Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal Komjáthy Júlia Simon Károly Sztochasztika Tanszék Matematika Intézet Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem www.math.bme.hu/~komyju www.math.bme.hu/~simonk 2011 November 15. Jövő Internet technológiák és alkalmazások kutatása Magyarországon Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 1 / 22
1 Motiváció 2 A kiinduló modell 3 Graph directed leírás 4 Determinisztikus eset, tulajdonságok 5 Véletlen modell Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 2 / 22
Motiváció Skálafüggetlen gráfok lépten nyomon Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 3 / 22
Motiváció Skálafüggetlen gráfok lépten nyomon Hierarchikus gráfok sok helyen Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 3 / 22
Motiváció Skálafüggetlen gráfok lépten nyomon Hierarchikus gráfok sok helyen modellünk segítséget nyújt ilyen hálózatok tesztelésére Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 3 / 22
A kiinduló modell 1 0 2 11 10 12 01 00 02 21 20 22 (a) G 1 és G 2 hurokélekkel 111 110 112 101 100 102 121 120 122 011 010 012 211 210 212 001 021 201 221 000 002 020 022 200 202 220 222 (b) G 3 ábra: G 1, G 2, G 3 a "Cseresznye" példára (Barabási-Ravasz-Vicsek, [2]). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 4 / 22
Adjacencia mátrix Λ 1 Λ 2 Λ 3 ábra: Λ 1, Λ 2, Λ 3 a "Cseresznye" esetében. 111 110 112 101 100 102 121 120 122 011 010 012 211 210 212 001 021 201 221 000 002 020 022 200 202 220 222 Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 5 / 22
Általános eset: "Legyező" példán keresztül Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22
Általános eset: "Legyező" példán keresztül 0 1 3 5 0 1 3 5 2 4 2 4 (c) G és G 1 20 21 23 25 40 41 43 45 22 24 42 44 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 02 04 12 14 32 34 52 54 (d) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22
Általános eset: "Legyező" példán keresztül 0 1 3 5 0 1 3 5 2 4 2 4 (e) G és G 1 20 21 23 25 40 41 43 45 22 24 42 44 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 02 04 12 14 32 34 52 54 (f) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22
Általános eset: "Legyező" példán keresztül A csúcsok 0 1 3 5 0 1 3 5 2 4 2 4 (g) G és G 1 20 21 23 25 40 41 43 45 22 24 42 44 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 02 04 12 14 32 34 52 54 (h) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22
Általános eset: "Legyező" példán keresztül 0 1 3 5 0 1 3 5 A csúcsok az első jegyek: országok 2 4 2 4 (i) G és G 1 20 21 23 25 40 41 43 45 22 24 42 44 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 02 04 12 14 32 34 52 54 (j) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22
Általános eset: "Legyező" példán keresztül 0 1 3 5 2 4 0 1 3 5 2 4 A csúcsok az első jegyek: országok a második jegyek: városok (k) G és G 1 20 21 23 25 40 41 43 45 22 24 42 44 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 02 04 12 14 32 34 52 54 (l) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22
Általános eset: "Legyező" példán keresztül 0 1 3 5 2 4 0 1 3 5 2 4 A csúcsok az első jegyek: országok a második jegyek: városok (m) G és G 1 Az élek 20 21 23 25 40 41 43 45 22 24 42 44 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 02 04 12 14 32 34 52 54 (n) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22
Általános eset: "Legyező" példán keresztül 0 1 3 5 2 4 0 1 3 5 2 4 A csúcsok az első jegyek: országok a második jegyek: városok 20 21 23 25 22 24 (o) G és G 1 40 41 43 45 42 44 Az élek az első jegyek: csak testvérországba megy él 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 02 04 12 14 32 34 52 54 (p) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22
Általános eset: "Legyező" példán keresztül 0 1 3 5 2 4 0 1 3 5 2 4 A csúcsok az első jegyek: országok a második jegyek: városok 20 21 23 25 22 24 (q) G és G 1 40 41 43 45 42 44 Az élek az első jegyek: csak testvérországba megy él a második jegyek: csak testvérvárosba (testvérországon belül!) 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 02 04 12 14 32 34 52 54 (r) G 2 (hurokélek nélkül). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22
Általános eset: "Legyező" példán keresztül 0 1 3 5 2 4 0 1 3 5 2 4 A csúcsok az első jegyek: országok a második jegyek: városok 20 21 23 25 22 24 (s) G és G 1 40 41 43 45 42 44 Az élek az első jegyek: csak testvérországba megy él a második jegyek: csak testvérvárosba (testvérországon belül!) 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 02 04 12 14 32 34 (t) G 2 (hurokélek nélkül). 50 51 53 55 52 54 Következő szint (testvér)utcák is vannak Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 6 / 22
A modell, általánosan Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 7 / 22
A modell, általánosan Alapgráf: páros gráf G a V = V 1 V2, V = {0,..., N 1} csúcshalmazon. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 7 / 22
A modell, általánosan Alapgráf: páros gráf G a V = V 1 V2, V = {0,..., N 1} csúcshalmazon. G határozza meg az éleket Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 7 / 22
A modell, általánosan Alapgráf: páros gráf G a V = V 1 V2, V = {0,..., N 1} csúcshalmazon. G határozza meg az éleket G n -ben N n csúcs, n hosszú kóddal: v V n := {0,..., N 1} n. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 7 / 22
A modell, általánosan Alapgráf: páros gráf G a V = V 1 V2, V = {0,..., N 1} csúcshalmazon. G határozza meg az éleket G n -ben N n csúcs, n hosszú kóddal: v V n := {0,..., N 1} n. Testvér-viszonyok formálisan Két csúcs x, y V n, kódjaik x = (x y) x és y = (x y)ỹ (x, y) E(G n ) a.cs.a ha x V i, ỹ Vī és ( x i, ỹ i ) E(G) Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 7 / 22
Hierarchiák Megjegyzés (G n hierarchikus struktúrája) Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 8 / 22
Hierarchiák Megjegyzés (G n hierarchikus struktúrája) W x jelölje azokat a (x 1... x n ) csúcsokat G n -ben, akikre x 1 = x (minden kezdeti x {0,..., N 1} jegyre). A W x -en feszített részgráf azonos G n 1 -gyel. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 8 / 22
Hierarchiák Megjegyzés (G n hierarchikus struktúrája) W x jelölje azokat a (x 1... x n ) csúcsokat G n -ben, akikre x 1 = x (minden kezdeti x {0,..., N 1} jegyre). A W x -en feszített részgráf azonos G n 1 -gyel. Ha az első n k jegyet rögzítjük V n -ben, akkor látjuk, hogy G n N n k db G k másolatból áll. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 8 / 22
Adjacencia mátrix: egy fraktál 2 4 6 0 1 3 5 7 7 5 3 First approximation of Λ 12 A fenti alapgráf G E = 9 és V = 8. Azonos színû élek azonos színû négyzeteknek felelnek meg. ezek a négyzetek generálják a Λ 12 fraktált. Λ 12 -t a Λ fraktál atomjának nevezzük 1 0 dim H (Λ 12 ) = log9 log8 > 1. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 9 / 22
Adjacencia mátrix: egy fraktál 2 4 6 0 1 3 5 7 First approximation of Λ 12 Second approximation of Λ 12 7 5 3 1 0 Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 9 / 22
Adjacencia mátrix: egy fraktál 2 4 6 0 1 3 5 7 First approximation of Λ 12 Λ 21 Second approximation of Λ 12 7 5 3 1 0 Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 9 / 22
Adjacencia mátrix: egy fraktál 2 4 6 0 1 3 5 7 First approximation of Λ 12 Λ 21 Second approximation of Λ 12 Λ 21 7 7 5 5 3 3 1 0 1 0 Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 9 / 22
Adjacencia mátrix: egy fraktál 2 4 6 0 1 3 5 7 First approximation of Λ 12 Λ 21 Second approximation of Λ 12 Λ 21 7 7 5 5 3 3 1 0 1 0 Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 9 / 22
Adjacencia mátrix: egy fraktál 2 4 6 0 1 3 5 7 First approximation of Λ 12 Λ 21 Second approximation of Λ 7 7 5 5 3 3 1 0 1 0 Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 9 / 22
( ) Λn graph-directed struktúrája n=1 A "Cseresznyére" definiáljuk az ábrán látható G gráfot. G n minden éle megfelel egy n hosszú útnak G-ben. ( 1 ) ( 1 0 2) K E (V 12 ) ( 1 1 ) ( 0 ( 2 0) 2) K N (V dd ) ( 0 ) ( 2 1 1) K E (V 21 ) Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 10 / 22
Az adjacencia mátrix: fraktálhoz tart Minden G-beli (v 1, v 2 ) él egy homotéciának (hasonlóságnak) felel meg: f e : Q v2 Q v1, f e (a, b) := 1 N (a, b) + 1 N (x 1, y 1 ) v i = (x i, y i ) ahol Q v := Q (x,y) első szintű négyzet v = (x, y) V (G). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 11 / 22
Az adjacencia mátrix: fraktálhoz tart Minden G-beli (v 1, v 2 ) él egy homotéciának (hasonlóságnak) felel meg: f e : Q v2 Q v1, f e (a, b) := 1 N (a, b) + 1 N (x 1, y 1 ) v i = (x i, y i ) ahol Q v := Q (x,y) első szintű négyzet v = (x, y) V (G). Λ n azokat az n. szintű négyzeteket tartalmazza, akiket az n hosszú utak kódolnak G-ben (függvénykompozícióval). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 11 / 22
Az adjacencia mátrix limesze Λ Λ n+1 Λ n kompakt, így n=1 Λ n = lim n Λ n := Λ nemüres. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 12 / 22
Az adjacencia mátrix limesze Λ Λ n+1 Λ n kompakt, így n=1 Λ n = lim Λ n := Λ nemüres. n Két Iterált Függvényrendszer (IFS) V 12 ill. V 21 -en határozza meg a Λ 12 ill. Λ 21 attraktorokat [0, 1] n -en. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 12 / 22
Az adjacencia mátrix limesze Λ Λ n+1 Λ n kompakt, így n=1 Λ n = lim Λ n := Λ nemüres. n Két Iterált Függvényrendszer (IFS) V 12 ill. V 21 -en határozza meg a Λ 12 ill. Λ 21 attraktorokat [0, 1] n -en. Λ ezen attraktorok hasonló képeiből áll, mégpedig Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 12 / 22
Az adjacencia mátrix limesze Λ Λ n+1 Λ n kompakt, így n=1 Λ n = lim Λ n := Λ nemüres. n Két Iterált Függvényrendszer (IFS) V 12 ill. V 21 -en határozza meg a Λ 12 ill. Λ 21 attraktorokat [0, 1] n -en. Λ ezen attraktorok hasonló képeiből áll, mégpedig Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 12 / 22
Az adjacencia mátrix limesze Λ Tétel Λ n+1 Λ n kompakt, így n=1 Λ n = lim Λ n := Λ nemüres. n Két Iterált Függvényrendszer (IFS) V 12 ill. V 21 -en határozza meg a Λ 12 ill. Λ 21 attraktorokat [0, 1] n -en. Λ ezen attraktorok hasonló képeiből áll, mégpedig Λ = Diag }{{} Λ dd ahol Diag = {(x, x) : x [0, 1]}. v V dd ( fv (Λ 12 ) f v (Λ 21 ) ), Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 12 / 22
Tulajdonságok 2 4 6 0 1 3 5 7 Fokszámeloszlás hatványlecsengésű, a kitevő γ = 1 + log(n/n 1) log d (N a csúcsok száma, n 1 a felső csúcsok száma, d a kapcsolataik száma) Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 13 / 22
Tulajdonságok 2 4 6 0 1 3 5 7 Fokszámeloszlás hatványlecsengésű, a kitevő γ = 1 + log(n/n 1) log d (N a csúcsok száma, n 1 a felső csúcsok száma, d a kapcsolataik száma) Átmérője G n -nek arányos G n logaritmusával Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 13 / 22
Tulajdonságok 2 4 6 0 1 3 5 7 Fokszámeloszlás hatványlecsengésű, a kitevő γ = 1 + log(n/n 1) log d (N a csúcsok száma, n 1 a felső csúcsok száma, d a kapcsolataik száma) Átmérője G n -nek arányos G n logaritmusával Átlagos legrövidebb út két pont közt G n -ben szintén log( G n ) Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 13 / 22
Tulajdonságok 2 4 6 0 1 3 5 7 Fokszámeloszlás hatványlecsengésű, a kitevő γ = 1 + log(n/n 1) log d (N a csúcsok száma, n 1 a felső csúcsok száma, d a kapcsolataik száma) Átmérője G n -nek arányos G n logaritmusával Átlagos legrövidebb út két pont közt G n -ben szintén log( G n ) Lokális klaszterezettségi együttható a csúcs fokszámával fordítottan (deg) 1 arányos. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 13 / 22
Fokszámeloszlás Feltevés Minden fenti csúcs foka azonos, és nagyobb, mint a lentieké: deg(x) := d, x V 1 max deg(y) d 1, y V (A1) 2 j V 2 Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 14 / 22
Fokszámeloszlás Feltevés Minden fenti csúcs foka azonos, és nagyobb, mint a lentieké: deg(x) := d, x V 1 max deg(y) d 1, y V (A1) 2 j V 2 Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 14 / 22
Fokszámeloszlás Feltevés Minden fenti csúcs foka azonos, és nagyobb, mint a lentieké: Ekkor az alábbi hatványlecsengést kapjuk A hatványkitevő deg(x) := d, x V 1 max deg(y) d 1, y V (A1) 2 j V 2 P(deg(X ) > t) = c(d) t log(n/n 1 ) log d γ = 1 + γ = 1 + log(n/n 1) log d Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 14 / 22
Fokszámeloszlás Feltevés Minden fenti csúcs foka azonos, és nagyobb, mint a lentieké: Ekkor az alábbi hatványlecsengést kapjuk deg(x) := d, x V 1 max deg(y) d 1, y V (A1) 2 j V 2 A hatványkitevő P(deg(X ) > t) = c(d) t log(n/n 1 ) log d 2 4 6 0 1 3 5 7 γ = 1 + γ = 1 + log(n/n 1) log d Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 14 / 22
Fraktáldimenziós kapcsolat I. Az egységnégyzetben az attraktor Λ megszámlálható db hasonló másolata Λ 12 -nek. Így a fraktáldimenziója HD = dim H (Λ) = log E log N. A kapcsolat a hatványkitevő γ és a HD közt: (ha HD > 1), majdnem bizotsan 1 γ = dim H(l rand Λ 12 ) dim H (l vert Λ 12 ). számláló: Λ 12 -nek véletlen szögű egyenessel vett metszete Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 15 / 22
Fraktáldimenziós kapcsolat I. Az egységnégyzetben az attraktor Λ megszámlálható db hasonló másolata Λ 12 -nek. Így a fraktáldimenziója HD = dim H (Λ) = log E log N. A kapcsolat a hatványkitevő γ és a HD közt: (ha HD > 1), majdnem bizotsan 1 γ = dim H(l rand Λ 12 ) dim H (l vert Λ 12 ). számláló: Λ 12 -nek véletlen szögű egyenessel vett metszete nevező: Λ 12 -nek függőleges egyenessel vett metszete Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 15 / 22
Fraktáldimenziós kapcsolat II. Λ 12 7 2 4 6 5 0 1 3 5 7 3 1 0 l rand 2 4 6 lvert ábra: 1 γ = dim H(l rand Λ 12) dim H (l vert Λ 12), Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 16 / 22
Átmérő, tipikus távolság Átmérő A csúcsok kódolását felhasználva x {0,... N 1} n konstruálhatunk legrövidebb utakat, amiből: Diam(G n ) = 2 log N log( G n ) + O(1). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 17 / 22
Átmérő, tipikus távolság Átmérő A csúcsok kódolását felhasználva x {0,... N 1} n konstruálhatunk legrövidebb utakat, amiből: Diam(G n ) = 2 log N log( G n ) + O(1). Átlagos legrövidebb út Két egyenletesen választott csúcs X, Y G n közti távolság várható értéke pedig 4n 1 n 2 log G N 2 n < E( P(X, Y ) ) < N + 4n 1n 2 log G N 2 n. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 17 / 22
Lokális klaszterezettségi együttható (LCC) Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 18 / 22
Lokális klaszterezettségi együttható (LCC) G 1 3 Ĝ 1 3 0 5 0 5 2 4 2 4 (c) G és Ĝ1 20 21 23 25 40 41 43 45 22 24 42 44 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 02 04 12 14 32 34 52 54 (d) Ĝ2, ahol G2 és Ĝ2 élei csak a legalsó hierarchikus szinten különböznek. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 18 / 22
Lokális klaszterezettségi együttható (LCC) G 1 3 Ĝ 1 3 0 5 0 5 2 4 2 4 (e) G és Ĝ1 20 21 23 25 40 41 43 45 22 24 42 44 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 02 04 12 14 32 34 52 54 (f) Ĝ2, ahol G2 és Ĝ2 élei csak a legalsó hierarchikus szinten különböznek. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 18 / 22
Lokális klaszterezettségi együttható (LCC) 0 G 1 3 2 4 5 0 Ĝ 1 3 2 4 5 Tétel K 1, K 2 > 0 konstansok, hogy egy tetszőleges x Ĝ n csúcs C x LCC-jére: 20 21 23 (g) G és Ĝ1 25 40 41 43 45 K 1 deg(x) C x K 2 deg(x). 22 24 42 44 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 02 04 12 14 32 34 52 54 (h) Ĝ2, ahol G2 és Ĝ2 élei csak a legalsó hierarchikus szinten különböznek. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 18 / 22
Lokális klaszterezettségi együttható (LCC) 0 G 1 3 2 4 5 0 Ĝ 1 3 2 4 5 Tétel K 1, K 2 > 0 konstansok, hogy egy tetszőleges x Ĝ n csúcs C x LCC-jére: 20 21 23 25 (i) G és Ĝ1 40 41 43 45 K 1 deg(x) C x K 2 deg(x). 22 24 42 44 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 02 04 12 14 32 34 52 54 (j) Ĝ2, ahol G2 és Ĝ2 élei csak a legalsó hierarchikus szinten különböznek. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 18 / 22
Lokális klaszterezettségi együttható (LCC) 0 G 1 3 2 4 5 0 Ĝ 1 3 2 4 5 Tétel K 1, K 2 > 0 konstansok, hogy egy tetszőleges x Ĝ n csúcs C x LCC-jére: 20 21 23 (k) G és Ĝ1 25 40 41 43 45 K 1 deg(x) C x K 2 deg(x). 22 24 42 44 C(Ĝ n ), az átlagos LCC-je Ĝ n -nek pedig alulról-felülről korlátos, vagyis 00 01 03 05 10 11 13 15 30 31 33 35 50 51 53 55 2n 1 n 2 N 2 Ĉ min C(Ĝ n ) C(Ĝ), 02 04 12 14 32 34 52 54 (l) Ĝ2, ahol G2 és Ĝ2 élei csak a legalsó hierarchikus szinten különböznek. ahol Ĉ min := min C x > 0. x Ĝ Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 18 / 22
Véletlen modell Urnákkal, golyókkal Urnák vannak a determinisztikus modell minden v G n csúcsában. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 19 / 22
Véletlen modell Urnákkal, golyókkal Urnák vannak a determinisztikus modell minden v G n csúcsában. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 19 / 22
Véletlen modell Urnákkal, golyókkal Urnák vannak a determinisztikus modell minden v G n csúcsában. Dobjunk le M n + 1 db golyót függetlenül és egyenletesen az urnákba. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 19 / 22
Véletlen modell Urnákkal, golyókkal Urnák vannak a determinisztikus modell minden v G n csúcsában. Dobjunk le M n + 1 db golyót függetlenül és egyenletesen az urnákba. A random gráfban két csúcs közt (i, j) E(G r n) a.cs.a. ha a csúcsoknak megfelelő i és j golyók éllel összekötött urnában landoltak (G n -ben). Fraktállal ekvivalens: (X (i) ) Mn i=1 U[0, 1] iid. E(G r n) = { (i, j) Λ n (X (i), X (j) ) = 1 }. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 19 / 22
Véletlen modell Urnákkal, golyókkal Urnák vannak a determinisztikus modell minden v G n csúcsában. Dobjunk le M n + 1 db golyót függetlenül és egyenletesen az urnákba. A random gráfban két csúcs közt (i, j) E(G r n) a.cs.a. ha a csúcsoknak megfelelő i és j golyók éllel összekötött urnában landoltak (G n -ben). Fraktállal ekvivalens: (X (i) ) Mn i=1 U[0, 1] iid. E(G r n) = { (i, j) Λ n (X (i), X (j) ) = 1 }. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 19 / 22
Véletlen modell Urnákkal, golyókkal Urnák vannak a determinisztikus modell minden v G n csúcsában. Dobjunk le M n + 1 db golyót függetlenül és egyenletesen az urnákba. A random gráfban két csúcs közt (i, j) E(G r n) a.cs.a. ha a csúcsoknak megfelelő i és j golyók éllel összekötött urnában landoltak (G n -ben). Fraktállal ekvivalens: (X (i) ) Mn i=1 U[0, 1] iid. E(G r n) = { (i, j) Λ n (X (i), X (j) ) = 1 }. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 19 / 22
Fokszámeloszlás A fokszámeloszlás lecsengése most is hatványlecsengésű. Tétel Legyen γ := 1 + log( N ) n 1 log d γ ( 1, 1 + log 3 ]. log 2 Akkor a véletlen gráf fokszámeloszlásának lecsengése: P(deg(V ) > t) = t γ+1 L(t), ahol L(t) korlátos: n 1 N L(t) N n 1. Bizonyítás Centrális Határeloszlás tétellel és Nagyeltérés Tétellel. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 20 / 22
R. Albert, A.-L. Barabási, Hierarchical organization in complex networks. Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 21 / 22
R. Albert, A.-L. Barabási, Hierarchical organization in complex networks. Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002). A.-L. Barabási, E. Ravasz, T. Vicsek, Deterministic Scale-Free Networks. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 299, Issues 3-4, 559-564 (2001). Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 21 / 22
R. Albert, A.-L. Barabási, Hierarchical organization in complex networks. Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002). A.-L. Barabási, E. Ravasz, T. Vicsek, Deterministic Scale-Free Networks. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 299, Issues 3-4, 559-564 (2001). G. Palla, L. Lovász and T. Vicsek, Multifractal network generator. PNAS 107, 7640-7645. Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 21 / 22
Vége Köszönöm a figyelmet! Komjáthy Júlia, Simon Károly (BME) Skálafüggetlen gráfok és fraktálok Jövő Internet 22 / 22