y 2 = b, ax 2 2 y2 2 = b 2. Ekkor ezek felírhatóak b = x a y ) x a + y ), b2 = x 2 a y2 ) x2 a + y2 ) alakban, és a szorzatuk: b b 2 = ax x 2 ± y y 2 ) 2 a x y 2 ± x 2 y ) 2 kiadja a kívánt megoldást. Brahmagupta ennek alapján felfedezte a kompozíciós módszert az ax 2 y 2 = b egyenletre, amely az a, b) és c, d) megoldáspárok segítségével további megoldást eredményezett. A módszer a következ : Ha a, b) és c, d) megoldása az egyenletnek, akkor 2
14 ac + Dbd, ad + bc) is. Ugyanis { }} { a 2 Db 2) { }} { c 2 Dd 2) } {{ } = ac + Dbd) 2 D ad + bc) 2. Azt az esetet is vizsgálta, mikor az a=c és b=d, ekkor az a 2 + Db 2, 2ab) is megoldása lesz az egyenletnek. Bhaskara 4-85) továbbfejlesztette Brahmagupta és Aryabhata munkáját, a következ módszerrel adott megoldást az x 2 dy 2 = egyenletre. Els lépésben próbálgatással keresett olyan x, y, b számokat, amelyek kielégítették az x 2 dy 2 = b egyenletet, emellett az y, b ) = feltételnek is megfeleltek. Következ lépésben keresett olyan y 2, z Z számokat, hogy y z+x b = y 2, vagyis y z + x = b y 2 és z 2 d a lehet legkisebb = b 2 Z, dy2 2 + b 2 pedig négyzetszám, amelyet x 2 2-tel jelölünk, vagyis legyen. Ekkor z2 d b dy2 2 + b 2 =x 2 2. Az eljárás megismétlésével kapott az egész számoknak egy sorozatát: b, b 2,..., b k, így végül b k = azaz dy 2 k + = x2 k. Ekkor az x k, y k ) lesz az x 2 dy 2 = eredeti egyenletünk megoldása. A 7. században több neves matematikus is foglalkozott az x 2 dy 2 = egyenlettel. Ennek a valószín síthet oka az lehetett, hogy Fermat ) felhívta angol, francia, német tudóstársainak gyelmét ezen és az ilyen típusú egyenletek megoldásának problémájára. Ž maga is sokat foglalkozott a diophantoszi határozatlan analízissel, amely a Lord Brouncker-t ) az els európai tudósként tartják számon, aki általános megoldást adott az x 2 dy 2 = egyenletre, felfedezte a lánctört módszerét. A lánctört segítségével az egyenlet általános megoldási módszere: x + y ) d } {{ } nagy x y ) d = } {{ } kicsi Ekkor x y ) d 0 x y d. A d lánctört alakjának valamely kezd szelete lesz az x, y) megoldáspár. racionális számok között keresi a megoldást a határozatlan egyenletekre és egyenletrendszerekre. Brouncker ezt a megoldási módszert nem bizonyította. Megoldott több x 2 dy 2 = típusú 3
15 egyenletet, például az x 2 33y 2 = -et. Az egyenlet legkisebb megoldása az x, y) = , ) számpár. Állítása szerint a megoldáson csupán néhány órát dolgozott. Frenicle de Bessy ) csak kedvtelésb l foglalkozott ezen problémával, munkája mégsem elhanyagolható. Táblázatba gy jtötte a minimális megoldáspárokat D 50-ig. Deníció: Minimális megoldáson azt a számpárt értem, amely az egyenlet megoldásai közül a második változójában minimális.) Wallis, John ) volt az, aki publikálta ezen matematikusok ban folytatott levelezéseit, eredményeit és igazolta Brahmagupta módszerének helyességét. Rahn ) könyvében megjelenik az x 2 dy 2 = egyenlet általános megoldása, amely megírásában Pell segédkezett. Ez az egyedüli biztos kapcsolat Pell és az x 2 dy 2 = típusú egyenletek között. Leonhard Euler ) több szempontból is fontos szerepet játszott az egyenlet történetében. Eulert l származik a "Pell-egyenlet" elnevezése összekeverte Lord Brouncker munkáját John Pell eredményeivel). A diophantikus problémák megoldásának segédeszközeként kidolgozta és szigorú alapokra helyezte a lánctört fogalmát. A lánctört módszert használta fel a megoldások megtalálásához, ezen módszerét kés bb Lagrange nomította. Hasonlóan nagy eredményeket ért el a diophantoszi analízis területén. Lagrange ) - Legendre ) közösen dolgozták ki a következ tételt: Tétel: Az x 2 dy 2 = egyenletnek végtelen sok megoldása van. Minden x, y) pozitív megoldás, a legkisebb pozitív x, y ) megoldásokból származtatható, valemely k N segítségével az alábbi módon: x + y D = x + y D ) k. 3.) Ekkor x + y d minimális. Az összes megoldást az x + y d = ± képlettel meghatározott x, y egész számok adják. x + y d ) n. n = 0, ±, ±2, ) A x 2 dy 2 = egyenlet felírható: x + y ) d x y ) d = 3.3) alakban. A 3.3 -as egyenl ségb l látszik, hogy: x + y d ) n) = x y d ) n. 3.4) 4
16 Ezért 3.2 az x + y ) n d = ± x ± y d n = 0,, 2, ) formában is megadható. Bizonyítás: A bizonyítás során többször is fel fogjuk használni, hogy ha x, y ), illetve x 2, y 2 ) egyegy megoldása az x 2 dy 2 = egyenletnek, akkor a megoldások alábbi értelemben vett szorzata is megoldás lesz: x x 2 + dy y 2 + x y 2 + y x 2 ) ) d x x 2 + dy y 2 x y 2 + y x 2 ) ) d =. Ebb l adódik, hogy x 3 = x x 2 + dy y 2, y 3 = x y 2 + y x 2 is megoldása lesz a x 2 dy 2 = egyenletnek. A fentiekb l és a 3.4 -b l nyilvánvalóan következik, hogy a 3.2 képlettel megadott x, y) számpárok kielégítik a x 2 dy 2 = egyenletet. Most belátjuk, hogy ez az összes megoldás. Tegyük fel indirekt módon, hogy létezik egy x, y) megoldás, amely nem ilyen alakú. Ekkor nyilván x, y) is megoldás és ez sem szerepel a fentiekben deniált megoldások között. Ezért feltehet, hogy x + y d > 0. Ekkor létezik olyan t egész szám, melyre: x + y d ) t < x + y d < x + y d ) t+). 3.6) A 3.6 -at x + y d ) t-nal beszorozva < x + y ) ) t d x + y d < x + y d 3.7) adódik. Itt x + y ) ) t d x + y d = x + y d a megoldások összeszorzásával keletkezett, tehát x, y ) is megoldás, azaz x + y ) d x + y ) d =. 3.8) A 3.7 -beli els egyenl tlenség szerint x + y d >. 3.9) 5
17 Így a 3.8 miatt 0 < x y d <. 3.0) A 3.0 miatt nem lehetségesek az y = 0, az x < 0, y > 0 valamint az x > 0 és a y < 0 esetek, a 3.9 miatt pedig nem fordulhat el az x < 0, y < 0. Ezért x > 0, y > 0, ez azonban 3.7 szerint ellentmond x + y d minimalitásának. Lagrange bizonyította be els ként Euler és Brouncker azon felfedezését, hogy bármely szóba jöhet d-re végtelen sok megoldása van az x 2 dy 2 = egyenletnek. Ginatempo 969) nevéhez f z d "Brute force" algoritmus a minimális x, y) számpár megtalálásában segít. Ez az algoritmus az összes x 2 dy 2 = egyenletre alkalmazható, viszont hasznossága igen csekély, mivel problémája, hogy nagyok a korlátok. [ D ]. Az x 2 dy 2 = egyenlet minimális megoldására teljesül, Tétel: Legyen d = hogy: ) 2 2 y 2 d + ) 3 d + d. x d + ) d. A következ példán keresztül jól látható, miért is nem hasznosítható ez igazán. Példa: D=6 Ekkor az y , x Az egyenlet tényleges alapmegoldása ebben az esetben: =. Vagyis x = , y 2 = Ebb l jól látható, hogy a korlátok nem pontosak, a korlátok túl nagyok. 6
18 4. fejezet A Pell-egyenlet és a lánctörtek kapcsolata Lánctörtek Tetsz leges α valós szám esetén tekintsük a következ algoritmust. Legyen c 0 = α és ekkor γ = {α}, α = c 0 + γ. 4.) Ha γ 0, akkor legyen c = γ { és γ 2 = } γ, ekkor α = c 0 + γ = c 0 + c +γ 2. Ha γ 2 0, akkor γ 2 egész- és tört részét képezzük stb. Általában ha a c 0, c,..., c n és γ,..., γ n+ értékeket már meghatároztuk, és γ n+ 0, akkor legyen c n+ = γ n+ és { γ n+2 = γ n+ }. 4.2) 7
19 Ekkor α = c 0 + c + c cn+ c n+ +γ n ) A 4.3 jobb oldalán álló sok emeletes törtet véges) lánctörtnek nevezzük, és az egyszer bb írásmód kedvéért bevezetjük rá az L [c 0, c,..., c n, c n+ + γ n+2 ] jelölést. Ha γ n+ = 0, akkor az eljárás véget ér. Az ily módon kapott c 0, c,..., egész számokat az α lánctörtjegyeinek nevezzük. Deníció: Egy α valós szám lánctörtjegyein a 4. és a 4.2 képletekkel deniált véges vagy végtelen) c 0, c,... számsorozatot értjük. Megjegyzés: A deníció alapján világos, hogy a lánctörtjegyek egyértelm en meghatározott egész számok, és c i > 0, ha i. Példa : Legyen α = Ekkor = , c 0 = 3, 65 6 = , c = 0, 6 5 = + 5, c 0 =, 5 = 5 + 0, c 0 = 5. A lánctört jegyei tehát: 3, 0,, 5. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy: = L [3, 0,, 5] = Abban az esetben, ha az α irracionális, akkor a γ n is irracionális, ekkor a lánctörtbe fejtés algoritmusa sohasem áll le. Ebben az esetben a kifejezés így néz ki: α = c 0 + c + c cn+γn+. 8
20 Példa 2: Legyen α = 2. Ekkor: 2 = + 2 ), c0 =, = ) 2 + = 2 + 2, c = 2, 2 = ) 2 + = 2 + 2, c = 2, 2. A 2 lánctörtjegyei tehát:, 2, 2, 2,.... Erre bevezetjük a 2 = L [, 2, 2, 2,...] jelölést és a "végtelen lánctört" elnevezést. Az algoritmus során kapott véges lánctörteket nevezzük a végtelen lánctört csonkításainak. Mivel ezek racionális számok, így ezek a csonkítások α egy racionális közelítését adják meg. Jelölése: L [c 0, c,..., c n ] = an b n. A Pell-egyenlet és a lánctört kapcsolata A lánctörtek elméletéb l tudjuk a következ t. Lemma: Legyen α irracionális, n N, továbbá α n = an b n Ha p, q Z és q < b n+, akkor a lánctört n-edik kezd szelete. b n α a n qα p. Ez mutatja, hogy a lánctörtek adják valamilyen értelemben az irracionális számok legjobb racionális közelítését. Lord Brouncker felfedezte, hogy az x 2 dy 2 = egyenlet megoldásainak hányadosa kapcsolatban van a d racionális közelítésével, ugyanis nemcsak az igaz, hogy x d, y hanem az alábbi er s állítás is. Tétel: Legyen α irracionális szám. Ha a p p, és p, q) = ) racionális szám, q és α p q < 2q, 2 9
21 akkor valamely n N-re p q = α n = a n b n, ahol α n az α lánctört alakjának n-edik kezd szelete. Bizonyítás: Tegyük föl, hogy p -ra teljesülnek a tétel feltételei, de nem egyezik meg q egyetlen kezd szelettel sem. Mivel a b k sorozat szigorúan monoton növekv, pontosan egy olyan n N van, amelyre b n q < b n+. Ezen n-re teljesül, hogy: b n α a n qα p = q α p q < 2q. Ebb l az egyenlet b n -nel való leosztásával egyszer en kapható, hogy: α a n <. 2qb n b n Mivel feltevésünk szerint p q an b n, így a qa n pb n különbség nem lehet 0, így qa n pb n. Ebb l azonban következik, hogy: qa n pb n qb n qb n = a n p b n q a n α b n + α p q < + 2qb n 2q. 2 A kapott: < + qb n 2qb n 2q 2 egyenl tlenségb l q < b n adódik, amely ellentmond n választásának. Vagyis p az α n-edik q kezd szelete. A következ tétel megmutatja, hogy a d szám lánctört alakjából, a lánctört csonkításával hogyan tudjuk meghatározni a x 2 dy 2 = Pell-egyenlet megoldásait. Tétel: Ha a, b pozitív, és megoldása az x 2 dy 2 = egyenletnek, akkor az a b a d lánctört alakjának valamely kezd szelete. 20
22 Bizonyítás: Tegyük föl, hogy a 2 db 2 =, azaz a > b d. Átalakítva az egyenletet azt kapjuk, hogy: a d = b ba+b d). Alkalmazva az a > b d becslést a következ adódik: a ) db a + ) db =. Eszerint 0 < a b d = b a + b ) < d d b b d + b ) = d d 2b 2 d = 2b 2. Ezzel az egyenl tlenséggel és az el z tételben szerepl bizonyítás segítségével bebizonyítottuk a tételt. Példa: Az el z tételek felhasználásával, és a d lánctört alakja segítségével meghatározzuk az x 2 7y 2 = egyenlet minimális x 0, y 0 ) megoldáspárját. A 7 lánctört alakja: L [ 2,,,, 4 ]. Elkezdem vizsgálni a 7 lánctört alakjának kezd szeleteit: n = 0. 2 = = 3) n =. 2 + = = 2 n = = 5 2 n = = = 3) = A negyedik lépésben az egyenletbe való visszahelyettesítéskor mindkét oldalon -et kaptunk eredményül, tehát megtaláltuk az x 2 7y 2 = egyenlet minimális megoldását, a 7 lánctört alakjának segítségével. Eszerint a 8, 3) a minimális megoldás. 2
23 5. fejezet A Pell-egyenlet egy speciális esete Ebben a fejezetben az x 2 2y 2 = egyenlet összes megoldását adjuk meg. 5.. Lánctört-módszer Az el z fejezetben leírtak szerint jártunk el. Már kiszámoltuk, hogy a 2 lánctört alakja 2 = L [, 2, 2,...] 4.fejezet). Ennek a csonkításával a következ törtek kaphatók meg: L [] =. Ez nem ad megoldást: = ). L [, 2] = 3 2. Ebb l a 3, 2) minimális megoldás adódik: =. A 3.2. fejezetben szerepl tétel alapján a megoldások így adhatók meg: x + y 2 = ± n 2), n Z Gy r elméleti módszer Az x 2 2y 2 = egyenlet egész megoldásait keressük. Ehhez el ször egy nagyságrendi feltételt állapítunk meg x-re és y-ra. Állítás: Ha x 2 2y 2 =, akkor y < x < 2 y kivéve, ha y = 0 és x = ±. Bizonyítás: Indirekte tegyük fel, hogy x y. Ekkor x 2 y 2. A feltétel szerint tehát 2y 2 + y 2, azaz y 2 + 0, ami ellentmondás. A másik egyenl tlenség bizonyításához tegyük fel, hogy x 2 y. Négyzetre emelés után ebb l azt kapjuk, hogy x 2 4y 2. Kifejezve az x 2 -et ebb l 2y 2 + 4y 2 adódik, ami 2y 2 -re vezet. Ennek csak az y = 0 lehet megoldása. Azt az egyenletbe beírva x = ±-et kapunk. 22
24 Az egyenlet bal oldala szorzattá alakítható: x 2 2y 2 = x + ) 2y x ) 2y. Ennek a lépésnek az a hátránya, hogy az x + 2y alakú kifejezések általában nem egész számok. Ezért egy, az egészeknél b vebb gy r ben kell dolgoznunk, ha az egyenletet meg szeretnénk oldani. Deníció: Z [ 2 ] = { a + b 2 a, b N }. Ez a halmaz a szokásos valós számokon értelmezett) összeadás és szorzás m veletekkel egy kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gy r t alkot. A Pell-egyenlet megoldásában segítségünkre lesz a Z [ 2 ] gy r számelmélete. Épp ezért most összefoglaljuk a legfontosabb deníciókat és tételeket, amik a megoldáshoz szükségesek lesznek. Számelméleti szempontból vizsgálva Z [ 2 ] egy euklideszi gy r, hiszen megadható rajta egy euklideszi norma. Egy a + b 2 alakú szám normája N a + b 2 ) = a 2 2b 2. Ez a szám a + b 2 Z [ 2 ] esetén egy egész szám. A Z [ 2 ] gy r ben deniálható a konjugálás is: a + b 2 = a b 2. Vegyük észre, hogy N z) = zz. Mivel a konjugálás szorzattartó, így a fenti összefüggés miatt ugyanez igaz a normára is: N z z 2 ) = N z ) N z 2 ). Ez számunkra azért lesz fontos, mert így a z = a + b 2 szám normája megegyezik a Pell-egyenletünk bal oldalával. Ezért azokat a számokat keressük, amelyek normája. Állítás: z Z [ 2 ] egység akkor és csak akkor, ha N z) = ±. Bizonyítás: Ha N z) = ±, akkor zz = ±, így ±z inverze z-nek. Ha z egység, akkor létezik r Z [ 2 ], amire rz =. Alkalmazzuk a normát: N r) N z) = N ). Itt N r) és N z) egész számok. A szorzatuk csak úgy lehet, ha mindkett ±. A Pell-egyenlet bal oldalára most úgy tekintünk, hogy az az x + y 2 elem normája Z [ 2 ] -ben. Ez alapján az x, y) számpár pontosan akkor megoldása a Pell-egyenletnek, ha N x + y 2 ) =. Mivel a norma szorzattartó, így ha N z) =, akkor N z k) = minden k Z -re. Itt z a z egység egyértelm inverzét jelöli.) Állítás: Z [ 2 ] -ben végtelen sok -normájú elem van. Bizonyítás: Észrevesszük, hogy N ) =, hiszen =. 3 ) k ) = minden k N-re. A korábbi meggyelések szerint N 23
25 Ezek a hatványok mind különböz ek, hiszen 2 együtthatója k növelésével szigorúan monoton n. Célunk az összes megoldást megtalálni, vagyis Z [ 2 ] összes -normájú elemét meghatározni. Ebben éppen az el z állítás gondolatmenete ad ötletet. Tétel: Legyen x + y 2 Z [ 2 ] egy -normájú elem, amelyre x, y > 0. Ekkor x + y 2 = ± ) n, n Z. Bizonyítás: y szerinti teljes indukcióval. y = 0, ekkor x 2 =, tehát x = ±. Ez az, ) Z [ 2 ] elemeket adja meg, amelyek valóban felírhatóak a fenti alakban n = 0). Tegyük fel, hogy y k ) esetén igaz az állítás. Legyen most y = k, és tegyük fel, hogy N x + y 2 ) =.. eset: y > 0. Vegyük észre, hogy: N x + y 2 ) )) = N x + y 2 ) N ) = = Tehát x + y 2 ) ) egy -normájú elem Z 2 ) -ben. Ha kibontjuk a zárójeleket: x + y ) ) 2 = 3x 4y) + 3y 2x) 2. A 2 együtthatójának abszolútértéke ennek során csökkent 3y 2x < y, / y, +2x 2y < 2x, / : 2 y < x. Az indukciós feltétel szerint tehát készen vagyunk, hiszen ha ± n, ) n+. d) akkor x + y 2 = ± eset: y < 0. x + y d) ) = Az el z eset mintájára történik a bizonyítás. Most ) -vel szorzunk: N x + y ) )) 2 = N x + y ) 2 N ) 2 = =. A 2 együtthatója itt a 3y+2x. Vizsgáljuk meg, hogy ez abszolútértékben tényleg kisebb 24
26 y -nál. Ehhez két egyenl tlenségre van szükségünk: y < 3y + 2x < y. y < 3y + 2x: y < 3y + 2x / y 0 < 2y + 2x / : 2 0 < y + x, mert y < x. 3y + 2x < y: 3y + 2x < y / 3y 2x < 4y / : 2 x < 2y = 2 y. A tétel alapján ismét világos, hogy a minimális megoldás a 3, 2) számpár. 25
27 Irodalomjegyzék [] Michael J. Jacobson, Jr., Hugh C. Williams: Solving the Pell Equation, Springer, 2000 [2] T. L. Heath: The works of Archimedes, London [3] Sir Thomas Heath: A history of Greek matematics, Oxford, 92 [4] Nelson H. L.: A solution to Archimedes' cattle problem, 980 [5] Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2000 [6] K. A. Ribnyikov: A matematika története, Tankönyvkiadó, Budapest, 974 [7] Dirk J. Struik: A matematika rövid története, Gondolat Kiadó, 958 [8] Sain Márton: Matematikatörténeti ABC, Tankönyvkiadó, Budapest,
28 Nyilatkozat Név: Papp Franciska ELTE TTK, Matematika B.Sc. szak, Matematikai elemz szakirány ETR azonosító: PAFPAAT.ELTE Szakdolgozat címe: A Pell-egyenlet és története A szakdolgozat szerz jeként fegyelmi felel sségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelel idézés nélkül nem használtam fel. Budapest, 20. január 4. Papp Franciska 27
1. Probléma és megoldás
A ház probléma Szalay László laszalay@ktk.nyme.hu http://titanic.nyme.hu/ laszalay Matematikai és Statisztikai Intézet NYME KTK Sopron története Page 1 of 48 1. története Page 2 of 48 A fejtör [1] Egy
Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23
Komplex számok Wettl Ferenc 2014. szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok 2014. szeptember 14. 1 / 23 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet
Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
Komplex számok algebrai alakja
Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z
1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
Lánctörtek és alkalmazásaik
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Matematikai Intézet Szakdolgozat Lánctörtek és alkalmazásaik készítette: Szabó Mariann témavezető: Dr Tengely Szabolcs Debrecen, 203 Tartalomjegyzék
Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14
Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális
OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
A törzsszámok sorozatáról
A törzsszámok sorozatáról 6 = 2 3. A 7 nem bontható fel hasonló módon két tényez őre, ezért a 7-et törzsszámnak nevezik. Törzsszámnak [1] nevezzük az olyan pozitív egész számot, amely nem bontható fel
Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának
L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten KOMPLEX SZÁMOK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Történeti bevezetés
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára
Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Elemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
HALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 017/018-as tanév. forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy tanár kijavította egy 1 f s csoport dolgozatait.
Magasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Egészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve
M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
Megoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek
9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén
Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein
A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden
8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
2. Halmazelmélet (megoldások)
(megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek
Kongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Függvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
Eötvös Loránd Tudományegyetem. Természettudományi Kar. Gyarmati Richárd. Számelmélet feladatok szakkörre. Bsc szakdolgozat.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gyarmati Richárd Számelmélet feladatok szakkörre Bsc szakdolgozat Témavezet : Dr. Szalay Mihály Algebra és számelmélet tanszék Budapest, 206 2 Köszönetnyilvánítás
Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Halmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x
25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel
5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.
Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
Hatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló 1. Tetsz leges n pozitív egész számra jelölje f (n) az olyan 2n-jegy számok számát, amelyek megegyeznek az utolsó n számjegyükb l alkotott szám négyzetével. Határozzuk
MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.
Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban
Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.
Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
Komplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Polinomgy r k. 1. Bevezet. 2. Polinomok. Dr. Vattamány Szabolcs. http://www.huro-cbc.eu
Polinomgy r k Dr. Vattamány Szabolcs 1. Bevezet Ezen jegyzet célja, hogy megismertesse az olvasót az egész, a racionális, a valós és a komplex számok halmaza fölötti polinomokkal. A szokásos jelölést használjuk:
Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik
1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-
RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
= Itt a jobb oldalon föllelhető az először az Egyiptomi Középbirodalomban használt
2 Átmenet az analitikus számelmélet felé: Lánctörtek 2 Történeti bevezetés Az általános vélekedéssel szemben nem Diofantosz volt az első, aki egész együtthatós határozatlan egyenletek egész megoldásait
Számelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről
MATEMATIKA A és B variáció
MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
A figurális számokról (III.)
A figurális számokról (III.) Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Az el részekben megismerkedhettünk a gnómonszámokkal is, amelyek a következ alakúak voltak: Ezeknek általános alakjuk Gn. Ezután megismerkedtünk
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás
LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László
MATEMATIKA. 5 8. évfolyam
MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni
Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
Tartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,