Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem eseméy: A, B, AB, Teles eseméyhalmaz. Valószíűségek: P(A), P(B), P(AB), P() Egymást kzáró eseméyek, tehát: P( A) + P( B) + P( AB) + P() Összetett eseméy pl.: megtalálható az A atgé: valószíűsége P(A)+P(AB) Egy és csak egy atgé található: valószíűsége P(A)+P(B) P(B) P(AB) P() P(A) Be va feezve a agy mű, ge. A gép forog, az alkotó phe.? 45% 4% 35% 3% 5% % 5% % 5% % Vércsoportok eloszlása Magyarországo A B AB Elmélet úto (agyo rtka) (pl. kocka feldobás: mde elem eseméy valószíűsége: /6.) Hogya uthatuk lye formácóhoz? Meyre megbízható? Tapasztalat úto (kísérletet végzük. Kísérlet: mérés, megfgyelés, kkérdezés stb.)
,6,5,4,3,, F N,8,7,6,5,4,3,, F N,6,5,4,3,,,4,35,3,5,,5,,5,35,3,5,,5,,5 F FN N 4F 3FN FN F3N 4N 6F 5FN 4FN 3F3N F4N F5N 6N,6,5,4,3,,,45,4,35,3,5,,5,,5,4,35,3,5,,5,,5 F FN N 4F 3FN FN F3N 4N 6F 5FN 4FN 3F3N F4N F5N 6N Kérem a következőt! Kísérlet P(N),5 P(F),5 P(N),75 P(F),5 Példa: a férfak és ők aráya. Az eseméytér két elemű: férf, ő Valószíűségek: P(F) és P(N). Igaz, hogy: P(F)+P(N) A mta elemszáma: ő férf ő férf Mlye emű a belépő páces? P(N),5 P(F),5 P(N),75 P(F),5 A mta elemszáma: 4 ő férf ő férf Kmeetel: F(érf) vagy N(ő) A mta elemszáma: (azaz kísérlet) ő férf ő férf A mta elemszáma: 6 ő férf ő férf Mtavétel alapelve Populácó és mta Következtetés agyobb elemszámú mta ksebb eltérések, megbízhatóbb eredméy. Lehetőleg mél agyobb elemszám. (Az ésszerűség határa belül.) Véletle mtavétel. Orvos kegészítés. Ha cs semm kzáró ok, akkor legye véletle. Ideáls, ha mde lehetséges esetet megvzsgáluk. Populácó (alapsokaság) Alapsokaság, olya vzsgál kívát egyedek, vagy más tetszőleges elemek véges vagy végtele összessége, amelyekek közös megfgyelhető ellemző vaak. Elmélet összesség s lehet, potecálsa megfgyelhető elemekkel. Mta A populácó relatíve ks méretű kragadott része valamlye előírás szert válogatva.
Mtavétel hba Nem mtavétel hba Abból adódk, hogy em az alapsokaságot, haem csak egy részét (mta) vzsgáluk. Adatfelvétel hba pl.: válaszadás hba, feldolgozás hba stb. A statsztka módszerevel elemezhető, számba vehető! Nőgyógyászat Kérem a következőt! Egy szélsőséges példa: Nem véletleszerű mtavétel! (az előző példába) A becslés A becslés típusa Mlye magas a fa? Potbecslés Egyetle értékkel törtéő közelítés. Itervallumbecslés Egy tervallummal (ambe agy megbízhatósággal megtalálható) törtéő közelítés. Kb. 7 m magas. Körözés kb. 75 cm magas Körözés 7-75 cm magas A becslés olya elárás, amely háyos, többyre tapasztalat adatok alapá, egy adott esetre, adott változóhoz egy becsült értéket redel.
A ó becslés tuladosága Kategoráls változó Kísérlet: kválasztuk egy embert és elvégezzük a vzsgálatot. Torzítatla: A becslés várható értéke mde mta-elemszám eseté éppe a keresett paraméter. (Körülötte gadozak) Hatásos: A becslések a paramétertől való közepes égyzetes eltérése mmáls. ( azaz a szórása kcs) Két egyarát torzítatla becslés közül az a hatásosabb, amelyre a közepes égyzetes eltérés a ksebb.) Kozsztes: becsléssorozat, amelybe a becslések torzítatlaok és közepes égyzetes eltérésük a zérushoz közeledk, (sztochasztkusa) kovergál a paraméter valód értékéhez. Igadozása övekedtével csökke. Elégséges: Olya becslés, amely az összes formácót tartalmazza a paraméterre, amt a mtából kaphatuk. (Pl. a ormáls eloszlásra középérték és a szórás elégséges statsztka). Kmeetel: A vagy B vagy AB vagy. Kválasztuk elegedő számú embert. : elemszám. Mta: a kválasztott számú ember a sokaságból. vércsoport A B AB gyakorság k A k B k AB k Egy valószíűség becslése A relatív gyakorság hbáa P(A) az A vércsoport előfordulásáak valószíűsége. Az A vércsoport előfordulásáak a várható értéke. P(A). Az. P(A) becslése a mta alapá: k A Bomáls eloszlás. várható érték: p varaca: p(-p) (o lám! Valószíűségszámítás?) elemű mta: k elem A vércsoportú, (-k) em. A P(A) potbecslése: k A /. A k A érték szórásáak becslése: s k/ érték a k/ szórása, vagy stadard hbáa. s k ( P( )) P( A) A Redbe va, de egy másk mtából más érték származk. Meyre megbízható ez az érték? A k A / érték szórásáak becslése: P( A) ( P( A) ) P( A) ( P( A ) ) s k / P(A) helyett a k A /-t haszáluk.
Kofdeca tervallum Folytoos változó Eek segítségével megadhatuk egy tervallumot. (tervallumbecslés) Példa: testmagasság Helyes keletés? Az eseméytér végtele agy! k ± s k / 68%-os kofdeca (megbízhatóság) tervallum, amhez 68%-os kofdeca szt tartozk. Jeletése: Ha agyo sok mtá megsmételük a megfgyelést, akkor a kofdeca tervallumok 68%-a tartalmazza a P(A)-t. Vagys az tervallumbecslés megbízhatósága 68% testmagasság: 7 cm. Nem! Véges elemszámú mta. Ncs két azoos elem. (gyakorság értékek: vagy ) Hams következtetés, gyakorlatba em kvtelezhető. Potos mérés em lehetséges, végtele potosságú eszköz kellee. Mtavétel folytoos változó esetébe A μ és a σ Helyes keletés: A testmagasság (x): 7,5 x < 7,5 cm Egy meghatározott érték helyébe, egy tervallum (osztály) lép. (Továbbakba a dszkrét eloszláshoz hasolóa haszáluk) A σ az adatok szóródását ellemz a μ körül. Az adatokak kb. 68%-a a μ körül σ széles tervallumba va. ( μ ± σ ) 68% ( μ ± σ ) 95% p aak a valószíűsége, hogy: x az adott osztályba tartozzo. ( μ ± )?
A mták eloszlása Mdegyk x -edk elem eltér egymástól. Egy eloszlás redelhető hozzá. Az x -k eloszlása megegyezk az alapsokaság eloszlásával. Az átlag várható értéke és varacáa Ez egy egyszerű összeadás. x M ( x) M ( x ) ( μ ) μ x σ D ( x) D ( x ) ( ) σ M ( x ) μ és D ( x ) σ Az átlag várható értéke azoos az alapsokaságéval, varacáa aak - ed része. Becslés folytoos változó esetébe A várható érték becslése Az eloszlás ellemző: várható érték és az elmélet szórás. Defícók: Várható érték: M ( x) xf ( x) dx p x Elmélet szórás: D ( x) [ x M ( x) ] f ( x) dx p ( x M ( x) p x p -t közelítsük a k / relatív gyakorsággal! x k x k x A várható érték becslése az átlag. Torzítatla becslés, mert: M (x) μ
Az elmélet szórás becslése p ( x μ? k p ( x ( x k ( x ( x p -t közelítsük a k / relatív gyakorsággal! Általába em smert, csak közelítő értéke, az átlag. Előzőleg láttuk, hogy: ( x Jó becslés? ( x x) > Átlagoluk agyo sok -elemű mtára! (várható érték) σ > M ( x x) Ez egy torzított becslés! ( x x)? Korrgált tapasztalat szórás Az eltérés az átlag és a várható érték külöbségéből fakad. M ( x [( x ] ( s ) σ σ M + σ M * s s s ( s ) ( x x) * Az átlag varacáa: σ Az átlag szórása: σ De általába a σ sem smert. A stadard hba s a ó becslése a σ-ek. s x s Ez tehát az átlag szórása, vagy stadard hbáa. σ A mták között eltérések varacáa. A továbbakba s-el elölük a korrgált tapasztalat szórást.
A várható érték kofdeca tervalluma Hasolóa a P becsléséhez, a stadard hba smeretébe megadhatuk a várható érték kofdeca tervallumát. [ ] x ± s x Ez az tervallum kb. 68% megbízhatósággal tartalmazza μ-t.