Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet KVANTITATÍV MÓDSZEREK Példatár megoldásokkal Dr. Kövesi János Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 8
Tartalomjegyzék Valószínűségszámítási tételek. Feltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3 Feltételes valószínűség... 3 Teljes valószínűség tétele... 5 Bayes-tétel... 9 Események függetlensége... Leíró statisztika... 4 Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások... 3 Binomiális eloszlás... 3 Poisson-eloszlás... 4 Exponenciális eloszlás... 6 Normális eloszlás... 8 Döntéselmélet... 3 Első- és másodfajú hiba... 35 Becslés... 37 Hipotézisvizsgálatok... 4 Felhasznált irodalmak... 49
Valószínűségszámítási tételek. Feltételes valószínűség. Események függetlensége. Feltételes valószínűség. Ha nagyon sok kétgyermekes család közül véletlenszerűen választunk egyet, és megtudjuk, hogy legalább az egyik gyermek leány, mekkora a valószínűsége annak, hogy van fiú is a családban? Egy kétgyermekes családban négy egyenlő valószínűségű eset fordulhat elő a gyermekek nemét illetően, mivel mind az első, mind a második gyermek egyenlő valószínűséggel lehet leány vagy fiú: Leány-leány Leány-fiú Fiú-leány Fiú-fiú A esemény: az egyik gyermek leány B esemény: van fiú a családban Feladat, hogy az A teljesülése mellett vizsgáljuk a B esemény valószínűségét. A B) B A) A) Az (A B) esemény a fenti 4 lehetőségből kétszer áll fenn, így A B)=/4=/=,5 Az A esemény, vagyis hogy legalább leány van a családban, a négy esetből háromszor teljesül: A)=3/4 A B) / 4 4 P ( B A) A) 3/ 4 3 6 Tehát /3 a valószínűsége annak, hogy van fiú a kétgyermekes családban, ha tudjuk, hogy legalább az egyik gyermek leány.. Egy kockát kétszer feldobnak. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7 lesz? Elvégzik az első dobást. Eredményül páros szám adódott (ezt közölték velünk). Mekkora a valószínűsége ezek után annak, hogy a két dobás összege 7 lesz? Melyik valószínűség a nagyobb? Elsőre dobhatunk 6-féle értéket (-6 között), és ugyanez igaz a második dobásra is. Így az összes dobáslehetőség száma: 36 (=n). Ebből a kedvező esetek száma, vagyis hogy a dobott 3 3
számok összege 7 lesz: -6; -5; 3-4; 4-3; 5-; 6-; azaz összesen 6 ilyen eset van (=k). Így az k 6 első kérdésre a válasz: n 36 6 Az első dobás alapján kapott információ (páros lett az első dobás) a következő számpárok jönnek számításba: -i; 4-i; 6-i; ahol i a második feldobás eredményét mutatja, vagyis: i=,, 3, 4, 5, 6. Így az összes lehetőség (=n) száma: 8. Az összes lehetőségen belül a kedvező esetek száma, vagyis, hogy a két dobás összege 7 lesz: -5; 4-3; 6-, vagyis összesen 3 (=k). k 3 Így a második kérdésre a válasz: n 8 6 Látható, hogy az a közlés, hogy az első dobás eredménye páros szám lett, nem befolyásolta annak a valószínűségét, hogy a dobott számok összege 7 lesz. 3. Egy 3 lapos kártyacsomagból 4 lapot húzunk egymás után, visszatevés nélkül. Mennyi a valószínűsége, hogy az első kettő király, a harmadik felső, a negyedik pedig ász? Legyen A az az esemény, hogy az első húzás eredménye király; A legyen az az esemény, hogy a második is király; A 3 az, hogy a harmadik húzás eredménye felső, végül pedig, A 4 legyen az az esemény, hogy a negyedik húzás eredménye ász. Visszatevés nélküli esetben: A A A A ) A ) A A ) A ( A A )) A ( A A A )) 4 3 3 3 3 4 3 4 4 9, 4 3 4. Valamilyen vegyszerrel szúnyogirtást végeztek. Azt tapasztalták, hogy az első permetezésnél a szúnyogok 8%-a elpusztult, az életben maradottakban azonban annyi ellenállóképesség fejlődött ki, hogy a második permetezés során már csak a szúnyogok 4%-a pusztult el. A harmadik irtás során a szúnyogok %-a pusztult már csak el. Mennyi a valószínűsége, hogy egy szúnyog a három irtószer-alkalmazást túléli? Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy szúnyog még két irtószer-alkalmazást túlél, feltéve, hogy az elsőt túlélte? Legyen A i az az esemény, hogy a szúnyog az i-edik irtást túléli. Így a következő valószínűségeket ismerjük: P ( A ), P ( A A), 6 P A ( A A ), 8 ( 3 Az első kérdésre a válasz, vagyis, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy egy szúnyog három irtószer alkalmazását túléli, a fenti három valószínűség szorzataként adódik:,,6,8,96 A A A3 ),96 P (( A A3 ) A ),48 A ), 4 3 4
Teljes valószínűség tétele. Három urnában fehér és fekete golyók vannak elhelyezve. Az elsőben fehér és 3 fekete; a másodikban 3 fehér és 4 fekete; a harmadikban 4 fehér és 5 fekete golyó van. A kísérlet abban áll, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egy urnát: legyen /, /3 és /6 rendre az első, a második és a harmadik urna kiválasztásának a valószínűsége. Ezután a kiválasztott urnából véletlenszerűen kihúzunk egy golyót úgy, hogy mindegyik golyó kihúzásának a valószínűsége egyenlő legyen. Mennyi annak a valószínűsége, hogy fehér golyót húzunk? Legyen B, B, B 3 annak a valószínűsége, hogy az első, a második és a harmadik urnát választjuk ki. A legyen az az esemény, hogy fehér golyót húzunk ki. B ) / B B ) / 6 3 A B ) /5 A B ) / 3 ) 3/ 7 A B ) 4/9 3 A) 5 3 4,47 7 3 9 6 Tehát 4,7% a valószínűsége annak, hogy fehér golyót húzunk.. Két urnában golyók vannak. Az egyikben 5 fehér és 4 piros, a másikban 5 piros és 7 fehér. Az egyik urnából kiveszünk két golyót. Feltételezve, hogy a két urna közül egyenlő valószínűséggel választunk, mennyi a valószínűsége annak, hogy mindkét golyó fehér színű lesz? Ugyanilyen feltételek mellett, mennyi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott két golyó közül legalább az egyik fehér lesz? Legyen B az az esemény, hogy az első urnából húzunk, B pedig, hogy a másodikból. Az A esemény pedig jelentse azt, hogy mindkét golyó fehér. Feltétel: P ( B ) B ) 5 4 7 6 P ( A B ),77, ugyanígy P ( A B ), 38 9 8 A teljes valószínűség tételét felhasználva: P ( A),77,38, 975 Tehát 9,75% a valószínűsége annak, hogy mindkét kihúzott golyó fehér lesz. 5
A második kérdés megválaszolásához C jelentse azt az eseményt, hogy a két golyó közül legalább egy fehér. A feltételes valószínűségek megállapításához az ellentétes eseményekből indulunk ki, vagyis megnézzük, hogy mi a valószínűsége az egyik, illetve a másik urna esetében, hogy egyik kiválasztott golyó sem lesz fehér (vagyis mindkettő piros lesz), és az eredményt kivonjuk egyből. 4 3 5 5 4 8 P ( C B ), ugyanígy P ( C B ) 9 8 6 33 A teljes valószínűség tételét felhasználva a keresett valószínűség: 5 8 P ( C),84 6 33 84,% a valószínűsége annak, hogy a kihúzott golyók közül legalább az egyik fehér lesz. 3. Azonos fajta autórádió előlapokból két tételünk van. Az első tétel 6, a második 3 darabból áll. Mindkét tételben egy-egy hibás darab van. Az első tételből egy véletlenszerűen kiválasztott darabot átteszünk a másodikba. Ezután a második tételből választunk egyet találomra, és ezt megvizsgáljuk. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a darab selejtes? Jelentse A esemény azt, hogy a második tételből selejtest húzunk. Jelentse B azt, hogy az első tételből jót, B pedig azt, hogy hibásat tettünk át a másodikba. Ezeknek a valószínűségei: 5 P ( B ) ; B ) 6 6 Ha B következett be, akkor a második tételben 33 darabból csak egy selejtes van, és az A esemény feltételes valószínűsége: P ( A/ B ) ; ha viszont B következett be, akkor két 33 selejtes darab van a második tételben, így ebben az esetben a feltételes valószínűség: P ( A B ). 33 Alkalmazzuk a teljes valószínűség tételét: 5 P ( A) A B ) B ) A B ) B ) 33 6 33 6,34 Vagyis 3,4% a valószínűsége annak, hogy a második tételből selejtest húzunk. 4. Mikrohullámú sütők forgótányérjának kísérleti gyártását végzik egy gyárban. Három tétel mikrohullámú sütő készül el. Az első két tétel a teljes mennyiség egy-egy negyedét, a harmadik tétel pedig a felét adja. A minőségellenőrzés során kiderül, hogy az előírt működési óraszámot az első tétel %-a, a másodiknak %-a, a harmadiknak 8%-a éri el. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiszemelt mikrohullámú sütő az előírt ideig működik? 6
A az az esemény, hogy a mikrohullámú sütő forgótányérja az előírt ideig üzemel. B, B és B 3 jelentse azt, hogy a kiválasztott darab az első, a második vagy a harmadik tételből való. A B i események valószínűségei rendre: P ( B ) ; B ) ; B3) 4 4 Felírjuk az A eseménynek a B i feltételek melletti valószínűségét, vagyis azt, hogy az egyes tételekből választott forgótányérok milyen valószínűséggel működnek a megfelelő ideig: P ( A B ) /; A B ) /; A B3 ) 8/ A teljes valószínűség tételét alkalmazva: 3 P ( A) A B ) i i B i ) 4 4 8 3 4 4 Vagyis,5% a valószínűsége annak, hogy hibátlan darabot választunk.,5,5% 5. Egy műhelyben három műszakban termelnek azonos fajta árut. Egy napon az összes termelt áruból az első műszakban 4%, a másodikban és a harmadikban 3-3% készült. Az első műszakban készült áruk 5%-a, a másodikban gyártottak 7%-a, a harmadikban termeltek %-a hibás. A három műszakban elkészült teljes mennyiségből a minőségellenőr találomra kiválaszt egy darabot, és megvizsgál. Mennyi a valószínűsége, hogy ez hibátlan? Legyen A az az esemény, hogy a találomra kiválasztott darab hibátlan. B, B, és B 3 pedig jelentse azt, hogy a kiválasztott darab az első, a második, illetve a harmadik műszakban került legyártásra. Ezen események valószínűsége: P ( B ),4 P ( B ), 3 P ( B 3 ), 3 Felírjuk az A eseménynek a B i események melletti feltételes valószínűségeit: P ( A B ),5,95 P ( A B ),7, 93 P ( A B3 ),, 9 Végül alkalmazzuk a teljes valószínűség tételét: P ( A),4,95,3,93,3,9,99 9,9% a valószínűsége annak, hogy kiválasztott darab hibátlan lesz. 7
6. Egy egyetemi évfolyam végzett felmérésből tudjuk, hogy a női hallgatók 6%-a, a férfi hallgatók 4%-a dohányzik. Valaki így okoskodik: Ha egy személyt véletlenszerűen kiválasztunk, az a személy vagy nő, vagy férfi. A két esemény egymást kizárja. Annak a valószínűsége tehát, hogy a kiválasztott személy dohányzik, egyenlő a,6 és,4 valószínűségek összegével, tehát -gyel. Hol a hiba? A hiba ott van, hogy az adott,6 és,4 valószínűségek csak feltételes valószínűségek, mégpedig, ha A azt jelenti, hogy a kiválasztott személy dohányzik, B azt, hogy az illető nő, B pedig, hogy férfi, akkor: P ( A B ),6 és P ( A B ), 4, és az A valószínűségét a teljes valószínűség tétele mellett a P A) A B ) B ) A B ) ) képlet adja meg. A feladatmegoldó a B és B ( B valószínűségekről feledkezett meg. 7. Egy posztgraduális vizsgán a Menedzser szakos hallgatók 6%-a, az MBA szakos hallgatók 8%-a szerepel sikeresen. A Menedzser szakos hallgatók az évfolyam 5%-át teszik ki. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiválasztott hallgató sikeresen vizsgázik? A legyen az az esemény, hogy a kiválasztott hallgató sikeresen vizsgázik. B esemény jelentse azt, hogy a kiválasztott hallgató Menedzser, B pedig, hogy MBA hallgató. Ennek valószínűségei: P ( B ),5 és P ( B ), 85 Az A eseménynek a B i események melletti feltételes valószínűségei adottak: P ( A B ),6 és P ( A B ), 8 A teljes valószínűség tételét alkalmazva: P A) A B ) B ) A B ) B ),5,6,85,8 ( 77% a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiválasztott hallgató sikeresen szerepel a vizsgán.,77 8
Bayes-tétel. azonos alakú doboz közül az első 9-ben 4-4 golyó van, mégpedig fehér és kék. A tizedik dobozban 5 fehér és kék golyó van. Az egyik találomra kiválasztott dobozból véletlenszerűen kiveszünk egy golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a tizedik dobozból való, ha a kivett golyó fehér? Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy fehéret húztunk. B j -vel jelöljük azt, hogy a j-edik dobozból választottunk. Ezeknek a valószínűsége azonos: B j )=/. Az A esemény B j feltétel melletti feltételes valószínűségére a következő áll fenn: A/B j )=/, ha j=,,3 9 A/B )=5/6 P ( B A) A B) B) A B ) B ) j (9 5 6 5 ) 6 5 6 9 5 6 j j Tehát 5,65% a valószínűsége annak, hogy egy fehér golyót éppen a. dobozból húzunk. Másik megoldás: Az A ismét az az esemény, hogy fehéret húzunk. B jelentse azt, hogy a kilenc egyforma közül húzunk (bármelyikből), B pedig jelentse azt, hogy a.-ből húzunk. Így B )=9/; B )=/. A/ B )=/, A/ B )=5/6. Innentől a megoldás menete ugyanaz.. Egy forgácsoló üzemben elkészült munkadarabok 96%-a felel meg a súlyszabványnak. A minőség-ellenőrzés során az elkészült munkadarabok egy részét megvizsgálták, a súly szempontjából szabványos darabok 98%-a bizonyult alakra jónak, a nem szabványos súlyú darabokból pedig 5%-ot nyilvánítanak alakra jónak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy darab, amely a minőségellenőrzésen alakra jónak bizonyult, megfelel a súlyszabványnak? A az az esemény, hogy a munkadarab alakra jónak bizonyul. Legyen B az az esemény, hogy a vizsgált darab súlya szabványos, a B pedig, hogy a darab súlya nem szabványos. A feladatban adott valószínűségek: B ),96 B A B ),98 A B ),4 ),5 5 3 9
A B esemény valószínűségét keressük az A esemény teljesülése esetén. Ezt a feltételes valószínűséget a Bayes-tétellel számoljuk ki: A B ) B ),9896 P ( B A),998 A B ) B ) A B ) B ),98,96,5,4 Tehát 99,8% a valószínűsége annak, hogy a minőségellenőrzésen alakra jónak bizonyult darab súlya megfelel a szabványnak. 3. Egy biológiai kísérlet során egyedet három, 3 ill. 5 egyedből álló- csoportokra osztanak. Az első csoport egyedeit gyenge, a másodikét közepes, a harmadikét erős hatóanyaggal oltják be. A csoportokat ezután külön tárolják. Az oltás hatására az első csoportból 3, a másodikból, a harmadikból pedig 39 megy keresztül valamilyen változáson. Ezután a csoportok elkülönítését megszüntetik. Ha az összes egyedből egyet találomra kiválasztunk és ennek vizsgálata azt mutatja, hogy nem ment keresztül változáson, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott egyed a második csoportból való? A az az esemény, hogy a kiválasztott egyed nem megy keresztül változáson. A B j azt jelenti, hogy a kiválasztott egyed a j-edik csoportból való. 3 5 B ) ; B ) ; B3 ) 7 A B ) ; A B ) ; A B3 ) 3 5 3 A B ) B ) B ) 3 A 3 7 3 A B ) ( ) j P B j 3 5 j 5 48 5 4,67% Tehát 4,67% annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott egyed a második csoportból való. 4. Tudjuk, hogy egy gyakorlatban résztvevő 8 lövész négy csoportba sorolható úgy, hogy közülük öten,8, heten,7, négyen,6, és ketten,5 valószínűséggel találnak a céltáblára. Véletlenül meglátunk közülük egy lövészt, aki egy lövést ad le, de ez nem talál a céltáblára. Melyik csoporthoz tartozik a legnagyobb valószínűséggel a lövész, és mennyi ez a valószínűség? A legyen az az esemény, hogy a lövész nem talál a céltáblára. A B i esemény legyen az, hogy a lövész az i-edik csoportba tartozik: 5 7 4 P ( B ) P ( B ) P ( B 3 ) P ( B 4 ) 8 8 8 8 Az A esemény B i események melletti feltételes valószínűsége:
P ( A B ), P ( A B ), 3 P ( A B3 ), 4 P ( A B4 ), 5 A B i események A feltétel melletti feltételes valószínűségét Bayes tételével számoljuk ki. A Bi ) Bi ) P ( Bi / A) 4 A B ) B ) j j j E fenti valószínűségek (i=,, 3, 4) közül a legnagyobbat keressük. 5 A B ) B ), 8 8 7 A B ) B ),3 8 8 4 6 A B3 ) B3 ),4 8 8 A B4 ) B4 ),5 8 8 Azt kaptuk, hogy a másodiknak a legnagyobb a számlálója. Így a B eseménynek az A feltétel melletti feltételes valószínűsége: A B ) B ) 8 P ( B A) 4 6 57 A B ) ( ) j P B j 8 8 8 8 j Tehát a találomra kiválasztott lövész a legnagyobb valószínűséggel a második csoportból való, és ez a valószínűség: 7/9. 7 9
Események függetlensége. Ketten lőnek céltáblára. A találat valószínűsége az első személy esetében,7; a második esetében,6. A találatok egymástól függetlenek. Ha mindketten egy-egy lövést adnak le, mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább egy találat van a céltáblán. Legyen A az az esemény, hogy az első személy talál, és B jelentse azt, hogy a második találatot ér el. Az (A+B) esemény azt jelenti, hogy legalább egy találat van a céltáblán. Ennek a valószínűségére vagyunk kíváncsiak és felhasználjuk azt is, hogy az A és B események függetlenek: A B) A) B) A B) A) B) A) B),7,6,7,6,3,4,88 Tehát,88 a valószínűsége annak, hogy a céltáblán legalább egy találat van.. Két, egymástól függetlenül dolgozó szerszámgépen azonos fajta alkatrészeket gyártanak. Az első gépen,8, a második gépen,7 valószínűséggel kapunk első osztályú alkatrészeket, az ugyanazon a gépen gyártott alkatrészek is függetlenek egymástól. Az első gép gyártmányaiból 3, a második gép gyártmányaiból pedig alkatrészt választunk találomra és megvizsgáljuk őket. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mind az 5 első osztályú? Legyen A a szóban forgó esemény. A függetlenség alapján 3 P ( A),8,7,5 Tehát 5,% a valószínűsége annak, hogy a vizsgált alkatrészek mind első osztályúak. 3. Két dobozban golyók vannak, amelyek csak színeikben különböznek. Az első dobozban 5 fehér, fekete és 8 piros, a másodikban fehér, 8 fekete és 6 piros golyó van. Mindkét dobozból találomra kiveszünk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két kiválasztott golyó azonos színű? Legyen A az az esemény, hogy a két kiválasztott golyó azonos színű. A két húzás egymástól független. Háromféle, egymást kizáró esemény összegeként adódik az A, mégpedig úgy, hogy vagy mindkét dobozból fehéret, vagy mindkét dobozból feketét, vagy mindkét dobozból pirosat húzunk. Így az A esemény valószínűsége: 5 8 8 6 P ( A),3 4 4 4 4 4 4 Tehát 3% annak a valószínűsége, hogy a két dobozból azonos színű golyót húzunk.
4. Három szabályos kockát dobunk fel egyszerre. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mindhárom kockán a felülre kerülő pontérték legalább öt? Jelöljük a vizsgált eseményt A-val. Egy kocka esetén az 5-ös és a 6-os dobás valószínűsége külön-külön /6. Ezek a lehetőségek egymást kizárják, így annak a valószínűsége, hogy egy kockával 5-öst vagy 6-ost dobunk a két esemény összegének a valószínűsége: /3. A három kockán kapott pontértékek egymástól függetlenek. Annak valószínűsége, hogy az A esemény következik be, azaz a kockák mindegyikén az 5-ös vagy 6-os pontértékek valamelyike kerül felülre, a független események szorzatára vonatkozó összefüggés alapján: 3 P ( A), így /7 annak a valószínűsége, hogy legalább öt a felül látható pontérték 3 7 az egyes kockákon. 5. Frici és Gizi a következő feltételek mellett játszanak önálló játszmákat. Frici kezdi a játékot, és,3 valószínűséggel nyerhet az első játszmában. Ha nem nyeri meg az első játszmát, akkor Gizi következik és ebben a második játszmában,5 valószínűséggel győzhet. Ha győz, akkor a játéknak vége. Ha azonban Gizi veszít, akkor ismét Frici következik, és, valószínűséggel nyerheti meg a harmadik játszmát. Ha Frici a harmadik játszmában veszít, a játék döntetlenül ér véget. Melyik játékosnak van nagyobb esélye a győzelemre a játékban? Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy Frici nyeri a játékot, és B-vel azt az eseményt, hogy Gizi a győztes. Az egyes játszmák eredményeit független kísérletek eredményeinek tekintjük, így együttes bekövetkezésük valószínűsége az egyes események valószínűségének a szorzata. Ezek alapján A valószínűsége: P ( A),3,7,5,,3,7,37 A B esemény úgy jön létre, hogy Frici az első játszmában veszít, Gizi pedig a másodikban győz. Ezek az események is függetlenek, és B valószínűségét így valószínűségeik szorzata adja: P ( B),7,5,35 Az A esemény valószínűsége nagyobb, mint a B-é, így a két játékos közül Frici esélye nagyobb a győzelemre. 3
Leíró statisztika. A táblázat a Budapesti Értéktőzsde hivatalos indexének (BUX) száz napi záró értékéből számított hozamadatait tartalmazza. Készítse el az alábbi adatbázis részletes leíró statisztikai elemzését! Napi hozamok,896,63,9 -,74,38,45,85,754, -,3,846,86 -,4 -,76,,476,6 -,5,395 -,78,59,,8 -,567,865 -,836 -,,46,8,79 -,877,845,448,6,88,567,8,33,9,4,,58 -,3,9 -,8 -,43 -,676,6,47 -,365 -,759,3565,769,964 -,967,654,7 -,3,53 -,55 -,55,84,439,58 -,3858,39 -,37 -,45 -,9,6,69,359 -,7 -,4,758,8,438,44,44,79,6,758 -,6, -,43,483,57,43,8 -,7,48,358 -,69,87,83,43,493 -,39 -,54,54 Rangsor (oszloponként) -,567 -,8 -,43 -,4,,54,754,69,896,84 -,3858 -,55 -,39 -,5,48,567,85,33,9,865 -,76 -,6 -,365,6,7,6,8,38,45,964 -,967 -,3 -,3,8,39,6,845,359,47,358 -,877 -,55 -,3,87,43,6,,43,53,395 -,836 -, -,37,4,438,63,,46,758,3565 -,759 -,9 -,7,,44,6,9,493,758,439 -,74 -,78 -,45,,448,654,8,58,769,59 -,69 -,7 -,43,8,476,79,9,57,8,58 -,54 -,676 -,4,86,483,79,44,88,83,846. Osztályok számának meghatározása (egy lehetséges módszer) k N 7 8 h Y Y,846 (,567) max min h,8, k 7 4
. Gyakorisági táblázat 3. Kvartilisek meghatározása oszályközhosszúság f i g i f i ' g i ' -,567 -,365,%, -,365 -,63 6 6,% 8,8 -,63,39 36 36,% 44,44,39,4 38 38,% 8,8,4,443 5 5,% 97,97,443,645,% 99,99,645,847,% Az adatok egyenkénti ismeretéből kiindulva: s/ 4 5,5 4 Q,3,5,37 (,3), 375 Tehát ennél az értéknél az adatok ¼ része kisebb, ¾ része pedig nagyobb. 3 s3/ 4 75,75 4 Q3,43,75,46,43, 455 Ennél az értéknél az adatok ¾ része kisebb, ¼ része pedig nagyobb. 4. Medián A medián nem más, mint a középső kvartilis: s ˆ / 5,5 Me,483,5,54,483 A medián a két középső érték átlaga: Me (,483,54),535, 535 A medián becsülhető a gyakorisági táblázat alapján: N ' fme Me ˆ Y ' N me, hme f me fme ˆ 5 44 M e,39,,79 38 5. Módusz A 4. osztály a modális osztály, mert ebben a legnagyobb a tapasztalati gyakoriság: 5
d ˆ a Ymo, hmo d a fmo fmo d da d f fmo fmo f Mo M ˆo,39 38 36 38 36 38 5 6. Számtani átlag Az egyenként ismert adatokból számítva:,,556 (,567) (,3858)...,846,98497,6654 x,6654 A gyakorisági táblázatban szereplő információk alapján történő becslés: (,466) (,64) 6...,544,746,7536 x,7536 Osztályok Osztályközhossz. osztályközép fi osztályközép*fi di=osztályközép-xátl.becs. di fidi. -,567 -,365 -,466 -,93 -,466,76,4343. -,365 -,63 -,64 6 -,584 -,64,697,4876 3. -,63,39 -,6 36 -,3 -,6,384,38384 4.,39,4,4 38,53,4,96,7448 5.,4,443,34 5,53,34,696,75446 6.,443,645,544,88,544,9594,5987 7.,645,847,746,746,746,5565,55656 Összesen:,7536,46385 A táblázat utolsó három oszlopa a tapasztalati szórás becsléséhez szolgáltat majd információt! 7. Terjedelem R Y Y,846 (,567),43 max min 8. Interkvartilis terjedelemmutató R Q Q,455(,375),5 3,7635 9. Tapasztalati szórások Adatok egyenkénti ismeretéből kiindulva: s j ( x j 99 x) j ( x j 99 x) Becslés gyakorisági táblázat alapján: s r i f i r i x x i f i 7 i f d i i r f i i j ( x,46385 j,6654) 99,54,3535 99,88 6
Kumulált relatív gyakoriság Tapasztalati gyakoriság. Grafikus ábrázolás, hisztogram Gyakorisági hisztogram 4 35 3 36 38 5 5 5 5 6.. 3. 4. 5. 6. 7. Osztály sorszáma Kumulált relatív gyakorisági hisztogram,,97,99,8,8,6,4,44,,8,.. 3. 4. 5. 6. 7. Osztály sorszáma 7
. A g-os Omnia kávé töltési folyamatának két különböző napon mért nettó tömegértékei az alábbiak (a mérések a gyártási folyamatot követve, sorrendben történtek, kb. / óra alatt, egy négymérleges Hesser gép.sz. mérlegének töltését figyelve): egyik nap:,8,7,,,,4,5, 3,3,,,,,,3,,9,3,,,3,7,6,6,5,8,8,4,8,3,6,4 99,7,3,4,,,,9,,4,8,9,4,8,6,3,4,,4 másik nap:,4 99,3,5,,7,4 99,6,3 99,4,,,3 99,6,, 98,6,3 99, 99,5,3 98,5,,4 99,8,4 99,7,,,8 98,7 99,7 99,8 98,,6,5 99,9,,4,3 99,6 99,,7 99,,5,,,8,,3 99,8 Végezze el a statisztikai-szakmai elemzést! Számítsa ki az eloszlás statisztikai paramétereit! Mekkora a valószínűsége a tűréshatárokon való kivülesésnek, ha az alsó tűréshatár 98 g, a felső tűréshatár pedig g? 4. előadás diáinak végén. 8
3. Egy üdítőitalokat forgalmazó cég budapesti részlegénél dolgozó 6 értékesítési képviselő 5. január havi teljesítménye (kiszállított mennyiség, ezer rekesz): 5,6 6,8 3,5 8,8 3,3, 3,7 5,7 4,7 8,5 9, 6,6 9, 8,7 6,,5 4, 3, 5,9 3, 8,8 33,6 34,7 6,9 4,8,8 Számítsuk ki az átlagos teljesítményt, határozzuk meg a mediánt! Számítsuk ki az ismert szóródási mérőszámokat! Jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját a Pearson-féle mutatószám segítségével! Készítsünk gyakorisági sort, és becsüljük meg a móduszt! Rangsor 8,5 8,8 3, 3, 3,3 3,5 3,7 4, 4,8 5,6 5,7 5,9 6, 6,6 6,9 8,7 8,8 9, 9,,,5,8 4,7 6,8 33,6 34,7 A, Számítsuk ki az átlagos teljesítményt, határozzuk meg a mediánt! Átlagos teljesítmény meghatározása számtani átlaggal: x x... xn 8 8,5... 33,6 34,7 x 8ezer N 6 8 ezer rekesz az átlagos teljesítmény. Medián: 6,6,6 Me 6,35 6,35 ezer rekesznél többet teljesített az értékesítési képviselők fele, a másik fele kevesebbet. B, Számítsuk ki az ismert szóródási mérőszámokat! Terjedelem R X max X min 34,7 8,5 6, Szórás s (8 8) (8,5 8) Korrigált tapasztalati szórás s (8 8) (8,5 8)... (33,6 8) 6... (33,6 8) 5 (34,7 8) (34,7 8) 6,8 6,335 Átlagosan 6,335 ezer rekesszel tér el az egyes képviselők teljesítménye az átlagostól. 9
Relatív szórás: 6,8 V,34557 8 Az egyes képviselők teljesítményének az átlagostól való átlagos eltérése 34,5%. Interkvartilis terjedelemmutató: s/ 4 (6 ) 6,75 4 Q 3,5,75 (3,7 3,5) 3,65 s 3 / 4 Q R 3 / 3 (6 ),5 4,,5 (,5,),75 Q 3 Q,75 3,65 6,65 Az értékesítési képviselők negyedének a teljesítménye 3,65 ezer rekesznél alacsonyabb, háromnegyedüké magasabb (Q ). Az értékesítési képviselők háromnegyedének teljesítménye,75 ezer rekesznél alacsonyabb, egynegyedüké magasabb (Q 3 ). Az interkvartilis terjedelemmutató azt fejezi ki, hogy az értékesítési képviselők felének teljesítménye 6,65 ezer rekesznyi sávban helyezkedik el. C, Jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját a Pearson-féle mutatószám segítségével! 3 ( x Me) 3 (8 6,35) P,79 s 6, Erősebb (de még mérsékelt) baloldali aszimmetria. D, Készítsünk gyakorisági sort, és becsüljük meg a móduszt! k N, kb. 5 osztályt célszerű készíteni. h 34,7 8,5 5 5,4 Legyen 5,4 (kerekítéssel) az osztályköz-hosszúság! Osztályhatár gyakoriság 8,5 x<3,9 7 3,9 x<9,3 9,3 x<4,7 3 4,7 x<3, 3, x<35,5 Összesen: 6
megfigyelések száma 7 M oˆ 3,9 5,4 5,8 ( 7) ( 3) Az értékesített mennyiségek a 5,8 ezer rekesz körül tömörülnek. 4. Minőségellenőrzés keretében vizsgálták egy adott típushoz tartozó elektromos habverők élettartamát. A megfigyelés eredménye: Élettartam (év) Megfigyelések száma (db) 5, x<5,5 8 5,5 x<6, 8 6, x<6,5 5 6,5 x<7, 4 7, x<7,5 Összesen Ábrázoljuk a gyakorisági sort! Számítsuk ki a helyzeti középértékeket, az átlagot, a szórást, az aszimmetria egyik mérőszámát! a) Ábrázoljuk a gyakorisági sort! gyakorisági hisztogram 6 5 4 3 5,-5,5 5,5-6, 6,-6,5 6,5-7, 7,-7,5 osztályok b) Számítsuk ki a helyzeti középértékeket, az átlagot, a szórást, az aszimmetria egyik mérőszámát! Élettartam (év) Megfigyelések száma (db) Kumulált gyakoriság (gyakoriságok) 5, x<5,5 8 8 5,5 x<6, 8 36 6, x<6,5 5 86 6,5 x<7, 4 7, x<7,5 Összesen
6 36 Me 6 *,5 6, 4 5 Mo 6 *,5 6, 3 6 8*5, 5... *7, 5 x 6,5 8(5, 5 6, 5)... *(7, 5 6, 5) s 3*(6, 5 6, 4) P,59,58,58 Enyhe bal oldali aszimmetria.
Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások Binomiális eloszlás. Valaki találomra kitölt egy totószelvényt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első hét mérkőzéshez az,, x lehetőségek közül legalább 5 helyre egyest választ? Legyen A az az esemény, hogy a szelvényt kitöltő egy mérkőzéshez -est ír. A) p / 3 így A) q p / 3 /3 A ξ valószínűségi változó jelentse az n=7 db mérkőzéshez beírt egyesek számát. n pk k) k n k 3 k 3 7k k 7k p q ( k,,...,7) Az az esemény, hogy az első hét mérkőzéshez legalább öt helyre -es kerül három, egymást kizáró esemény összegeként fogható fel: vagy öt, vagy hat, vagy hét helyre ír egyest a fogadó. Ezek a valószínűségek a binomiális eloszlás táblázatának segítségével (n=7; p=,3 és,35 értékeit átlagolva (vagy egyszerűen a,35-höz tartozó értéket alapul véve); k=5,6,7) a következők: p 5 p6 p7,358,6,4,4 Tehát kb. 4,% a valószínűsége annak, hogy legalább öt helyre -es kerül.. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ha egy családban gyerek születik, akkor közülük éppen öt fiú lesz? Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy fiú születik legyen az A esemény. p ( A) p / A leány születésének valószínűsége: p ( A) p q / A ξ valószínűségi változó jelentse az n= gyermek közül a fiúk számát. Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy a ξ=5: p 5,46 4,6% (binomiális eloszlás táblázata: n=, p=,5, k=5) 3
3. Egy üzemben elektromos biztosítékokat gyártanak. A tapasztalat szerint átlagban ezek 5%-a hibás. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy darab véletlenszerűen kiválasztott biztosíték között nincs selejtes, legalább egy selejtes van, nincs -nél több selejtes! p=,5 Annak a valószínűsége, hogy kiválasztott darab között nem lesz selejtes:,969 (táblázatban: p=,5; n=; k=) Annak a valószínűsége, hogy kiválasztott darab között legalább egy selejtes van (vagyis vagy annál több): ezt úgy is értelmezhetjük, mint azt a valószínűséget, amely a darab közötti selejt ellentett eseménye: -,969=,83 Annak a valószínűsége, hogy nincs -nél több selejtes, vagyis vagy selejtes van a között:,969+,3474=,5443 (táblázat alapján p=,5; n=; k=,) 4. Fej vagy írás játékkal kapcsolatos két eseményt tekintünk. Az egyik esemény: négy dobásból 3 fej, a másik: nyolc dobásból 5 fej. Állapítsuk meg, hogy melyik esemény valószínűsége nagyobb szabályos pénzdarab használata esetén! Legyen A az az esemény, hogy négy dobásból 3 a fej, és B pedig, hogy nyolc dobásból 5 a fej. Egy dobás esetén a fej dobásának valószínűsége: p=/ A)=,5 (táblázatból: p=,5; n=4; k=3) B)=,88 Tehát nagyobb az esélye annak, hogy négy dobásból háromszor dobunk fejet, mint annak, hogy nyolc dobásból ötször. Poisson-eloszlás. Kalácssütéskor kg tésztába 3 szem mazsolát tesznek. Mennyi a valószínűsége, hogy egy 5 dkg-os szeletben kettőnél több mazsolaszem lesz? (Feltételezzük, hogy a mazsolák száma Poisson-eloszlást követ.) Egy 5 dkg-os tésztába átlagosan 3/, azaz,5 mazsolaszem (=λ) jut. Annak a valószínűségét, hogy a mazsolaszemek száma -nél nagyobb úgy fogjuk kiszámítani, hogy kikeressük a Poisson-eloszlás táblázatából, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy (k=), és mazsola van benne, majd e valószínűségek összegét kivonjuk egyből: P=- (,3+,334+,5)=,9 Tehát 9,% a valószínűsége annak, hogy az 5 dkg-os szeletben kettőnél több mazsola van.. Egy nyomdai korrektúrában 4 oldalon átlagosan 4 sajtóhiba van. A tapasztalat szerint egy anyagrészben lévő hibák számának eloszlása csak az anyagrész hosszától függ. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiemelt oldalon legalább három sajtóhiba van? 4
A ξ valószínűségi változó az egy oldalon lévő sajtóhibák számát veszi fel. A ξ valószínűségi 4 változó Poisson-eloszlású, paramétere az egy oldalra eső hibák várható értéke: 4 Annak az eseménynek a valószínűségét, hogy egy oldalon legalább három sajtóhiba van, az ellentett események valószínűségei közötti összefüggéssel számítjuk ki. Háromnál kevesebb sajtóhiba egy kiszemelt oldalon úgy következhet be, hogy a ξ valószínűségi változó, és értéket veszi fel. Ezek az esetek kizárják egymást, így összegük valószínűsége: p +p +p. Ezek a valószínűségek a Poisson-eloszlás táblázatból kikereshetők (λ=, k=,, ) ξ 3)=-(p +p +p )=-(,367+,367+,83)=,83 3. Egy augusztusi éjszakán átlagosan percenként észlelhető csillaghullás. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy negyedóra alatt két csillaghullást látunk? (Feltételezzük, hogy a csillaghullások száma Poisson-eloszlást követ.) Ha percenként átlagosan csillaghullás érzékelhető, akkor 5 percenként,5 lesz az átlagos csillaghullás, vagyis λ=,5. Annak valószínűsége, hogy ezalatt az idő alatt két csillaghullást látunk: p=,5 (táblázatból: λ=,5; k=) 4. Egy elektronikus műszer alkatrészből áll. Egy alkatrész a többitől függetlenül, valószínűséggel romlik el egy év alatt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább két alkatrész romlik el egy év alatt? Tulajdonképpen binomiális eloszlással kellene számolnunk. Mivel azonban az alkatrészek száma (n=) elég nagy (n>3), a p=, valószínűség pedig nagyon kicsi, így bevezetjük a n p, paramétert, és a binomiális eloszlás tagjait a megfelelő Poissoneloszlásból kapott tagokkal közelítjük. A legalább két alkatrész elromlási eseményének ellentettje, hogy kettőnél kevesebb alkatrész romlik el, vagyis hogy vagy, vagy alkatrész romlik el. Ezek az esetek egymást kizárják, és összegük valószínűségét ezek valószínűségének összege adja: p p,367,367,734 (Poisson-eloszlás táblázatból, λ=, k=,) Így a legalább két alkatrész meghibásodásának valószínűsége: ( p p ),734,66 Tehát kb. 6,6% a valószínűsége annak, hogy a műszer alkatrészei közül legalább kettő elromlik egy év alatt. 5. Egy telefonközponthoz 6 előfizető tartozik. Tegyük fel, hogy,5 a valószínűsége annak, hogy valamelyik előfizető egy meghatározott órában kapcsolást kér. Mennyi a valószínűsége annak, hogy abban az órában épp 4 előfizető kér vonalat? 5
Itt is binomiális eloszlással kellene számolnunk, de n=6 elég nagy és p=,5 pedig elég kicsi ahhoz, hogy a binomiális eloszlást a Poisson-eloszlással közelítsük. n p 6,5 3 p 4,68 (Poisson-eloszlás táblázatból: λ=3, k=4) Tehát 6,8% a valószínűsége annak, hogy az adott órában éppen 4 előfizető kér kapcsolást. 6. Egy orsózógépen munkaóra alatt átlagosan 3 szakadás következik be. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy ilyen időtartam alatt a szakadások száma túllépi az átlagot? (A szakadások Poisson-eloszlás szerint következnek be.) A vizsgált időtartam alatt bekövetkező szakadások száma legyen a ξ valószínűségi változó értéke. Ez Poisson-eloszlású, paramétere a vizsgált időtartam alatti szakadások átlagos száma, vagyis 3. M ( ) 3 Itt is fordítva gondolkodunk. A kérdés az, hogy mi a valószínűsége, hogy 3-nál több szakadás következik be. Ennek ellentettjét könnyebb számolni, vagyis annak a valószínűségét keressük, hogy 3 vagy annál kevesebb szakadás következik be. A Poisson-eloszlás táblázatának segítségével már csak ki kell keresni az értékeket (λ=3; k=,,, 3) p p p p3,49,49,4,4,646 Így annak a valószínűsége, hogy 3-nál több szakadás következik be: p ( 3) p( 3),646,354 Vagyis 35,4% a valószínűsége annak, hogy a szakadások száma óra alatt meghaladja a 3- at. Exponenciális eloszlás. Bizonyos típusú izzólámpák tönkremeneteléig eltelt égési időtartam hosszát tekintsük valószínűségi változónak. Megállapították, hogy ez a valószínűségi változó exponenciális eloszlást követ, és szórása óra. Határozzuk meg a valószínűségi változó várható értékét! Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy egy kiválasztott izzólámpa 3 órán belül nem megy tönkre! Mivel a ξ valószínűségi változó várható értéke és szórása megegyezik (mivel exponenciális eloszlást követ), így: 6
D( ) M ( ) óra óra Az az esemény, hogy egy izzólámpa 3 órán belül nem megy tönkre, azt jelenti, hogy a ξ 3. Ennek valószínűsége: 3) 3) F(3) ( e 3 ) e 3,5 Tehát kb. 5% a valószínűsége annak, hogy egy izzólámpa legalább 3 órán át hibátlanul világít.. Egy intézet külföldről rendel könyveket. Az ehhez szükséges devizára várni kell, a tapasztalatok alapján ½ évet. A várakozási idő exponenciális eloszlású. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az intézet egy negyedéven belül megkapja a könyveket? Exponenciális esetben M(ξ)=/λ=/, így λ=. 4 ) e e,39347 4 Így közel 39% az esélye annak, hogy az intézet egy negyedéven belül megkapja a könyveket. 3. Egy szövőgép automatikusan megáll, ha legalább egy fonalszakadás történik. Legyen ξ a gép megindulásától az első fonalszakadásig eltelt idő. A ξ-re tett megfigyelések szerint az exponenciális eloszlású, várható értéke,5 óra. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy munkanap alatt, amely 8 órából áll, a gép egyszer sem áll fonalszakadás miatt? Exponenciális esetben M(ξ)=/λ=,5, így λ=,4,48 3, 8) 8) e e,48 4,8% a valószínűsége annak, hogy az adott munkanapon nem lesz fonalszakadás. 4. Egy szövőgép 4 szállal dolgozik. Az egyes szálak élettartama, tehát amíg el nem szakad, exponenciális eloszlású, minden szálra ugyanazzal a λ=/5 paraméterértékkel, és feltehető, hogy a szakadások egymástól függetlenek. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a gép fonalszakadás miatt a megindulástól számított 3 órán belül megáll? A ξ i az i-edik szál élettartama. A gép akkor áll le, ha van olyan szál, amely 3 órán belül elszakad, azaz, ha ξ, ξ,, ξ 4 valószínűségi változók legkisebbike kisebb 3-nál. Jelöljük η- vel a ξ, ξ,, ξ 4 valószínűségi változók legkisebbikét: min(,,..., 4) A feladatunk a η<3) valószínűség meghatározása. Ez a valószínűség így is felírható (felhasználva a szakadások egymástól való függetlenségét): 7
3) 3) min(,,..., 3) 3)... 4 3) 4 ) 3) 3, 3,..., 4 3) 3) 3) e i i 3 5 e 5 5 4 4 3) ( e ),98,9993 A keresett esemény tehát majdnem biztosan (99,993% valószínűséggel) bekövetkezik. 5. Egy üzletbe átlagosan 3 vevő érkezik óránként. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két, egymás után érkező vevő ideje között eltelt idő percnél több. Mennyi a valószínűsége, hogy ez az időtartam 3 percnél kevesebb? Mekkora a valószínűsége annak, hogy ez az időtartam és 3 perc közé esik? Az óránként beérkező vevők számát Poisson-eloszlásúnak tekintjük. Mivel vevő beérkezése között eltelt idő átlagosan perc, az exponenciális eloszlás paramétere: λ=/. A kérdéses valószínűségek:. ) ) e e, 368 3. 3) e, 7769 3 3. 3) e e e e, 3834 3 Normális eloszlás. Egy vizsgálat szerint a felnőtt korú férfiak testmagassága N(74 cm 7 cm) eloszlást követ. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott férfi testmagassága: a) nagyobb, mint 9 cm, b) 7 és 85 cm közé esik, c) mekkora a testmagasság szórása, ha tudjuk, hogy a férfiak 5%-ának a testmagassága 68 cm alatt van? a) nagyobb, mint 9 cm, 9 74 9) 9) F(9) ( ) (,8),988696 7,34,3% 8
b) 7 és 85 cm közé esik, 85 74 7 74 7 85) F(85) F(7) ( ) ( ) (,57) (,57) 7 7 (,57) (,57),9479,7566,6574 65,74% c) mekkora a testmagasság szórása, ha tudjuk, hogy a férfiak 5%-ának a testmagassága 68 cm alatt van? 68),5 F(68),5 68 74 ( ),5 ( u),5 ( u),95 u,64 68 74,64 3,66. Egy termék élettartama N(3év; év) eloszlású. a) Teljesíti-e az élettartam azt az elvárást, hogy a évnél korábban meghibásodó termékek aránya legfeljebb % legyen? b) Ha nem, akkor hogyan kell megváltoztatni a várható értéket, ill. a szórást, hogy teljesítsék az előírást? c) Termékfejlesztés eredményeképpen egy új termék élettartama N(6év;,9év) eloszlással jellemezhető. Mekkora garanciális időt adjon a cég ahhoz, hogy a termékek legfeljebb 5%-a menjen tönkre a garancia alatt? a) Teljesíti-e az élettartam azt az elvárást, hogy a évnél korábban meghibásodó termékek aránya legfeljebb % legyen? 3 ) F() ( ) ( ) (),9775,75,8% Nem teljesíti az elvárást, hiszen a évnél korábban meghibásodó termékek aránya,8%. b) Ha nem, akkor hogyan kell megváltoztatni a várható értéket, ill. a szórást, hogy teljesítsék az előírást? (A várható értéknek nyilván nagyobbnak, a szórásnak pedig kisebbnek kell majd lennie.) Várható érték változtatása: ) F(), ( ), ( u), ( u),99 u,34,34 3,34év Szórás változtatása: 9
3 ( ), 3,34,85 c) Termékfejlesztés eredményeképpen egy új termék élettartama N(6év;,9év) eloszlással jellemezhető. Mekkora garanciális időt adjon a cég ahhoz, hogy a termékek legfeljebb 5%-a menjen tönkre a garancia alatt? x 6 x) F( x),5 ( ),5,9 x 6 ( u),5 ( u),95 u,64,64 x 4,5év,9 4,5 év garanciát kellene adnia a cégnek. 3. A munkapadról kikerülő termék hossza normális eloszlású valószínűségi változó μ=cm és σ=,cm paraméterekkel. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy termék hossza 9,7 és,3 közé esik? Milyen pontosságot biztosíthatunk,95 valószínűséggel a munkadarabok hosszára?,3 9,7 9,7,3) ( ) ( ) (,5) (,5),93393,93393,,,8664 Tegyük fel, hogy a munkadarabnak μ=cm-es mérettől való eltérése x cm. Így a feltétel szerint: x x x x x x) ( ) ( ) ( ) ( ),,,, x x x ( ) ( ) ( ),95,,, x ( ),975, x,96 x,39, Tehát 95%-os valószínűséggel állíthatjuk, hogy a hosszeltérés 4 mm-nél nem lesz nagyobb. 4. Valamely szolgáltató vállalathoz naponta beérkező megrendelések ξ száma a tapasztalatok szerint közelítőleg normális eloszlásúnak tekinthető σ= szórással. Mekkora a megrendelések várható száma, ha tudjuk, hogy P ( ),? 3
) ( ), ( ),9,9 3,9 A naponta beérkező megrendelések átlagos száma 33. 5. Bizonyos típusú rádiócsöveket, amelyeknek az élettartama normális eloszlású, μ=6 és σ= óra paraméterekkel, négyesével dobozokba csomagolnak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy ilyen dobozban lévő 4 cső mindegyike 8 óránál tovább fog működni? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 4 cső közül kettőt kivéve, az egyik 8 óránál tovább fog működni a másik meg nem? Annak a valószínűsége, hogy egy cső működési ideje 8 óránál nagyobb lesz: 8 6 P ( 8) 8) ( ) (),84345,58655 A két kérdésre adandó felelethez figyelembe kell venni, hogy a 4 cső között azok száma, amelyeknek a működési ideje 8 óránál nagyobb, binomiális eloszlású, ahol p=,58655. Így a keresett valószínűségek a binomiális eloszlás táblázat segítségével könnyen meghatározhatók: Annak a valószínűsége, hogy a 4 cső mindegyike működik:,5 (táblázatban p=,5; n=4; k=4). Annak valószínűsége, hogy a 4 csőből -őt kivéve az egyik tovább működik, a másik meg nem:,55 (táblázatban p=,5; n=; k=) 3
Döntéselmélet. Adott az alábbi nyereség típusú döntési mátrix: t t t 3 t 4 s 6-4 - s 7 8 6 s 3 4 6 6 s 4-7 Hogyan döntene bizonytalan körülmények között?. Wald-kritérium Minden egyes stratégiánál megkeressük a legrosszabb következményt. S -4 S S 3 4 S 4 - E legrosszabb következmények közül a legkevésbé rosszat választjuk, vagyis s 3 -at.. Laplace-kritérium Minden egyes tényállapot bekövetkezéséhez ugyanakkora valószínűséget kapcsolunk. t )= t )= t 3 )= t 4 )= ¼=,5 Kiszámítjuk minden egyes stratégiához kapcsolódóan a következmények várható értékét. M ( s) 6 4 5, 4 4 4 4 M ( s ) 7 8 6 57,5 4 4 4 4 M ( s3) 4 6 6 9, 4 4 4 4 M ( s4 ) 7 5, 4 4 4 4 Ezek közül a legnagyobb várható értékűt választjuk, azaz s 3 -at. 3. Savage-kritérium Elmaradó haszon mátrixot készítünk, majd a Wald-kritériumot alkalmazzuk. 3
t t t 3 t 4 s 4 9 s 8 s 3 6 s 4 5 8 Kiválasztjuk minden egyes stratégiánál a legrosszabb következményeket: S 4 S S 3 6 S 4 8 Majd ezek közül a legkevésbé rosszat választjuk, vagyis s 3 -at.. Egy vállalkozó automatizált gyártóberendezést kíván importálni. A gép megbízható működéséhez többek között egy kritikus alkatrész hibátlan működése szükséges. A szállító ajánlata szerint a berendezéssel együtt vásárolt tartalék alkatrészek ára:. /db. Egy-egy alkatrész utólagos beszerzésének a költsége viszont: 35. /db. A szállító adatai szerint az eddig eladott berendezések üzemeltetése során egy adott berendezés esetén legfeljebb 3 meghibásodás fordult elő. a) Hány tartalék alkatrészt vásároljon a vásárló, ha nincs információja a berendezés megbízhatóságáról? b) Hogyan alakul a vállalkozó döntése, ha megkapja az eddig eladott 3 db. berendezésről készült alábbi meghibásodási statisztikát. Meghibásodott alkatrészek száma 3 Berendezések száma 35 56 7 3 Döntési mátrix készítése. 4 tényállapotunk van:,,, vagy 3 meghibásodás fordul elő. A stratégiák:,,, vagy 3 tartalék alkatrészt vásárolunk. A következmények pedig az ezzel kapcsolatos költségek. t t t t 3 s 35 7 5 s 45 8 s 55 s 3 3 3 3 3. Wald-kritérium Minden egyes stratégiánál megkeressük a legrosszabb következményt. S 5 S 8 S 55 S 3 3 33
E legrosszabb következmények közül a legkevésbé rosszat választjuk, vagyis s 3 -at.. Laplace-kritérium Minden egyes tényállapot bekövetkezéséhez ugyanakkora valószínűséget kapcsolunk. t )= t )= t )= t 3 )= ¼=,5 Kiszámítjuk minden egyes stratégiához kapcsolódóan a következmények várható értékét. M ( s) 35 7 5 55 4 4 4 4 M ( s) 45 8 365 4 4 4 4 M ( s) 55 5 4 4 4 4 M ( s3) 3 3 3 3 3 4 4 4 4 Ezek közül a legnagyobb várható értékűt választjuk, azaz s -őt. 3. Savage-kritérium Elmaradó haszon mátrixot készítünk, majd a Wald-kritériumot alkalmazzuk. t t t t 3 s 5 5 75 s 5 5 s 5 s 3 3 Kiválasztjuk minden egyes stratégiánál a legrosszabb következményeket: S 75 S 5 S 5 S 3 3 Majd ezek közül a legkevésbé rosszat választjuk, vagyis s -őt. b) kérdés A tényállapotok bekövetkezési valószínűségét illetően kapunk információkat: Így t )=35/3=,5844, t )=56/3=,44, t )=,68, t 3 )=,563 Ezen valószínűségek felhasználásával számítjuk az egyes cselekvési változatok várható kilátásait, majd a legjobbat, vagyis s 3 -at választjuk: M ( s ),5844,44 35,68 7,5635 57,5 M ( s ),5844,44,68 45,5638 88 M ( s ),5844,44,68,56355 968,5 M ( s ),5844 3,44 3,683,5633 3 3 34
Első- és másodfajú hiba. Egy tömeggyártásban előállított termék szélességi mérete szabályozott folyamatban 9 mm és mm. Legyen a névleges érték körül szimmetrikusan elhelyezkedő beavatkozási határ: BH. a) Számítsa ki az elsőfajú hibát! b) Tételezzük fel, hogy egy veszélyes zavarhatás a beállítási szintet 9 mm-re változtatja (a szórást nem befolyásolja). Mekkora lesz a szabályozás másodfajú hibája? c) A számításokat végezze el n és n 4 elemű minták átlagára is! a) elsőfajú hiba 98 9 ABH ) F( ABH ) F(9 ) F(98) ( ) ( ) (),9775,75,8% 4,56% b) másodfajú hiba 9 9 98 9 98 9) F(9) F(98) ( ) ( ) () ( 4),5,5 5% c) n=4-re Változnak a beavatkozási határok! x,5 ABH 9,5 99 FBH n 4 9 99 9 99) F(99) ( ) ( ) (),9775,75 4,56%,5 9 9 99 9 99 9) F(9) F(99) ( ) ( ) ( ) ( 6),5,5 () (6),9775,75,8% 35
. Egy termék tömegének eloszlása N( g; g). Mekkora szimmetrikus beavatkozási határokat használnak 5%-os kockázati szint mellett n=4 elemű minták számtani átlagára? Mekkora a másodfajú hiba, ha a folyamat N(,5 g;, g)-ra állítódik el? ABH ABH ABH ) ( ),75 u,44,44 ABH / 4 / 4 FBH,7 99,8,7,5 99,8,5 99,8,7) F(,7) F(99,8) ( ) ( ), / 4, / 4 (,37) (,3) (,37) (,3),64439,9786,63 6,3% 36
Becslés. Egy mosóporgyárban az egyik adagolóautomata 5g tömegű mosóport tölt papírdobozokba. A gép által töltött dobozokból vett minta adatai: 483g; 5g; 498g; 496g; 5g; 494g; 49g; 55g; 486g. A gép által töltött tömeg normális eloszlású, 8 g szórással. Határozza meg a gép által töltött dobozok tömegének konfidencia intervallumát 98%-os megbízhatósági szint mellett! várható érték becslése intervallummal ismert elméleti szórás esetén % 8g 483 5 498 496 5 494 49 55 486 x 495,g 9 x u / x u / ) n n u u,34 /, 8 8 495,,34 495,,34 3 3 488,98 5,46. Hosszú évek tapasztalata alapján Magyarországon a lánycsecsemők születéskori súlya normális eloszlást követ 3, kg átlaggal és,6 kg szórással. Kérdések: a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott lánycsecsemő súlya 3, és 3,4 kg között van? b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy elemű véletlen minta átlaga 3, és 3,4 kg között van? c) Mi ugyanennek a valószínűsége elemű minta esetén? d) Milyen intervallumba várhatók a elemű minták átlagai 95%-os valószínűséggel? e) Szerkesszünk konfidencia intervallumot a sokasági átlagra, ha egy elemű minta átlaga 3, kg és a szórás továbbra is,6 kg! 3,4 3, 3 3, a) 3 3,4) ( ) ( ) (,33) (,33) (,33),63,6,6,6 Tehát 6% annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott lánycsecsemő súlya 3, és 3,4 kg között van. 3,4 3, 3 3, b) 3 3,4) ( ) ( ) (,54) (,54) (,5),853,76,6,6 Azaz az ekkora elemszámú mintaátlagok 7%-a ebben az intervallumban lesz. 37
3,4 3, 3 3, c) 3 3,4) ( ) ( ) (3,33) ( 3,33) (3,33),9996,999,6,6 Azaz elemű minták esetén már csak az átlagok,8%-a nem fér bele ebbe az intervallumba. d ) x u / x u / ) n n 5% ( u),975 u,96,6,6 3,,96 3,,96 3,8 3,3 Azaz a keresett intervallum: (3,8; 3,3), a mintaátlagok 95%-a ebbe az intervallumba esik. e) x u / x u / ) n n 5% ( u),975 u,96,6,6 3,,96 3,,96,98 3, Azaz a keresett intervallum: (,98; 3,). Ez az intervallum tartalmazza a feltételezett 3,-es sokasági átlagot, azaz ezzel a feltevéssel mintabeli eredményünk összhangban van. 3. Egy évben a BME gazdálkodási szakának nappali tagozatára jelentkezők közül 7 fős mintát vettek egyszerű véletlen kiválasztással. A mintában szereplő felvételizők pontszáma a következő volt: 8; 9; ; 3; ; 5; 6; 99; ; 4; 5; 96; 88; ; 3; 9; 94. Határozzuk meg a felvételizők átlagos pontszámának 95%-os konfidencia intervallumát! A pontszámok várható értékének intervallumbecslése ismeretlen elméleti szórás esetén 5% 7 ( xi x) i (8 8,4) (9 8,4)... (9 8,4) s 7 6 4,,68 8 9... 3 9 94 843 x 8,4 7 7 (94 8,4) 38
s x t / n t ( DF) t / x t,975 / (6), s ) n,68,68 8,4, 8,4, 7 7,9 3,9 4. Egy vállalat szervezetének átvilágításakor 5 szervezeti alkalmazott közül 5 munkatársat véletlenszerűen kiválasztottak, és több kérdés mellett megkérdezték tőlük, hogy mekkora fizetést tartanának kielégítőnek. A válaszok átlaga havi bruttó 5 ezer forint, 3 ezer forint szórással Becsüljük meg 95 és 99%-os megbízhatósággal, mekkora havi bruttó bérkifizetésre kell a cégnek felkészülnie, ha a kielégítőnek vélt szintet szeretné biztosítani! A várható érték becslése ismeretlen elméleti szórás esetén. 5% n 5 s 3 x 5 s x t / n t ( DF) t / s x t / ) n (4),96,975 3 3 5,96 5,96 5 5 3534,7 64765,3 % t / ( DF) t,995 (4),576 3 3 5,576 5,576 5 5 3594,3 6945,87 39
5. Minőségellenőrzés keretében vizsgálták egy adott típushoz tartozó elektromos habverők élettartamát. A megfigyelés eredménye: Élettartam (év) Megfigyelések száma (db) 5, x<5,5 8 5,5 x<6, 8 6, x<6,5 5 6,5 x<7, 4 7, x<7,5 Összesen 9%-os megbízhatósági szinten adjunk becslést az elektromos habverők élettartamára! várható érték becslése ismeretlen elméleti szórás esetén. Az intervallumbecslést meg kell, hogy előzze az átlag és a szórás becslése (leíró statisztika). x s r fi xi i r i r i,58,58 f i i 85,5 85,75... 7,5 i 6,5 fi ( xi x) 8(5,5 6,5) 8(5,75 6,5)... (7,5 6,5) r f s s x t / x t / ) n n %,58,58 6,5,645 6,5,645 6,73 6,36 4
Hipotézisvizsgálatok. Egy sörgyártó vállalatnál a sör névleges térfogata 5ml kell, hogy legyen, és a térfogat szórása legfeljebb ml lehet. Egy elemű véletlen mintából ellenőrzik a szállítmányt. A minta adatai a következők: Térfogat, ml db -48 5 48-49 49-5 3 5-5 4 5-5 6 5-5 Összesen A mintából számított jellemzők: x 499,ml s,6ml a) 5%-os szignifikancia szinten tesztelje azt a hipotézist, hogy a betöltött sör térfogat szerinti eloszlása normálisnak tekinthető! b) A minta alapján ellenőrizze az átlagos töltősúlyra vonatkozó hipotézis teljesülését! a) Illeszkedésvizsgálat H : a sör névleges térfogata N(499,;,6) eloszlást követ H : a sör névleges térfogata nem N(499,;,6) eloszlást követ Térfogat, f i p i F i χ szám ml -48 5,643 6,43,38 48-49,75 7,5,474 49-5 3,97 9,, 5-5 4,77 7,7,5 5-5 6,464 4,64,6 5-5,485 4,85,464 Összesen Ahol f a tapasztalati gyakoriság, F pedig az elméleti gyakoriság (F i =p i Σf i ). 4
48 499, 48) F(48) ( ) (,5) (,5),935745,6,643 6,43% 49 499, 48 49) F(49) F(48) F(49),643 ( ),643,6 (,7),643 (,7),643 (,76437),643,35763,643,75 7,5% 5 499, 49 5) F(5) F(49) ( ),35763 (,7),35763,6,579,35763,9 9,% 5 499, 5 5) F(5) F(5) ( ),579 (,86),579,6,855,579,775 7,7% 5 499, 5 5) F(5) F(5) ( ),855 (,66),855,6,95543,855,4644 4,64% 5) 5) F(5),95543,48457 4,85% n ( fi Fi ) (5 6,43) szám i Fi 6,43 kr 7,85 DF r l 6 3 szám kr H ( 7,5) 7,5,,5,6,464,444 5%-os szignifikancia szinten a sör névleges térfogata N(499,;,6) eloszlást követ. b) PARAMÉTERES! egymintás u-próba, mert n>3 H H : 5 : 5 x 499, 5 usz,74 s,6 n 5% u kr u u kr / u sz (,975) u u kr kr,96,96,74,96 H 5%-os szignifikancia szinten teljesül az átlagos töltési térfogatra vonatkozó hipotézis. (Megjegyzés: az ellenhipotézis lehetne μ<5 is, mivel a minta alapján az átlag 499,.) 4
. Véletlenszerűen kiválasztott db mikrohullámú sütő élettartam szerinti megoszlását mutatja a következő táblázat: Élettartam, év db -5 8 5-6 8 6-7 44 7-8 5 8-5 Összesen A mintából számított jellemzők: x 6,36év s,67év a) 5%-os szignifikancia szinten ellenőrizze azt az állítást, hogy mikrohullámú sütők élettartama normális eloszlást követ! b) Teljesül-e 5%-os szignifikancia szinten az a minőségi előírás, hogy az élettartam átlaga meg kell, hogy haladja a 6 évet! a) Illeszkedésvizsgálat H : a mikrohullámú sütők élettartama N(6,36;,67) eloszlást követ H : a mikrohullámú sütők élettartama nem N(6,36;,67) eloszlást követ Élettartam, év f i p i F i χ szám -5 8,,64,88 5-6 8,75 3,7,67 6-7 44,5344 64,3 6,3 7-8 5,637 9,64,45 8-5,73,876 7,7 Összesen 47, 5 6,36 5) F(5) ( ) (,3) (,3),978,67,,% 6 6,36 5 6) F(6) F(5) F(6), ( ),,67 (,54), (,54),,754,,75 7,5% 7 6,36 6 7) F(7) F(6) ( ),945 (,95),945,67,88944,945,5344 53,44% 8 6,36 7 8) F(8) F(7) ( ),88944 (,44),88944,67,99656,88944,637 6,37% 8) 8) F(8),99656,73,73% 43
szám kr szám n ( f i 5,99 DF r l 5 kr i H Fi ) F i (8,64),64 (8 3,7) 3,7 6,3,45 7,7 47, 5%-os szignifikancia szinten a mikrohullámú sütők élettartama nem N(6,36;,67) eloszlást követ. b) PARAMÉTERES! egymintás u-próba, mert n>3 H : 6 H : 6 x 6,36 6 usz 5,9 s,67 n 5% u kr u (,95) u kr,64 usz,64 H 5%-os szignifikancia szinten az átlagos élettartam meghaladja a 6 évet. 3. Egy adott évben 98 vegyipari vállalatot megvizsgálva a 8 napon túl gyógyuló sérülteket eredményező balesetek száma az alábbi táblázatban foglaltaknak megfelelően alakult. Balesetek száma Vállalatok száma 3 4 5 6 7 4 8 7 5 4 6 Leírható-e a balesetek száma Poisson-eloszlással (α=%)? Illeszkedésvizsgálat λ becslése (a számtani átlag segítségével) a H hipotézis megfogalmazásához: 4 8 37 45 5 6 4 76 89 3, 96 96 H : a balesetek száma leírható λ=3, paraméterű Poisson-eloszlással H : a balesetek száma nem λ=3, paraméterű Poisson-eloszlású 44
Osztályok f k p k F k i 4,49 4,74,5 8,49 4,34,955,4,54,4 3 5,4,54,967 4 5,68 6,8,789 5, 9,6,67 6 4,5 4,8,33 7 6,,6 7,87 96, 96,37 (Megjegyzés. A p k értékeket a Poisson-eloszlás táblázatából keressük ki, az F k elméleti gyakorisági értékeket pedig a következőképpen kapjuk: F k = p k Σf k ) szám kr n ( f i i Fi ) F,67,33 7,87,37 6,8 DF r l 8 6 i (4 4,74) 4,74 (8 4,34) 4,34,4,967,789 szám kr H %-os szignifikancia szinten a balesetek száma leírható λ=3, paraméterű Poisson-eloszlással. 4. Egy halogénizzókat gyártó vállalatnál megvizsgálták egy új típusú izzó élettartamát. A korábbi típusú izzók élettartama 53 óra volt. Véletlen mintavétellel kiválasztva 35 új típusú izzót, az átlagos élettartamuk 53 óra volt, 6 óra szórással. Vizsgáljuk meg %-os szignifikancia szinten, hogy valóban megnőtt-e az izzók élettartama? Egymintás u-próba, mivel n>3 H : az átlagos élettartam 53 óra (μ=53h) H : az átlagos élettartam nagyobb, mint 53 óra (μ>53h) u u u sz kr sz x x 53 53 8 6,76 / n s / n 6/ 35,98 : % ( u),9 u,85 u kr H kr A nullhipotézist elutasítjuk %-os szignifikancia szinten, az új típusú izzók élettartama valóban nagyobb. 5. Egy automata gépsor által töltött dobozokból elemű mintát veszünk. A mintába került doboz grammban kifejezett töltősúlya a következő: 45
55g, 4g, 45g, 53g, 49g, 5g, 5g, 55g, 45g, 46g. Ellenőrizzük, hogy a gépsor teljesíti-e a 5g várható értékű specifikációt %-os szignifikancia szinten! egymintás t-próba, n<3 H : μ=5 H : μ 5 55 4... 45 46 49 x 49, s t t sz kr (55 49,) (4 49,) x 49, 5,63 s / n 4,5/ t t 3,5 /,995 mivel 3,5,63 3,5 H... (46 49,) 8,9 9 4,5 %-os szignifikancia szinten a gépsor teljesíti a 5g várható értékű specifikációt. (Megjegyzés: az ellenhipotézis μ<5 is lehetne) 6. Két iskolában (A és B) a tanulók intelligencia szintjét hasonlítják össze. Mindkét iskolából 5-5 fős véletlen mintát vettek. A két minta adataiból a számítások eredményei: x s x s A A B B 7 8 3,4 Vizsgáljuk meg %-os szignifikancia szinten, hogy van-e eltérés a két iskola tanulóinak intelligencia szintje között!. F-próba H H F F sz kr : A : A s s A B,66 8 3,4,84 Fsz Fkr H. kétmintás t-próba B B 46
H H t t t sz kr sz : : t t A kr A x A s n A A B B x s n B,43 H B B 7 8 3,4 5 5 5,96 7,8,6 %-os szignifikancia szinten nincs különbség a két iskola tanulóinak intelligencia szintje között. 7. Egy konzervgyárban két automata tölt lekvárt,5 literes üvegekbe. A gyártásközi ellenőrzés során véletlen mintát vettek mindkét gépről. A mintákra vonatkozó eredmények: Gép Mintaelem-szám Átlagos töltési mennyiség, ml Töltési tömeg szórása, ml I. 3 53 8, II. 37 495 7,6 Döntse el 5%-os szignifikancia szinten, hogy tekinthető-e azonosnak a két gépen a töltési tömeg szórása és átlaga! a) szórások egyezőségének vizsgálata: F-próba H F F F H : sz kr sz : A A s s A B,79 F kr B B 8, 7,6 H,64 5%-os szignifikancia szinten a két gépen a töltési tömeg szórása azonosnak tekinthető. b) átlagok egyezőségének vizsgálata: kétmintás u-próba, mivel n A, n B >3 47
H u : H : sz A A x n A A x n B 8, 3 5% ( u),95 u usz ukr H Másik _ megoldás : H u A 4,88 B B : H : sz A A B B B B 53 495 7,6 37 kr,64 5% /,5 ( u),975 u 8 4,88,,56,96 usz,96 H 5%-os szignifikancia szinten a két gépen a töltési tömeg átlaga nem tekinthető azonosnak. kr 48
Felhasznált irodalmak Denkinger G.: Valószínűségszámítási gyakorlatok, Tankönyvkiadó, Budapest, 977 Szabó Gábor Csaba Szűts I.: Matematikai statisztika példatár I-II., Tankönyvkiadó, Budapest, 987. Solt György: Valószínűségszámítás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 973 Ay János Kupcsik József: Általános statisztika példatár. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 96 Juhász Györgyné Sándorné Kriszt Éva: Statisztika II. távoktatással (főiskolai jegyzet). Távoktatási Universitas Alapítvány, Hunyadi László Vita László: Statisztika közgazdászoknak. Központi Statisztikai Hivatal, Budapest, Kerékgyártó Györgyné Mundruczó György Sugár András: Statisztikai módszerek és alkalmazásuk a gazdasági, üzleti elemzésekben. Aula kiadó, Budapest, 49