Logika szeminárium 4,5 Molnár ttila 2008. október 9. vastag betű új fogalmat, a dőlt betű edig hangsúlyt jelez. 1. nalitikus fák 1.1. Bevezető élda Ez történt velem a reggel: 1. Kakaót ittam vagy nem ettem zabelyhet. 2. Zabelyhet ettem vagy nem ettem joghurtot. 3. Nem ettem zabelyhet vagy nem ettem kakaót. Ettem-e vagy ittam-e valamit a reggel? Ha valamiért nem triviális ez a nagyon egyszerű mondathalmaz, az azért van, mert ezek vagy -gyal összekacsolt (diszjunktív) állítások; róbáljuk akkor szétválasztani az eseteket, amik megtörténhettek! Először ersze formalizálunk: (1) (2) (3) Nos, abból a formulából, hogy, leszűrhetjük azt a tanulságot, hogy történt meg, vagy történt meg. 1 Szabatosan fogalmazva: igaz, vagy igaz, azaz hamis. Ezt a következőké fogjuk jelölni: (1) Igazság szerint jobb lenne, ha nem mászna rá az (1) jel a formulára, de egyelőre L TEX-hel ennyit bírok egyelőre megoldani. lényeg, hogy az (1) jelölje azt, hogy most abban a sorban azt a mondatot honnan is vettük. Mindjárt felsejlik, miért lesz erre szükség. két eseten továbbmenve ábrázolhatjuk a (2)-es és (3)-as eseteket is. Csak azért se menjünk sorrendben; vegyük előbb a (3)-ast: (1) (3) Ezt megintcsak mindkét ágon szét tudjuk választani: (1) (3) 1 Ezt a vagy -ot nehogy kizáró értelemben vegyük! mindkét szétválasztott esetben még előfordulhat az, hogy a másik eset még fennáll usztán csak amellett köteleztük el magunkat, hogy legalább az egyik eset fennáll. 1
Itt most álljunk meg egy kicsit! baloldalon azt találhatjuk, hogy az esetek részletezésben felsoroltunk egy ellentmondást is! Láthatjuk, hogy miközben esetén indultunk el a bal oldalon, továbbmenve előfordult esete is. Ez bizony ellentmondás, és arra mutat rá, hogy ez az eset valójában nem is eset: ide rakunk egy -ot, és azt mondjuk, hogy ez az ág lezárult. Tehát a -gal így nézünk most ki: (1) (3) Ezt a módszert továbbfolytatva a következő analitikus fát kajuk (Oda, ahova nem kerül, -t teszünk: (1) (3) (2) Nos, ez szé, de mi derül ki ebből? z derül ki, hogy ott, ahol -t találunk, olyan eseteket találunk, amik lehetségesek; Ha balról jobbra nézzük, és a különféle ágakon szigorúan felfelé megmásszuk az analitikus fánk ágait, felsorolhatjuk, milyen atomi mondatok nem mondanak egymásnak ellent, ha igazak. Tegyük is meg ezt:,,,,, Élesebb szeműek észrevehetik, hogy e három mondat együttese arról árulkodik, hogy a igazsága vagy hamissága teljesen irreleváns annak szemontjából, hogy van-e ellentmondás a kijelentések közt. Milyen kacsolatban is állnak ezek egymással? Például a,, itt az utolsó sorban? Ez bizony konjunkció! Lám, vegyük akkor észre, ha ágakon szigorúan felfele haladunk, akkor konjunktív kacsolatokat találunk. Ha diszjunktív kacsolattal találkozunk, akkor edig szétágaztatunk. Ebből egy triviális harmadik hozzátételével mindjárt adódnak is ún. származtatási szabályok. 1.2. Származtatási szabályok B & B Ennek edig örülünk, mert már láttuk, hogy a, &, igazságfüggvényekre vissza lehet már vezetni a többit. biztonság kedvéért nézzük azonban még is meg, hogyan is állunk az összes lehetséges származtatási szabállyal. Javallott mindegyiket egyszer az életben alaosan átgondolni és ez jó, ha még a házifeladatok leadása előtt megtörténik. Standard hibák forrása l. a De Morgan-szabályok okozta felbontások elnézése. Még a legjobbaknál is. fentiek tagadása a De Morganból így jön ki: ( B) B B kondicionális és tagadása szintén különböznek az elágazás tekintetében. Pont mint az előbb. 2 B ( & B) B
B ( B) B B bikondicionális és tagadása, a kizáró-vagy közti kacsolat most talán még szebben látszik: B ( B) B B B B Nos, egy mondathalmaz analitikus fáját a következőkéen fogjuk megadni: Fölírjuk a mondatokat egymás alá lévén őket konjunkció köti össze. Pont, mint a származtatási szabálynál. Majd ezek után elkezdjük mindegyiket szétszedni úgy, hogy ami következik, azt minden nyitott ág végére (nyitott, ami nem lezárt) beillesztjük, és ott bontjuk tovább. Itt látszik, miért érdemes folyton keresni az ellentmondásokat, a lezárt ágakat; így nem dolgozunk feleslegesen. kezdeti élda tehát így felírva: (1) (2) (3) (1) (3) (2) 1.3. Kisebb nagyobb megjegyzések Láttuk, hogy ha csak fölfele sétálunk a formulákon, akkor és -sel kell összekacsolnunk a mondatokat. kkor is, ha csak egymás fölött van két formula, és akkor is, ha egy vonallal vannak összekötve. szisztéma, amit a rajzok követnek, a következő: Ha valamit származtatási szabállyal bontottunk szét, akkor oda vonalat húzunk (akkor is, ha csak egy vonalat kell behúznunk), ha edig egy ideiglenesen félretett fentebb előfordult formulát hozunk újra le, hogy szétbontsuk, akkor (mivel nem használtunk származtatási szabályt) nem húzunk vonalat. Ennek én sem tudok néha megfelelni, mert ennek a szedése elég komlikált, de azért igyekszem. Szóljatok, ha hibát találnátok! Elkézelhető, hogy ha máshol olvastok erről a témáról, analitikus táblázatokat találtok. z ugyanez. zt hiszem, ez átláthatóbb, de mindenesetre könnyebben taníthatóbb, ugyanakkor nekem is tartott egy ideig, míg megszereztem azt a TEX csomagot, amivel ilyen fákat lehet rajzolni. szedés miatt tehát általában analitikus táblázat néven találkozhattok ilyesmivel. Bár ne ijedjetek meg, ha a standard könyvekben néztek utána: ott ezen táblázatok már nem nulladrendben, hanem elsőrendben működnek. kit érdekel tehát, hogy mit tudnak még ezek az analitikus fák/táblázatok, annak javaslom Ruzsa Imre: Bevezetés a modern logikába című könyvét. Ezzel úgyis fogtok még találkozni egyárszor. 1.4. Néhány kis feladat 1) z eredeti mondathalmazhoz milyen állítást hozzátéve juthatunk egyből ellentmondásos mondathalmazhoz? 2) Elentmondásos mondathalmazhoz jutunk-e, ha az eredeti mondathalmazhoz a r, a r, netán a mondatokat csatoljuk? 3) Egy csendes naon békésen dolgozol egy analitikus fán, amikor is a következő formulával hoz össze a sors: B C B D 3
Mit kezdenél egy ilyen formulával? Hogyan illesztenéd be az analitikus fádba? És hogyan tennéd ugyanezt, ha a számítógé barátod szintaxerror villogtatása közeette siitozná, hogy a egy kétoerandusos művelet!? 1.5. Egy komolyabb élda z előző órai vázlatban vizsgáltuk, hogy vajon van-e ellentmondás az alábbi mondathalmazban: 1. z nem úgy van, hogy ha az Etnához elmegyek, akkor már nem megyek a Balatonra. 2. Tévhit, hogy ha elmegyek a Balatonhoz, akkor már fürdőruhát is viszek már amennyiben ha elmegyek az Etnához, akkor a bazaltorgonákhoz is elmegyek. 3. Nem igaz, hogy az Etnához megyek és van nálam fürdőruha. 4. Ha elmegyek a Balatonra, akkor elmegyek a bazaltorgonákhoz is. mit a következőké formalizáltunk: 1. ( ) 2. ( s) ( r) 3. ( & r) 4. s Most, mivel más igazságfüggvények felbontásával még nem róbálkoztunk, megvizsgáljuk ezt a mondathalmazt az analitikus fák módszerével. Ez, az igazságtáblázattal ellentétben nem tart sokáig. 2 Sajnálatos módon nem tudom balra igazítani a formulákat. élda végiggondolásához két hozzáállás javallott: Vagy nézzük folyamatosan a származtatási szabályokat, amik az előbb szereeltek, vagy edig gondolatban bontsuk fel -re, & -re, -ra a mondatokat, és úgy ábrázoljuk őket. Előbbit a kezdőknek, utóbbit a haladóknak javasoljuk. (1) ( ) (2) ( s) ( r) (3) ( & r) (4) s (1) ( ) (2) ( s) ( r) ( s) s (4) s s ( r) s s (3) ( & r) Nos tartozom egy vallomással: Fifikás módon választottam meg, hogy melyik mondatot bontom fel először. Észrevehetjük ugyanis, hogy egy mondathalmaznak ilyetén módon több lehetséges felbontása is van, és sokszor nem mindegy a sorrend. Törekedjünk jegenyékre: Érdemes az olyan mondatokat megválasztani, amik nem nagyon akarnak elágazni. Érdemes továbbá azon mondatokat választani, ahol sanszos, hogy ellentmondások várnak ránk. 2 Ennek az az oka, hogy a mondatok különbözősége önmagában koránt sem befolyásolja olyan mértékben a algoritmust, mint ahogy azt igazságtáblázatok esetében teszi. 4
De nézzük a éldát: Egy nyílt ágat találtunk. Milyen atomi mondatokat is találunk szigorúan felfelemenet ezen a nyílt ágon? zaz máshogy fogalmazva: Milyen atomi mondatok igazsága esetén nem ütközünk ellentmondásba? Talán nem megleő módon: 1.6. Néhány kisebb szorgalmi feladat,,, s 4) Mire utal az, ha még azelőtt zárul le minden ág, mint hogy sorra került az összes mondat a mondathalmazból? 5) Szóba került az órán, hogy a 2. mondatot érthetnénk máskéen is: 1. ( s) 2. [( ) (s r)] 3. (s & r) 4. s Vizsgáljuk meg az analitikus fák módszerével, majd gondolkozzunk el azon, hogy a fából, amit katunk, milyen következtetéseket vonhatunk le ehhez a mondathalmazhoz kacsolódóan? Hát a két alternatív mondathalmaz között milyen kacsolat lehet? 1.7. Centrális logikai fogalmaink az analitikus fák tükrében Centrális logikai fogalmaink: Kielégíthetőség. Helyes következtetés. Logikai igazság. Felmerül a kérdés, hogy az analitikus fák módszerét hogyan használhatnánk fel ez utóbbiak vizsgálatára. Egyszerűbben fogalmazva: Egy mondathalmaz analitikus fáján miről ismerszik meg a kielégíthetőség, helyes következtetés és logikai igazság? 1.7.1. Kielégíthetőség kielégíthetőséget tekintve van a legkönnyebb dolgunk, ezt tulajdonkéen már ki is használtuk. Kielégíthető egy mondathalmaz akkor és csak akkor, ha az analitikus fák módszerével találunk egy olyan ágat, ami nyílt(). z ellentmondás ez alaján úgy ismerszik meg, ha ilyen ágat nem találunk; minden ág bezárul (). 1.7.2. Helyes következtetés Kicsit bonyolultabb csak az az eset, amikor nem egy átlagos mondathalmazzal, hanem egy következtetéssel állunk szemben. Ámde felidézhetjük azt, mikor is helyes egy következtetés. Pár átfogalmazás után oda jutottunk, hogy helyesnek nevezünk egy következtetést akkor, ha a mondathalmaz, amiben a remisszák és a konklúzió tagadása szereel, ellentmondásos. Helyben is vagyunk: nalitikus fákkal tudunk tehát következtetéseket vizsgálni, mivel mondathalmazok közti ellentmondást is kéesek vagyunk keresni. Vegyük éldául a következő éldát: z nem megy, hogy aa is ott legyen a dilomaosztómon, meg anya is. ( & ) z sem megy, hogy se aa ne legyen ott, se anya. ( & ) Tehát anya lesz ott, de aa nem, vagy aa lesz ott, de anya nem. ( & ) ( & ) Tegyük akkor, amit tennünk kell: Kéezzük a remisszákból és a konklúzió tagadásából álló mondathalmazt: 1) ( & ) 2) ( & ) 3) ( ( & ) ( & ) ) 5
Rászabadítva a fantasztikus módszerünket: 1) ( & ) 2) ( & ) 3) ( ( & ) ( & ) ) ( & ) ( & ) ( & ) 2) ( & ) ( & ) 2) ( & ) 1) ( & ) 1) ( & ) Látjuk, hogy minden ág zárt. Ez arról árulkodik, hogy a három mondat ellentmondást rejt, azaz ellentmondásos a remisszák igazsága mellett tagadni a konklúziót. Ezzel a következtetés helyességét beláttuk. Talán a szemünkre hányhatnák, hogy ez a fa elég hatalmas lett, noha mindössze két mondat, és szereel benne. Ez igazságtáblázatban mindössze négy sor. Erre azt válaszolhatjuk, hogy ez egy bevezető élda; egyrészt kiírtunk minden, később triviálisnak gondolható származtatást, mint a kétszeres tagadást, másrészt újraírtuk azon formulákat, amelyeket fent hagytunk. Ezeket lehagyva kb. a felére csökkenhet a fa. De döntő érvnek az analitikus fák használata mellett én mégis a következőt szánom: nalitikus fát sokkal jobb érzés kibontani. 1.7.3. Logikai igazság No és hogyan ismerszik meg egy logikai igazság? Vegyük a standard klasszikus logikai igazság analitikus fáját: Látjuk, hogy minden ága nyílt. Vajon ez lenne a logikai igazságok ismertetőjele? Cáfoló ellenélda: B B Hoá. De nem leődünk meg. Mit is jelent a sok kör? Hogy a logikai szerkezetükből adódóan nem bukkanunk ellentmondásra. logikai igazság ebben ugye ott tér el, hogy ott nem is bukkanhatunk, akármilyen formulát is helyettesítünk be helyére. Érdemes tehát abból kiindulni, hogy ez a fa-módszer alavetően ellentmondások keresésére jó: Tagadjuk a két formulát, mindjárt meglátjuk, mi sül ki belőlük: 6
( ) ( B ) B B No ez már különbség: Logikai igazságot tagadni ellentmondásos. Tanulság: Egy formuláról úgy bizonyítjuk, hogy logikai igazság, hogy tagadjuk, és ellentmondást mutatunk ki benne. 6) Kis szorgalmi feladat: Hogyan lehet egy következtetés remisszáinak analitikus fájából látni, hogy mik következnek belőlük? 1.8. Megjegyzések Talán feltűnt már, hogy nem szereelnek ebben a módszerben I és H betűk. Ez ennek a módszernek elméleti szésége is: z igazságértékekre való folytonos támaszkodás nélkül, usztán előzetesen felállított rajzolgatási szisztémáink betartásával is kéesek vagyunk ellentmondásokat kimutatni, és így következtetéseket ellenőrizni, logikai igazságokat igazolni. jánljuk a kijelentéslogika tananyagot további olvasgatásra és gyakorlásra: 3 fin 3 Figyelem, ott táblázatokban van elregélve ugyanez. róbb ábrázolási különbségről van azonban csak szó. 7