Halmazelmélet és logika

Halmazelmélet és logika Dr. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 1 / 58

Outline A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak A nyelv szemantikája, igaszságértékelés A kijelentéslogika nyelve A tiszta predikátumlogika nyelve Kijelentés és predikátumlogikai feladatok Logikai következmény Predikátumkalkulus Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 2 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Halmazelmélet Kialakulása a XIX. század második felére tehető. A matematikusok figyelme a halmazok elemeiről a halmazokra irányult. Kritikai szellem fejlődése. Felismerték, hogy a véges halmazok tulajdonságaival nem rendelkeznek törvényszerűen a végtelen halmazok is. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 3 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Halmazelmélet Kialakulása a XIX. század második felére tehető. A matematikusok figyelme a halmazok elemeiről a halmazokra irányult. Kritikai szellem fejlődése. Felismerték, hogy a véges halmazok tulajdonságaival nem rendelkeznek törvényszerűen a végtelen halmazok is. Georg Cantor: a naiv halmazelmélet megalkotója. Kontinuumhipotézis: nem létezik olyan halmaz, melynek számossága a megszámlálhatóan végtelen számosságánál nagyobb, de a kontinuumszámosságnál kisebb. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 3 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Halmazelmélet Kialakulása a XIX. század második felére tehető. A matematikusok figyelme a halmazok elemeiről a halmazokra irányult. Kritikai szellem fejlődése. Felismerték, hogy a véges halmazok tulajdonságaival nem rendelkeznek törvényszerűen a végtelen halmazok is. Georg Cantor: a naiv halmazelmélet megalkotója. Kontinuumhipotézis: nem létezik olyan halmaz, melynek számossága a megszámlálhatóan végtelen számosságánál nagyobb, de a kontinuumszámosságnál kisebb. A végtelen halmazok elmélete ellentmondásos elmélet. Russel-féle antinómia: (Játék a végtelennek 225 o.) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 3 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Logicizmus és formalizmus Az ellentmondások kiküszöbölésének három fő irányzata: Logicizmus: Russel: a metamatika a logika része. Ellentmondás forrása: a fogalmak definiálásakor felhasználjuk magát azt a fogalmat is amit definiálni akarunk, azaz a definícióban olyan halmazt használunk, melynek a definiálandó dolog is eleme. (legnagyobb közös osztó) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 4 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Logicizmus és formalizmus Az ellentmondások kiküszöbölésének három fő irányzata: Logicizmus: Russel: a metamatika a logika része. Ellentmondás forrása: a fogalmak definiálásakor felhasználjuk magát azt a fogalmat is amit definiálni akarunk, azaz a definícióban olyan halmazt használunk, melynek a definiálandó dolog is eleme. (legnagyobb közös osztó) Formalizmus: Hilbert Ellentmondás forrása: az a kötetlenség, hogy a halmazelmélet bármikor bővíthető új fogalmakkal. Megoldás az axiomatikus módszer. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 4 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Logicizmus és formalizmus Az ellentmondások kiküszöbölésének három fő irányzata: Logicizmus: Russel: a metamatika a logika része. Ellentmondás forrása: a fogalmak definiálásakor felhasználjuk magát azt a fogalmat is amit definiálni akarunk, azaz a definícióban olyan halmazt használunk, melynek a definiálandó dolog is eleme. (legnagyobb közös osztó) Formalizmus: Hilbert Ellentmondás forrása: az a kötetlenség, hogy a halmazelmélet bármikor bővíthető új fogalmakkal. Megoldás az axiomatikus módszer. Zermelo: az első halmazelméleti axiomarendszer kidolgozója. Az ellentmondások kiküszöbölésének leghatékonyabb módja. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 4 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Intuicionizmus Intuicionizmus: Brouwer, Weyl, Poincaré Az ismeretszerzés módja a velünk született ősintuició. Tehát a matematika feladata az intuitív konstrukciós tevékenység. Az antinómiák oka, hogy a vizsgálatok kiterjednek az intuitíve nem konstruálható végtelen halmazokra. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 5 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Intuicionizmus Intuicionizmus: Brouwer, Weyl, Poincaré Az ismeretszerzés módja a velünk született ősintuició. Tehát a matematika feladata az intuitív konstrukciós tevékenység. Az antinómiák oka, hogy a vizsgálatok kiterjednek az intuitíve nem konstruálható végtelen halmazokra. potenciálisan végtelen: valamely folyamat korlátlan továbbfolytatásának a lehetősége. (természetes számok sorozata) aktuálisan végtelen: a halmaz készen tartalmaz végtelenül sok elemet, sem elvenni, sem hozzátenni nem lehet anélkül, hogy a halmaz megváltozna. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 5 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Intuicionizmus Intuicionizmus: Brouwer, Weyl, Poincaré Az ismeretszerzés módja a velünk született ősintuició. Tehát a matematika feladata az intuitív konstrukciós tevékenység. Az antinómiák oka, hogy a vizsgálatok kiterjednek az intuitíve nem konstruálható végtelen halmazokra. potenciálisan végtelen: valamely folyamat korlátlan továbbfolytatásának a lehetősége. (természetes számok sorozata) aktuálisan végtelen: a halmaz készen tartalmaz végtelenül sok elemet, sem elvenni, sem hozzátenni nem lehet anélkül, hogy a halmaz megváltozna. Az intuicionista álláspont az aktuálisan végtelen fogalmát nem ismeri el. Logikájukból hiányzik a harmadik kizárásának elve. (Arisztotelesz: Egy állítás ha nem igaz, akkor hamis, harmadik lehetőség nincs.) Valamely dolog létezik, ha megkonstruálható. (egzisztencia tételek) Az intuicionista logika lemond a hagyományos matematika nagy területeiről. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 5 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Logika Mi a logika? Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 6 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése Logika Mi a logika? Az a tudományág, melynek tárgya maga a matematika. A vizsgált elméletre vonatkozó globális kérdésekkel foglalkozik. (teljesség, ellentmondásmentesség) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 6 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése A matematikai elméletek átfogó vizsgálata Pontosítás A vizsgált elmélet pontosítása egy logikai nyelv segítségével-formalizálás. szimbolikus nyelvek Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 7 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése A matematikai elméletek átfogó vizsgálata Pontosítás A vizsgált elmélet pontosítása egy logikai nyelv segítségével-formalizálás. szimbolikus nyelvek Az axiomatikus módszer 1. Definiálatlan alapfogalmak (pont, egyenes, halmaz) 2. Axiómák 3. Tételek: az axiómákból a logika következtetési szabályi segítségéve bizonyítható kijelentések. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 7 / 58

A halmazelmélet és a matematikai logika fejlődése A matematikai elméletek átfogó vizsgálata Pontosítás A vizsgált elmélet pontosítása egy logikai nyelv segítségével-formalizálás. szimbolikus nyelvek Az axiomatikus módszer 1. Definiálatlan alapfogalmak (pont, egyenes, halmaz) 2. Axiómák 3. Tételek: az axiómákból a logika következtetési szabályi segítségéve bizonyítható kijelentések. Követelmények: ellentmondásmentesség függetlenség Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 7 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Mi a logika? A logika érvelés az érvelésről. A matematikai logika a vizsgált elméletre vonatkozó globális kérdésekkel foglalkozik. A mat. log. nyelv funkciója a vizsgált matematikai elmélet tényanyagának pontos leírása. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 8 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Mi a logika? A logika érvelés az érvelésről. A matematikai logika a vizsgált elméletre vonatkozó globális kérdésekkel foglalkozik. A mat. log. nyelv funkciója a vizsgált matematikai elmélet tényanyagának pontos leírása. Motiváció: alapvető matematikai kérdések informatika praktikus szükségletei A vizsgált matematikai elmélethez egy precíz logikai nyelvet használunk elkerülve a pontatlanságot. Az elméletet formalizáljuk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 8 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Az állitás(kijelentés) olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 9 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Az állitás(kijelentés) olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Atomi kijelentés: logikai értékének eldöntése nem a logika feladata. Példa: Süt a nap. Összetett kijelentések: atomi formulák + logikai összekötőjelek, kvantorok Példa: Süt a nap és esik az eső. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 9 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Az állitás(kijelentés) olyan kijelentő mondat, melyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. Atomi kijelentés: logikai értékének eldöntése nem a logika feladata. Példa: Süt a nap. Összetett kijelentések: atomi formulák + logikai összekötőjelek, kvantorok Példa: Süt a nap és esik az eső. Melyek kijelentések? Minden rózsa fehér. Hogy vagy? y > 10 Ez a csendélet szebb, mint a másik. Az ikerprímek száma végtelen. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 9 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe A matematikai állítások leírása jelekből képzett jelsorozatok segítségével történik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 10 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe A matematikai állítások leírása jelekből képzett jelsorozatok segítségével történik. Jelsorozatok: kifejezések, termek : matematikai objektumok jelölése változók: x, y konstans: 0 f (x, y) formulák: matematikai érvelés leírása x = y Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 10 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe A matematikai állítások leírása jelekből képzett jelsorozatok segítségével történik. Jelsorozatok: kifejezések, termek : matematikai objektumok jelölése változók: x, y konstans: 0 f (x, y) formulák: matematikai érvelés leírása x = y A mat. log. nyelvekben megkülönböztetünk szintaxist (jelsorozat alakja, velük végezhető átalakítások) és szemantikát (jelentéstan: formulák, kifejezések értelmezése). Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 10 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe A matematikai állítások leírása jelekből képzett jelsorozatok segítségével történik. Jelsorozatok: kifejezések, termek : matematikai objektumok jelölése változók: x, y konstans: 0 f (x, y) formulák: matematikai érvelés leírása x = y A mat. log. nyelvekben megkülönböztetünk szintaxist (jelsorozat alakja, velük végezhető átalakítások) és szemantikát (jelentéstan: formulák, kifejezések értelmezése). Fontos a tárgynyelv és a metanyelv megkülönböztetése! A hazug antinómiája. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 10 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Logikai összekötőjelek, kvantorok negáció: tagadás konjunkció: és művelet, logikai szorzás. diszjunkció: vagy művelet. implikáció: ha..., akkor... ekvivalencia: akkor és csak akkor Kvantorok: univerzális kvantor: összes, bármely egzisztenciális kvantor: létezik Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 11 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Geom nyelv Elemi geometria leírására szolgál. változók pont A, B, C,... egyenes a, b, c,... sík α, β, γ,... atomi formulák (A = B) (A a) (A α) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 12 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Geom nyelv Elemi geometria leírására szolgál. változók pont A, B, C,... egyenes a, b, c,... sík α, β, γ,... atomi formulák (A = B) (A a) (A α) Feladatok: 1. Egyenes és vele párhuzamos sík definíciója. 2. Két kitérő egyenes definíciója. 3. A síkban egy ponton át csak egy olyan egyenes húzható, mely a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. 4. Az s egyenes az α síkban van. 5. Két különböző pontra egy és csak egy egyenes illeszkedik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 12 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Ar nyelv Természetes számokra vonatkozó állítások leírására szolgál. változók: x, y, z,... konstans: 0 függvényszimbólumok: S, +, termek: atomi formulák: t = z Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 13 / 58

Bevezetés a metamatikai logikai nyelvek fejlődésébe Ar nyelv Természetes számokra vonatkozó állítások leírására szolgál. változók: x, y, z,... konstans: 0 függvényszimbólumok: S, +, termek: atomi formulák: t = z Feladatok: 1. xy, x y, x < y 2. x osztója y-nak 3. x prímszám 4. A prímszámok száma végtelen. 5. A 2x 2 + x + 1 = 0 egyenletnek létezik két különböző gyöke. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 13 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Nyelv megadása. Az elsőrendű Ω nyelvet egy négy halmazból álló rendszerrel adjuk meg: Ω = S, C, F, P. 1. S : nem üres halmaz, melynek elemeit tipusoknak nevezzük. Minden típushoz szimbólumok megszámlálható rendszere tartozik, melyeket bizonyos típusú változóknak (individuumváltozó) nevezünk. 2. C : konstansok (esetleg üres) halmaza. 3. F : függvényszimbólumok (esetleg üres) halmaza. Minden f F függvényjelhez hozzárendeljük a függvényjel alakját. (x 1,... x k x) egy k-változós függvényjel alakja. 4. P : nem üres halmaz, melynek elemei predikátumszimbólumok (relációjelek). Minden P P predikátumszibólumhoz hozzárendeljük az alakját. P(x 1,... x n ), ahol n 0 a predikátumszimbólum változóinak száma. Ha k = 0, akkor propozicionális betűről vagy propozicionális változóról beszélünk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 14 / 58

Term Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Ω nyelv alakzatai: szimbólumokból, logikai jelekből és segédjelekből (zárójel, vessző) képzett értelmes jelsorozatok. Az alakzatok két csoportra oszthatók: termek (kifejezések), formulák. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 15 / 58

Term Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Ω nyelv alakzatai: szimbólumokból, logikai jelekből és segédjelekből (zárójel, vessző) képzett értelmes jelsorozatok. Az alakzatok két csoportra oszthatók: termek (kifejezések), formulák. TERM Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 15 / 58

Term Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Ω nyelv alakzatai: szimbólumokból, logikai jelekből és segédjelekből (zárójel, vessző) képzett értelmes jelsorozatok. Az alakzatok két csoportra oszthatók: termek (kifejezések), formulák. TERM 1. Az Ω nyelv minden változója term. 2. Az Ω nyelv minden konstansa term. 3. Ha f egy k-változós függvényjel és t i (i = 1,..., k) term, akkor f (t 1,..., t k ) is term. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 15 / 58

Term Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Ω nyelv alakzatai: szimbólumokból, logikai jelekből és segédjelekből (zárójel, vessző) képzett értelmes jelsorozatok. Az alakzatok két csoportra oszthatók: termek (kifejezések), formulák. TERM 1. Az Ω nyelv minden változója term. 2. Az Ω nyelv minden konstansa term. 3. Ha f egy k-változós függvényjel és t i (i = 1,..., k) term, akkor f (t 1,..., t k ) is term. 1-2 az indukció alapja, 3 a generáló szabály. Egy termben a függvényjelek száma a term összetettségét mutatja. A term bármely változója a term paramétere. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 15 / 58

Formula Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak atomi formula: P(t 1,..., t k ) alakzat, ahol P az Ω nyelv predikátumbetűje, t 1,..., t k termek. Ha P egyváltozós, akkor prímformulának vagy elemi formulának is nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 16 / 58

Formula Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak atomi formula: P(t 1,..., t k ) alakzat, ahol P az Ω nyelv predikátumbetűje, t 1,..., t k termek. Ha P egyváltozós, akkor prímformulának vagy elemi formulának is nevezzük. Formula: 1. Minden atomi formula az Ω nyelv formulája. 2. Ha A és B az Ω nyelv formulái, akkor A B, A B, A B, A is formulák. 3. Ha A formula, x tetszőleges Ω-beli változó, akkor xa, xa is formulák. A logikai szimbólumok száma a formula összetettségét adja meg. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 16 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Definition (részformula) Egy A formula minden olyan részét, mely maga is formula, az A részformulájának nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 17 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Definition (részformula) Egy A formula minden olyan részét, mely maga is formula, az A részformulájának nevezzük. Definition A xa, xa formulákban a x, x jelkombinációt kvantoros előtagnak, az x változót a kvantoros előtag változójának, A-t a kvantoros előtag hatáskörének nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 17 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Definition (részformula) Egy A formula minden olyan részét, mely maga is formula, az A részformulájának nevezzük. Definition A xa, xa formulákban a x, x jelkombinációt kvantoros előtagnak, az x változót a kvantoros előtag változójának, A-t a kvantoros előtag hatáskörének nevezzük. Definition Azt mondjuk, hogy egy változó egy formulában kötött előfordulású, ha szerepel egy rajta ható kvantor hatáskörében. Egy változó szabad, ha nem kötött. A szabad előfordulású változó a formula paramétere. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 17 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Definition (részformula) Egy A formula minden olyan részét, mely maga is formula, az A részformulájának nevezzük. Definition A xa, xa formulákban a x, x jelkombinációt kvantoros előtagnak, az x változót a kvantoros előtag változójának, A-t a kvantoros előtag hatáskörének nevezzük. Definition Azt mondjuk, hogy egy változó egy formulában kötött előfordulású, ha szerepel egy rajta ható kvantor hatáskörében. Egy változó szabad, ha nem kötött. A szabad előfordulású változó a formula paramétere. Definition Az Ω nyelv egy formulája zárt formula (mondat), ha nincs benne szabad változó. A szabad változót is tartalmazó formula nyitott formula (predikátum). A nyitott formula n-változós, ha benne n paraméter fordul elő. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 17 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Kötött változó átjelölése. Bárhogyan átjelölhető a következő formula kötött változója? z(x + z = y) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 18 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Kötött változó átjelölése. Bárhogyan átjelölhető a következő formula kötött változója? z(x + z = y) Kötött változó átjelölésével a formula értelme nem változik, ha betartjuka következő szabályt: Szabályos átjelölés: az átjelölés után egyetlen részformula szabad változója sem válhat kötötté. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 18 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Kötött változó átjelölése. Bárhogyan átjelölhető a következő formula kötött változója? z(x + z = y) Kötött változó átjelölésével a formula értelme nem változik, ha betartjuka következő szabályt: Szabályos átjelölés: az átjelölés után egyetlen részformula szabad változója sem válhat kötötté. Definition A és A kongruens formulák (A az A variánsa), ha csak szabályosan végrehajtott kötött változó átjelölésben különböznek egymástól. Jele: A A. Két formula akkor és csak akkor kongruens, ha megegyező vázzal rendelkeznek. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 18 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Változók helyettesítése. Helyettesítsük z(x + z = y) formulában x-et az (x z) termmel! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 19 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Változók helyettesítése. Helyettesítsük z(x + z = y) formulában x-et az (x z) termmel! Szabad változók helyettesíthetők termekkel, ha betartjuk a következő szabályt: Megengedett helyettesítés: szabad változó helyettesítése termmel úgy, hogy szabad változóból nem lehet kötött változó (helyettesítő term változója nem kerülhet kvantor hatáskörébe). Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 19 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Változók helyettesítése. Helyettesítsük z(x + z = y) formulában x-et az (x z) termmel! Szabad változók helyettesíthetők termekkel, ha betartjuk a következő szabályt: Megengedett helyettesítés: szabad változó helyettesítése termmel úgy, hogy szabad változóból nem lehet kötött változó (helyettesítő term változója nem kerülhet kvantor hatáskörébe). Mit tegyünk, ha egy helyettesítés nem megengedett egy A formula számára? Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 19 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Változók helyettesítése. Helyettesítsük z(x + z = y) formulában x-et az (x z) termmel! Szabad változók helyettesíthetők termekkel, ha betartjuk a következő szabályt: Megengedett helyettesítés: szabad változó helyettesítése termmel úgy, hogy szabad változóból nem lehet kötött változó (helyettesítő term változója nem kerülhet kvantor hatáskörébe). Mit tegyünk, ha egy helyettesítés nem megengedett egy A formula számára? Keresünk egy A formulát, melyre A A, s melyre a helyettesítés megengedett. Ezt nevezzük szabályos helyettesítésnek. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 19 / 58

Elsőrendű nyelvek, szintaktikai fogalmak Változók helyettesítése. Helyettesítsük z(x + z = y) formulában x-et az (x z) termmel! Szabad változók helyettesíthetők termekkel, ha betartjuk a következő szabályt: Megengedett helyettesítés: szabad változó helyettesítése termmel úgy, hogy szabad változóból nem lehet kötött változó (helyettesítő term változója nem kerülhet kvantor hatáskörébe). Mit tegyünk, ha egy helyettesítés nem megengedett egy A formula számára? Keresünk egy A formulát, melyre A A, s melyre a helyettesítés megengedett. Ezt nevezzük szabályos helyettesítésnek. Változótisztaság tulajdonság: Egy formula rendelkezik ezen tulajdonsággal, ha benne a kötött változók különböznek a szabad változóktól, s bármely két kvantoros előtag két különböző előfordulása különböző változókat köt meg. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 19 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Objektumtartomány cél: meghatározni mit fejeznek ki a nyelv formulái. Először meg kell adnunk a nyelv változóinak halmazát. Adott egy elsőrendű nyelv: Ω = S, C, F, P. Minden S-beli típushoz hozzárendelünk egy nem üres halmazt. Ez a típus objektumtartománya, hordozója. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 20 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Objektumtartomány cél: meghatározni mit fejeznek ki a nyelv formulái. Először meg kell adnunk a nyelv változóinak halmazát. Adott egy elsőrendű nyelv: Ω = S, C, F, P. Minden S-beli típushoz hozzárendelünk egy nem üres halmazt. Ez a típus objektumtartománya, hordozója. A formulákban és termekben a paraméterek (szabad változók) helyére az objektumtartomány elemei kerülnek, így értékelt formulákat kapunk. x y = z 2 3 = 6 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 20 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Objektumtartomány cél: meghatározni mit fejeznek ki a nyelv formulái. Először meg kell adnunk a nyelv változóinak halmazát. Adott egy elsőrendű nyelv: Ω = S, C, F, P. Minden S-beli típushoz hozzárendelünk egy nem üres halmazt. Ez a típus objektumtartománya, hordozója. A formulákban és termekben a paraméterek (szabad változók) helyére az objektumtartomány elemei kerülnek, így értékelt formulákat kapunk. x y = z 2 3 = 6 Legyen adott egy D hordozó. Minden a D objektumhoz hozzárendelünk egy új szimbólumot aa-t. Ω-t kibővítjük az új szimbólumokkal, így egy új nyelvet kapunk: Ω(D) = S, C(D), F, P. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 20 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Objektumtartomány cél: meghatározni mit fejeznek ki a nyelv formulái. Először meg kell adnunk a nyelv változóinak halmazát. Adott egy elsőrendű nyelv: Ω = S, C, F, P. Minden S-beli típushoz hozzárendelünk egy nem üres halmazt. Ez a típus objektumtartománya, hordozója. A formulákban és termekben a paraméterek (szabad változók) helyére az objektumtartomány elemei kerülnek, így értékelt formulákat kapunk. x y = z 2 3 = 6 Legyen adott egy D hordozó. Minden a D objektumhoz hozzárendelünk egy új szimbólumot aa-t. Ω-t kibővítjük az új szimbólumokkal, így egy új nyelvet kapunk: Ω(D) = S, C(D), F, P. Az Ω(D) nyelv paramétert nem tartalmazó kifejezéseit az Ω nyelv értékelt kifejezésének nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 20 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Ω interpretációja 1. Megadjuk az Ω nyelv egy D hordozóját. Ez tekinthető a változóhalmazhoz D-t rendelő D függvénynek. 2. Minden konstansnak megfeleltetünk egy objektumot: C : c c (c C, c D). 3. Minden függvényszimbólumnak megfeleltetünk egy függvényt. F : f f (f F). f egy D-n értelmezett, D-beli értéket felvevő konkrét függvény, mely annyi változót tartalmaz, ahány változós az f függvényjel. 4. Minden predikátumszimbólumhoz hozzárendelünk egy konkrét predikátumot: P : P P (P P). Predikátum: k-változós függvény, mely a D halmazból vett a 1,..., a k elemrendszerekhez a 0 vagy 1 igazságértéket rendeli. (0 - hamis, 1 - igaz) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 21 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés az Ω nyelv M interpretációja. M = D, C, F, P Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 22 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés az Ω nyelv M interpretációja. M = D, C, F, P A D hordozót alaphalmaznak is nevezzük (pl. természetes számok halmaza). Ez az interpretáció meghatározza a klasszikus elsőrendű szemantikát. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 22 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Értékelt termek, formulák. Definition Az értékelt term értékét indukcióval határozzuk meg. A t term értékét jelölje t M D. 1. Ha a term c C konstans, akkor az M interpretációban hozzá van rendelve egy c objektum: c M = c. 2. Ha a term alakja a, ahol a D, akkor a M = ā. 3. Ha a term f (t 1,..., t k ), ahol t 1,..., t k kisebb bonyolultságú értékelt termek, akkor t 1 M,..., t k M értékek ismertek. f (t 1,..., t k ) M = f ( t 1 M,..., t k M ) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 23 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Értékelt termek, formulák. Definition Az értékelt term értékét indukcióval határozzuk meg. A t term értékét jelölje t M D. 1. Ha a term c C konstans, akkor az M interpretációban hozzá van rendelve egy c objektum: c M = c. 2. Ha a term alakja a, ahol a D, akkor a M = ā. 3. Ha a term f (t 1,..., t k ), ahol t 1,..., t k kisebb bonyolultságú értékelt termek, akkor t 1 M,..., t k M értékek ismertek. f (t 1,..., t k ) M = f ( t 1 M,..., t k M ) Az Ω nyelv M modelljében értékelt formulákat M-ben igaz és hamis formulákra osztjuk. Ha A az M-ben értékelt formula, akkor az A igaz M-ben jelölése: M = A. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 23 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés Definition M = A definíciója. 1. Ha a formula atomi formula (P(t 1,..., t k )), a t 1,..., t k értékelt termek, tehát t 1 M,..., t k M objektumok M-ben. P-nek megfelel egy konkrét P. M = P(t 1,..., t k ) : P( t 1 M,..., t k M ) = 1 Ha a formula nem atomi, akkor igazságértékét kisebb bonyolultságú formulák segítségével határozzuk meg. 2. M = A B : M = A és M = B 3. M = A B : M = A vagy M = B 4. M = A B : ha M = A, akkor M = B 5. M = A : nem igaz, hogy M = A 6. M = A : minden a D esetén M = A x a 7. M = A : van olyan a D, hogy M = A x a Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 24 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés A logikai összekötőjelek jelentése. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 25 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés konjunkció és művelet, logikai szorzás A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 26 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés konjunkció és művelet, logikai szorzás A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Minden négyzet parallelogramma és minden négyzet deltoid. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 26 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés diszjunkció vagy művelet, megengedő értelmű vagy A B A B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 27 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés diszjunkció vagy művelet, megengedő értelmű vagy 12 osztható 3-mal vagy 4-el. A B A B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 A síkban két egyenes vagy párhuzamos vagy metsző helyzetűek. Iszik vagy vezet. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 27 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés diszjunkció vagy művelet, megengedő értelmű vagy 12 osztható 3-mal vagy 4-el. A B A B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 A síkban két egyenes vagy párhuzamos vagy metsző helyzetűek. Iszik vagy vezet. megengedő vagy: a kijelentés igaz, ha legalább az egyik összetevője igaz. kizáró vagy: a két részállítás egyszerre nem lehet igaz. összeférhetetlenségi vagy: a két részállítás egyszerre nem teljesülhet, de az sem baj, ha egyik sem teljesül. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 27 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés negáció Tagadás, nem művelet. Egyváltozós művelet. A A 1 0 0 1 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 28 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés negáció Tagadás, nem művelet. Egyváltozós művelet. A A 1 0 0 1 Van olyan viráv, mely rovarral táplálkozik. Van olyan virág, mely nem rovarral táplálkozik. Egy vrág sem táplálkozik rovarral. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 28 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés implikáció, kondicionális ha..., akkor... A: előtag, B utótag A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 29 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés implikáció, kondicionális ha..., akkor... A: előtag, B utótag A-nak szükséges feltétele a B. B-nek elégséges feltétele az A. A csak akkor ha B. A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 29 / 58

A nyelv szemantikája, igaszságértékelés ekvivalencia, bikondicionális A akkor és csak akkor, ha B. (A B) (B A) A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 30 / 58

A kijelentéslogika nyelve Logikai törvények Definition Az Ω nyelv A formulája logikai törvény (azonosan igaz formula, tautologia), ha A az Ω minden interpretációjában, minden értékelés esetén igaz. Jele: = A. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 31 / 58

A kijelentéslogika nyelve Logikai törvények Definition Az Ω nyelv A formulája logikai törvény (azonosan igaz formula, tautologia), ha A az Ω minden interpretációjában, minden értékelés esetén igaz. Jele: = A. Definition Az A formula logikailag ellentmondásos (kontradikció), ha minden interpretációban, minden értékeléskor hamis. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 31 / 58

A kijelentéslogika nyelve Logikai törvények Definition Az Ω nyelv A formulája logikai törvény (azonosan igaz formula, tautologia), ha A az Ω minden interpretációjában, minden értékelés esetén igaz. Jele: = A. Definition Az A formula logikailag ellentmondásos (kontradikció), ha minden interpretációban, minden értékeléskor hamis. Definition Az A formula kielégíthető, ha létezik olyan M modell és abban olyan értékelés, amelyre az A igaz. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 31 / 58

A kijelentéslogika nyelve Logikai törvények Definition Az Ω nyelv A formulája logikai törvény (azonosan igaz formula, tautologia), ha A az Ω minden interpretációjában, minden értékelés esetén igaz. Jele: = A. Definition Az A formula logikailag ellentmondásos (kontradikció), ha minden interpretációban, minden értékeléskor hamis. Definition Az A formula kielégíthető, ha létezik olyan M modell és abban olyan értékelés, amelyre az A igaz. Definition Valamely A és B formula logikailag ekvivalens, ha az A B formula logikai törvény. Jele: A B. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 31 / 58

A kijelentéslogika nyelve Quine-féle tábla Definition Az Ω nyelv A formulája az A 1,..., A k formulák Boole-kombinációja, ha az A formula az A 1,..., A k formulákból logikai összekötőjelek segítségével épül fel, kvantorok nélkül. Az A i -ket (i = 1,..., n) komponenseknek nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 32 / 58

A kijelentéslogika nyelve Quine-féle tábla Definition Az Ω nyelv A formulája az A 1,..., A k formulák Boole-kombinációja, ha az A formula az A 1,..., A k formulákból logikai összekötőjelek segítségével épül fel, kvantorok nélkül. Az A i -ket (i = 1,..., n) komponenseknek nevezzük. A komponensek logikai értéke meghatározza a formula értékét. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 32 / 58

A kijelentéslogika nyelve Quine-féle tábla Definition Az Ω nyelv A formulája az A 1,..., A k formulák Boole-kombinációja, ha az A formula az A 1,..., A k formulákból logikai összekötőjelek segítségével épül fel, kvantorok nélkül. Az A i -ket (i = 1,..., n) komponenseknek nevezzük. A komponensek logikai értéke meghatározza a formula értékét. Quine-féle tábla, Igazságtábla: A 0 és az 1 lehetséges 2 k kombinációja adja az oszlopokat az A 1,..., A k alatt. Elvégezve a logikai műveleteket megkapjuk a fő oszlopot. A fő oszlop a formula fő logikai összekötőjele alatt keletkezik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 32 / 58

A kijelentéslogika nyelve Quine-féle tábla Definition Az Ω nyelv A formulája az A 1,..., A k formulák Boole-kombinációja, ha az A formula az A 1,..., A k formulákból logikai összekötőjelek segítségével épül fel, kvantorok nélkül. Az A i -ket (i = 1,..., n) komponenseknek nevezzük. A komponensek logikai értéke meghatározza a formula értékét. Quine-féle tábla, Igazságtábla: A 0 és az 1 lehetséges 2 k kombinációja adja az oszlopokat az A 1,..., A k alatt. Elvégezve a logikai műveleteket megkapjuk a fő oszlopot. A fő oszlop a formula fő logikai összekötőjele alatt keletkezik. Definition Az olyan Boole-kombinációt, melyhez tartozó értéktáblázatban a főoszlop csupa 1-esből áll, propozicionális tautológiának nevezzük. Minden propozicionális tautológia logikai történy. (a megfordítás nem igaz) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 32 / 58

Értéktábla A kijelentéslogika nyelve (A B) (A B) 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 33 / 58

Értéktábla A kijelentéslogika nyelve (A B) (A B) 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 A (B C (C A)) 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 33 / 58

Példák A kijelentéslogika nyelve A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) (A B) = A B, (A B) = A B (A B) = A B A B = ( A B) A = A A B = (A B) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 34 / 58

A kijelentéslogika nyelve A kijelentéslogika törvényei 1. A A A és A A A (idempotencia) 2. A B B A és A B B A (kommutativitás) 3. A (B C) (A B) C és A (B C) (A B) C (asszociativitás) 4. A (B C) (A B) (A C) és A (B C) (A B) (A C) (disztributivitás) 5. A A 1 és A A 0 6. A 1 1 és A 1 A 7. A 0 A és A 0 0 8. A (A B) A, A (A B) A (beolvasztási törvény) 9. (A B) A B, (A B) A B (de Morgan-féle törvény) 10. (A B) ( (A B)) és (A B) ( A B) (kondicionálás) 11. (A B) ( B A) (konrtapozició) 12. A A (azonosság törvénye) 13. ((A B) (B C)) (A C) (láncszabály) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 35 / 58

A kijelentéslogika nyelve 14 ((A B) (A B)) A (Reductio ad absurdum) 15 (A (B C)) ((A B) (A C)) (kondicionális öndisztributivitása) 16 A A (kétszeres tagadás) 17 A A (kizárt harmadik) (A A) (ellentmondásmentesség) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 36 / 58

Példa A kijelentéslogika nyelve Egyenértékűek-e az alábbi formulák? P ( P Q), P Q P ( P Q), P Q ( P Q R) ( Q R), P Q R ( P (P Q)), P Q Igazoljuk, hogy az alábbi formulák logikai törvények! ((P Q) Q) P ((P R) ( P R)) R (P ( P Q)) P Q P (Q P) (P P) Q Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 37 / 58

A kijelentéslogika nyelve Definition A B 1 B k alakú formulát, ahol minden B i Boole-kombináció komponense vagy negáltja, elemi konjunkciónak nevezzük. Definition A B 1 B k alakú formulát, ahol minden B i Boole-kombináció komponense vagy negáltja, elemi diszjunkciónak nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 38 / 58

A kijelentéslogika nyelve Definition A B 1 B k alakú formulát, ahol minden B i Boole-kombináció komponense vagy negáltja, elemi konjunkciónak nevezzük. Definition A B 1 B k alakú formulát, ahol minden B i Boole-kombináció komponense vagy negáltja, elemi diszjunkciónak nevezzük. Definition A diszjunktív normál forma (d.nf.) D 1 D n alakú formula, ahol minden D l (l = 1,..., n) elemi konjunkció. Definition A konjunktív normál forma (k.nf.) D 1 D m alakú formula, ahol minden D s (l = 1,..., m) elemi diszjunkció. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 38 / 58

A kijelentéslogika nyelve Theorem Minden Boole-kombináció a komponenseiből képzett d.nf-ra és k.nf.-ra hozható. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 39 / 58

A kijelentéslogika nyelve Theorem Minden Boole-kombináció a komponenseiből képzett d.nf-ra és k.nf.-ra hozható. megszabadulunk a bikondicionális, kondicionális jelektől kétszeres tagadás, de-morgan törvények - tagadás csak a komponenseken disztributivitás Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 39 / 58

Példa A kijelentéslogika nyelve Irjuk át d.nf és k.nf-ra az alábbi formulákat! (P Q) ( P R) (P (Q R)) ((P Q) R) (R P) ( (Q R) P) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 40 / 58

A tiszta predikátumlogika nyelve Mire szolgál? Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 41 / 58

A tiszta predikátumlogika nyelve Mire szolgál? A formulák kvantoros struktúrájána tanulmányozására. Ebben a nyelvben feltárul az állítások finomszerkezete. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 41 / 58

A tiszta predikátumlogika nyelve Logikai törvények Jelölés: A(x) - az x változó felléphet A-beli paraméterként. Fiktív kvantorok esete 1 xa A xa Egynemű kvantorok cseréje 2 x ya(x, y) y xa(x, y) x ya(x, y) y xa(x, y) Kvantorcsere kondicionálisban 3 xa(x) xa(x) y xa(x, y) x ya(x, y) de Morgan-féle kvantoros törvény 4 xa(x) x A(x), xa(x) x A(x) Kvantorok egyoldali kiemelése 5 A xb(x) x(a B(x)) A xb(x) x(a B(x)) A xb(x) x(a B(x)) A xb(x) x(a B(x)) A xb(x) x(a B(x)) A xb(x) x(a B(x)) xb(x) A x(b(x) A) xb(x) A x(b(x) A) Kvantorok kétoldali kiemelése 6 xa(x) xb(x) x(a(x) B(x)) xa(x) xb(x) x(a(x) B(x)) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 42 / 58

Alkalmazás A tiszta predikátumlogika nyelve Definition Az Ω nyelv Q 1 x 1... Q n x n A alakú formuláját prenex formulának nevezzük, ha Q 1... Q n kvantorok és A kvantormentes formula. A kvantormentes formula is prenex formula. Valamely A formula prenex alakjának nevezünk minden olyan B prenex formulát, melyre A B Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 43 / 58

Alkalmazás A tiszta predikátumlogika nyelve Definition Az Ω nyelv Q 1 x 1... Q n x n A alakú formuláját prenex formulának nevezzük, ha Q 1... Q n kvantorok és A kvantormentes formula. A kvantormentes formula is prenex formula. Valamely A formula prenex alakjának nevezünk minden olyan B prenex formulát, melyre A B Theorem Minden formula prenex alakra hozható. Megadjuk a változók tisztaságának eleget tevő C formulát, melyre A C. Egyoldali kvantorkiemelés törvényeit alkalmazzuk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 43 / 58

Példa A tiszta predikátumlogika nyelve x yp(x, y) x(q(x) yp(x, y)) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 44 / 58

Példa A tiszta predikátumlogika nyelve x yp(x, y) x(q(x) yp(x, y)) x yp(x, y) u(q(u) vp(u, v)) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 44 / 58

Példa A tiszta predikátumlogika nyelve x yp(x, y) x(q(x) yp(x, y)) x yp(x, y) u(q(u) vp(u, v)) x y P(x, y) u(q(u) v P(u, v)) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 44 / 58

Példa A tiszta predikátumlogika nyelve x yp(x, y) x(q(x) yp(x, y)) x yp(x, y) u(q(u) vp(u, v)) x y P(x, y) u(q(u) v P(u, v)) x y P(x, y) u v(q(u) P(u, v)) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 44 / 58

Példa A tiszta predikátumlogika nyelve x yp(x, y) x(q(x) yp(x, y)) x yp(x, y) u(q(u) vp(u, v)) x y P(x, y) u(q(u) v P(u, v)) x y P(x, y) u v(q(u) P(u, v)) x y u v( P(x, y) (Q(u) P(u, v))) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 44 / 58

Megjegyzés A tiszta predikátumlogika nyelve A kapott prnex formula kvantormentes részében a logikai összekötőjelek sorrendje megegyezik az eredeti formulában levő sorrenddel. A prenex alak kvantoros előtagja függ az átalakítás módjától. A kijelentéslogika törvényei a predikátumlogikában is alkalmazhatók. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 45 / 58

Kijelentés és predikátumlogikai feladatok Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 46 / 58

Logikai következmény Definition Jelölje Γ az Ω nyelv véges sok formulájának halmazát, A pedig az Ω nyelv egy formuláját. A logikai következménye (szemantikai következmény) a Γ-beli formuláknak (Γ = A), haazω nyelv minden M interpretációja, valamint az A és Γ-beli formulák minden olyan értékelése esetén, amikor a Γ-beli formulák mindegyike igaz M-ben, A is igaz M-ben. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 47 / 58

Logikai következmény Definition Jelölje Γ az Ω nyelv véges sok formulájának halmazát, A pedig az Ω nyelv egy formuláját. A logikai következménye (szemantikai következmény) a Γ-beli formuláknak (Γ = A), haazω nyelv minden M interpretációja, valamint az A és Γ-beli formulák minden olyan értékelése esetén, amikor a Γ-beli formulák mindegyike igaz M-ben, A is igaz M-ben. A Γ-ban és A-ban fellépő paraméterek azonos értékkel helyettesítendők! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 47 / 58

Logikai következmény Definition Jelölje Γ az Ω nyelv véges sok formulájának halmazát, A pedig az Ω nyelv egy formuláját. A logikai következménye (szemantikai következmény) a Γ-beli formuláknak (Γ = A), haazω nyelv minden M interpretációja, valamint az A és Γ-beli formulák minden olyan értékelése esetén, amikor a Γ-beli formulák mindegyike igaz M-ben, A is igaz M-ben. A Γ-ban és A-ban fellépő paraméterek azonos értékkel helyettesítendők! Ha Γ a B 1... B n formulákból áll, akkor ezeket premisszáknak (feltételek), az A-t konklúziónak (zárótétel) nevezzük. Következtetési séma: a premisszák és konklúziók alábbi formációi B 1 B 2. B n A B 1,..., B n A Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 47 / 58

Logikai következmény Theorem Egy A formula akkor és csak akkor logikai következménye a B 1,..., B n formuláknak, ha a (B 1 B n ) A formula logikai törvény. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 48 / 58

Logikai következmény Theorem Egy A formula akkor és csak akkor logikai következménye a B 1,..., B n formuláknak, ha a (B 1 B n ) A formula logikai törvény. Következmény: 1. Több premissza helyett használható ezek konjunkciója. 2. Egy következtetés helyes, ha nincs olyan értékelés, amelyre a preisszák igazak, a konklúzió pedig hamis. 3. Szöveges következtetés vizsgálatához először formalizáljuk egy megfelelő nyelvben. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 48 / 58

Logikai következmény Következtetés helyessége P D P D Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 49 / 58

Logikai következmény Következtetés helyessége P D P D 1. Értéktáblázat P D P D P 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 49 / 58

Logikai következmény Következtetés helyessége 2. Megmutatjuk, hogy nem létezik olyan interpretáció, hogy a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis. Tegyük fel ennek az ellenkezőjét. ellentmondás P D 1 0 0 P 1 0 D 0 0 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 50 / 58

Logikai következmény Következtetés helyessége 2. Megmutatjuk, hogy nem létezik olyan interpretáció, hogy a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis. Tegyük fel ennek az ellenkezőjét. ellentmondás 3. Tétel alapján P D 1 0 0 P 1 0 D 0 0 = ((P D) P) D Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 50 / 58

Logikai következmény Következtetés helyessége 2. Megmutatjuk, hogy nem létezik olyan interpretáció, hogy a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis. Tegyük fel ennek az ellenkezőjét. ellentmondás 3. Tétel alapján P D 1 0 0 P 1 0 D 0 0 = ((P D) P) D ((P D) P) D ((P D) P) D (P D) P D (P D) (P D) 1 Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 50 / 58

Feladatok Logikai következmény Helyesek-e az alábbi következtetési sémák? (P Q) R P R (P Q) R Q (P Q) (Q V ) (S U) V U P R (P Q) (R S) P R (Q P) S R Q S P (R S) (P Q) R (P S) Q S P Q S Q R Q (S R) Q (R S) (P Q) R (P S) Q S Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 51 / 58

Logikai következmény Nevezetes következtetési sémák. 1. Modus ponens: 2. Indirekt sémák: P Q P Q P Q P Q P Q P Q P P Q Q P P Q P Q P Q P Q P P Q Q P Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 52 / 58

Logikai következmény 3. Kontrapozíció: P Q Q P 4. Láncszabály: P Q Q R P R 5. Diszjunktív szillogizmus: P Q P Q Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 53 / 58

Predikátumkalkulus Szemantika vizsgálata nem feltétlen szükséges. Bármely logikai törvény levezethető formális úton, kiinduló formulákból, levezetési szabályok segítségével. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 54 / 58

Predikátumkalkulus Szemantika vizsgálata nem feltétlen szükséges. Bármely logikai törvény levezethető formális úton, kiinduló formulákból, levezetési szabályok segítségével. Logikai kalkulus: szintaktikailag felépített logikai rendszer. kijelentéskalkulus: szintaktikailag felépített kijelentéslogika predikátumkalkulus: szintaktikailag felépített predikátumlogika Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 54 / 58

Predikátumkalkulus Szemantika vizsgálata nem feltétlen szükséges. Bármely logikai törvény levezethető formális úton, kiinduló formulákból, levezetési szabályok segítségével. Logikai kalkulus: szintaktikailag felépített logikai rendszer. kijelentéskalkulus: szintaktikailag felépített kijelentéslogika predikátumkalkulus: szintaktikailag felépített predikátumlogika kalkulus: szabályai pontosak, de a kalkuluson belül nincs magyarázat hozzájuk. (mint a sakkban) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 54 / 58

Predikátumkalkulus A predikátumkalkulus axiómái. 1. A (B A) 2. (A (B C)) ((A B) (A C)) 3. A (B (A B)) 4. (A B) A 5. (A B) B 6. (A C) ((B C) ((A B) C)) 7. A (A B) 8. B (A B) 9. (A B) ((A B) A) 10. A A 11. xa A(x t) 12. x(c A(x)) (C xa(x)) : x nem paraméter C-ben. 13. A(x t) xa 14. x(a(x) C) ( xa(x) C) : x nem paraméter C-ben. A fenti sorok axiómasémák. Mindegyikből végtelen sok axióma nyerhető. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 55 / 58

Predikátumkalkulus A predikátumkalkulus levezetési szabályai. modus ponens: A, A B B az általánosítás szabálya A xa Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 56 / 58

Predikátumkalkulus A predikátumkalkulus levezetési szabályai. modus ponens: A, A B B az általánosítás szabálya Definition A xa Legyen Γ formulák véges rendszere (B 1,..., B m ), A pedig egy formula. Azt mondjuk, hogy a Γ-beli formulákból A levezethető (Γ A) a predikátumkalkulusban, ha létezik olyan D 1,..., D n véges formulasorozat, ahol A = D n és a D 1,..., D n 1 sorozat tagjai vagy a predikátumkalkulus axiómái, vagy a megelőző tagokból adódnak a levezetési szabályok alkalmazásával, vagy Γ-beli formulák. A D 1,..., D n 1 sorozat azon tagját, mely Γ-beli elem, és nem valamely következtetési szabály alkalmazásával került a sorozatba, nyílt premisszának, vagy hipotézisnek nevezzük. Ha a xc formulát a C-ből nyertük általánosítás során, akkor x nem lehet paraméter egyik olyan hipotézisben sem, ami megelőzi C tekintett előfordulását. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 56 / 58

Predikátumkalkulus Levezetésfa: x(p Q(x)) x(p Q(x)) (P xq(x)) P xq(x) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 57 / 58

Predikátumkalkulus Levezetésfa: x(p Q(x)) x(p Q(x)) (P xq(x)) P xq(x) Definition 1. Ha az A formulának a Γ-ból való levezetése során vannak olyan Γ-beli elemek, melyek nem lépnek fel a levezetés során hipotézisként, akkor azt mondjuk, hogy az A formula ezen levezetése nem függ az említett formuláktól. 2. Ha Γ üres, akkor ez azt jelenti, hogy létezik A-nak hipotézismentes levezetése. Jele: A. A a predikátumkalkulus levezethető formulája, logikai tétel. 3. A Γ A alakzatot szekvenciának nevezzük. A Γ A szekvencia megalapozása alatt olyan levezetés megkonstruálását értjük, amelyben A alsó formula és minden hipotézis Γ-beli formula. 4. A A Γ A a nem levezethetőség jele. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 57 / 58

Predikátumkalkulus Levezethetőség - logikai következmény Ha Γ A, akkor Γ A is teljesül, akkor a kalkulus helyes a szemantikus rendszerre nézve. Ha Γ A, akkor Γ A is teljesül, akkor a kalkulus teljes a szemantikus rendszerre nézve. Ha helyes és teljes, akkor adekvát. A predikátumkalkulus helyes és teljes. (Gödel-féle teljességi tétel.) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Logika 2006/007 58 / 58