3. Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Tóth Bence fizikus,. évfolyam 005.03.04. péntek délelőtt beadva: 005.03..
. A mérés első részében a megvastagított végű rúd (a D jelű) felharmonikusait keressük. A satuba fogott rúdra a tűt kb. másfél centiméterre tettem a befogástól, a mágnest egészen a másik végéhez, és elkezdtem felfele tekerni a frekvenciát. Az első pont, ahol a feszültségmérő maximumot vett fel ν=(8,39±0,00)hz -nél volt. Ez az érték és a hozzá tartozó hiba persze nem a konkrét maximum helyhez tartozó értékeké, hanem ahhoz a feszültséghez tartozó frekvenciáé, amelyet ránézésre maximumnak láttam. Magának a rezonanciafrekvenciának a beállításán kb. ±0,05Hz-es hiba van, és ha később majd sokkal pontosabb értéket írok, akkor is erre kell gondolni Feltettem, hogy ez az alapharmonikus. Beírtam ezt az értéket a következő felharmonikus elméleti helyét megjósoló képletbe i-re -et behelyettesítve, kijönnek számok. Ezek pontossága félrevezető, főleg mert annyira pontosan nem lehet soha meghatározni a maximumhelyet, hogy a számolt értékek hibáján belül legyenek a felharmonikusok, úgyhogy ez ennél a pontosságnál pusztán matematika lenne, ezért a beállítás pontosságát írtam be. ν 0i k = i ν 00 k 0 4,69409 ν 0 = *8,39=(4,450±0,05)Hz jön ki.,8750 Ennek közelében meg is találtam az első felharmonikust: ν 0 =(,40±0,0000)kHz -nél. Tehát jó volt a feltételezés, hogy az elsőnek talált érték az alapharmonikus. Kiszámoltam a többi felharmonikus lehetséges helyét: 7,85476 ν 0 = *8,39=(396,097±0,05)Hz,8750 0,9955 ν 03 = *8,39=(663,03±0,05)Hz,8750 A mért értékek: ν 0 =(3,4348±0,0000)kHz ν 03 =(6,876±0,0000)kHz A frekvenciák kétszeresénél nem találtam gerjesztést, tehát ezek azok voltak, amelyek a rúd sajátfrekvenciáit gerjesztik. Az értékek felénél kiszámoltam a feles gerjesztéseket. Itt már oda sem mertem írni a számolt értékek hibáit, hiszen analóg eszközzel és ilyen durva frekvenciaállításnál ezek nem határozhatók meg ennyire pontosan:
ν 00 =9,070Hz ν 0 =570,55Hz ν 0 =,5774kHz ν 03 =3,43805kHz A kimérésnél többnyire pontosan kijöttek az előre jelzett értékek: ν 00 =(9,576±0,0006)Hz ν 0 =(570,546±0,004)Hz ν 0 =(,60699±0,0000)kHz ν 03 =(3,0458±0,00004)kHz Az eltérései a mért és a számított értékeknek, ahol i a rezonanciafrekvencia i' a rezonanciafrekvencia fele: i számolt(hz) mért(hz) (k i /k 0 ) ν 0i /ν 00 eltérés 0 9,070 9,576 4,450 4,0 6,6697 6,64995 0,03% 570,55 570,546 396,097 343,48 7,547570 7,5868705,67% 57,74 606,99 3 663,03 687,6 34,385956 34,50943 0,39% 3 343,805 3045,8 Tehát akármennyire pontatlan a beállítás, mindig %-on belül marad a hiba. 3
. A mérés második részében ugyanennek a rúdon az első felharmonikus körül az amplitúdó frekvenciafüggését mértem ki. Figyeltem a feszültséget és voltonként megnéztem a frekvenciát. ν(hz) A(mV) 4,5795 4 3,5390 7 33,8660 9 35,3480 36,4765 3 37,3535 5 37,7775 6 38,0590 7 38,4030 8 38,745 9 39,060 0 39,960 39,6550 39,9535 3 40,4500 4 4,0530 5 4,685 4 4,385 3 4,4830 4,870 43,65 0 43,460 9 43,7595 8 44,080 7 44,4375 6 44,7690 5 45,640 3 46,7960 48,00 9 50,6580 7 58,630 4 Itt azt a frekvenciaértéket írtam be megint, amit a multiméter mutatott. Mindig benne van a leolvasásból származó ±0,5mV-os hiba, de ezt ugye nem lehetett betenni a rezon.exe-be Ezeket aztán egész értékre kerekítettem és beírtam a rezon.exe-be, és néhány iterálás után a következő ábrát kaptam: Amplitudó (mv) 30 5 0 5 0 5 0 0 5 30 35 40 45 50 55 60 Frekvencia (Hz) Az elméleti görbe paraméterei: A max =4,66939Hz f 0 =40,578Hz D f =5,75763Hz y 0 =-0,6745mV Én a D f -re (5,70±0,05)Hz-et mértem geometriai módszerrel (vagyis az ábráról). 4
D f -ből κ: D f 0, 05 = D f 5, 70 =0,00877 κ= ν*π=d f *π=(8,±0,)hz A rúd adatai tolómérővel mérve: hosszúság: mind az öt mérésből 0,0999m jött ki. szélesség: kétszer 0,050m, háromszor 0,05m-t mértem, ezek átlaga 0,0506m. magasság: mind az ötször 0,00m lett. A sűrűségre az irodalmi ρ Cu =890kg/m 3 -t vettem. i a i (m) a i =a i - a (m) ( a i ) *0-9 (m ) 0,050-0,00006 3,6 0,05 0,00004,6 3 0,05 0,00004,6 4 0,05 0,00004,6 5 0,050-0,00006 3,6 ahol a i a rúd alapja az i-edik mérés szerint a =0,0506m s = a 5 i= ( a 5* 4 i ) =,45*0-5 m a=(0,0506±0,0000)m Az első felharmonikust többször megmértem a beállítási pontosság ellenőrzéséhez: i ν 0i (khz) ν 0i =ν 0i - ν (Hz) ( ν 0i ) (Hz 0 ),4053-0,03067 0,0009404,403 0,0933 0,0003738 3,4095 0,033 0,00084 ahol ν 0i az első felharmonikus az i-edik mérés szerint. ν 0 =4,084Hz s = ν 0 3 i= ( ν 3* 0i ) =0,055 Hz 5
Tehát az első felharmonikus viszonylag pontos helye: ν 0 =(4,08±0,0)Hz A Young-modulusz hibája: E = E ν ν +4 l b + l b 0 És a Young-modulusz: = 0,0 4,08 +4 0,00005 0,00005 + =0,0505 0,0799 0,00 ω l i0 ν * π *l 0 4,084 * π * 0,0799 k i E= k ρq = 4,69409 ρq = 890 *0, 0000363 = I I 3 0,0506* 0,003 =(3,3±0,)*0 0 Pa Ez még éppen 5%-os hibahatáron belül van. 6
3. A mérés harmadik részében a. számú rúd alapharmonikusának függését a rezgő hossztól mértem ki. A rudat egyre beljebb (centiméterenként) toltam a satuba, míg a tű mindig a befogástól cm-re levő karcolaton volt. A rúd adatai újra tolómérővel mérve: hosszúság: mind az öt mérésből 0,0999m jött ki a teljes hosszra, a befogásnál leolvasási hibán belül (±0,05mm) a mérendő hosszra állítottam. szélesség: háromszor 0,050m, kétszer 0,05m lett, ezek átlaga 0,0504m. magasság: mind az ötször 0,003m -t mértem. tömeg: 0,07kg rúdhosszúság(m) alapfrekvencia(hz) 0,08 80,04 0,07 44,05 0,06 345,866 0,05 47,433 0,04 75,360 Az alapharmonikus /l -es függése Gnuplottal ábrázolva: 800 700 f(x) "hossz.txt" 600 ν00 (Hz) 500 400 300 00 00 50 00 50 300 350 400 450 500 550 600 650 /l (/m ) 7
Az egyenes paraméterei hiba.exe-vel számolva: az egyenes meredeksége valamint tengelymetszete m=,±0,03 b=6,0±,6 E m b 0, 03 = + = E m b, Innen a Young-modulusz: 4π E= 4 k ρq m 4π = 4 I 4,69409 0 + =,05 0 700* 0,0000466 3 0,0504* 0,003, =(0,34±0,36)*0 9 Pa Ez rémes érték, de akárhogy próbálkoztam a mért pontok kiválasztásával, Gnuplot használatával, nem jött ki lényegesen jobb eredmény. 8