A ajlított fagerenda törőnyoatékának száításáról I. rész Bevezetés Tanultuk, ogy a faanyagnak sajátos tulajdonságai vannak; a faanyag: ~ inoogén, ~ anizotróp, ~ faibákat tartalaz, ~ tulajdonságai függnek a nedvességtartalotól, stb. Ez azt is jelenti, ogy eber legyen a talpán, aki elő tud állni egy asználató, áde ne túl bonyolult elélettel, ill. szilárdságtani száítási odellel. Persze, sokan tettek erre kísérletet, több - kevesebb sikerrel. Ne elanyagolatóak azonban az ízlésbeli szepontok se: az egyik odell valaiért közelebb áll ozzánk, int a ásik. Bár ilyenekről ne szokás beszélni, tagadatatlan, ogy a jelenség létezik. Ma, a száítógépes világban talán könnyebben agyják veszendőbe enni a régebbi idők találányait, iszen száítógéppel szinte inden egy. Talán egyfajta agyoányőrzés, örökségentés leet az is, aivel az elkövetkezendő egy - két dolgozatban foglalkozni fogunk: régi odellekkel iserkedünk eg, szerzünk velük tapasztalatokat. A ottó: Régi odell ne rossz odell! A Rosˇ ~ Tunell odell A faanyag úzó - nyoó diagraja a kísérletek szerint sajátos ld.. ábra! [ ]. A : arányossági atár.. ábra Ez azt is jelenti, ogy a ajlított tartóban a σ - feszültségek eloszlása jelentősen eltér a Bernoulli ~ Navier - odellel száítatótól. Egy sikeresnek is ondató, a B. ~ N. - től eltérő odell: a R. ~ T. - odell. Ezt és a vele végzett száítást az alábbiakban isertetjük v. ö.: [ ]!
A odellalkotás egyik fő lépése a σ - ε diagra idealizálása ld.. ábra!. ábra 3. ábra Ennek ibenléte az. és. ábra összeasonlításával adódik. A jelöléseknél a index a úzásra, az ny index a nyoásra, a B index a törésre utal. A odellalkotás ásodik fontos lépése a sík keresztetszetek elvének kiondása. A odellalkotás aradik fontos lépése a éretek változatlansága elvének kiondása. Aogyan az a 3. ábráról is látató [ 3 ], a tönkreenetelig való terelés folyaán a nyoott zóna jelentősen roncsolódik, így az utóbbi lépés jórészt unka - ipotézis. A 3. ábra egyes részeinek agyarázata: ~ : az arányossági atáron belüli űködés sík szerinti σ - eloszlás ( B. ~ N. odell ); ~ : űködés a nyoott övben fellépő gyűrődések után, a törés kezdete ár ne sík szerinti a σ - eloszlás; ~ 3: törés a úzott szálak szakadása iatt nagyon ne sík szerinti a σ - eloszlás. Most fogalazzuk eg feladatunkat! ; ; ; ;. Adott:,B ny Keresett: M törő. Itt M törő : a tiszta ajlítással törésig terelt gerenda ajlítónyoatékának a odell által szolgáltatott eléleti értéke. Megatározásáoz isert statikai és geoetriai tényeket asználunk fel. A száításokat részletezzük, bár azok eléggé osszadalasak. Ezt azért is tesszük, ogy beutassuk, ennyire egyszerűen adódnak az egyébként akár riasztónak is tűnető eredények. Sajnáljuk, ogy a bevezető jellegű szak - és tankönyvek sokszor ne élnek ezzel a leetőséggel.
3 A száítás egkezdése előtt vessünk egy pillantást a 4. ábrára [ 4 ], aol a téglalap keresztetszetű ajlított fagerenda ajlítófeszültség - eloszlási ábráit ábrázolták, Bac és Bauann [ 5 ] kísérleteire táaszkodva! 4. ábra Az ábrán egfigyelető, ogy ~ a seleges tengely egyre jobban eltolódik a úzott öv felé, a növekvő ajlító terelésnek egfelelően ( I, II, III ); ~ a Navier - képlettel száított, a tőnyoatéknak egfelelő szélsőszál - feszültségek ( IV ) közül a nyoott oldali abszolút értéke nagyobb, a úzott oldalié kisebb, int a egfelelő érési eredények. A R. ~ T. - odell szerinti száításoz tekintsük az 5. ábrát! Itt N - nel a nyoott, H - val a úzott öv vízszintes részeredőjét jelöltük. Az egyensúly egyik feltétele ( vetületi egyenlet ): H N. ( ) A úzóerő nagysága az 5. ábra szerint: H b;,b 3 ( ) a nyoóerő nagysága: N b b b. Most ( ), ( ) és ( 3 ) - al: ( 3 )
4 5. ábra,b 3 b b. ( 4 ) Rendezve ( 4 ) - et: 3. ( 5 ),B Bevezetve az ( 6 ),B viszonyszáot, ( 5 ) és ( 6 ) - tal kapjuk, ogy 3. ( 7 ) A ( 7 ) egyenletben áro iseretlen van, ezért ég két ásik egyenletre van szükség, ogy dolgozni tudjunk vele. Az első az 5. ábra szerint:,b ; ( 8 ) 3 ost ( 6 ) és ( 8 ) - cal:
5. 3 3,B Majd ( 7 ) és ( 9 ) - cel:, innen 3 3 3. ( 9 ) ( 0 ) A ásodik segédegyenlet:. ( ) 3 Most ( 9 ), ( 0 ), ( ) - gyel: 3 3 3, 3 ; 3 ; 3 ; 3, innen. 3 Most ( 9 ) és ( ) - vel:. ( ) ( 3 ) Majd ( 0 ) és ( ) - vel:, azaz
6. ( 4 ) A seleges tengely eltolódása: 4 4 e 3 teát e. 4, A szélső szálakban ébredő fajlagos osszváltozások nagyságának viszonyára az 5. ábra alapján felíratjuk, ogy ny 3 ; ( 5 ) 3 3 ost ( ) és ( 5 ) - tel: ny, azaz ny. ( 6 ) Miután ár iserjük a feszültségi ábra éreteit, jöjjön a törőnyoaték száítása! A belső erőrendszer eredője erőpár, elynek forgatónyoatéka: M. Értéke ( nyoatéki egyenlet ): M H t t. ( 7 ) ny A úzóerő atásvonalának távolsága a seleges tengelytől ld. 5. ábra! : t 3. ( 8 ) 3 A nyoóerő atásvonalának távolsága a seleges tengelytől, nyoatéki egyenlettel: tny N b b ; ( 9 ) 3
7 ost ( 3 ) és ( 9 ) - cel: tny b b ; 3 innen 3 3 3 t ny, 3 teát 3 t ny. ( 0 ) 3 Most ( 8 ) és ( 0 ) - szal: 3 t tny 3. 3 3 ( ) Ezután írjuk fel ( ) jobb oldalát ( ), ( 3 ) és ( 4 ) - gyel! Részletezve: 4 3 ; 3 3 3 ( ) ; 3 6 ; ( 3 ) 4 4 3 ;
8 ezzel 3 3 3 3 3 3 ; 4 4 8 ; ( 4 ) ( 5 ) ajd ( 4 ) és ( 5 ) - tel: 3 3 3 8. 4 3 4 ( 6 ) Ezután ( ), ( ), ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) képletekkel: 3 4 3 8 3 4 4 t tny 3 6 4 4 3 3 8, 3 6 teát 4 4 3 3 8 t t ny. 3 6 ( 7 ) Most ( ) és ( ) - vel: H,B 3 b,b b,b b. ( 8 ) Majd ( 7 ), ( 7 ) és ( 8 ) - cal:
4 3 3 4 8 M,B b 3 6 9 4 8 8 3 3,B b 6 6 4,B b 3 4 3 8 8. Alakítsuk át a zárójeles kifejezést! 4 4 3 3 3 3 3 3 3 4 3 6 9, 3 3 8 8 3 6 9 8 8 4 4 4 Ezzel ( 9 ) az alábbi alakot ölti: 38 6 4. ( 9 ) 4 b 38 6 M,B. 4 6 Most fejtsük ki az alábbi szorzatot! 3 3 3 3 3 3 Most ( 30 ) és ( 3 ) - gyel: b 3 b 3 M,B 4 3,B, 6 6 3 3 4 4 3 9 3 9 3 3 3 8 6. teát b 3 M,B. 6 Más alakban, ( 6 ) és ( 3 ) - vel: b 3 M. 6 ( 30 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 33 )
0 Megjegyzések: M. Meglepő, ogy a agyar nyelvű szakirodaloban ne, vagy csak elvétve találató eg a ( 3 ) és ( 33 ) képlet - alak. Furcsa, ogy [ ], [ ] - ben is a sokkal bonyolultabb ( 30 ) szerepel. M. Úgy tűnik, ogy a [ 6 ] űben a 34. oldalon tesznek egy utalást a fentiekre, elynek nagyon valószínű forrása valaely ott is ivatkozott szovjet unka. Sajnos, sajtóibák teszik szinte feliseretetlenné az eredényeket. Ugyanis a szilárdságtanból isert rendes keresztetszeti tényező, téglalap keresztetszetre: b K. ( 34 ) 6 Most ( 33 ) és ( 34 ) - gyel: 3 M K K, ( 35 ) aol bevezettük a 3 ( 36 ) rövidítő jelölést. Ezután ( 35 ) - ből: M, ( 37 ) K ai egyezik a [ 6 ] - beli képlettel. Sajnos, ne örületünk sokáig, ert a következő sorokban jönnek a sajtóibák; az ezekkel terelt képletek elyett az alábbiak veendők. A ( 36 ) és a ( 6 ) képletek szerint: 3 3,B,B,B 3,B, ( 38 ),B. ( 39 ) M3. ( 3 ), ill. ( 33 ) alapján feladatunkat úgy is egfogalazattuk volna, ogy Adott: b, ; σ, σ,b. Keresett: M törő.
Önállóan egoldandó feladat Határozza eg a seleges tengely távolságát a nyoott szélső szálaktól! Összegzés A fentiekben összefoglaltuk a cíbeli feladattal kapcsolatos főbb tudnivalókat, részletesen levezettük a szakirodaloban is felkeresető eredényeket. Megadtuk az általunk is elért főbb szakirodali forrásokat, ráutatva azok egyes iányosságaira is. Irodalo: [ ] Rónai Ferenc ~ Sofalvi György: Fa tartószerkezetek Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 98. [ ] Franz Kollann: Tecnologie des Holzes und der Holzwerkstoffe Zweite Auflage, Erster Band, Springer - Verlag, Berlin, 95. [ 3 ] V. A. Ivanov ~ V. Z. Klienko: Konsztrukcii iz dereva i plasztassz Viscsa Skola, Kijev, 983. [ 4 ] Kovács Illés: Faanyagiserettan Mezőgazdasági Kiadó, Budapest, 979. [ 5 ] C. Bac ~ R. Bauann: Elastizitaet und Festigkeit 9. kiadás, Verlag von Julius Springer, Berlin, 94. [ 6 ] Szerk.: Lugosi Arand: Faipari kézikönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 976. Sződliget, 009. október 3. Összeállította: Galgóczi Gyula érnöktanár