MOZGÁSOK KINEMATIKAI LEÍRÁSA Az anyag ermézee állapoa a mozgá. Klaziku mechanika: mozgáok leíráa Kinemaika: hogyan mozog a e Dinamika: ké rézből áll: Kineika: Miér mozog Szaika: Miér nem mozog A klaziku mechanikának alapveő zerepe van: fogalmai, örvényei a fizika egyéb erüleein i alkalmazzuk. Alapfogalmak é jelöléek.abzrakció: A jelenégek leíráánál egyzerűíünk. Példák: Anyagi pon: egy ee ponzerűnek ekinünk, ha méreei a vizgál jelenégben zereplő lényege ávolágokhoz képe elhanyagolhaók. A Föld ömegponnak zámí, ha a Nap körüli keringéé vizgáljuk: R F 6400km r F N 50millókm
Merev e: a mozgá orán nem deformálódik. Azaz: ké ponjának ávolága a mozgá orán állandó AB zakaz hoza állandó: ranzláció: forgá: A B A' 0 0 B A'B A B A mozgá relaív: a mozgó pon helyé mindig egy máik ponhoz képe vizgáljuk:. vonakozaái pon Például: a villamoon uazó ember a villamohoz képe áll, de a házakhoz képe mozog. A vonakozaái pon a vonakozaái rendzer középponja: (origo) Helymeghaározá: Megadjuk a mozgó ömegpon helyé a vonakozaái ponhoz képe minden időpillanaban az helyvekor az egíégével. r P A helyvekor nagyága é iránya a mozgá orán válozha. 3. A mozgá maemaikai leíráa: Kereük az alábbi függvény: r r O ami megadja, hogy a helyvekor nagyága é iránya hogyan válozik az időben.
Szükége fogalmak: A pálya: A helyvekor végponja álal leír görbe. Az a görbe, amelyen a e a mozgá orán halad. A e az ado pályán A mege ú: idő ala A ponból a B ponba ju. A e álal idő ala befuo pályaréz hoza, kalár mennyiég. Az elmozdulá: r A kezdőponból a végponba muaó helyvekor különbége, vekormennyiég. Görbe vonalú mozgáok eeén a mege ú é az elmozdulá vekor nagyága nem egyezik meg: az előbbi a körív az uóbbi pedig a húr. Az elmozdulá vekor a helyvekorok egíégével kifejezve: r r r ív r húr A mozgá kinemaikai leíráa: hogyan, é milyen gyoran válozaja a e a helyé, a mozgá hogyan zajlik le az időben: Sebeég, gyorulá 3
A SEBESSÉG ÁLTALÁNOS BEVEZETÉSE Az egyzerűbb mozgáok felől indulva az álaláno felé ( lehene fordíva i). Egyene vonalú egyenlee mozgá a ebeég definíciója Megfigyelé: Nyíl pályán mozgó auó, ha a ebeégmérője áll. Eőceppek mozgáa Kíérle laborban: Mikola cő (buborék mozgáa folyadékkal eli cőben) Méré: Az elmozdulá mérée az időfüggvényében Adavéel egyenlő időközönkén: Özearozó - adapárok hely időpillana 3 3 n n 4
Kiérékelé: () függvény megadáa (m) - grafikon, függelen válozó az idő ()... n n állandó () egyene arányoág : az ú-idő függvény lineári: A buborék egyenlő idők ala egyenlő uaka ez meg, a mozgá egyenlee, a válozá gyoraága állandó. áll. A ebeég definíciója: válozái gyoraág v Dimenziója: v m Az ú-idő függvényben az arányoági ényező a ebeég: v Egyenlee mozgá eeén a ebeég időben állandó: v áll 5
(m) Ú-idő grafikon: képe a engellyel zöge bezáró egyene, (m) v () Az egyene meredekége a ebeég záméréke Maemaika: az egyene meredekége má néven az irányangene, ahol v g az egyene vízzine engellyel bezár zöge. v () Nagyobb ebeég eeén az ú-idő grafikon meredekége nagyobb: v v Sebeég-idő grafikon: Képe az időengellyel párhuzamo egyene A idő ala mege ú a v- grafikonon a időaramhoz arozó görbe alai erüle v 6
. Egyene vonalú, egyenleeen válozó mozgá (álagebeég, pillananyi ebeég, gyorulá) Megfigyelé: gyoríá-laíá, árgyak eée Kíérle laborban: zabadeé, golyó mozgáa lejőn Méré: Az elmozdulá mérée az idő függvényében Adavéel egyenlő időközönkén Özearozó - adapárok hely időpillana 3 3 n n 7
Kiérékelé: () függvény megadáa: - grafikon, függelen válozó az idő:a függvény képe parabola Az ú az időnek máodfokú függvénye: A mozgá nem egyenlee: állandó A ebeég nem állandó. Legyen k a máodfokú függvény arányoági ényezője. Az ú-idő függvény ezzel kifejezve: k Haározzuk meg k éréké! Írjuk fel a é idők ala mege uaka: k k k 8
álagebeég (definíció): egy ado időaram ala mege ú é az időaram nagyágának hányadoa: v ál k( ) k v ál v ál k( k k ) k k( időpillana időaram Az álagebeég függ a mozgá időaramáól: ) k k a valódi mozgá jellemzéére cak akkor alkalma, ha a Így az álagebeég egy ado haárérékhez közelí. időaramo cökkenjük, pillananyi ebeég v Ha 0, akkor, ál vpill A maemaika nyelvén: (Maemaika: lime/haár): v pill lim 0 v ál 9
Mi lez, ha az időaram minden haáron úl cökken nullára? v ál k k v pill k vpill lim 0 vál lim 0 k 0 A időpillanahoz arozó pillananyi ebeég nem függ az időaramól Egy pono jellemez Gyorulá: a ebeégválozá gyoraága a v pill k Az idő lineári függvénye: egyene arányoág m m a Dimenziója: Egyenleeen válozó mozgá eeén a mege ú az idő négyzee függvénye, a gyorulá állandó. Az egyenleeen válozó mozgá ú-idő függvénye: a A kíérlei méréekből kapo máodfokú egyenle arányoági ényezője a gyorulá fele: k k a 0
m v v ebeég-idő grafikon A v- grafikon képe a engellyel zöge bezáró egyene Az egyene meredekége a gyorulá éréke v m v v v áll a g a a időpillanahoz arozó pillananyi ebeég: v a A mozgá orán a időpillanaig mege ú a v- grafikon alai erüle záméréke (háromzög): v a a m a a v Gyorulá-idő grafikon A grafikon képe az időengellyel párhuzamo egyene A idő ala elér pillananyi ebeég éréke a grafikon alai erüle
Sebeég-idő grafikon nem nulla kezdőebeég eeén: v m v v 0 a A mege ú, a görbe alai erüle v v0 a v v0 a v0 a A idő ala mege öze ú: a v0 A rapéz erülee alapján i zámolhaó: T = a+c m = v 0 +v 0 +a =v 0 +
3. görbe vonalú mozgáok P a mege ú (körív) o P az elmozdulá vekor (húr) Elmozdulá vekor: megmuaja, hogy a helyvekor időben hogyan válozik: A mege ú nem egyezik meg az elmozdulá vekor abzolú érékével: Az álagebeég meghaározáa: P P Az álagebeég iránya az elmozdulá vekor irányába mua. P a húr a P ponbeli érinő irányába megy á, ahogy az ábrán láhaó. o Az álagebeég a pillananyi ebeégbe megy á, a pillananyi ebeég az érinő irányába mua.
Pillananyi ebeég: Az álagebeég haáréréke, ha A pillananyi ebeég helyvekor idő zerini elő deriválja, egy idő pillanahoz arozik. Iránya: az ú-idő görbéhez az ado időpillanaban húzhaó érinő iránya. A differenciál hányado (derivál) álaláno jelenée: f: függvényérék x: függelen válozó F(x) P Differencia (Δf (x) ) elmozdulá eeén a függvény megválozáa: Δf x =f (x+δx) -f (x) Az ábrán láhaó derékzögű háromzögből: x Differenciálhányado (f (x): Geomeriai jelené: a húrból érinő lez (lád az ábrá). Egy függvény P ponbeli érinőjének irányangene a függvény deriválja abban a ponban. Megmondja, hogy o a függvény milyen gyoran válozik.
Egyenlee körmozgá Periodiku mozgá: a zögfordulá egyenleeen válozik az idővel. R A hozzáarozó ú (körív): Egyenlee körmozgá eeén: Egyenlee körmozgá eeén a zögebeég állandó..szögelfordulá idő ala: φ = φ 0 +ω 3.Keringéi idő (T): elje körbefordulához zükége idő: 4.Kerülei ebeég bevezeée: v k =R ω A kerülei ebeég nagyága állandó, de az iránya megválozik, mindig a az ado ponhoz húzo érinő irányába mua. A ebeég irányának megválozaáához gyorulá kell.
5.Cenripeáli gyorulá: a kerülei ebeég irányá válozaja meg. A kerülei ebeég mindig érinő irányú. A ebeég a P ponban: A ebeég a P ponban: A ebeég irányának megválozaáához i gyorulá kell. Gyorulá meghaározáa a PAD egyenlő zárú háromzögből (ábra): Ki zögek eeén: Ha A cenripeáli gyorulá meghaározáa: nagyága: a cp = v ω = r ω iránya: mindig a kör középponja felé mua A cenripeáli gyorulá a kerülei ebeég irányá válozaja meg.
Egyenleeen válozó körmozgá A zögelfordulá az idő négyzeével arányo, a zögebeég nem állandó, a válozáa egyenlee. Szöggyorulá: a zögebeég idő zerini válozáa: : Δφ~ Δω Δ =áll. ω =β Kerülei ebeég: nagyága nem állandó: a zöggyoruláal kifejezve: v k =R ω v k =Rω = R β Kerülei (angenciáli) gyorulá: a kerülei ebeég nagyágának idő zerini válozáa: a =lim Δ 0 Δv Δ =lim Δ 0 RΔω Δ =R β a =R β A cenripeáli gyorulá nagyága válozik: a cp =v ω =v β Az egyene vonalú egyenlee mozgá egyenleeihez formailag nagyon haonlíanak, ha az elmozdulá helye a zögelfordulá: A ebeég helye a zögebeége: A gyorulá helye pedig a zöggyorulá: haználjuk. 7
A Kinemaika álaláno maemaikai leíráa: Egy függvény P ponbeli érinőjének irányangene zám zerin a függvény deriválja abban a ponban. Jelenée: a függvény válozái ebeégé adja meg abban a ponban. r() Elmozdulá-idő függvény eeén: Sebeég: a helyvekor idő zerini elő deriválja: Gyorulá: a ebeégvekor idő zerini elő deriválja: é a helyvekor idő zerini máodik deriválja: v lim 0 a lim 0 dv d r a d d r dr v d v dv v d r Az r() helyvekor folyono, kézer deriválhaó függvény kell legyen. a r( ) Példa: v a dr d a dv a d a Haványfüggvény deriválái zabálya f ( x) a df (x) dx n x n a n x 8