9. SZINUSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA A Kirchhff típusú hálózatk általában dinamikus kmpnenseket (tekercseket és kndenzát6rkat) is tartalmaznak, így a hálózatt dinamikus hálózatnak tekintjük. A dinamikus hálózatk működésében két állaptt különböztetünk meg, úgy mint a hálózat struktúrájában, ill. a gerjesztésében történő váltzás utáni rövid időszakt, a tranziens flyamatt, valamint a tranziens flyamat lecsengése utáni, a hálózat üzemi működésének állaptát, az állandósult állaptt. A tvábbiakban a dinamikus hálózatk állandósult állaptának vizsgálatának elemzésére kerül sr. A villams hálózatk szinuszs gerjesztésre adtt válaszának meghatárzása a cél. 9.. A szinuszs leflyású gerjesztő jel jellemzői A 9.a ábrán látható lineáris, invariáns és kauzális dinamikus hálózat s () t gerjesztése egy eltlt szinusz jellel (9.b ábra), (cszinusz függvénnyel) irható le, s () t u() t u() t cs( ω t + ρ ),. (9.) a) b) 9.. ábra. A lineáris, invariáns, kauzális hálózat időben szinuszsan váltzó gerjesztése

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 67 A gerjesztő jel amplitúdója ( t T ) u( t) u( t + nt ) u( t) ±, periódus ideje T, azaz a jel peridikus u +,, (9.) ahl n egész szám és T a periódus idő. A villams hálózatknál a periódus idő helyett az f frekvenciát, ill. az ω körfrekvenciát, valamint a jel kezdő időpillanatbeli u ( 0) cs ρ értéke helyett a ρ kezdőfázist (fázisszöget) használják, [ ] Hz f T, f, (9.3) ω πf, [ ] rad s ω, (9.4) π ρ π. (9.5) Az időben szinuszs leflyású jeleket lehet még jellemezni a jel különböző középértékeivel, úgy mint az egyszerű középérték, az effektív érték és az abszlút középérték. egyszerű középértéke az az I e áram, amely egy periódus Az i() t I cs( ω t + ρ ) alatt ugyananyui töltést szállít, mint az i ( t) áram, T Qe TIe i 0 ahnnan T Ie i T 0 () t () t dt, (9.6) dt. (9.7) jel egyszerű középértéke nulla, I e 0. A fentiek alapján az i() t I cs( ω t + ρ ) Az i() t I cs( ω t + ρ ) hőteljesítményt ad le egy periódus alatt, mint az i ( t) áram, jel I effektív értéke valamely ellenállásn ugyanakkra T T P RI p T 0 T 0 ahnnan () t dt Ri() t dt, (9.8)

68 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA I T i T 0 () t dt. (9.9) Pl. ha az áram időfüggvénye i( t) I cs( ω t + ρ ), akkr I T i T 0 () t dt I cs( ωt ρ) T + cs I T 0 T + T 0 ( ωt + ρ ) I dt. dt (9.0) Az i() t I cs( ω t + ρ ) jel a töltést hajt át egy periódus alatt, mint a kétldalasan egyenirányíttt i ( t) áram jel. Kétldalas egyenirányítás pl. a 9. ábrán látható Graetz kapcslással állítható elő. I abszlút középértéke az az áram, amely ugyanannyi 9.. ábra. Graetz kapcslású kétldalas egyenirányítással előállíttt abszlút érték QT T TIa i 0 () t dt, (9.) ahnnan T Ia i T 0 () t dt. (9.) Az i() t I cs ωt áram abszlút középértéke

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 69 T T 4 T 4 I () a i t dt I csωt dt I csωtdt T 0 T 0 T 0 4 T 4 I sin ωt 4I sinωt / 4 I. T ω 0 T π / T π (9.3) A középértékeken kívül az alaktényezőket is meg szkás vizsgálni, ezek közül legfntsabb a k f frmatényező és a k cs csúcstényező, amely szinuszsan váltzó jel esetén k f I Ia I π I π, I kcs I I I,4. (9.4) Meg kell aznban jegyezni, hgy sem a középértékek, sem a frmatényezők nem határzzák meg a jelalakt. 9.. A kmplex frmalizmus A szinuszs gerjesztésű hálózatk áramát, ill. feszültségét a kmplex frmalizmus bevezetésével és segítségével szkás meghatárzni. Ezért a következőkben a kmplex számk fgalmát és a köztük végzett műveletek összefglalására kerül sr. A kmplex számk matematikájából ismert, hgy a z kmplex szám algebrai alakja z Im z képzetes (imaginárius) részével (9.3a ábra) megadható a Re { } valós (reális) és { } {} z j Im{} z z Re +, (9.5) ill. expnenciális alakban a (9.3a ábra), z z abszlút értékével és a ρ arc{ z} szögével z ze jρ. (9.6) A fenti kifejezésekben a j a képzetes egység (9.3b ábra), j eπ e jπ. (9.7) Egységvektrral végzett műveletek a következők lehetnek,

70 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA j j j ; j4 3 j j, j j { j j j j3 j, j4 { j { j j j j j, j j j (9.8) a) b) 9.3. ábra. a) A kmplex szám ábrázlása a kmplex számsíkn, b) a képzetes egységvektr bevezetése A kmplex számk algebrai és expnenciális alakja között az Euler reláció teremt kapcslatt, ahl az e j ρ cs ρ + j sin ρ (9.9) összefüggés felhasználásával { jρ } cs ρ, Im{ e jρ } sin ρ Re e. (9.0) A fenti (9.9) összefüggésből következik, hgy e jρ + e jρ e jρ e jρ cs ρ, sin ρ. (9.) j Tehát a z ze j ρ expnenciális alakból az algebrai alak előállítható z Re ze jρ z( cs ρ + j sin ρ ) Re{ z} + j Im{ z}, {} z z cs ρ, Im{} z z sin ρ. (9.) Az algebrai alakból az expnenciális alak pedig a következő összefüggéssel állítható elő

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 7 z z ( Re{} z ) + ( Im{} z ) Im {} {} z z arctg ± Re{} z, ρ arc kπ, k 0,, L. (9.3) 9.3. Műveletek kmplex számkkal 9.3.. A kmplex szám algebrai alakjából az expnenciális alak előállítása Legyen egy kmplex szám algebrai alakja a + b e jarc{ z } z e jρ, ahl ρ arctg ( b a) ± kπ z a + jb, az expnenciális alak z attól függően, hgy a kmplex szám melyik térnegyedben van. A 9.4 ábrán látható négy kmplex szám algebrai alakjából az expnenciális alak a következő lesz ( 3 5) 30,9638 z arctg 5 + j3 5 + 3 e j 5, 830e j, ( ) ( arctg( 6 3) ) 6,565 3 + 6 e j 6, e z 3 + j6 + π 708 j, ( ) ( ) ( arctg( 3 ) ) 3,690 + 3 e j 3, e z3 j3 π 6056 j, ( ) arctg( 3 4) 36,8699 3 e j e z 4 4 j3 4 + 5 j. 9.4. ábra. A kmplex számk ábrázlása a kmplex számsíkn

7 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 9.3.. A kmplex szám expnenciális alakjából az algebrai alak előállítása Valamely z ze jρ kmplex szám expnenciális alakjából az algebrai alak a következő módn állítható elő, z z e j ρ z ( cs ρ + j sin ρ ) a + jb Re{ z } + j Im{ z }, ahl Re{ z } z cs ρ a, Im{ z } z sin ρ b. A következő négy kmplex szám expnenciális alakjából az algebrai alak a következő lesz ( + j sin 30 ) 5,96 j3, 0000 z 6 30 6 cs30 e j +, ( j sin 60 ),0000 j3, 464 z 4 60 4 cs 60 e j, ( + j sin0 ),5000 j, 598 z 3 0 3 cs0 3 e j +, ( j sin50 ) 4,330 j, 5000 z 5 50 5 cs50 4 e j. 9.3.3. A z kmplex szám * z knjugáltja Valamely kmplex szám knjugáltja a valós tengelyre való tükörképét állítja elő, ahgy az a 9.5 ábrán látható, azaz a kmplex szám imaginárius része előjelet vált. 9.5. ábra. A kmplex szám knjugáltja Ha a kmplex szám algebrai alakban adtt, z a + jb Re{ z } + j Im{ z } knjugáltja z* a jb Re{ z } j { z }, a Im, ha aznban expnenciális alakban adtt, z ze jρ, knjugáltja z* z jρ e lesz.

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 73 A következő négy kmplex szám knjugáltja z 6 30 e j z* 6 30 e j ( + j sin 30 ) 6 cs30 5,96 j3,0000, 5,96 + j3,0000, z 3 + j6, z* 6,565 3 j6 6, 708e j, z 3 j3, z* 3,690 3 + j3 3, 6056e j, z 5 50 4 e, z* 5 50 4 e j 4,330 + j,5000. 9.3.4. Két kmplex szám összege, különbsége algebrai alakban A z a + jb Re{ z } + j { z } és a z c + jd Re{ z } + j { z } Im Im kmplex számk összege ill. különbsége az algebrai alakból képezhető, z z ± z ( a + jb) ± ( c + jd ) ( a ± c) + j( b ± d ), z z ± z ( Re{ z} + j Im{ z} ) ± ( Re{ z} + j Im{ z} ) Re{ z ± z} + j Im{ z ± z}, A következő négy kmplex szám összege, ill. különbsége ( 5 + j3) + ( 3 + j6) 9 z 5 + j3, z 3 + j6, z z + z + j, ( 5 + j3) ( 3 + j6) 8 3 z 5 + j3, z 3 + j6, z z z j, ( j3) + ( 4 j3) 6 z3 j3, z4 4 j3, z z3 + z4 j, ( j3) ( 4 j3) 6 0 z3 j3, z4 4 j3, z z3 z4 j. 9.3.5. A z kmplex szám és a * z knjugáltjának összege, különbsége A z a + jb Re{ z } + j Im{ z } kmplex szám és a z* a jb Re{ z } j Im{ z } knjugáltjának összege a z z * + z a Re{ z } ill. különbsége z z z* jb j { z }., Im A következő négy kmplex szám és knjugáltjaik összege, ill. különbsége z 5 3, * 5 3, * 0, * + j z j z + z z z j6,

74 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA z 3 + j6, z* 3 j6, z * + z 6, z * z j, z3 j3, z* 3 + j3, z * 3 + z3 4, z * 3 z 3 j6, z4 4 j3, z* 4 4 + j3, z * 4 + z4 8, z * 4 z 4 j6. 9.3.6. Két kmplex szám szrzata, algebrai alakban A z a + jb Re{ z } + j { z } és a z c + jd Re{ z } + j { z } Im Im kmplex számk szrzata z z z ( a + jb )( c + jd ) ac + jbc + jad + { jbjd ( ac bd ) + j( ad + bc), j j z z ( Re{ z} + j Im{ z} ) ( Re{ z} + j Im{ z} ) ( Re{ z } Re{ z } Im{ z } Im{ z }) + j Re{ z } Im{ z } + Im{ z } Re{ z } z ( ). A következő két-két kmplex szám szrzata ( 5 + j3) ( 3 + j6) 33 z 5 + j3, z 3 + j6, z z z + j, ( j3) ( 4 j6) 6 0 z 3 j3, z4 4 j6, z z3 z4 + j. 9.3.7. Két kmplex szám szrzata, expnenciális alakban A z ze jρ és a ze jρ z z ( ) z ρ ρ ρ + ρ ze j z j e z z e j. z kmplex számk szrzata A következő két-két kmplex szám szrzata 30 80 0 z 30 80 5e j, z 6e j z z z 5e j 6e j 30e j, 60 30 30 3e j60, z 30 4 4e j z z3 z4 3e j 4e j e j. z3 9.3.8. Kmplex szám szrzata a knjugáltjával A z a + jb {} z + j Im{ z} ze j ρ a jb Re{} z j Im{} z ze jρ Re kmplex szám és a z* knjugáltjának szrzata a kmplex szám abszlút értékének négyzetét adja,

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 75 ( a + jb) ( a jb) a + b ( Re{} z ) ( {} z ) z z * + Im * z z z ze j ρ ze jρ z. A következő két kmplex számnak a knjugáltjával való szrzata, ill. expnenciális alakban ( 5 + j3) ( 5 3) 5 + 9 34 z 5 3, * 5 3, * + j z j z z z j, z 5 30, * 5 30 * e j z e j z z z 5. 9.3.9. Két kmplex szám hányadsa, expnenciális alakban A z ze jρ és a ze jρ z ze jρ z e j( ρ ρ ) z jρ ze z z. z kmplex számk hányads A következő két-két kmplex szám hányadsa 30 30 80 6 j 50 6 j, 5 j z e e z e z, e j z 80 5e j z, 60 60 0 3 3 j 80 3 j, 4 4 j z e e z e z 0, e j z 0 4 4e j z3 75. 9.3.0. Két kmplex szám hányadsa, algebrai alakban A z a + jb Re{ z } + j { z } és a z c + jd Re{ z } + j { z } Im Im kmplex számk z z z hányadsának meghatárzásáhz a nevező knjugáltjával megszrzva a számlálót és a nevezőt, a nevezőben valós szám adódik amivel az sztás már elvégezhető, azaz z a + jb a + jb c jd ( ac bd ) + j( bc ad ) z. z c + jd c + jd c jd c + d A következő két-két kmplex szám hányadsa z 5 + j3, z 3 + j6, z 5 + j3 5 + j3 3 j6 z z 3 + j6 3 + j6 3 j6 ( 5 + 8) + j( 30 + 9) 9 + 36 0,0667 j0,8667,

76 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA z3 j3, z4 4 j6, z3 j3 j3 4 + z z4 4 j6 4 j6 4 + j6 j6 ( 8 + 8) + j( ) 6 + 36 0,93 j0,465. 9.4. A kmplex frmalizmus alkalmazása 9.4.. A jel kmplex csúcsértéke Az előzőek alapján belátható, hgy az u( t) cs( ω t + ρ ) előállítható az e j ( ω t +ρ ) u valós időfüggvény kmplex időfüggvény valós (reális) részeként, { } () t cs( ω t + ρ ) Re e j ( ωt+ ρ ). (9.4) Szétválasztva az időtől függő e j ω t frgató fazrt és az időtől független e j ρ kmplex csúcsértéket, a valós időfüggvény megadható egy kmplex csúcsérték és egy frgató fazr szrzataként, u () t cs( ωt + ρ ) Re e j ( ω t ρ ) { } Re{ e } { } j ρe j ω t Re e j ω t +, (9.5) ahl a kmplex csúcsérték ( cs ρ + j sin ) Re{ } + j Im{ } e jρ ρ. (9.6) A valós időfüggvény úgy tekinthető, mint a kmplex időfüggvény valós tengelyre eső vetülete (9.6 ábra). 9.6. ábra. A kmplex csúcsérték

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 77 9.4.. Hálózati egyenletek kmplex frmalizmus setén a) A hálózat tplógiájára vnatkzó törvényszerűségeket az összekapcslási kényszerek (Kirchhff egyenletek) írják le. A Kirchhff egyenletek a kmplex frmalizmus alkalmazása esetén a következő alakra vezetnek. Az anyagmegmaradás törvény a villams hálózatkban a töltésmegmaradás törvénnyel, ill. a Kirchhff csmópnti törvénnyel, ill. annak általánósíttt alakjával a vágattörvénnyel adható meg. Legyen valamely csmópnthz (vágathz) illeszkedő k adik ág áramának valós időfüggvénye ik () t I cs( ω t + ρ ) k, k,, L, n. (9.7) A kmplex frmalizmus alkalmazásával a csmópnthz (vágathz) illeszkedő ágak áramainak valós időfüggvénye megadható a kmplex csúcsérték és a frgató fazr szrzatának valós részével ik () t I cs( ωt + ρ ) Re Ie j ( ω t ρk ) { } Re{ Ie } { } j ρk e j ω t Re I e j ω t + k. (9.8) Felírva a csmópnthz (vágathz) illeszkedő ágak áramainak kmplex frmalizmussal megadtt alakjával a Kirchhff csmópnti törvényt, i k k k ω k k, (9.9) () t Re { I e j t } Re I e jωt 0 k könnyen belátható, hgy az egyenlőség akkr és csak akkr teljesül, ha a csmópnthz (vágathz) illeszkedő ágak áramainak kmplex csúcsértékeire fennáll a Kirchhff csmópnti törvény, I 0 k k, (9.30) azaz a csmópnthz (vágathz) illeszkedő ágak áramainak kmplex csúcsértékeinek algebrai összege nulla. Az energia megmaradás törvény a villams hálózatkban a zárt hurkhz illeszkedő ágak feszültségeinek összege nulla törvénnyel, ill. a Kirchhff hurk törvénnyel adható meg. Legyen valamely hurkhz illeszkedő k adik ág feszültségének valós időfüggvénye uk () t cs( ω t + ρ ) k, k,, L, n. (9.3)

78 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA A kmplex frmalizmus alkalmazásával a hurkhz illeszkedő ágak feszültségeinek valós időfüggvénye megadható a kmplex csúcsérték és a frgató fazr szrzatának valós részével uk () t cs( ωt + ρ ) Re e j ( ω t ρk ) { } Re{ e } { } j ρk e j ω t Re e j ω t + k. (9.3) Felírva a hurkhz illeszkedő ágak feszültségeinek kmplex frmalizmussal megadtt alakjával a Kirchhff hurk törvényt, uk k k ω k k, (9.33) () t Re { e j t } Re e jωt 0 k belátható, hgy az egyenlőség akkr és csak akkr teljesül, ha a hurkhz illeszkedő ágak feszültségeinek kmplex csúcsértékeire fennáll a Kirchhff hurk törvény, k 0, (9.34) k azaz a hurkhz illeszkedő ágak feszültségeinek kmplex csúcsértékeinek összege nulla. b) A dinamikus hálózatk kmpnenseinek karakterisztikái (ágtörvények) a kmplex frmalizmus alkalmazásakr a következő alakra vezetnek. Legyen a 9.7 ábrán látható R ellenállás áramának valós időfüggvénye a kmplex frmalizmus alkalmazása mellett ir () t I ( t ) { Ie j e j t } { IRe } cs ω + ρ Re ρ ω Re j ω t. (9.35) 9.7. ábra. Az ellenállás Az ellenállás árama és feszültsége közti ágtörvényt alkalmazva az ellenállás feszültsége ur () t RiR () t, valamint figyelembe véve, hgy a lineáris, invariáns, kauzális hálózatkban a válasz hasnlít a gerjesztésre, azaz az ellenállás feszültségének valós időfüggvénye szintén megadható egy kmplex csúcsérték és a frgató fazr

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 79 szrzatának valós részeként, ur () t Re{ Re } j ω t, az ellenállás árama és feszültsége közti kapcslat a kmplex frmalizmus esetén a következő lesz, ur () t Ri () { j t R t Re RI Re ω } Re{ Re } j ω t. (9.36) Belátható, hgy az egyenlőség akkr és csak akkr áll fenn, ha az ellenállás feszültségének kmplex csúcsértéke egyenlő az ellenállás és az ellenállás áramának kmplex csúcsértékének szrzatával, R RI R. (9.37) A kmplex számsíkn ábrázlva az ellenállás áramának és feszültségének kmplex csúcsértékeit (fazrjait) (9.8 ábra), a fazrábrából az látható, hgy az ellenállás árama fázisban van az ellenállás feszültségével, az áram és a feszültség között nincs fázisletlódás. 9.8. ábra. Az ellenállás áramának és feszültségének fazrjai a kmplex számsíkn Legyen a 9.9 ábrán látható L indukció együtthatójú tekercs áramának valós időfüggvénye a kmplex frmalizmus alkalmazása mellett il () t I ( t ) { Ie j e j t } { ILe } cs ω + ρ Re ρ ω Re j ω t. (9.38) A tekercs árama és feszültsége közti ágtörvényt alkalmazva a tekercs feszültsége ul () t LdiL ()dt t, valamint figyelembe véve, hgy a lineáris, invariáns, kauzális hálózatkban a válasz hasnlít a gerjesztésre, azaz a tekercs feszültségének valós időfüggvénye szintén megadható egy kmplex csúcsérték és a frgató fazr szrzatának valós részeként, ul () t Re{ Le } j ω t, a tekercs árama és feszültsége közti kapcslat, figyelembe véve, hgy az idő szerinti derivált a kmplex frmalizmus alkalmazása esetén jω -val való szrzással egyenértékű, de jωt dt jωe jωt, így a kmplex frmalizmus alkalmazása esetén a tekercsre vnatkzó ágtörvény a következő lesz,

80 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA ul d () t L Re { I j t } { j t Le ω Re jωli Le ω } Re{ Le } j ω t. (9.39) dt 9.9. ábra. Az tekercs Belátható, hgy az egyenlőség akkr és csak akkr áll fenn, ha a tekercs feszültségének kmplex csúcsértéke egyenlő a jω L és a tekercs áramának kmplex csúcsértékének szrzatával, L jωli L. (9.40) A kmplex számsíkn ábrázlva a tekercs áramának és feszültségének kmplex csúcsértékeit (fazrjait) (9.0 ábra), a fazrábrából az látható, hgy a tekercs feszültsége 90 kal siet a tekercs áramáhz képest, az áram és a feszültség között a fázisletlódás + 90. 9.0. ábra. A tekercs áramának és feszültségének fazrjai a kmplex számsíkn Legyen a 9. ábrán látható C kapacitású kndenzátr feszültségének valós időfüggvénye a kmplex frmalizmus alkalmazása mellett uc () t ( t ) { e j e j t } { Ce } cs ω + ρ Re ρ ω Re j ω t. (9.4) A kndenzátr feszültsége és árama közti ágtörvényt alkalmazva a kndenzátr árama ic () t C duc ()dt t, valamint figyelembe véve, hgy a lineáris, invariáns,

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 8 kauzális hálózatkban a válasz hasnlít a gerjesztésre, azaz a kndenzátr áramának valós időfüggvénye szintén megadható egy kmplex csúcsérték és a frgató fazr szrzatának valós részeként, ic () t Re{ I Ce } j ω t, így a kndenzátr feszültsége és árama közti kapcslat, figyelembe véve, hgy de jωt dt jωe jωt, a kmplex frmalizmus alkalmazása esetén a következő lesz, ic d () t C Re { j t } { j t Ce ω Re jωc Ce ω } Re{ I Ce } j ω t. (9.4) dt 9.. ábra. A kndenzátr Belátható, hgy az egyenlőség akkr és csak akkr áll fenn, ha a kndenzátr áramának kmplex csúcsértéke egyenlő a jω C és a kndenzátr feszültségének kmplex csúcsértékének szrzatával, I C jωl C, ahnnan C I C. (9.43) jωc A kmplex számsíkn ábrázlva a kndenzáátr áramának és feszültségének kmplex csúcsértékeit (fazrjait) (9. ábra), a fazrábrából az látható, hgy a kndenzátr feszültsége 90 kal késik a kndenzátr áramáhz képest, az áram és a feszültség között fázisletlódás 90. 9.. ábra. A kndenzátr áramának és feszültségének fazrjai a kmplex számsíkn

8 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 9.4.3. A kmplex impedancia Minthgy a kmplex frmalizmus alkalmazásával a dinamikus hálózatk kmpnenseinek árama és feszültsége közötti kapcslat egy kmplex mennyiséggel való szrzással megadható (9.3 ábra), 9.3. ábra. A dinamikus hálózat kmpnensei R RI R, L jω LI L, C I C, (9.44) jωc célszerűnek látszik a dinamikus hálózat kmpnenseinek pólusmennyiségei, az áram és a feszültség kmplex csúcsértékei közti kapcslatt megadó kmplex mennyiség jelölésére egy új fgalm, a Z kmplex impedancia bevezetése (9.4 ábra) 9.4. ábra. A kmplex impedancia ZI. (9.45) A fentieknek megfelelően az R ellenállás impedanciája Z R R, (9.46) az L indukció együtthatójú tekercs impedanciája Z L jωl, (9.47) és a C kapacitású kndenzátr impedanciája

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 83 Z C j. (9.48) jωc ωc Általában a Z impedancia egy kmplex kifejezés, amelynek valós és képzetes része is van, { Z } + j { Z } R jx Z Re Im +, (9.49) ahl az impedancia valós része a rezisztencia Re { Z } R, míg az imaginárius része a reaktancia Im { Z } X. Ennek alapján az L indukció együtthatójú tekercs reaktanciája X L ωl, (9.50) és a C kapacitású kndenzátr reaktanciája X C. (9.5) ωc Nagyn skszr az impedancia reciprka, az admittancia szerepel a hálózatszámítási feladatkban, Y R jx R jx G Z R + jx R + jx R jx R + X + jb, (9.5) ahl G a knduktancia, míg B a szuszceptancia. 9.5. Hálózatszámítás a kmplex frmalizmus alkalmazásával A kmplex frmalizmus alkalmazásával kimutatható vlt, hgy a hálózati egyenletek, köztük a Kirchhff csmópnti és hurk egyenletek a kmplex amplitúdókra frmailag hasnlítanak az egyenáramú, rezisztív hálózatk egyenleteinek alakjára, tvábbá a dinamikus hálózat kmpnenseinek karakterisztikái a kmplex impedancia bevezetésével szintén hasnlít a rezisztív hálózatknál alkalmaztt Ohm törvényre, I k k Zk Ik k n k k 0, 0,,,, L,, (9.5) k

84 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA így az egyenáramú hálózatknál megismert hálózatszámítási eljárásk tvábbra is alkalmazhatók a kmplex frmalizmus figyelembevételével. 9.5.. Impedanciák srs és párhuzams kapcslása A Z R + jx és a Z R + jx impedanciák srs kapcslása esetén (9.5a ábra) az eredő impedancia Z s Z r + Z, (9.53) míg párhuzams kapcslásuk esetén (9.5b ábra) az eredő impedancia r r Z Z Z p Z Z r. (9.54) Z + Z 9.5. ábra. Impedanciák srs és párhuzams kapcslása 9.5.. Áram és feszültségsztás Az áram és a feszültségsztás összefüggései tvábbra is érvényben maradnak a kmplex frmalizmus esetén. Két srs impedancia esetén a feszültségsztás alapján az egyik impedancia feszültsége előállítható a gerjesztő feszültség szrzva a srs elemekből annak az elemnek az impedanciájával, amely feszültsége keresett és sztva a két srs impedancia összegével (9.6 ábra), Z. (9.55) Z + Z Hasnlóan két párhuzamsan kapcslt impedancia esetén az áramsztás alapján az egyik impedancia árama előállítható a főág árama szrzva a párhuzams elemekből a

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 85 szmszéd ág impedanciájával és sztva a két párhuzamsan kapcslt impedancia összegével (9.6 ábra), Z I I. (9.56) Z + Z 9.6. ábra. A feszültség sztás és az áramsztás értelmezése 9.5.3. A szuperpzíció módszere kmplex frmalizmus esetén Kmplex frmalizmus esetén is alkalmazható a szuperpzíció módszere, azzal a megkötéssel, hgy a feszültségfrrásk, az áramfrrásk, valamint a kmplex impedanciák feszültségeinek és áramainak kmplex csúcsértékeire alkalmazható. A 9.7 ábrán látgató áram- és feszültségfrráskat valamint impedanciákat tartalmazó hálózatban a Z t terhelő impedancia feszültsége az egyes frrásk által a keltett feszültségek kmplex csúcsértékeinek algebrai összege, +. (9.57)

86 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 9.7. ábra. A szuperpzíció módszer alkalmazása 9.5.4. Helyettesítő generátrk elve kmplex frmalizmus esetén A helyettesítő generátrk elve a kmplex frmalizmus esetén is alkalmazható a kmplex csúcsértékek figyelembe vételével. A 9.8a ábrán látható hálózat az A-B póluskra (kapcskra) helyettesíthető egy Thevenin generátrral (9.8b ábra) vagy egy Nrtn helyettesítő generátrral (9.8c ábra) a) b) c) 9.8. ábra. a) A hálózat és b) Thevenin, c) Nrtn helyettesítő képe A rezisztív hálózatkhz hasnlóan a helyettesítő generátrk elve csak akkr alkalmazható, ha az A-B pólusk azns terhelése mellett azkn azns áramk flynak, ill. feszültségek lépnek fel. A Thevenin helyettesítő kép frrásfeszültségének T kmplex csúcsértéke és a belső impedancia meghatárzásáhz a pólusáram-pólusfeszültség közti kapcslat ad segítséget Z b

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 87 ZbI + T. (9.58) Ha az eredeti hálózatt és helyettesítő generátrhz tartzó hálózatt is szakadással (üresjárási állapt) ( Z t, I 0 ) zárjuk le, akkr az eredeti hálózat A-B pólusain megjelenő feszültség az üj üresjárási feszültség megegyezik a helyettesítő generátr A-B pólusain megjelenő T feszültséggel, I 0, üj T. (9.59) Ha aznban az A-B póluskat rövidzárral zárjuk le ( 0 ), a póluskn az Î rz rövidzárási áram flyik. Minthgy a helyettesítő generátr esetén a Z b belső impedancia a (9.58) összefüggésből Z T b, az eredeti hálózatban pedig mivel az I rz T feszültség azns az üj üresjárási feszültséggel, így a Thevenin helyettesítő generátr belső impedanciája a pólusmennyiségek referencia iránya mellett megegyezik az eredeti hálózatban az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram hányadsának minusz egyszeresével, T üj Zb. (9.60) I rz I rz Hasnló módn a Nrtn helyettesítő kép frrásáramának Î N kmplex csúcsértéke és a Z b belső impedancia meghatárzásáhz mst is a pólusáram-pólusfeszültség közti kapcslat ad segítséget I + I N. (9.6) Zb Ha az eredeti hálózatt és helyettesítő generátrhz tartzó hálózatt rövidzárral ( Z t 0, 0 ) zárjuk le, akkr az eredeti hálózat A-B pólusain megjelenő Î rz rövidárási áram megegyezik a helyettesítő generátr A-B pólusain megjelenő Î N frrásárammal,

88 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 0, I rz I N. (9.6) Ha aznban az A-B póluskat szakadással zárjuk le ( I 0 ), a póluskn az üj üresjárási feszültség lép fel. Minthgy a helyettesítő generátr esetén a Z b belső üj impedancia a (9.6) összefüggésből Zb, az eredeti hálózatban pedig mivel az I N Î N áram azns az Î rz rövidárási árammal, így a Nrtn helyettesítő generátr belső impedanciája a pólusmennyiségek referencia iránya mellett megegyezik az eredeti hálózatban az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram hányadsának minusz egyszeresével, üj üj Zb. (9.63) I N I rz 9.5.5. Csatlt tekercsek és a kmplex frmalizmus A szinuszs áramú hálózatknál az eddig megismert eljárásk alkalmazása mellett érdemes megnézni néhány speciális hálózat számítási eljárását a kmplex frmalizmus alkalmazása esetén. Ezek közé tartznak a csatlt tekercsek esete is. Mint ahgy azt a 6.3.6 pntban láttuk a 9.9 ábrán látható két csatlt tekercs feszültsége az időtartmányban di di u L + M, dt dt di di u M + L, dt dt (9.64) 9.9. ábra. A csatlt tekercs és a kölcsönös indukció együttható ahl a tekercseken elhelyezett pnt azt jelöli, hgy ha a tekercsek árama a pnttal jelölt póluskn flyik be, az M kölcsönös indukció értéke pzitív, míg, ha az egyik tekercs

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 89 árama ellenkező irányúra frdul, azaz az egyik tekercs árama a pnttal, a másk tekercs árama a pnt nélküli póluskn flyik be az M kölcsönös indukció előjele negatívra vált. Időben szinuszsan váltzó áramt feltételezve és a kmplex írásmódt alkalmazva, tvábbá figyelembe véve, hgy a csatlt tekercs is egy lineáris invariáns, kauzális kmpnens, a (9.64) pólusfeszültségek u u () { d Re } Re{ j t d t } Re{ j t L Ie ω + M Ie ω }, dt d dt d dt () t Re{ } M Re{ I e jωt } + L Re{ I e jωt }, kmplex csúcsértékei a következő alakban adhatók meg dt (9.65) jωli + jωmi, jωmi + jωli. (9.66) 9.5.6. Kiegyenlített hídkapcslás A kmplex frmalizmus alkalmazása esetén érdemes áttekinteni a hídkapcslásk, köztük a 9.0 ábrán látható Wheastn híd kiegyenlítésének feltételeit. 9.0. ábra. A Wheastn híd kiegyenlítése Mint ismeretes a Wheastn híd egyik, pl. a Z impedancia váltztatása mellett meghatárzható valamely ágban, pl. Z 4 impedancia értéke. A Z impedancia értékét addig váltztatva, amíg a galvanméter Î G árama nulla lesz, a híd kiegyenlített lesz.

90 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA Ekkr az Z, Z, ill. a Z 3, Z4 impedanciák árama azns, azaz azk srba kapcslódnak I G 0, I I, I3 I4. (9.67) Mivel kiegyenlített állaptban a galvanméteren nem flyik áram, így a feszültsége is nulla, G 0. Ekkr a Z, Z3, ill. a Z, Z4 impedanciák feszültsége azns lesz, azaz az impedanciák párhuzamsan kapcslódnak G 0, ZI Z3I3, ZI Z4I4. (9.68) A (9.68) összefüggés másdik és harmadik tagját elsztva (9.67) másdik és harmadik tagjával, valamint némi rendezés után a híd kiegyenlítésének feltétele Z Z4 ZZ3, (9.69) azaz a hídágak szemközti impedanciáinak szrzata egyenlő. i) Feltételezve, hgy a hídkapcslás impedanciái algebrai alakban vannak megadva, { Z } + j Im{ Z } R + jx,, L,4, Zk Re k k k k k (9.70) a hídkapcslás kiegyenlítésének feltétele ( R jx )( R + jx ) ( R + jx )( R + ) + 4 4 3 jx3, (9.7) akkr és csak akkr áll fenn, ha az egyenlőség a valós és a képzetes részekre különkülön fennáll, azaz RR 4 XX 4 RR3 X X3, XR4 + R X 4 X R3 + R X3, (9.7) csatlt egyenletből a keresett Z 4 impedancia rezisztenciája és reaktanciája meghatárzható. ii) Ha aznban a hídkapcslás impedanciái expnenciális alakban ismertek, Zk Z eρ k k, k, L,4, (9.73)

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 9 akkr a hídkapcslás kiegyenlítésének feltétele 3 4 3 4 ρ ρ ρ ρ e Z e Z e Z e Z (9.74) a szemközti impedanciák abszlút értékeinek szrzatára, valamint a szemközti impedanciák szögeinek összegére vnatkzik, 3 4 3 4, ρ ρ ρ ρ + + Z Z Z Z, (9.75) ahnnan a keresett impedancia szintén meghatárzható. 9.5.7. Rezgőkörök i) A srs rezgőkör A 9. árán látható srs rezgőkör impedanciája és annak expnenciális alakja ρ ω ω ω ω j e C L R C j L j R Z + + +, (9.76) ahl R C L arctg ω ω ρ. 9.. ábra. A srs rezgőkör kmpnensei 9.. ábra. A srs rezgőkör impedanciájának frekvencia függése

9 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA Megvizsgálva a srs rezgőkör impedanciájának frekvencia függését (9. ábra), azt tapasztaljuk, hgy ha az impedancia imaginárius része nullává válik, és ekkr az impedancia minimális abszlút értéket vesz fel. Amikr a srs rezgőkör impedanciájának imaginárius része minimális reznancia áll fenn, { Z } L 0 Im ω, (9.77) ωc ahnnan a reznancia frekvencia ω 0. (9.78) LC Fazrábrán ábrázlva a reznancia előtti, a reznancia és a reznancia utáni frekvencián a áram és a feszültség fazrkat (9.3 ábra), az tapasztalható, hgy reznancia frekvenciánál kisebb frekvencián a kndenzátr feszültsége nagybb, mint a tekercsé, így a hálózat impedanciája kapacitív jellegű. Reznancia frekvencián a kndenzátr feszültsége megegyezik a tekercs feszültségével, így a hálózat frmálisan rezisztenciaként viselkedik. Reznancia frekvenciánál nagybb frekvencián pedig a tekercs feszültsége válik dminánsá a kndenzátrn megjelenő feszültséghez képest, azaz a hálózat induktív tulajdnságkat mutat. 9.3. ábra. A srs rezgőkör fazrábrája különböző frekveciákn A srs rezgőkörön flyó áram (9.4 ábra) I R + jωl + jωc (9.79) kis frekvenciákn a kndenzátr hatásának megfelelően kicsi, nagy frekvenciákn a tekercs hatásának megfelelően szintén kicsi, míg reznancia frekvencián a rezgőkör

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 93 rezisztív jellegű, árama maximális értékű, tvábbá a srs rezgőkör árama és pólusfeszültsége fázisban van. 9.4. ábra. A srs rezgőkör áramának frekvencia függése ii) A párhuzams rezgőkör Ideális párhuzams rezgőkör esetén a hálózat kmpnensei párhuzamsan kapcslódnak (9.5 ábra). A párhuzams rezgőkör admittanciája 9.5. ábra. Az ideális párhuzams rezgőkör Y + R + jωl jωc G + j ωc. (9.80) ωl Az a frekvencia, amelyen az admittancia imaginárius része nullává válik reznancia frekvenciának tekinthető, { Y } Im 0, ω C 0, ω0. (9.8) ωl LC A reznancia feltételéből következik, hgy

94 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA I jω C + 0, (9.8) jωl azaz a főág Î árama az R ellenállásn keresztül záródik, míg az I áram nulla lesz. Ez azt jelenti, hgy a tekercsen és a kndenzátrn flyó áramk egyenlők és ellenkező előjelűek, azaz az L C elemeken egy zárt áramkör alakul ki, j ω C 0, I C IL 0. (9.83) jωl 9.6. A teljesítmény Időben szinuszsan váltzó áram, ill. feszültség esetén többféle teljesítmény definiálható. 9.6. ábra. A kmpnens árama és feszültsége 9.7. ábra. A kmpnenses árama és a feszültsége Legyen a 9.6 ábrán látható kmpnens feszültsége u () t cs( ω t + ρ ), (9.84)

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 95 és árama késsen a ϕ fázisszöggel a feszültéghez képest (9.7 ábra) () t I cs( ωt + ρ ϕ) i. (9.85) 9.6.. A pillanatnyi teljesítmény A kmpnens teljesítményének, a pillanatnyi teljesítménynek időfüggvénye p () t u() t i( t) I cs( ωt + ρ ) cs( ωt + ρ ϕ). (9.86) Alkalmazva a két szög összegének és különbségének cszinuszára vnatkzó összefüggést, cs( α ± β ) csα cs β m sinα sin β, ahl α ωt + ρ, β ωt + ρ ϕ, a két szög különbségéből egy időtől független, míg a két szög összegéből kétszeres körfrekvenciával lengő kmpnensre bntható a pillanatnyi teljesítmény, ahgy az a 9.8 ábrán látható, I I p () t csϕ + cs( ωt + ρ ϕ). (9.87) 9.8. ábra. A pillanatnyi teljesítmény időfüggése A kétpólus által t,t időintervallum alatt végzett munka W ( t, t ) p( t) t t dt I csϕ ( t t ) I sin + ( ωt + ρ ϕ) sin( ωt + ρ ϕ). ω (9.88)

96 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA Figyelembe véve, hgy t t >> T, a másdik tört maximális értéke T π T π lesz, és így a t,t időintervallum alatt végzett munka kifejezésében a másdik tag elhanyaglható. 9.6.. A hatáss teljesítmény A pillanatnyi teljesítményre ritkán van szükség, helyette a hatáss teljesítményt használjuk, amely a peridikusan váltzó pillanatnyi teljesítmény egy periódusra vett átlagértéke T I P p() t dt csϕ [ P] W. (9.89) T 0 A pillanatnyi és a hatáss teljesítmény mértékegysége a watt, jele: W. 9.6.3. A látszólags teljesítmény és a teljesítménytényező A látszólags teljesítmény az áram és a feszültség csúcsértékeinek szrzatának a fele, I S, [ S] VA. (9.90) 9.9. ábra. A pillanatnyi teljesítmény a hatáss teljesítmény körül a látszólags teljesítmény amplitúdójával leng, kétszeres körfrekvenciával leng A látszólags teljesítmény a pillanatnyi teljesítmény lengő összetevőjének a csúcsértéke, (9.9 ábra). A (9.87) összefüggésből látható, hgy a pillanatnyi teljesítmény a P S p() t P + S intervallum között váltzik.

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 97 A látszólags teljesítményhez nem kapcslódik munkavégzés. A pillanatnyi teljesítmény egy másik jellemzője a teljesítménytényező, a ϕ az áram és a feszültség közti szög, az impedancia szöge, cs ϕ, ahl P csϕ, 0 csϕ. (9.9) S Minthgy induktív hálózatk esetén a feszültség siet az áramhz képest, (9.30.a ábra) az áram és feszültség közti szög 0 ϕ 90, így a teljesítménytényező pzitív, azaz cs ϕ > 0, míg kapacitív hálózatk esetén a feszültség késik az áramhz képest, (9.30.b ábra) az áram és feszültség közti szög 90 ϕ 0, a teljesítménytényező aznban pzitív, azaz cs ϕ > 0. Ekkr a fgyasztót induktív, ill. kapacitív fgyasztónak hívjuk. a) b) 9.30. ábra. a) Induktív, b) kapacitív fgyasztó 9.6.4. A meddő teljesítmény A (9.87) pillanatnyi teljesítmény másdik tagját két szög különbségének cszinuszára vnatkzó cs ( α β ) csα cs β + sinα sin β kifejezés felhasználásával átalakítva, ahl α ωt + ρ, β ϕ, a következő kifejezést kapjuk,

98 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA I I p () t csϕ + [ cs( ωt + ρ) csϕ + sin( ωt + ρ) sinϕ]. (9.9) A fenti kifejezést szétbntva a cs ϕ, ill. a sin ϕ együtthatóira, a pillanatnyi teljesítmény két kmpnensre bntható (9.3 ábra) I I p () t csϕ[ + cs( ωt + ρ) ] + sinϕ sin( ωt + ρ). (9.93) I A pillanatnyi teljesítmény első tagja, a p '() t csϕ[ + cs( ωt + ρ) ], a P hatáss teljesítmény körül a 0 P érték között váltzik, ennek egy periódusra vett átlagértéke a munkavégzéssel aránys hatáss teljesítmény. A másdik tag I p () t sinϕ sin( ωt + ρ), amelynek egy periódusra vett átlagértéke nulla, azaz munkát átlagsan nem végez. Ennek a tagnak az amplitúdója a Q meddő teljesítmény, I Q sinϕ, [ Q] var, (9.94) amely egy lengő teljesítmény. 9.3. ábra. A pillanatnyi teljesímény kmpnensei 9.6.5. A kmplex teljesítmény Minthgy állandsult állaptban a szinuszs gerjesztésre adtt választ a kmplex frmalizmus segítségével határzzuk meg, így célszerűnek tünik a teljesítmény kmpnenseket is a kmplex frmalizmus keretében definiálni.

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 99 Tekintsük a 9.3. ábrán látható Z impedancia (9.84) feszültségének és (9.85) áramának kmplex csúcsértékeit e jρ, I I e j ( ρ ϕ ), (9.95) ahl az impedancia Z e jϕ. (9.96) I I 9.3. ábra. A kmplex impedancia árama és feszültsége A kmplex teljesítmény magában fglalja a hatáss és a meddő teljesítményt is, [ ] VA S I * Ie jϕ I csϕ + j I sinϕ P + jq, S, (9.97) ahl a * az áram kmplex knjugáltját jelöli. Figyelembe véve, hgy a feszültség kmplex csúcsértéke ZI, tvábbá, az impedancia rezisztenciáját és reaktanciáját alkalmazva a kmplex teljesítmény S I * ZII * Z I + ( R + jx ) I P jq, (9.98) ahl a hatáss teljesítmény a kmplex teljesítmény valós része, míg a meddő teljesítményt a kmplex teljesítmény imaginárius része adja, P Re{} S R I [ W ], Q Im{} S X I [ var], (9.99) azaz a határs teljesítmény az ellenállásn keletkezik, míg a meddő teljesítményt a reaktancia termeli. Meg kell jegyezni, hgy a kmplex teljesítmény baszlut értéke a látszólags teljesítményt adja,

300 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA [ VA] S S. (9.00) 9.6.6. Teljesítményillesztés Szinuszs gerjesztésű hálózatknál is fnts szerepet játszik a teljesítményillesztés prblémája. Tekintsük a 9.33 ábrán látható hálózatt és annak Thevenin helyettesítő képét, amelyet Z f R f + jx f fgyasztóval terhelünk. 9.33. ábra. A fgyasztóval terhelt hálózat és Thevevin helyettesítő képe Figyelembe véve, hgy a Thevevin helyettesítő kép belső impedanciája rezisztenciát és reaktanciát is tartalmaz, Z b Rb + jxb, a fgyasztón fellépő hatáss teljesítmény a következő alakban fejezhető ki, Pf R f I R f R f Zb + Z f ( Rb + R f ) + ( Xb + X f ). (9.0) A fgyasztó által felvett teljesítmény maximális, ha a fenti kifejezésben a nevező minimális. A nevező csökkenthető, ha az impedanciákból származó reaktanciákat tartalmazó tag eltűnik, azaz Xb + X f 0, X f Xb. (9.0) A fenti feltétel tejesülése esetén a fgyasztón fellépő teljesítmény Pf R f ( Rb + R f ) (9.03) kifejezése megegyezik a rezisztív hálózatknál kaptt kifejezéssel, ahnnan a teljesítményillesztés feltétele a szélsőérték számítási feladat

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 30 dpf dr f 0 (9.04) megldásából R f R b. (9.05) Tehát szinuszs gerjesztésű hálózat állandsult állaptában a teljesítményillesztés esete akkr áll fenn, ha Z * f R f + jx f Rb jxb Zb, (06) a terhelő impedancia a belső impedancia kmplex knjugáltja. Ez azt jelenti, hgy ha a hálózat induktív jellegű, akkr teljesítményillesztéshez a terhelést kapacitív jellegűnek kell választani, míg kapacitív hálózat esetén a teljesítményillesztés induktív terheléssel érhető el. Teljesítményillesztés esetén a fgyasztó által felvett maximális teljesítmény (9.03) alapján Pf T max 4R, (9.07) b ill. Nrtn helyettesítő kép esetén R b I N P f. (9.08) max 4 9.7. Gyakrló feladatk 9.7.. Feladat Egy feszültség valós időfüggvénye ( t) cs( t + 30 )V csúcsértékét. u 5 ω. Adja meg a jel kmplex

30 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA Megldás Mivel a valós időfüggvény a reláis része az u() t 5cs( ω t + 30 ) V Re{ 5e j ( ωt+30 )}V kmplex időfüggvénynek, az időtől függő e j ω t frgató fazr leválasztása után a kmplex csúcsérték 5e j 30 V 5 cs30 + j sin 30,9904 + j7,5000. ( ) ( )V 9.7.. Feladat Valamely feszültség kmplex csúcsértékének algebrai alakja ( 5 + j3)v. Adja meg a jel valós időfüggvényét. Megldás A kmplex csúcsértéket expnenciális alakjának meghatárzása 3 jarctg 5 3 + π + e 5 5,83e j 49 után a valós időfüggvény ( ) ( ) V () t 5,83cs( t + 49 )V u ω lesz. 9.7.3. Feladat Egy dinamikus elem áramának és feszültségének valós időfüggvénye i( t) () t 4cs( t 30 )V,5csωt A, u ω. Határzza meg az áram és a feszültség kmplex csúcsértékét. Megldás Minthgy az áram valós időfüggvényének nincs kezdőfázisa, azaz i t,5csω t A Re 5, e j ωt, az áram kmplex csúcsértéke I,5 A. A () { }A 4 30 e j ωt 4e j 30 ( 0,7846 j,0000)v. feszültség u( t) cs ( ω t 30 ) V 4 ( ) V, a kmplex csúcsértéke 9.7.4. Feladat Két feszültség valós időfüggvénye u( t) ( 0sin ωt 0csωt)V u () t ( 30csωt 0sin ω )V. Határzza meg, t a) a feszültségek kmplex csúcsértékeit, b) a két feszültség összegének kmplex csúcsértékét, valamint valós időfüggvényét,

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 303 c) a két feszültség különbségének kmplex csúcsértékét, valamint valós időfüggvényét. Megldás a) Minthgy a sin ωt a kmplex időfüggvénynek az imaginárius tengelyre eső vetülete, a valós időfüggvény reális része akkr lesz sin ωt leflyású, ha a valós tengely irányában frgatjuk, azaz megszrzzuk e jπ -lel, azaz { e jωt e j } 90 Re{ je jωt } j( csωt + j sinωt) sin ωt j csωt sinωt Re. Az előző összefüggés figyelembe vételével az u ( t) ( 0sin ωt 0csω )V t feszültség a következő kifejezésnek reális része lesz u () t ( t t) { j e j ω t e j ω t } {( j ) e j ω 0sin ω 0csω Re 0 0 Re 0 0 t }, ahnnan a kmplex csúcsérték ( j0 0)V. Hasnló elvek alapján az u() t ( 30csωt 0sin ωt)v valós időfüggvény u() t ( 30csω t 0sin ωt) Re{ 30e jωt ( j0e jωt )} Re{ ( 30 + j0) e jωt }V, ahnnan a kmplex csúcsérték ( 30 + j0)v. b) A két feszültség összege a kmplex csúcsértékek összegével állítható elő, 3 + ( j0 0) + ( 30 + j0) ( 0 j0),3607e j 6,565 V. A két feszültség összegének valós időfüggvénye az 3 kmplex csúcsérték expnenciális alakjából () Re(,3607 6,565 u ),3607 cs( 6,565 3 t e j e jω t ωt )V. c) A két feszültség különbségének kmplex csúcsértéke 4 0 j0 30 + j0 40 j30 a két feszültség különbségének valós időfüggvénye pedig () Re{ 50 43,30 u } 50cs( 43,30 4 t e j e jω t ωt )V. ( ) ( ) ( ) 50e j 43,30 V, 9.7.5. Feladat A 9.34 ábrán látható L 3 mh indukció együtthatójú tekercs feszültségének valós időfüggvénye () t 0csωt V, ω 4 krad s. u L 9.34. ábra. A tekercs

304 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA Határzza meg a tekercs áramának kmplex csúcsértékét és valós időfüggvényét. Megldás A kmplex frmalizmust alkalmazva a tekercs feszültségének kmplex csúcsértéke L 0 V, a tekercs impedanciája Z 4 03 3 0 3 L jω L j j Ω. Az áram kmplex csúcsértéke I 0 0,8333 0,83333 jπ L L Z L j j e A, a tekercs áramának valós időfüggvénye i () t Re{ 0,83333e j e j t } 0,8333cs( t 90 L π ω ω )A. 9.7.6. Feladat A 9.35 ábrán látható C,5 µf kapacitású kndenzátr áramának valós időfüggvénye () t 0,0 csωt A i C, ω 400 krad s. Határzza meg a kndenzátr feszültségének kmplex csúcsértékét és valós időfüggvényét. 9.35. ábra. A kndenzátr Megldás A kmplex frmalizmust alkalmazva a kndenzátr áramának kmplex csúcsértéke I C 0,0 A, a kndenzátr impedanciája Z 400 03,5 0 6 C jω C j jω. A kndenzátr feszültségének kmplex csúcsértéke 0, ( ) 0, 0, jπ C ZC IC j j e V, a kndenzátr feszültségének valós időfüggvénye u ( t) Re{ 0,e j e j t } 0,cs( t 90 C π ω ω )V. 9.7.7. Feladat Az 9.36 ábrán látható hálózatban a srs R 3 Ω, a tekercs reaktanciája X L ω L 3 Ω. Az ( t) időfüggvénye () t 0csωt V R L körben az ellenállás értéke u s frrásfeszültség valós u s. Határzza meg a tekercs áramának kmplex csúcsértékét és valós időfüggvényét.

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 305 9.36. ábra. A srs R-L kör Megldás A kmplex frmalizmust alkalmazva a frrásfeszültség kmplex csúcsértéke 0 V. Az ellenállás impedanciája Z R 3 Ω, a tekercs impedanciája Z L jω L j 3 Ω. A tekercs áramának kmplex csúcsértéke 0 0 5 5 I s j30 L e A, az áram Z 3 3 jarctg( 3 3) R + ZL + j e 3e j30 3 5 j30 jω t 5. 3 valós időfüggvénye i () t Re e e cs( ωt 30 )A L 3 9.7.8. Feladat Határzza meg az 9.37 ábrán látható hálózatban a kndenzátr feszültségének kmplex csúcsértékét és valós időfüggvényét, ha a feszültségfrrás frrásfeszültségének valós időfüggvénye u s () t 5csωt V, az ellenállás R 3 Ω és a kndenzátr reaktanciája ω C 4 Ω. 9.37. ábra. A srs R C hálózatban a kndenzátr feszültsége Megldás A kmplex frmalizmust alkalmazva a frrásfeszültség kmplex csúcsértéke s 5 V. Az ellenállás impedanciája Z R 3 Ω, a kndenzátr impedanciája Z C j4 Ω. A feszültségsztás felhasználásával a kndenzátr feszültségének j ω C

306 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA kmplex csúcsértéke Z 4 60 j90 C j e 5 j36,87 C s e V Z 3 4, a R + ZC j 5e j53,3 kndenzátr feszültségének valós időfüggvénye u t Re e j 36,87 e jω t cs ωt 36,87. C () { } ( )V 9.7.9. Feladat Határzza meg az 9.38 ábrán látható hálózatban az ellenállás feszültségének kmplex csúcsértékét, ha a feszültségfrrás frrásfeszültségének valós időfüggvénye u() t csωt V, és R 5 Ω, X L ω L 0 Ω, X C 5 Ω. ω C 9.38. ábra. A hálózat Megldás A kmplex írásmód alkalmazásával a feszültségfrrás frrásfeszültségének kmplex csúcsértéke s V, az ellenállás impedanciája Z R 5 Ω, a tekercs impedanciája ZL jx L jω L j0 Ω, a kndenzátr impedanciája ZC jxc j5 Ω. jωc A feszültségsztás összefüggésének alkalmazásával az ellenállás feszültségének kmplex csúcsértéke ZL ( ZR + ZC ) ZR j0 ( 5 j5) 5 R s ZR + ZL ( ZR + ZC ) ZR + ZC 0 + j0 ( 5 j5) 5 j5 0 5 6 0 5 j5 j 6 e j45 V. 9.7.0. Feladat Határzza meg az 9.39 ábrán látható hálózatban az ellenállás áramának kmplex csúcsértékét expnenciális alakban, ha az áramfrrás frrásáramának valós időfüggvénye i s () t 4csωt A, és R 3 Ω, ω C 6 Ω.

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 307 9.39. ábra. A hálózat képe Megldás A kmplex írásmód alkalmazásával az áramfrrás áramának kmplex csúcsértéke I s 4 A. Az áramsztás összefüggését alkalmazva a keresett áram kmplex csúcsértéke R + jωc 6 j6 IR Is 4 ( 3,0769 j0,654) A 3,379e j,3099 A. 9 j6 R + R + j C ω 9.7.. Feladat Határzza meg a 9.40 ábrán látható hálózatban az R-L elemek feszültségének kmplex csúcsértékét expnenciális alakban, ha a feszültségfrrás frrásfeszültsége u s () t 3 csωt V és R 3 Ω, ω L 6 Ω. 9.40. ábra. A hálózat az L-R elemek feszültségével Megldás A kmplex írásmód alkalmazásával a feszültségfrrás feszültségének kmplex csúcsértéke s 3 V. A feszültségsztás összefüggését alkalmazva a keresett elemek feszültségének kmplex csúcsértéke R + jωl 6 + j6 s 3 ( 4,654 + j4,93) V 5,09e j,3099 V. R + R + jωl 9 + j6 ( )

308 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 9.7.. Feladat Határzza meg az 9.4 ábrán látható hálózatban az R-C elemek feszültségének kmplex csúcsértékét, ha a feszültségfrrás feszültsége ( t) 36csωt V ω C 8 Ω. u s és R 4 Ω, 9.4. ábra. A hálózat Megldás A kmplex írásmód alkalmazásával a feszültségfrrás feszültségének kmplex csúcsértéke s 36 V. A feszültségsztás összefüggését alkalmazva a keresett elemek feszültségének kmplex csúcsértéke R + jωc 4 j8 + j6 s 36 R + R + j8 jωc ( 9,3846 j,0769) V,363e j9,7449 V. 9.7.3. Feladat Határzza meg az 9.4 ábrán látható hálózatban az ellenállás áramának kmplex i s t 4,8csωt és R 3 Ω, ω L 9 Ω. csúcsértékét expnenciális alakban, ha az áramfrrás árama ( ) A 9.4. ábra. A hálózat

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 309 Megldás A kmplex írásmód alkalmazásával az áramfrrás áramának kmplex csúcsértéke I s 4,8 A. Az áramsztás összefüggését alkalmazva a keresett áram kmplex csúcsértéke R + jωl 6 + j9 I R Is 4,8 ( 4,0000 + j0,8000) A 4,079e j,3099 A. R + R + jωl 9 + j9 9.7.4. Feladat A 9.43 ábrán látható hálózat gerjesztése u s ( t) 8csωt. Határzza meg az R ellenállás feszültségének kmplex csúcsértékét algebrai alakban, ha R 3 kω és ω C 3 kω. 9.43. ábra. A hálózat rajza Megldás A kmplex írásmód alkalmazásával a gerjesztés kmplex csúcsértéke s 8 V. A feszültségsztás alkalmazásával az R ellenállás feszültségének kmplex csúcsértéke R jωc 3 ( j3) R s 8 R + R 6 + 3 ( j3) jωc ( 6,465 j 4,3077) V 7,7658e 33,690 V. 9.7.5. Feladat A 9.44 ábrán látható hálózat gerjesztése i s 3csωt A. Határzza meg a kndenzátr feszültségének kmplex csúcsértékét algebrai alakban, ha R 3 Ω, ω C 6 Ω.

30 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 9.44. ábra. A hálózat Megldás A kndenzátr feszültsége az áramsztás alapján R 3 C Is 3 j6,769 j 4,538 R + R + jωc jωc 9 j6 ( ) ( )V. 9.7.6. Feladat Határzza meg a 9.45 ábrán látható hálózatban a tekercs áramának kmplex csúcsértékét expnenciális alakban, ha u ( t) 5cs( t 30 s ω )V, ( t) 3csωt A, és R 5 Ω, ω L 0 Ω, ω C 5 Ω. i s 9.45. ábra. A hálózat Megldás A tekercs árama a szuprpzició elve alapján jωc 5 ( 5) 5 j30 s j e IL Is R + jωl + jωc R + jωl + jωc 5 + j5 5,03 + j0,03 5,03e j79,634 A.

9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA 3 9.7.7. feladat Határzza meg a 9.46 ábrán látható hálózat AB kapcsira vnatkzó Thevenin u s t 8csωt, R 3 Ω, ω L 6 Ω, ω C 3 Ω. helyettesítő képet, ha () V 9.46. ábra. A hálózat, Megldás A 9.47 ábrán látható Thevenin helyettesítő kép paraméterei az amelyek a hálózat alapján T és a Z b, 9.47. ábra. A Thevenin helyettesítő kép jωl jωc j6 ( j3) T s 8 ( 4,4000 j 7,000)V, R + jωl 3 + j6 ( j3) jωc Z b R jω L 3 j6 ( j3) ( 0,93 + j,3846)ω. jωc 9.7.8. feladat Egy Z ( 5 + j3)ω impedancia árama I 6e j30 A. Határzza meg az impedancia hatáss és meddő teljesítményét.

3 9. SZINSZOS GERJESZTÉS VÁLASZA Megldás A kmplex teljesítmény S P + jq I * Z I ( 5 + j3) 6 ( 90,0000 + 54,0000)VA j, ahnnan a hatáss teljesítmény P 90,0000 W és a meddő teljesítmény Q 54,0000 var. 9.7.9. feladat Egy Y ( 3 + j6)s admittancia feszültsége ( 5 j)v. Határzza meg az admittancia hatáss és meddő teljesítményét. Megldás A kmplex teljesítmény S P + jq I * Y * ( 5 + )( 3 j6) ( 43,5000 87,0000)VA j, ahnnan a hatáss teljesítmény P 43,5000 W és a meddő teljesítmény Q 87,0000 var.