Irányítástechnika labor Elméleti összefoglaló Irányítástechnikai lapfogalmak Az irányítás egy folyamatba történő beavatkozás adott cél megvalósítása érdekében. A folyamat változása külső, belső hatások következtében jön létre. A folyamat jellemzőit és a külső hatásokat jelek testesítik meg. A jelnek van fizikai megjelenési formája, pl. áram, feszültség, nyomaték, szögsebesség, ez a jelhordozó. A jelnek van információ tartalma is, mely a jel által képviselt hatást írja le. Pl., hogyan változik az áram, vagy a feszültség. A nyílt hatásláncú, visszacsatolást nem tartalmazó irányítást vezérlésnek, a zárt hatásláncú, visszacsatolást tartalmazó irányítást szabályozásnak nevezzük. Az irányító berendezés a mért vagy más úton szerzett adatok alapján, az irányítás céljának megfelelően megváltoztatja az irányított folyamat (szakasz) jellemzőit. Az irányított folyamat és az irányító berendezés együttesen alkotja az irányítási rendszert. A továbbiakban csak zárt irányítási rendszerekkel (szabályozásokkal) foglalkozunk. 1. ábra. Zárt szabályozási kör hatásvázlata A szabályozási rendszer működését az 1. ábra hatásvázlatán követhetjük végig. Az y szabályozott jellemzőt az érzékelő szerv méri, amelynek kimeneti jele az y e ellenőrző jel. A szabályozott jellemző előírt értékét referencia értéket az u ref külső jel (alapjel) adja meg. Az alapjel és az ellenőrző jel különbsége az y h hibajel. A hibajel hatására a szabályzó, a hibajel megszüntetése érdekében, a szakasz u bemeneti jelén keresztül beavatkozik az irányított folyamat működésébe, vagyis igyekszik a szabályozott jellemző referencia jeltől való eltérését megszüntetni. Az alapjel időbeni lefutása alapján a szabályozások két csoportra oszthatók: Időben állandó referencia jel esetén értéktartó szabályozásról beszélünk. Ekkor a szabályzó feladata, hogy a zavaró hatások ellenére a szabályozott jellemzőt állandó értéken tartsa. Időben változó referencia jel esetén értékkövető szabályozásról beszélünk. Ekkor a szabályzó feladata, hogy a szabályozott jellemző a zavaró hatások ellenére minél pontosabban kövesse az alapjel változásait.
A szabályozott rendszerrel szemben támasztott követelmények: Legyen stabil, vagyis egyensúlyi állapotából kimozdítva a rendszert, azután magára hagyva, térjen vissza egyensúlyi állapotába. Másképpen fogalmazva, korlátos bemeneti jel hatására a kimeneti jel korlátos mértékben változzon meg. Az alapjelet megfelelően kövesse, vagyis az alapjeltől való eltérés (a hibajel) legyen minimális. Másképpen fogalmazva, a statikus hiba értéke közelítsen zérushoz. A zavaró jelek hatását minimalizálja. A paraméterváltozásokra kellően érzéketlen legyen. Megfeleljen az egyéb követelményeknek. Szabályozott rendszereink általában tartalmaznak valamilyen energiatároló elemet. Mivel az energia megváltozásához időre van szükség, a rendszer jellemzői, kimeneti jelei nem képesek követni a bemenő jelek ugrásszerű megváltozását. A gerjesztés hatása csak valamilyen időfüggvény szerint, késve jelenik meg a kimeneti jelben. Az ilyen rendszereket dinamikus rendszereknek nevezzük. Szabályozási rendszerek tervezésekor megpróbálunk minél több előzetes információt szerezni a szabályozott szakasz tulajdonságairól. Ez azt jelenti, hogy megpróbálunk meghatározni egy olyan lehetőleg egyszerű matematikai modellt, amely kielégítő pontossággal utánozza a valóságos szakaszban lejátszódó folyamatokat. A modellel leírjuk a szakasz bennünket érdeklő bemeneti és kimeneti jelei közötti törvényszerűségeket, vagyis a rendszer jelátviteli tulajdonságait. A modell alapján, szisztematikus matematikai módszerek és szimulációk segítségével megtervezzük a szakaszhoz legmegfelelőbb szabályzó struktúrát. Ezt a módszert modell alapú tervezésnek nevezzük. Időtartománybeli vizsgálatok A szabályozási kör hatásvázlatában (1. ábra) szereplő egységek, tagok (szakasz, érzékelő, szabályzó) mindegyike jellemezhető valamilyen átviteli tulajdonsággal, amely megadja, hogyan változik a tag kimeneti jele a tag bemeneti jelének függvényében. Ezeket az átviteli jellemzőket az időtartományban különböző alakú bemenő vizsgálójelekre (gerjesztésekre) adott kimeneti válasz alapján határozzuk meg. A tipikus vizsgáló jelek (2. ábra): egységimpulzus: u(t) = 1 ha t = 0; u(t) = 0 ha t 0 egységugrás: u(t) = 0 ha t < 0; u(t) = 1 ha t 0 egység-sebességugrás: u(t) = 0 ha t < 0; u(t) = t ha t 0 egység-gyorsulásugrás: u(t) = 0 ha t < 0; u(t) = t 2 ha t 0
u 1 u 1 egységimpulzus t egységugrás t u u egység-sebességugrás t 2. ábra. Tipikus vizsgáló jelek egység-gyorsulásugrás t Az egységugrás gerjesztésre adott válasz, más néven a rendszer átmeneti függvénye (3. ábra) alapján a következő rendszerjellemzőket definiálhatjuk: Statikus hiba h s : az alapjel és a rendszer egyensúlyi állapotában (a lengések lecsengését követően) kialakult kimeneti jelének aránya. Általában az alapjel százalékában megadott érték pl. ±10% megengedett statikus hiba az alapjelhez képest. Túllendülés t : A kimeneti jel maximális, és állandósult állapotban (t = ) kialakult értékének különbsége. Általában az állandósult állapotbeli érték százalékában adott pl. 15% megengedett túllendülés az állandósult állapotbeli értékhez képest. Beállási idő t b : Az az időpont, ami után a kimeneti jel már nem lép ki a megengedett statikus hiba sávból. Átviteli tényező K: a kimeneti és bemeneti jel állandósult állapotbeli értékének hányadosa. Ha a K tényező 1-nél nagyobb érték (vagyis a kimeneti jel nagyobb, mint a bemeneti jel) erősítésről, ellenkező esetben csillapításról beszélünk. Számítása K = J ki (t = )/J be y 1 y( ) t h s ±10% t m t b t 3. ábra. A rendszer egységugrás válaszából meghatározható jellemzők
Ezekre a jellemzőkre a szabályzási feladat függvényében lehetnek elvárások és megkötések, amit a zárt szabályozási körnek teljesítenie kell. A szabályzót tehát úgy kell megtervezni, hogy ezek az elvárások teljesüljenek. Frekvenciatartománybeli vizsgálatok Lineáris rendszerre jellemzője, hogy adott frekvenciájú szinuszos gerjesztést adva a bemenetére a kimeneten megjelenő válasz szintén szinuszos jel, aminek frekvenciája megegyezik a bemeneti jel frekvenciájával, de amplitúdója és fázisa eltérő lehet. Tehát ha frekvenciájú, egységnyi amplitúdójú és 0 fázisszögű a gerjesztő jel a lineáris rendszer kimeneti jele J be t = 1 sin ωt + 0 J ki t = A sin(ωt + φ) alakú lesz. Megállapíthatjuk tehát, hogy rögzített frekvenciájú szinuszos jelek vizsgálata esetén elegendő a gerjesztő jel amplitúdóját és kezdőfázisát megadni, és keressük az erre adott válasz amplitúdóját és kezdőfázisát. Egy f(t) = A sin(t +) szinuszos jel két paramétere (A és ) leírható egy komplex szám abszolút értékével és fázisszögével. A jelet ily módon jellemző A = Ae jφ számot a jel komplex amplitúdójának nevezzük. A fenti jelölésekkel: J be t = 1 sin(ωt + 0) J ki t = A sin(ωt + φ) Jbe = 1e j0 Jki = Ae jφ A jelek egy adott frekvencián a komplex amplitúdójukkal történő leírását röviden frekvenciatartománybeli leírásnak nevezzük. A frekvenciatartománybeli vizsgálatok során keressük, hogy különböző frekvenciájú szinuszos bemenő jelek esetén az adott tag, a bemenő jelhez viszonyítva milyen amplitúdójú és fázisú kimenő jellel válaszol. Ezt a kapcsolatot adott frekvencián jól jellemzi a kimeneti és bemeneti jel komplex amplitúdójának hányadosa W = J ki J be = Ae jφ Természetesen a Wátviteli tényező a frekvencia függvényében változó érték lehet. Ezért A abszolút értéke és fázisa is frekvenciafüggő: j arc W(jω ) W(jω) = W(jω) e A W(jω) függvényt a rendszer átviteli függvényének nevezzük. Szokás még a jeleket és átviteli tulajdonságokat az úgynevezett komplex frekvencia tartománybeli leírással jellemezni, melynek matematikai alapját a Laplace transzformáció teremti meg. Nem követünk el nagy hibát, ha a frekvencia tartománybeli leírásban formálisan az s = j helyettesítéssel élünk. Ennek alapján a komplex frekvencia tartományt szokás röviden s tartománynak is nevezni.
A frekvenciatartománybeli vizsgálatok során leggyakrabban a Bode-diagram alapján teszünk megállapításokat. A Bode-diagram a komplex átviteli függvény abszolút értékét és fázisát ábrázolja a frekvencia függvényében, az amplitúdó és a frekvencia tengelyeken logaritmikus léptékkel (5. ábra): Amplitúdó menet: Fázismenet: a [db ] ω = 20 log 10 W(jω) φ ω = arc W(jω) A felnyitott szabályozási kör Bode-diagramja alapján következtetni lehet a zárt rendszer stabilitási tulajdonságaira. A felnyitott kört a zárt körből kapjuk úgy, hogy megszüntetjük a visszacsatolást. Ilyenkor a bemeneti jelünk a zárt rendszer bemeneti jelével megegyező, a kimeneti jel pedig a visszacsatoló jel (4. ábra). 4. ábra. A felnyitott kör hatásvázlata A Bode-diagram alapján meghatározhatjuk azt az c vágási körfrekvencia értéket, ahol a nyitott kör amplitúdó menete egységnyi értékű, vagyis ahol a görbe metszi a 0 db-es vízszintes tengelyt. Az egyszerűsített Nyquist kritérium alapján, stabilis a zárt szabályozási kör, ha a nyitott rendszer t fázistöbblete pozitív, vagyis t = + ( c ) > 0. A fázistöbblet (fázistartalék) az a szög, aminek zérussá válásával a zárt kör a stabilitás határhelyzetébe kerül. Gyakorlati tapasztalat, hogy 50-60 fázistartalékkal rendelkező rendszer üzemszerűen is megfelelő módon működik (5. ábra). A Bode-diagram alapján meghatározhatjuk azt az t körfrekvencia értéket is, ahol a nyitott kör fázismenete metszi a --hez (-180 ) tartozó vízszintes tengelyt, vagyis ( t ) = -Stabilis rendszer esetén az a db ( t ) amplitúdó érték a 0 db-es vízszintes tengely alatt helyezkedik el (vagyis a lineáris léptékű a( t ) < 1). Az vagy lineáris léptéket használva a t db = 0 db a db (ω t ) a t = 1 a ω t
Phase (deg) Magnitude (db) értéket a rendszer amplitúdó tartalékának nevezzük. Ez az érték megadja, mennyivel növelhetjük a nyitott kör erősítését, hogy a zárt rendszer a stabilitás határhelyzetébe kerüljön (5. ábra). 40 Gm = 7.61 db (at 0.602 rad/sec), Pm = 31.3 deg (at 0.366 rad/sec) 20 0 a [db] ω a t -20-40 -60-80 -90 φ ω -135-180 t -225-270 10-2 10-1 c t 10 0 10 1 Frequency (rad/sec) 5. ábra. Bode-diagram Szabályzók A klasszikus soros kompenzációs szabályozási kör hatásvázlata a 6. ábrán látható. A szabályozás célja, hogy az y szabályozott jellemző a lehető legpontosabban az u a alapjelnek megfelelően változzon. Ideális esetben az y = u a működés lenne a kívánatos, a folyamat energiatároló tulajdonsága okozta jelkésleltetések és holtidők miatt azonban ezt a gyakorlatban nem lehet elérni. A rendszer belső és külső jelei közötti kapcsolatot az egyes tagok átviteli függvényei adják meg. u a y h W c u W p y y e W s 6. ábra. Klasszikus soros kompenzációs szabályozási kör hatásvázlata
Felhasználva a szabályozó W c a folyamat W p és a szenzor W s átviteli függvényeit a szabályozott jellemző és az alapjel között a következő összefüggés írható fel y s = W c W p 1 + W c W p W s u a s = y s = W cw p 1 + W 0 u a s ahol a W 0 = W c W p W s a nyitott kör eredő átviteli függvénye, melyben W c és W p soros kapcsolást alkotnak (soros kompenzáció). A szabályzó tervezési probléma a következőképpen fogalmazható meg: A szakasz (W p ) és szenzor (W s ) átviteli tulajdonságainak ismeretében a soros szabályzó W c átviteli függvényét válasszuk meg úgy, hogy a nyitott kör W 0 = W c W p W s frekvenciafüggvényének előírt t fázistöbblete és minél nagyobb c vágási körfrekvenciája legyen, miközben a körerősítés a lehető legnagyobb vagy a típusszám legalább egy (a típusszám megadja a körben lévő integrátorok számát). Soros kompenzációnál a szakaszhoz leggyakrabban a 1. táblázatban felsorolt tagokból felépített szabályzót illesztenek. Típus P I D W c (s) átviteli függvény k st i k c c st d 1 st ki s 1. táblázat. P, I, D alaptagok P-tag (arányos tag) A P-tag kimeneti jele a bemenő jelével arányosan változik. Az arányossági tényező k c. Az arányos szabályozó a zavaró jellemző hatását csak maradó szabályozási eltéréssel (statikus hibával) szünteti meg. A maradó szabályozási eltérés annál kisebb, minél nagyobb a szabályozó átviteli tényezője. A gyakorlatban azonban az átviteli tényezőt nem növelhetjük a végtelenségig, ugyanis a valóságos rendszerekben a beavatkozó jel csak korlátos nagyságú lehet. Ezért önmagában P-típusú szabályozást csak egyszerűbb esetekben alkalmaznak. I-tag (integráló tag) Az integráló tag kimenő jelének sebessége a bemenő jellel arányosan változik. Az arányossági tényező k i. Önmagában ritkán alkalmazzák, a szabályozási idő ugyanis túlságosan hosszú lenne, mivel kis eltérés esetén a kimeneti jel csak lassan változik. Azonban az integrátor kimeneti jele zérus bemeneti jel esetén is lehet zérustól eltérő, ezért segítségével a statikus hiba teljesen megszüntethető. Ez az alapjel követés szempontjából kedvező tulajdonság, a labilitásra való hajlam miatt azonban az integráló szabályozások tervezése fokozottabb figyelmet igényel.
D-tag (differenciáló tag) A differenciáló tag kimenő jele a bemenő jel differenciálhányadosával, azaz a bemenő jel sebességével arányos. Egységugrás bemenő jel hatására kimenő jele pillanatnyi végtelen nagyságú impulzus lenne. Ez az ideális W c = st d átvitel a gyakorlatban nem megvalósítható, ezért általában az 1. táblázatban megadott átviteli függvényt használják. A differenciáló tag gyors bemenőjel változás esetén nagymértékű beavatkozással gyorsítja a szabályozási eltérés megszűntetését. Túlzott alkalmazása azonban nem megengedett igénybevételeket okozhat az irányított szakaszban, vagy telítődés miatt hatása esetleg érvényre sem jut. Önmagában szabályzóként nem használják. PI-szabályzó Az állásos szabályzó mellett a leggyakrabban alkalmazott szabályzó. Egyesíti magában a P és az I szabályozás nyújtotta előnyöket. Ugrásjel alakú alapjel esetén P csatornája révén dinamikus túlvezérléssel gyorsítja a bemenet változás kompenzálását, majd az integráló hatás a zavarásokból eredő statikus hibát teljesen meg is szünteti. PD-szabályzó A PD kompenzáció célja olyan kezdeti, forszírozó (siettető) hatás létesítése, amely gyorsítja a hibajel változásból eredő eltérés megszűnését. Ezen hatás annál jelentősebb, minél nagyobb a differenciálási (elébevágási) idő ( T d ). PID-szabályzó Egyesíti magában a P, I és a D szabályozás nyújtotta előnyöket.
Az egyenáramú (DC) motor 7. ábra. DC motor A mérések során a vizsgált irányítási rendszerben a szabályozott szakasz egy ideálisnak tekintett egyenáramú motor. Az egyenáramú motor elektromechanikai átalakító rendszer, amely villamos energiát mechanikai energiává alakít. Feszültséggenerátoros meghajtás esetén a motor u bemeneti jele a kapocsfeszültség, y kimeneti jelei pedig a motor tekercselésén folyó áram és a motor tengelyének szögsebessége. 8. ábra. A DC motor bemeneti és kimeneti jelei A motor feladata, a tengelyre kapcsolt terhelő nyomatékkal ellentétes irányú forgató nyomaték létrehozása. Ha a motor által létrehozott nyomaték a terhelő nyomatéknál kisebb a tengely szögsebessége csökken, ha nagyobb a tengely szögsebessége nő. Ha a két nyomaték megegyezik a motor fordulatszáma állandó. Terhelő nyomaték nélkül a motor szögsebessége korlátlanul nőne. A motorban keletkező, a szögsebességgel arányosan növekvő mechanikai veszteségek (pl. súrlódás) azonban a külső terheléshez hasonlóan lassító nyomatékként jelentkeznek a tengelyen. A motor konstrukciójától függő szögsebesség értéknél ezek a mechanikai veszteségek egyensúlyt tartanak a motor által létrehozott gyorsító nyomatékkal, vagyis adott kapocsfeszültséghez mindig tartozik egy üresjárási (terheletlen) szögsebesség érték. Az egyenáramú elektromotor dinamikus viselkedését a egyenletrendszerrel írhatjuk le, ahol: di(t) dt L = u t i(t)r K bω m (t) dω m (t) J dt m = i t K T Bω m t M t
u(t) : a motor kapocsfeszültsége *V+ i(t) : a motor tekercsein átfolyó áram *A+ m (t): a forgórész szögsebessége *rad/s+ R : a motor tekercselési ellenállása *] L : a motor induktivitása *H+ K T : nyomatéktényező *Nm/A+ K b : feszültségtényező *V/(rad/s)+ J m : a fogórész és terhelések tehetetlenségi nyomatéka *Nm/(rad/s2)+ B : a mechanikai veszteségek együtthatója *Nm/(rad/s)+ M t : a mechanika terhelő nyomaték *Nm+ Állandó u(t) = u kapocsfeszültségnél, állandósult állapotban, vagyis a tranziensek lecsengését követően a motor viselkedését az dω m (t) dt di(t) dt = 0 = 0 u = ir + K b ω m ik T = Bω m + M t egyenletek határozzák meg. Ekkor a motor által létrehozott ik T nyomaték egyensúlyt tart a mechanikai veszteségek miatt keletkező Bω m nyomaték és az M t terhelő nyomaték összegével, az u kapocsfeszültség pedig egyensúlyt tart a motor tekercselési ellenállásán eső ir feszültség és a forgó mágneses tér által a motor tekercseiben indukált K b ω m feszültség összegével (10. ábra). R i u K b ω m 10. ábra. A DC motor állandósult állapotra érvényes villamos modellje Az egyenáramú motor működésének szimulációja A mérések során használt Micro-Cap programot alapvetően villamos rendszerek szimulációjára fejlesztették ki. Benne elektronikai építőelemekből áramgenerátor, feszültséggenerátor, ellenállás, kondenzátor, tekercs, erősítő stb felépítet rendszerek villamos jeleit áramok, feszültségek vizsgálhatjuk. A mechanikai rendszerek és más fizikai rendszerek viselkedését azonban sokszor a villamos rendszerekhez hasonló egyenletekkel lehet leírni. Ha tehát a szimulációs környezetben a villamos jelekhez gondolatban mechanikai jeleket társítunk, az egyenáramú motorhoz hasonló
összetett elektromechanikai rendszer működését és jeleit is vizsgálhatjuk. Tekintsük az egyenáramú motor működését leíró egyenletrendszert: di(t) dt L = u t i(t)r K bω m (t) dω m (t) J dt m = i t K T Bω m t M t Az első egyenlet egy olyan villamos kört ír le, amelyben egy a motor szögsebességével arányos K b ω m (t) értékű feszültséget szolgáltató feszültséggenerátor, egy L értékű induktivitás és egy R értékű ellenállás van sorba kapcsolva. A második, mechanikai egyenlet szimulálásához végezzük el az alábbi a mechanikai és villamos jelek közti szimbolikus megfeleltetést: Áram [A] Nyomaték *Nm+ Feszültség *V+ Szögsebesség *rad/sec+ Ekkor a második egyenlet egy olyan villamos körrel feleltethető meg, ahol egy a motor tekercselésében folyó árammal arányos i t K T értékű áramot szolgáltató áramgenerátor, egy J m értékű kondenzátor, egy 1/B értékű ellenállás és egy M t értékű áramot szolgáltató áramgenerátor van párhuzamosan kapcsolva. A körben folyó áramok a mechanikai rendszer nyomatékviszonyait írják le, a feszültség pedig a motor tengelyének szögsebességét. Az áram és feszültség számértékek pontosan megegyeznek a nyomaték és szögsebesség értékekkel. R L i(t) u(t) K b ω m (t) i t K T J m 1 B M t ω m (t) 9. ábra. A DC motor Micro-Cap szimulációs modellje