A Fourier-transzformáció szerepe az MR-képalkotásban és a műtermékképződésbe A Fourier-transzformációt, a jelanalízis egyik alapvető matematikai eszközét széles körben alkalmazzák különböző tudományterületeken és így általánosan elterjedt a képalkotó diagnosztikában is, azon belül leggyakoribb felhasználási területe az MR-képalkotás1 3. Az MR-képalkotó módszerek megértése a Fourier-transzformáció elvének megértésén alapul. Az MR-kép kódolása, feltöltése és jó néhány műtermék keletkezése a Fourier-transzformációban, illetve annak alkalmazásában gyökerezik. Egy érdekes adalék, hogy az emberi látás kutatásában az elmúlt évtizedben elfogadottá vált az úgynevezett jel-csatorna modell, amely bármely látott képet különböző tér-frekvenciájú információkból épít fel (a hosszegységre eső periódusok számát térfrekvenciának nevezzük)4. A térfrekvenciás információ (frekvencia és amplitúdó térbeli és kontrasztfelbontás) a digitális képekben elemezhetővé válik, akár a Fourier-transzformáció segítségével. A térfrekvencia fogalma a radiológiában régóta jelen van, hiszen a leképezőrendszerek felbontóképességét is valójában egy térfrekvencia-paraméterrel, azaz a vonalpár/mm vagy vonalpár/cm mértékegységekkel adjuk meg. Ez a vonalpár/mm mértékegység tehát valójában nem más, mint az egységnyi távolságra eső ciklusok száma (1. ábra). Az 1. ábrán jól megfigyelhető, hogy az egységnyi távolságra eső vonalpárok határozzák meg a térfrekvencia nagyságát, a vonalpárok kontrasztviszonya pedig a hullámgörbe amplitúdóját. Számos kísérletes tanulmány arra utal, hogy az emberi látórendszerben minden egyes frekvenciacsatorna ±1 oktáv távolságra helyezkedik el egymástól, maga a látórendszer pedig egy frekvenciaanalizáló rendszernek tekinthető5 8. A jel-csatorna modell szerint a vizuális információ (képek) tehát különböző arányú térfrekvencia-komponensekből épül fel. Hasonlóan az MR-képalkotásban alkalmazott elvekhez, a magas térfrekvenciájú elemek felelnek a képrészletekért, azaz ezek adják a felbontóképességet, míg az alacsony frekvenciájú elemek a kontrasztot határozzák meg. A 2. ábra az egyes térfrekvencia-tartományokhoz tartozó képi információt demonstrálja, valamint az egyes térfrekvencia-tartományok kontrasztérzékenységét9. Látható, hogy az egyes térfrekvencia-tartományokra a látórendszer nem egyforma érzékenységű, hanem az alacsony és magas frekvenciarégióban a látórendszerünk érzékenysége csökken. 2. ábra. A térfrekvencia és a kontrasztérzékenység összefüggése. A kis képeken az egyes térfrekvenciához tartozó képi információ jelenik meg. Az 1. ábra. Vonalpárok (a) és vele azonos alacsonyabb térfrekvenciánál a kontraszt, a magasabb térfrekvenciájú alternáló kontrasztmintázat (b), valamint az azt térfrekvenciánál a (térbeli) részletek dominálnak. leíró térfrekvencia-hullámfüggvény (c) ábrázolása Az alábbi áttekintés bemutatja a Fourier-transzformációnak az MR-képalkotásban való felhasználását és a műtermékek képződésben való jelentőségét. A Fourier-transzformáció Joseph Fourier (1768 1830) dolgozta ki azt a módszert, amellyel egy komplex jel egyszerű szinuszhullámok végtelen összegeként írható le. Fourier ezt az elvet differenciálegyenletek sorozatának megoldása révén a hőszóródás leírására használta. Ugyanakkor a Fourier-féle koncepció felbecsülhetetlen értékű bármely komplex jel összetételének tanulmányozására függetlenül attól, hogy ez zenei, vizuális vagy hangeredetű, vagy akár digitális orvosi képalkotásból származik. Összetett függvény vagy jel felírható harmonikus (szinusz- vagy koszinusz-) függvények összegének soraként. Ezzel a közelítéssel az eredeti jel tetszőleges pontossággal írható le olyan függvényekkel, amelyekben csak harmonikus függvények szerepelnek, adott amplitúdóval és frekvenciával. A közelítő sor tagjainak amplitúdói a frekvenciák függvényében adják meg a jel spektrumát, amelyet a Fourier-analízis során nyerünk. Az egyes frekvenciák jelentése az eredeti jel ismétlődési ritmusa a különböző értékeket tekintve (3 5. ábra). A Fourier-transzformáció részletesebb leírása a függelékben található (lásd a keretet!). Az eredeti Fourier-transzformáció helyett az MR-képalkotásban a rádiófrekvenciás jelek analízise az úgynevezett fast Fourier transform (FFT) segítségével történik, amelyben a diszkrét pontok számítási idejét egyszerű aritmetikai szabályok alkalmazásával rövidítik le. A Fourier-transzformáció az MR-képalkotásban alapvető fontosságú a tér egyes pontjait reprezentáló rádiófrekvenciás hullámok megfejtése szempontjából. Ugyancsak közismert klinikai felhasználása az in vivo MR-spektroszkópiával nyert frekvencia- és amplitúdóspektrumok (6. ábra). Az MR-spektrumban látott különböző csúcsok (amplitúdók) a vizsgált térfogatban adott biológiai metabolitok jelenlétét és arányát mutatják (6. b) ábra). függvényalakja Oldal 1/5 3. ábra. A g(t
5. ábra. Négy közelítése pusztán harmonikus k nagyobb pontosságú függvényso tetszőlegesen finomítható, elvile összeg adná az eredeti négyszög 6. b) Humán Az MR-kép kódolása és a k-tér feltöltése Az MR-képalkotásban egy összetett rádióhullámot, az echót kívánjuk szétbontani, amely frekvencia- és fáziskódolt térbeli információt tartalmaz: ebből kell a képet felépíteni. Egy tipikus spinechó szekvenciában a szeletkiválasztó gradiens alkalmazását követően amely a vizsgálni kívánt képsíkot határozza meg az összes spin azonos frekvenciával és fázisban precesszál, amelyet a Bo mágneses mező határoz meg. Ezen a ponton a vizsgálni kívánt képsíkban az összes proton egyformának tűnik a Fourier-transzformáció számára. Ugyanakkor dinamikusan változó mágneses gradiens terek szuperpozíciója a képsíkban a spinek frekvenciájának és fázisának térbeli lokalizációjuktól függő megváltozását okozza. Ezáltal a különböző anatómiai pontokhoz különböző térfrekvenciák fognak tartozni. Minél meredekebb a gradiens, annál nagyobb különbségek keletkeznek a képpontokat reprezentáló spinek között. Ebből következik, hogy a nagy térbeli felbontáshoz (részletek) erős gradiensek szükségesek, míg az alacsonyabb gradiensek alacsony térfrekvenciás információt hordoznak (kontraszt). A mért echó amplitúdója változik a szöveti összetétel, a repetíciós idő és az echóidő függvényében. Ez a szinte reménytelenül bonyolult rádióhullám(jel) aztán digitalizálásra kerül és a Fourier-transzformáció segítségével alkotórészeire bontjuk, majd az alkotórészek a k-térbe, azaz egy kétdimenziós Fourier-térbe kerülnek, amelynek segítségével rendezzük a térfrekvencia- és amplitúdóinformációt (7. ábra). Az ábrán, jobb oldalon egy MR-kép valódi adatai, bal oldalán pedig sematikus reprezentációja látható. Ha a k-tér egy pixelén inverz Fourier-transzformációt hajtunk végre, akkor az egyetlen specifikus térfrekvenciának (váltakozó fekete-fehér vonalak) felel meg az egész képen (8. ábra). A teljes k-tér 2D inverz Fourier-transzformációja az összes térfrekvenciát kombinálja és eredményezi azt a képet, amit látunk. Attól függően, hogy egy pixel a k-tér melyik részén helyezkedik el, annak Fourier-transzformáltja különböző frekvenciájú és orientációjú vonalakat eredményez a látható képen. Egyezményesen a magas térfrekvenciákat a k-tér perifériás részeire, míg az alacsony térfrekvenciákat a k-tér közepére töltjük fel. A k-tér pixeleinek relatív intenzitása az adott frekvencia látható képben való hozzájárulását jelenti, azaz a világosabb pixelek egy bizonyos térfrekvencia nagyobb jelenlétét jelzik a látható képen. 7 k-tér közepén az alac frekvenciájú informá A rádiófrekvenciás tüske (spike) olyan műtermék, amely a fenti koncepciót jól példázza. Egy szikra vagy egyéb eredetű rádiófrekvenciás zaj az MR-vizsgáló helyiségben az MR-echót szennyezheti, ha ezen a rádiójelen Fourier-transzformációt végzünk, a zaj frekvenciája hibásan beépül a k-térbe egy magas jelű pixelként. A szennyező frekvenciát aztán inverz Oldal 2/5
Fourier-módszerrel transzformáljuk az MR-képbe (9. ábra). A cipzár műtermék egy másik példája a rádiófrekvenciás zajnak. Ezt általában egy keskeny rádiófrekvenciás emisszió okozza, amely például a betegmonitorozó eszközökből származhat. Ha ezt a nem kívánt jelet inverz Fourier-módszerrel transzformáljuk az MR-képbe, akkor egy vékony, folyamatos hiperintenz vonalként jelenik meg a fáziskódoló irányban, amelyet cipzárhoz szoktak hasonlítani (10. ábra). 9. ábra. K-tér hibából s amelynek révén a kép egészén ferde csíko Attól függően, hogy a fázis- és frekvenciakódoló gradienseket mikor, hogyan és milyen kombinációban kívánjuk alkalmazni, a k-tér feltöltésének többféle lehetséges módja van. Ha megtekintjük egy kép Fourier-terét, akkor azt látjuk, hogy a kép legnagyobb jelintenzitású részei a k-tér közepén helyezkednek el, amely alacsony térfrekvenciát kódol. A kép szempontjából talán ez a k-tér legfontosabb része. Következésképpen, ha a k-teret töltjük, akkor választhatjuk ennek a középső magas jel-zaj viszonyú résznek a feltöltését és elhagyhatjuk a kevésbé fontos alacsony jel-zaj arányt nyújtó területek mérését, például a mérési idő csökkentése miatt. Ezt például a k-tér középső részének spirálszerű mérésével érhetjük el. A k-tér szimmetrikus rendezettsége miatt, amely a Fourier-transzformáció konjugált szimmetriatermészetéből adódik, a mérési idő rövidíthető a k-tér részleges mérésével, például half-fourier-akvizíció. Ez esetben a k-tér-adatok másik fele matematikailag képződik, ugyanakkor a jel-zaj arány a half-fourier-mérésnél alacsonyabb lesz. A fáziskódoló gradiens kapcsolásával bizonyos spinek gyorsabban kezdenek el precesszálni a gradienshez viszonyított lokalizáció függvényében. Amint a gradienst kikapcsoljuk, a precesszió sebessége kiegyenlítődik a teljes képmezőben, de egy térbeli fáziseltérés marad meg a protonok lokalizációjának függvényében. A fáziskódoló gradiens amplitúdóját egymást követően emelve a fáziseltérések mértéke is egyre nagyobb lesz a képmezőben. A fáziseltérés-sorozatok egy olyan pszeudofrekvenciát hoznak létre, amelyet a Fourier-transzformáció különböző térfrekvenciára fordít le. Minél nagyobb a fáziskódoló lépések száma, annál jobb lesz az MR-kép térbeli felbontása. Műtermékek A Gibbs-műtermék megjelenése abból adódik, hogy elégtelen számú magas frekvenciájú Fourier-sort alkalmaznak, ezért az éles szélek-vonalak megjelenítése pontatlan. Ez a műtermék könnyen demonstrálható, ha a Fourier-térből a magas frekvenciájú információt eltávolítjuk, majd ezen a preparátumon inverz Fourier-transzformációt végzünk (11. ábra). Az MR-képalkotásban ezt gyűrű vagy csonkítás (truncation) műterméknek is hívják, amely akkor jelenik meg szembetűnően, ha túl kevés fáziskódoló lépést alkalmaznak. Leggyakrabban a koponyatető közelében és a felső nyaki gerinc régióban szembetűnő, ez utóbbi lokalizációban syrinxet imitálhat, a műtermék pedig megszűnik, ha növeljük a fáziskódoló lépések számát. Mivel a fáziskódolás az MR-képalkotás folyamatában időigényes folyamat, a mozgási műtermékek is a fáziskódoló irányban jelennek meg. Két fáziskódoló gradienskapcsolás között elég hosszú idő telik el ahhoz, hogy mozgó struktúrák új pozícióba kerüljenek, amelyhez másik rezonanciafrekvencia is tartozik. Egy hirtelen pozícióváltozás Fourier-transzformálása egy éles szél szinuszos megközelítéséhez hasonló (frekvenciaeltolódás történt), amelynek következménye gyűrű műtermék megjelenése (12. ábra). Ha fáziskódoló hibákat inverz Fourier-módszerrel transzformáljuk, akkor a mozgó struktúra a fáziskódoló irányban szétterül, függetlenül a mozgás eredeti irányától. 11 magas frekvenciájú in definiálása elégtelenn A visszahajtás (aliasing) műtermék szintén a Fourier-transzformációval és a fáziskódolással összefüggő jelenség (13. ábra). Ennek a jelenségnek az az alapja, hogy a 2π radián vagy 360 fáziseltolódás esetén a Fourier-transzformáció két hullámot pontosan egymásra illeszt, és ezáltal azonos képpontba kerül a két térbeli információ. Tehát egy látómezőben a fázistartomány π és +π ( 180 és +180 ) között teszi lehetővé a kódolást. A visszahajtás-műtermék akkor jön létre, ha gerjesztett spinek a látómezőn kívül, π-nél kisebb vagy +π-nél nagyobb, azonos fázissal átfednek a látómezőn belüli spinekkel. Ilyenkor az Oldal 3/5
azonos fázisú spinek matematikailag egymástól megkülönböztethetetlenek, így a Fourier-transzformáció az azonos fázisú spineket a kép megegyező térpontjába helyezi, létrehozván a visszahajtás műterméket. 13. ábra. Aliasing (áthajtás) műt Összegzés A Fourier-transzformáció bonyolult és összetett jelek analízisének eszköze, amely a hullámokat frekvenciájuk és amplitúdójuk szerint szétbontja. Az MR-kép számolása során a Fourier-transzformáció a k-teret kitöltő frekvencia- és fáziskódolt MR-jelet bontja fel. Az MR-kép, amit látunk, a k-tér 2D inverz Fourier-transzformáltja, ahol a frekvencia- és relatív amplitúdóinformáció térbeli és kontrasztfelbontássá (térfrekvencia) válik. A térfrekvenciának az MR-képalkotásban és az emberi látásban leírt hasonlósága, illetve azonossága nyilvánvalóan nem a véletlen műve. A látásban a térfrekvencia alkalmazása egy eszközrendszer, amely természetéből fakadóan definiálja a különböző látási információk térbeli eloszlás jellegét. Az MR-képalkotásban pedig a rezonanciafrekvenciák változásával jelöljük ki a térnek azon részét, amelyet vizsgálni kívánunk, és a teret a rezonanciafrekvencia segítségével osztjuk fel kisebb egységekre. Az persze önmagában érdekes, hogy a Fourier-tér egy adott frekvenciája a teljes képre vonatkozóan hordoz egy információt, függetlenül annak térbeli elhelyezkedésétől. Bár az MR-képalkotás a diagnosztikai képalkotó szakemberek számára sokszor rejtélyesnek tűnik, az emberi vizuális percepció bizonyosan még több titkot rejt. Köszönetnyilvánítás A szerzők köszönetüket nyilvánítják dr. Győrfi Zoltánnak (Képdoktor Kft.) a cikkel kapcsolatos értékes megjegyzéseiért. Irodalom 1. http://wiki.ham.hu/index.php/fourier_transzform%c3%a1ci%c3%b3 2. Gallagher TA, Nemeth AJ, Hacein-Bey L. An introduction to the Fourier transform: relationship to MRI. AJR Am J Roentgenol 2008;190:1396-405. 3. Kastler B, Patay Z. MRI orvosoknak. Budapest: Folia Neuroradiologica; 1993. 4. William R, Hendee E, Ritenour R. Visula perception. In: Hendee WR, Ritenour ER. Medical Imaging Physics. 2002. Wiley-Liss, Inc. 5. Soares DP, Law M. Magnetic resonance spectroscopy of the brain: review of metabolites and clinical applications. Clin Radiol 2009;64:12-21. 6. Charman WN. Spatial frequency content of the Cardiff and related acuity tests. Ophthalmic Physiol Opt 2006;26:5-12. 7. Dakin SC, Hess RF. Spatial-frequency tuning of visual contour integration. J Opt Soc Am A Opt Image Sci Vis 1998;15:1486-99. 8. Mecacci L. On spatial frequencies and cerebral hemispheres: some remarks from the electrophysiological and neuropsychological points of view. Brain Cogn 1993;22:199-212. 9. http://www.contrastsensitivity.net/ A közlemény megjelent: Magyar Radiológia 2010;84(2):126 133. Jelen közléshez a Literatura Medica Kiadó hozzájárult. FÜGGELÉK Oldal 4/5
Absztrakt: A Fourier-transzformáció az orvosi képalkotás területén az MR-képalkotás megjelenésével vált közismertté, és a medicinában csakúgy, mint az oktatás során az MR-képalkotó folyamat egyik nehezebben megismerhető, megérthető része. Ugyanakkor a Fourier-transzformáció és a k-tér-koncepció ismerete nélkül nem lehet megérteni a gyors MR-szekvenciák működését, valamint a műtermékek jelentős részének keletkezését. A k-tér sorai jelenítik meg a teljes képre vonatkozó különböző térfrekvenciájú információhalmazt, amelyek meghatározzák a kép kontrasztját és felbontását. Bármilyen képi információ felépíthető térfrekvencia-elemekből, amelyek a fent említett eszközrendszerrel ugyanúgy analizálhatók. Az utóbbi években az emberi látórendszer kutatásában elfogadottá vált az úgynevezett jel-csatorna modell, amely szerint a vizuális információt is térfrekvencia-sémák alkotják. Kulcsszavak: MR-képalkotás Fourier-tanszformáció k-tér műtermék vizuális percepció Abstract: Fourier transformation has become known in the field of medical imaging following the introduction of MR imaging; currently it is still probably one of the most difficult areas of MR image formation to conceive. However, Fourier transformation and K-space concept is indispensable for the understanding of most artefacts as well as the operation of fast/ultrafast MR pulse sequences. The lines of K-space represent different spatial frequency information applying to the whole image, as well as defining the photographic contrast and recorded detail. All digital images can be constructed using spatial frequency elements, furthermore the images may be analyzed with Fourier transformation. Lately, according to the signal channel model accepted in human visual perception research, visual information in the human brain may also be constructed using spatial frequency schemes. Keywords: MR imaging Fourier transformation k-space artefact visual perception Oldal 5/5