26..5. DIGITÁLIS TEHNIK I Dr. Lovassy Rita Dr. Pődör álint Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet INÁRIS SZÁMRENDSZER 5. ELŐDÁS 2 EVEZETŐ ÁTTEKINTÉS 6. előadás témája a digitális rendszerekben központi szerepet játszó számrendszerek és aritmetikák.. Számrendszerek 2. ináris számok. ritmetikai műveletek bináris számokkal jelen és a következő előadáshoz kapcsolódó jegyzetrészek: Áttekintjük a digitális technikában használatos számrendszereket, az aritmetikai műveletek elvégzésének szabályait és célszerű algoritmusait, valamint az egyes számrendszerek közti áttérések algoritmusait is. digitális rendszerekben, célszerűségi okokból a 2-es (bináris) számrendszer terjedt el. Mindezek sokféle digitális funkcionális egység működésének alapjait képezik. Rőmer jegyzet 46-6 old., 79-8 old. Zsom jegyzet I, 9-49 old., 297-299 old. Gál könyv 2-45 old., 67-2 old. z előadások ezen könyvek megfelelő fejezetein alapulnak. 4 HELYÉRTÉK INÁRIS SZÁMRENDSZER 8 = + + 8 2 8 = + + 8 Szám helyértéke (2) = 7 6 5 4 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 Szám alaki értéke Számjegyek:,,2,,4,5,6,7,8,9 Számjegyek:, 8 = + + 8 Szám valódi értéke Számrendszer alapja: Decimális számrendszer 5 számítástechnika és a digitális technika a bináris számrendszerre épül 6
26..5. HEXDEIMÁLIS SZÁMRENDSZER 2 4F = 6 + 4 6 + F 6 + Számjegyek:,,..., 9,,,, D, E, F Megkülönböztető jelölés $, pl. $4F 6 = 496 + 4 256 + 5 6 + = 57 () -ES ÉS 2-ES SZÁMRENDSZER Pl. 29 tízes számrendszerbeli alakja azért ez, mert 29 = 2x + x 2 + x + 9x kettes számrendszerbeli alakja 2, mert 29 = x2 + x2 9 + x2 8 + x2 7 + x2 6 + x2 5 + x2 4 + x2 + x2 2 + x2 + x2 Hexadecimális rendszerben pedig $7D9 7 8 SZÁMRENDSZEREK ÉS SZÁMJEGYEIK Megnevezés lap Számjegyek ináris (duális) 2, Ternális,,2 Tetrális 4,,2, Kvintális 5,,2,,4 Oktális 8,,2,,4,5,6,7 Decimális,,2,,4,5,6,7,8,9 Duodecimális 2,,2,,4,5,6,7,8,9,a,b Hexadecimális 6,,2,,4,5,6,7,8,9,,,,D,E,F 9 ÁTSZÁMÍTÁS KÉT SZÁMRENDSZER KÖZÖTT Egy természetes szám átírása egyik számrendszerből a másikba: a számot elosztjuk az új rendszer alap-számával, és a maradékokat jobbról balra haladva leírjuk. Pl. 29 = 2x4 +, 4 = 2x52 +, 52 = 2x25 +, 25 = 2x25 +, 25 = 2x62 +, 62 = 2x +, = 2x5 +, 5 = 2x7 +, 7 = 2x +, = 2x +, = 2x +. Tehát -ESŐL 2-ESE VLÓ ÁTLKÍTÁS LGORITMUS -esből 2-esbe való átalakítás algoritmusa így is megfogalmazható (a kapott számjegyeket jobbról balra kell leírni): Ismételd Ha a szám páratlan, írj le -et, és vonj ki a számból -et, különben írj le -t oszd el a számot 2-vel amíg a szám nem POZITÍV ÉS NEGTÍV INÁRIS SZÁMOK bináris szám éppen úgy mint egy decimális szám, lehet pozitív vagy negatív. számítógépekben az előjel ábrázolása és szimbólumokkal valósul meg. plusznak, a mínusznak felel meg. Ez az ún, előjelbit, mely után következik a szám abszolút értéke. 2
26..5. -ES KOMPLEMENS (-es kiegészítős számábrázolás) Ha egy n-bites pozitív szám (egész szám) szimbolikus jelölése N = a a... a a P n 2 n az azonos abszolút értékű negatív számé N = a a... a a Q n 2 n 2-ES KOMPLEMENS (2-es kiegészítős számábrázolás) pozitív számok ábrázolása azonos a két előbbi számábrázolással. Egy n-bites pozitív szám (egész szám) szimbolikus jelölése M = a a... a a P n 2 n az azonos abszolút értékű negatív számé pedig a következő összeg eredménye M = a a a a + Q n 2 n... POZITÍV ÉS NEGTÍV NÉGYITES INÁRIS SZÁMOK ÁRÁZOLÁS 2-ES SZÁMRENDSZER ELŐNYEI z áramköri megvalósítás szempontjából előnyös, hogy a leképezéséhez csak két stabil állapot szükséges, így kétállapotú elemekkel: relékkel, tranzisztorokkal, mágnesezhető elemekkel könnyen leképezhető. két egymástól távol eső stabil állapot következtében viszonylag érzéketlen a fellépő zavarokkal szemben, illetve azok könnyen elháríthatók. digitális technika természetes számrendszere a kétértékű megvalósításból adódóan is a kettes számrendszer. Ehhez jól illeszkedik a hexadecimális számrendszer. Ebben a technikában a tízes számrendszer használata, néhány kivételtől (pl. decimális számlálók) eltekintve nehézkes, és sok helyen indokolatlan. 6 2-ES SZÁMRENDSZER ELŐNYEI: MTEMTIKI SZEMPONTOK bináris számrendszer matematikai szempontból is előnyös. z aritmetikai műveletek igen egyszerűen hajthatók végre, és igen egyszerű a logikai ítéletalkotás is. SZÁMRENDSZEREK KÖZÖTTI ÁTVÁLTÁS három bináris számjegy megfeleltethető egyetlen oktális számjegynek négy bináris számjegy egy hexadecimálisnak Oktális és hexadecimális átváltás során, kézenfekvő közbenső műveletként bináris számrendszerbe átváltani. Ugyanazok a számjegyek használhatók fel mind az aritmetikai, mind a logikai műveletekhez. 7 8
26..5. INÁRIS ÖSSZEDÁS Két bináris számjegy + =, S alakú bináris összeadása: S - eredeti helyértéken mutatkozó összeg (sum vagy magyarul summa), - következő helyértékre való átvitel (carry). Igazságtábla és logikai függvények: S S = + = = Megvalósító elem: félösszeadó FÉLÖSSZEDÓ (HLF-DDER) Feladata két bit összeadása S FÖ S: összeg, sum : maradék, átvitel, carry 9 2 S = + = = INÁRIS ÖSSZEDÁS: FÉLÖSSZEDÓ Félösszeadó: két bemenet és két kimenet. Két bináris számjegyet tud összeadni, előállítja az összeget és átvitelt. Nem veszi figyelembe a kisebb helyértékről jövő átvitelt. = & félösszeadó S 2 INÁRIS/HEXDEIMÁLIS ÖSSZEDÁS IN DE 2 + 7 7 6 z összeadás hasonló a -e számrendszerbelihez: két számjegyet és az előző helyértékről származó maradékot kell összeadni. z összeg egyes helyértékén lévő számot le kell írni, a kettes helyértéken lévőt tovább kell vinni. 22 TELJES ÖSSZEDÓ TELJES ÖSSZEDÓ (FULL DDER) Funkciója két bit és az előző helyi értékből származó maradék (átvitel) összeadása in TÖ S out i i i i- S i i 2 4 5 6 7 teljes összeadónak három bemenete, a két operandus, és az alacsonyabb helyértékről érkező átvitel ( i, i és i- ) és két kimenete, az összeg és az átvitel (S i és i ) van. S i = Σ (,2,4,7) i = Σ (,5,6,7) 2 24 4
26..5. Z ÖSSZEGFÜGGVÉNY (S i ) i 2 4 5 6 7 (4) (2) () i i i- DS i sakktábla Szimmetrikus függvény S i D i i i- 2 6 7 4 5 i 25 TELJES ÖSSZEDÓ EGY LEHETSÉGES MEGVLÓSÍTÁS i i i + i ii i i i- (i + i) i- ii + (i + i) i- 26 KÉT 4-ITES SZÁM ÖSSZEDÁS Soros átvitel terjedés (ripple carry adder) 2 2 in in in in TÖ TÖ TÖ FÖ out S out S out S out S DEIMÁLIS SZÁMJEGYEK INÁRIS KÓDOLÁS Információ ábrázolás és feldolgozás: tiszta bináris (és -es, valamint 2-es komplemens) kód. dat be- és kivitel: tízes számrendszer. -es számrendszer egyes számjegyei (a szimbólum,,,... 9) kifejezése bináris kóddal: Q Q 2 Q Q binárisan kódolt decimális kód arry flag inary oded Decimal (D) 27 28 NORMÁL D KÓD Természetes kód - Minden számjegyhez a 4-bites bináris kódját rendeli - Természetes helyérték: 8 4 2 d = 8a 4 + 4a + 2a 2 +a hat nem megengedett kombináció (,... ) neve pszeudotetrád. Érvényes kódszavak Nem használt, illetve érvénytelen kódszavak 29 PSZEUDOTETRÁDOK ZONOSÍTÁS KRNUGH TÁLÁN D Minimalizálás után P = + Hibajelző: & & 5
26..5. Példa: decimális D (842) ÖSSZEDÁS D 427 + + 558 Mivel egyetlen helyértéken sem volt az összeg 9-nél nagyobb, ezért korrekcióra nem volt szükség D ÖSSZEDÁS: +6 KORREKIÓ 789 + 2 + 2 + +6 korrekció + +6 korrekció + +6 korrekció 2 6