SÍKMÉRTAN Emiliy Velikov, Svetoslv Bilchev Fejezet BEVEZETÉS Ebben fejezetben több áltlános módszert ismertetünk, melyek síkmértni feldtok megoldásár lklmsk, és melyek segítséget nyújthtnk tehetséges diákokkl fogllkozó tnárok munkájához Az nyg tizenkét fejezetet trtlmz, melyek bevezető után, háromszögekről, sokszögekről, körökről, szélsőérték feldtokról, mértni hely és szerkesztési kérdésekről, trnszformációkról (forgtás, hsonlóság, és inverzió), speciális tételekről, metrikus kérdésekről, mértni egyenlőtlenségekről és vektorok síkmértni lklmzásiról szólnk Minden fejezet z iskolákbn tnított lpnygból indul ki, és - ezen felül olyn kiegészítő feldtokt trtlmz, melyeknek megoldásár komplex számokt, vektorokt, trnszformációkt, lgebri és mértni egyenlőtlenségeket lklmzunk Szinte mind 4 feldtot teljes megoldássl együtt közöljük Fejezet A HÁROMSZÖG Feldt Keressen három különböző egyenlőszárú háromszöget, melyeknek oldli egész számok, és területüket kifejező szám egyenlő kerületük hosszát kifejező szám htszorosávl Megoldás Jelöljük egy ilyen, keresett háromszög oldlit(,b,b) -vel A kerület htszoros ezek szerint: 6 + b és háromszög területe Heron képlet szerint: b+ b A feldt feltétele következő egyenlettel írhtó fel: 6+ b = b+ b, mi négyzetre emelve: b+ = b+ b 44, zz b+ 44 b+ = b, = b 4 láthtó, hogy értékét célszerű 4 többszörösének válsztni, és z első többszörösei következő három megoldáshoz vezetnek: = 48, b= 4 ; = 7, b= 45 ; =, b= 65 Ezekben z esetekben háromszög területe rendre 97, 768 és 5, és ezek vlóbn z dott kerület htszorosávl egyenlők ABC Feldt LegyenG z háromszög súlypontj és Tegyük fel, hogy BDG háromszög egyenlő oldlú, és oldlink hossz Htározz meg z háromszög ABC AB, BC, CA oldlink hosszát D BC oldl középpontj Megoldás A BC oldl: Mivel D BC oldl középpontj, így DC = és BC =
G ABC AG = GD GDB = 6 Az AB oldl: A pont z háromszög súlypontj, tehát és így AG =, AD= 3 A BDG háromszög egyenlő oldlú, tehát Az ABD háromszögben lklmzzuk cos tételt: ( ) AB = AD + BD AD BD cos GDB = + 3 3 = 7, tehát AB = 7 Az AC oldl: A GDC és GDB szögek kiegészítő szögek, tehát GDC = Most z ACD háromszögben lklmzzuk cos tételt: AC = AD + CD AD CD cos( GDC ) = + 3 3 = 3, vgyis AC = 3 3 Feldt Két egyenlő sugrú kör mellékelt ábr szerint háromféleképpen írhtó be egymás mellé nnk z derékszögű háromszögnek derékszögébe, melynek z oldli ABC rendre z AB = 3, BC =, CA= 5 Htározz meg körök sugrát mind három esetben eset eset 3 eset Válsz eset 3 ; eset 9 ; 3 eset 6 7 ABC BC = oldlánk egy pontj A P ponton át 4 Feldt Legyen P z háromszög z AB oldlll párhuzmos egyenes z AC -t E -ben, z AC oldlll párhuzmos egyenes z AB -t F -ben metszi H tudjuk, hogy z háromszög területe, igzoljuk, hogy ABC
BPF, CPE háromszögek és z AEPF négyszög közül, leglább z egyiknek területe nem kisebb, mint 4 9 Megoldás H = = ( ) BC, BP r, Ekkor - r háromszög területét jelöli) és ( ) F CPE = 4 CP r, F r = BPF = ( F BPF - BPF H r, kkor FBPF = r H 3 9 r 3, kkor F ( ) 4 CPE = r 9 Végül, h r, Ekkor FAEPF = r ( r) = r r 3 3 A kpott függvény egy olyn konvex prbol, melynek minimum vlmelyik végpontbn 4 vn H r = vgy r =, kkor FAEPF = r r = 3 3 9 Tehát, 4 F AEPF >, vgyis BPF, CPE háromszögek és z AEPF négyszög területe 9 közül leglább z egyik nem kisebb, mint 4 9 5 Feldt Az ABC háromszög oldli AB =, BC = 3, CA = 5 Az M pontot úgy vesszük fel z AC oldlon, hogy z ABM és BCM háromszögekbe írt körök sugr egyenlő Számíts ki következő rányt: AM :MC Megoldás Legyen AM :MC = k H z ABM és BCM háromszögekbe írt körök sugr egyenlő kkor területeik k rány egyenlő kerületük rányávl Tehát, 3k BM = k Ebből z egyenlőségből z következik, hogy: < k < 3 Írjuk fel z ABM és BCM háromszögekre cos tételt ( BMA és BMC szögekre lklmzv) Azután küszöböljük ki szögek cos-át kpott egyenlőségekből A k -r következő egyenletet kpjuk: 3 69k k + 44k = melynek gyökei, és 3 3 Végül, k -r vontkozó feltételek lpján k = 3 Megjegyzés: Alklmzhtjuk Stewrd ún ngy tételét: CM AB + AM BC BM = AM CM AC és megkpjuk kívánt egyenletet k -r
ABC 6 Feldt Legyen l z háromszög beírt körének középpontj Tekintsük zt z Ω kört mi CA,CB oldlkt rendre D,E pontokbn érinti, és ugynkkor belülről érinti háromszög köré írt kört Igzolj, hogy l DE szksz középpontj Megoldás Nyilván elegendő zt bizonyítni, hogy l DE szkszon vn, mert kkor feldt megoldás kész, hiszen DCE háromszög egyenlő szárú, ésci szögfelezője C szögnek, és így egyben DCE súlyvonl is Jelöljük x,y-nl rendre BE,AD szkszok hosszát Most z A,B,C pontokr és z Ω körre lklmzzuk Cuchy tételét: ( ) xb+ y= x c CE = CD x= b y, zz y = b + x De így A fenti egyenletet megoldv: ABC x ( b) s = és s y ( ) b s =, s hol s z háromszög félkerülete Abból, hogy l DE -n vn, z következik, hogy trnzverzális tételének megfelelően z lábbi egyenlőséggel ekvivlens: BE AD C' I AC' + BC' = AB EC DC IC hol C' = CI I AB A szögfelező tételéből tudjuk, hogy: C' I = c IC + b Tehát z előző egyenlőség átírv következő cb x c y c + =, zz bx y c b+ x + b b y + b x + b y = ( s b) b( s ) b s + s = c mi végül is: ( s b) b( s ) b s s b( s b) b( s ) + = c s s + b sb bs + b Ez utóbbi egyenlőség nyilván igz vgy ABC M,N - rendre BC,AC oldlk 7 Feldt Az háromszögben legyen középpontji H z ABC háromszög mgsságpontj, és z AMN súlypontj egybeesnek, kkor htározz meg z háromszög szögeit ABC Megoldás Ezt feldtot komplex számok felhsználásávl oldjuk meg Tekintsük z ABC háromszög köréírt körének O középpontját koordinátrendszer origójánk, és jelöljük z A,B,C pontok ffixumink megfelelő,b,c komplex számokt Az ABC háromszög mgsságpontjánk h = + b+ c komplex szám felel meg Ugynkkor z háromszög súlypontjánk AMN
b+ c c+ 3+ b+ c g = + + = felel meg 3 6 H most g = h zt kpjuk, hogy 3+ 5b+ 4c= Most z áltlánosságot megtrtv feltehetjük, hogy = és következésképpen b = c = (mivel mindkettő kör sugrávl, -el egyenlő) Az előző egyenlőség 3+ 5b+ 4c= lkr hozhtó, minek konjugáltj: 5 4 3+ 5b + 4c = vgyis 3 + b + c = Ezt most b és c -re megoldv vgy zt kpjuk, hogy 3 4 3 4 c = i, b= i vgy c = i, b= + i 5 5 5 5 Az így kpott háromszögek egybevágók, mivel egymásnk tükörképei z x tengelyre vontkozón A szokásos számítások elvégzése után π B =, tga = 3, tgc = 4 ABC H O 8 Feldt Az háromszög mgsságpontj, köré írt körének középpontj, sugr R Legyen D,E,F rendre z A,B,C pontok tükörképei BC,CA, AB -re vontkozón A D,E,F pontok kkor és cskis kkor kollineárisk, h: OH = R ABC A',B',C' rendre BC,CA, AB Megoldás Legyen G z háromszög súlypontj, és oldlk középpontji Legyen A'' B'' C'' z háromszög, melyben z A,B,C pontok rendre B'' C'',C'' A'', A'' B'' szkszok középpontji Ekkor z A'' B'' C'' háromszög beírt körénekg súlypontj és H köré írt kör középpontj Jelölje rendre D',E',F' z pontnk szkszokr eső merőleges O B'' C'',C'' A'',A'' B'' vetületeit Tekintsük zt h Ez z A,B,C,A'',B'',C'' pontokt rendre átviszi z A',B',C',A,B,C pontokb AD Vegyük észre, hogy Következtetésünk z, hogy középpontos hsonlóságot, minek középpontj G és rány GA A' D' BC, miből következik, hogy = = és A'D' GA' DAG = D' A' G h( D) = D' és, hsonlón, h( E) = E', h( F) = F' Így tehát D,E,F pontok kkor, és cskis kkor kollineárisk, h D',E',F' is kollineáris pontok De O B'' C'',C'' A'',A'' B'' A'' B'' C'' A'' B'' C'' R O OH = R D',E',F' z pontnk merőleges vetületei oldlkr A Simpson tétel lpján ezek pontok kkor kollineárisk, h z O pont z háromszög köré írt körön vn Mivel z háromszög köré írt körének sugr, következik, hogy z pont kkor, és cskis kkor vn ezen köré írt körön, h 9 Feldt Az ABC háromszög AD, BE, CF oldlfelezői G pontbn metszik egymást A G csúcs körül ht kisebb háromszög keletkezik H z AFG, BDG, CDG háromszögekbe írt körök egyenlő sugrúk, kkor z ABC háromszög egyenlő oldlú Ötlet A BDG és CDG háromszögekből könnyen bebizonyíthtó, hogy BG = CG, így BE = CF és tehát AB = AC, zz c = b Aztán felhsználv, hogy z AGF és BGD
háromszögek területe egyenlő, egyenlők beírt köreik és z zt kpjuk, F AGF F BGD = b + m + mb + mb + m 3 3 3 3 Ez ekvivlens következő hrmdfokú egyenlettel: és mivel m,m,m = m b c b, vgyis ( b ) ( m m ) b b = b+ c = b>, zt kpjuk, hogy b=, vgyis = b= c 3 = b, súlyvonlik, 3 Fejezet SOKSZÖGEK ABCD ABD,BCD és ABC 3 Feldt Tegyük fel, hogy z konvex négyszögben z háromszögek területeinek rány 3: 4 : H egy, B ponton keresztül hldó egyenes z AC -t M -ben és CD -t N -ben metszi és tudjuk, hogy AM : AC = CN : CD, bizonyíts be, hogy M és N rendre z AC és CD középpontj Megoldás Legyen Innen Most, H vesszük z Mivel F r >, z ABD AM : AC = CN : CD = r és F ABC = Ekkor = 3, F = 4 és F = 3+ 4 = 6 ( Ábr) BCD ACD F = r, F = 4r és F 6r ABM BCN ACN = F BCM = F ABC F ABM = r F CNM = F BCN F BCM = 5r F = F F = r+ AMN ACN CMN, és r+ F AMN AM = = = r következő másodfokú egyenletet kpjuk: 6r F AC ACN 6r r r 3r ( )( ) = = + r =, mi kívánt eredményre vezet Ábr ABCDEF AB = CD = EF = R, hol R köré írt kör sugr és O középpontj Igzolj, hogy BOC, DOE, FOA O R 3 Feldt Legyen egy körbe írt htszög, miben háromszögek köré írt körök -tól különböző második metszéspontji egy sugrú egyenlő oldlú háromszöget lkotnk
Megoldás Nyilvánvló, hogy z AOB, COD, EOF háromszögek egyenlő oldlúk Jelöljük z: BOC = α, DOE = β, FOA = γ K,M,L rendre BOC és AOF, BOC és DOE, AOF és DOE háromszögek K AOB BKO = 8 BCO = 9 +α, AKO = 9 +γ és, mivel π π 3 3 α+β+γ= = 9, z következik, hogy AKB = 9 +β L pont z FOE háromszög belsejébe esik, és OLF = 9 +γ, OLE = 9 +β, FLE = 9 +α Legyen köré írt körök második metszéspontji A pont z háromszög belsejébe esik és Hsonlón, Mivel AOB és DOF egyenlő oldlú háromszögek, következik, hogy OL Így = AK és KOL = γ+ KOA + LOF = γ+ KOA + KAO = 9 +γ = AKO = = KOL,AKO háromszögek egybevágók, tehát KL AO R Hsonlón, L M = MK = R 33 Feldt Igzolj, hogy konvex egyenlő oldlú ABCDE ötszög belseje nem fedhető le teljesen olyn körlpokkl, melyeknek átmérői egybeesnek z ötszög oldlivl ABCDE Megoldás Jelölje R z ötszög oldlánk hosszát A sktuly elvből következik, hogy z ötszögnek vn leglább két olyn egymást követő szöge, melyekre: 3 π 3π π = >, zz 6 -nál ngyobbk Tegyük fel, hogy ezek szögek z 5 5 3 EAB, ABC Következik, hogy BE és ngyobbk, mint R AC Legyen M z EC szksz középpontj Az M pont rjt vn DE és DC ( DM CE) átmérőjű félkörökön, tehát belsejükben vn Ugynkkor be fogjuk bizonyítni, hogy M z AE átmérőjű félkörön kívül esik Vlóbn, AC MF = > R, hol F z AE középpontj Hsonló következtetés vonhtó le BC átmérőjű félkörre is Már csk zt kell bizonyítnunk, hogy z M z AB átmérőjű félkörön kívül esik Tegyük fel ennek ellenkezőjét, mi zt jelenti, hogy z AMB > 9 De AB z AMB háromszög leghosszbb oldl, tehát AM < R De z EM = EC < ( ED + DC ) = R egyenlőtlenségből következik, hogy EA= R > EM, EA> AM, és így EMA > 6 Hsonló úton CMB > 6 és ezáltl 8 < < EMA + AMB + CMB, mi ellentmondás ABCDE B =, C =, D = 3, E = 34 Feldt Legyen egy O középpontú körbe írt ötszög és tegyük fel, hogy
Igzolj, hogy BD és CE átlók z AO n metszik egymást Megoldás Komplex számokt fogunk hsználni A szokásos számítások elvégzése után zt kpjuk, hogy köré írt körön z ötszög oldlihoz trtozó körívek (rc=ív): rcab = 8, rcbc = 4, rccd = 8, rcde =, rcea = 4 megfelel 8-d rendű egységgyöknek, zz: π π ϖ= cos + i sin 8 8 A = csúccsl kezdve, többi csúcshoz következő egységgyököket rendelhetjük: 4 6 B = ϖ,c = ϖ,d = ϖ, E = ϖ ϖ 8 k 8 k 9 6 3 ϖ = vgy ϖ =ϖ ; ϖ = vgy ϖ ϖ + = Természetesnek tűnik, hogy ezeket szögeket úgy tekintsük, mint ugynis Az Felhsználjuk z tuljdonsági közül következőket: többszörösét, Azt kell bebizonyítnunk, hogy BD és CE ( Ábr) egyenesek metszéspontj egy vlós számnk felel meg A BD szksz egyenlete z z () 4 4 ϖ ϖ = ϖ ϖ és CE egyenes egyenlete () z z 6 6 ϖ ϖ = ϖ ϖ, Az ()-es egyenlet következőképpen írhtó fel: Ábr z( 4 8 ) z( 4 ) ( 6 ) vgy z 8 ( 6 ) z 4 ( 6 ) 6 ( 6 ) ϖ ϖ ϖ ϖ + ϖ ϖ = ϖ ϖ + ϖ ϖ +ϖ ϖ = Az ω tuljdonságit felhsználv z ()-nek következő egyszerűbb lkjár jutunk: 4 (3) zϖ + z +ϖ =
Hsonlón ()-es egyenletből következik z lábbi: 3 4 (4) z z ( ) ϖ+ ϖ ϖ = A (3)-s és (4)-esből kifejezzük z-t: 7 3 6 ϖ + ϖ ϖ ϖ + ϖ ϖ ϖ z = = = + 4 6 ϖ ϖ ϖ ϖ 5 Annk érdekében, hogy bebizonyítsuk, hogy z vlós, elegendő belátni, hogy egybeesik konjugáltjávl Beláthtjuk, hogy z ϖ ϖ ekvivlens mi mi z ϖ 9 ϖ = = ϖ 5 5 4 5 4 5 ϖ ϖ =ϖ ϖ, ϖ 4 ϖ 3 =ϖ 4 ϖ 5, zz lpján teljesül ϖ ϖ = ϖ 9 9, ( )( ) ϖ + ϖ = 35 Feldt Legyen egy konvex sokszög síkon Tegyük fel, hogy kiválsztv bármely két PP P n P,P i j csúcspontot, lesz sokszögnek egy olyn csúcs, melyből PP i j oldl 6 -os szög ltt látszik Igzolj, hogy n = 3 P,P j k PP j k Megoldás Legyen z két csúcs, melyre oldl minimális hosszúságú, és P i PPP legyen z csúcs, melyre teljesül: = 6 Ekkor háromszög egyenlő PPP j i k j i k oldlú (Igzolj zt!) Jelöljük z ABC -gel Hsonlóképpen, h mximális hosszúságú oldl, és csúcs, melyből PP r s PPP r t s = 6, így egy másik egyenlő oldlú háromszöget kpunk, z A BC -et Be fogjuk bizonyítni, hogy AB = AB Ezzel befejeztük feldt bizonyítását, mivel sokszög konvex és csúcsi D A,D B,D C trtományokbn vnnk (Lásd 3-s ábr) P t A következő eseteket különböztetjük meg: C 3 Ábr Eset Az ABC és A BC -nek vn közös csúcs, legyen A = A Ekkor B és D A trtománybn, mert ebben z esetben BAC < 6 B D B Ekkor BB és AC szkszoknk vn egy közös E pontjuk A nem lehetnek egyszerre Tegyük fel, hogy következő egyenlőtlenség fog teljesülni:
AB+ BC < AC+ BB, mivel AB < AE+ BE és BC < BE+ CE Következik, hogy AB BB Következésképpen B nem lehet sem B C pontok egyike <, mi ellentmond nnk, hogy AB = AB hossz mximális D sem D trtománybn Vgyis B vgy Eset Az ABC és A BC -nek nincsen közös pontj H z A,B,C pontok A,B D közül kettő ugynbbn trtománybn vn, mondjuk hogy BCA és kkor mx( CB,CA ) < 6 > AB C B C (4 Ábr) z következik, Ez egy ellentmondás 4 Ábr H z A,B,C pontok különböző D A,D B,D C trtományokbn vnnk, kkor zt kpjuk, hogy A,B,C z ABC külső pontji, mivel sokszög konvex (5 Ábr) 5 Ábr Mivel BC minimális hosszúságú, z következik, hogy és ekkor CAB < 6 Ez egy ellentmondás Következik, hogy eset nem fordulht elő BAC 6
4 Fejezet KÖRÖK 4 Feldt Legyen AB egy félkör átmérője és T BA meghosszbbításánk pontj, melyre AT < AB Tegyük fel, hogy z l egyenes áthld T -n és merőleges AB -re 4 és vegyünk fel két egyenest félkör M és N pontjin keresztül, melyek merőlegesek l - re, zt rendre P -ben és Q -bn metszik H MP = AM és NQ = AN, igzolj, hogy AM + AN = AB Megoldás A 6 ábr szerint z M és N merőleges vetületei AB -re C és D Mivel CAM és MAB háromszögek hsonlók, zt kpjuk, hogy AM = ACAB Hsonlón, AN = ADAB Tehát ABCD = AB AD AC = AN AM = AN + AM AN AM = ( ) ( )( ) ( AN AM )( NQ MP) ( AN AM )CD = + = + vgy AM + AN = AB 6 Ábr 4 Feldt Tegyük fel, hogy különböző sugrú C( O ) és ( ) C O körök z with A és B pontbn metszik egymást és tegyük fel, hogy z A pontból C körhöz húzott érintő B- ből C körhöz húzott érintőt z M pontbn metszi Igzolj, hogy z M pontból mindkét kör zonos szög ltt látszik Megoldás Be kell bizonyítsuk, hogy zzl, hogy (5) OA OB = AM BM OMA = O BM (7 Ábr), mi ekvivlens
C 7 Ábr Az OO szksz z AB -t -ben metszi Az AB közös húr hossz: AB = OA sinaoc = OA sinbam és hsonlón tehát (6) (7) AB = O B sin BO C = O B sin ABM, OA OB = sin ABM sin BAM ( ) ( ) A Sin tétel lpján z ABM háromszögben: MA MB = sin ABM sin BAM ( ) ( ) A (6)-ost (7)-sel elosztv kpjuk z (5)-öst 43 Feldt Tegyük fel, hogy síkbn három körnek, melyeknek középpontji rendre z A,B,C pontok, egy közös egyenes z érintője, és körök kettesével egymást is érintik (kívülről) Igzolj, hogy z ABC háromszög tompszögű, és keresük meg ennek z szögnek z összes lehetséges értékeit Megoldás Jelöljük három kör sugrát rendre,b,c -vel Legyen A',B',C' z A,B,C középpontok vetülete rendre egyenesre (8 Ábr) Tegyük fel, hogy c < b Ekkor Az ( ) ( ) A'B' = + b b = b, B'C' = bc, A'C' = c A' B' = A' C' + C' B' egyenlőségből z következik, hogy b = c + bc, b mi ekvivlens c = egyenlőséggel + b ( )
Az (8) ABC 8 Ábr háromszögre lklmzhtjuk cos tételt: c( + b+ c) b cosc = + c b+ c Könnyen beláthtó, hogy ( )( ) C tompszög következő ekvivlens állítások lpján: ( ) ( ) cosc < c + b + c < b = c + b + b+ c< + b+ b c< b c < b mi nyilvánvló c, c< b lpján A C b cosc = + c b+ c 4, mértékét (8) lpján is beláthtjuk, mi átírhtó következő lkbn: ( )( ) Ekvivlens módon, zt kpjuk, hogy (9) sin C = b ( + c)( b+ c) π π C π Mivel < C <π, z következik, hogy < < Tehát elegendő (9)-ben dott 4 C sin függvény mximumát megkeresni A (9)-es képlet átírhtó: C sin = = + c b+ c c c b + + b lkbn, és z eredeti feldt visszvezethető rr, hogy megtláljuk következő szorzt mximumát: c c P = + + b c c Vezessük be következő jelöléseket: = x és = y b = + +, zzl kiegészítő feltétellel, hogy x + y =, x,y Ekkor P ( x )( y )
Az nlízis eszközeivel ez egy kétváltozós feltételes szélsőérték kérdés könnyen megoldhtó, de most elemi módszerekkel keressük meg megoldást Jelöljük xy = p Ekkor P = + x + y + x y = xy+ x y = p p+, hol A x+ y p = xy 4 P = p p+, 4 függvény minimális értékét intervllumon egy csökkenő másodfokú függvény Tehát p = esetén 4 5 P = 6 6 következtetésként z x = y vgy = b esetén mx( C ) = rcsin 5 π 6 Ezért, C lehetséges értékei: C, rcsin 5 ABC ( ) D pontj Legyen ( ) egy olyn kör, mely érinti ( ) egyeneseket, és legyen ( ) egy olyn kör mi érinti ( ) egyeneseket Igzolj, hogy ( ) ( ) 44 Feldt Tekintsük z háromszöget, melynek köréírt köre k O és BC oldl k O kört, vlmint z AD és BD k O, vlmint z AD és DC k K és k L kkor és cskis kkor érintő körök, h BAD = CAD Megoldás Legyen E z AD egyenes és k( O) kör metszéspontj (9 Ábr) A K N Q O L B M D P C E 9 Ábr Legyen M és N k ( K) k ( L) Alklmzzuk Cuchy tételét B, C, E és k ( ) metszéspontj rendre BD és AD egyenessel, és legyen P és Q metszéspontj rendre DC és AD egyenessel elfjult (degenerált) köröknek tekintjük Ezen z úton zt kpjuk, hogy: BE CM + CE BM = BC EN K körökre, hol B, C és E pontokt
Még egyszer lklmzzuk Cuchy tételét B, C, E és k ( ) k ( K ) ( ) BE CP+ CE BP = BC EQ k L L körökre, és z kpjuk, hogy: A és körök kkor lesznek érintő körök, h N és Q egybeesik, zz h EN = EQ A fenti feltételek lpján z dott feltétel ekvivlens következővel: BE ( CM CP) = CE ( BP BM ) ( BE CE) MP = Következik, hogy BE = CE Ez egyenértékű zzl, hogy BAE = CAE Megjegyzés Ezt megoldást felhsználhtjuk következő, hsonló feldt megoldásár: 45 Feldt A k( O ), k( K ), k( L ) körök egymáshoz vló viszony következő: k,k körök egymást kívülről érintik egy külső N pontbn, és mindkét kör belülről érinti k kört Az A,B,C pontok k körön vnnk úgy, hogy: BC egy közös érintője k,k két körnek, z N és A BC oldlnk ugynzon z oldlán Igzolj, hogy N beírt kör sugr z ABC háromszögben 5 Fejezet SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK 5 Feldt Egy négyzetben, melynek z oldl 6 dottk z A,B,C,D pontok, úgy, hogy bármely két pont távolság leglább 5 Igzolj, hogy négy pont egy konvex négyszög csúcsi és ennek területe ngyobb, mint Megoldás Először észrevehetjük, hogy négy pont közül bármely három áltl meghtározott szög nem lehet ngyobb vgy egyenlő -l, mivel h zt tesszük fel, hogy ABC, kkor z AB 5 és BC 5 lpján z következik, hogy AC 5 3 > 6, mi ellentmondás Ezért, h z négyszög nem konvex, kkor négy pont egyike másik három áltl ABCD lkotott háromszög belsejében vn Tegyük fel, hogy [ ] D int ABC De ekkor z ADB,BDC,CDA szögek egyike, sktuly elv értelmében ngyobb vgy egyenlő -l, mi ellentmondás Így ABCD konvex négyszög Most mivel z ABC háromszög minden szöge kisebb mint és létezik egy, mondjuk z 3 ABC, mely ngyobb mint 6, z következik, hogy sin( ABC ), így ztán: F ( ) 3 5 ABC = AB BC sin ABC > (mivel 65 > 588 > 49 ) 4 Hsonlón bizonyíthtó, hogy F ACD, és tehát F ABCD > 5 Feldt két egységnégyzet oldli párhuzmosk, és egymásr vnnk csúszttv egy területű tégllpnyi részen Htározz meg két négyzet középpontjink távolság 8 milyen korlátok közt változht? Megoldás Legyen MNPQ z tégllp, melyen átfedi egymást két négyzet, melyeknek középpontját A és B jelöli ( Ábr) Legyen MN = x,pq = y, így
xy =, x,y (, ] 8 Tegyük fel, hogy z A ponton át z MN egyenessel párhuzmos egyenes és B ponton át z NP egyenessel párhuzmos egyenes C pontbn metszik egymást Könnyen beláthtó, hogy AC = + x = x, BC = y és ( ) ( ) ( ) AB x y x y x y = + = + + + = 7 = x + xy+ y ( x+ y) + = ( x+ y) ( x+ y ) + = 4 4 ( ) 3 = x+ y +, 4 3 tehát AB Ábr 3 Következik, hogy z A, B középpontok közti távolság minimum, és z x+ y =, xy =, esetben érhető el 8 + x =, y = + vgy x =, y = 4 4 4 4 Az AB mximális értékének meghtározásár észrevehetjük, hogy 9 9 ( x)( y) = x y+ xy = ( x+ y ), zz x+ y 8 8 Másrészt: x+ y xy =, így ztán > x+ y 8 Mivel 8, következik x+ y és rr jutunk, hogy
3 9 AB + = = 4 4 Tehát AB, melyben z egyenlőség kkor teljesül, h Következésképpen, 3 AB x = y = 6 Fejezet MÉRTANI HELYEK 6 Feldt H A és B egy dott kör rögzített pontji, és XY egy változó átmérője ugynnnk körnek, htározz meg z AX és BY metszéspontjánk mértni helyét Feltehetjük, hogy AB nem átmérő Megoldás A Ábr és Ábr változó XY átmérő két lehetséges helyzetét muttj AB be Mindkét esetben z XAY = 9 és hsonlón z AYB = =θ is konstns Így, π (lásd Ábr) z APB = θ, mi z AYB kiegészítője, és szintén konstns ' Hsonlón Ábr szerint, z APY is konstns, mivel z kiegészítője Mivel AYB ' z APB z ' APY kiegészítője, így szintén konstns A Ábr szerint, zoknk P pontoknk mértni helye, hol z APB konstns, egy, z AB húrhoz trtozó körív ' ' A Ábr, szerint rögzített AB lpú és konstns APB szög esetén, P csúcs z ' AB húron támszkodó körív Mivel z APY (lásd Ábr) hsonló z APY (lásd ' Ábr), következik, hogy z APB és AP B szögek kiegészítő szögek Tehát P és P ' ugynzon körön vn Ennek körnek sugr, sin tétel áltlánosítás lpján: AB AB r = AB sin( APB) = π = cos θ sin θ Ábr Ábr
Feldt 6 Tegyük fel, hogy két nem egyenlő sugrú kör egymást belülről érinti z A pontbn A kisebb körhöz húzott érintő ngyobbt B és C pontokbn metszi Keresse meg z ABC háromszögbe írt körök középpontjánk mértni helyét Megoldás Jelölje R és r z dott körök középpontjit( R r ) és legyen D z pont hol BC húr kisebbik kört érinti (3 ábr) Legyen K és L z AC és AB húrok metszéspontj kisebbik körrel Végül legyen z O z ABC háromszögbe írt kör középpontj Mivel z AK és AC körívek mértéke egyenlő, és AK = rx, AC = Rx, zt kpjuk, hogy Hsonlón, ( ) DC = AC CK = R r R AB Következésképpen, x ( R r) Ry = Ry, AL = ry, DB = CD x AC = =, ugynis AD z BAC szög szögfelezője DB y AB Ábr 3 Továbbá: AO AC Rx R = = = OD CD R r ( R r) Rx Ábr 4
Tehát keresett mértni hely egy ρ= AE sugrú kör, mely belülről érinti két dott kört AE ugynbbn z A pontbn A nyilvánvlón igz: AT következik: AO r R ρ= r = AD R + R r ABC = AO egyenlőségből (4 Ábr) AD 63 Feldt Tegyük fel, hogy egy egyenlőszárú háromszög, melyben BC = és AB = AC = b Az M és N változó helyzetű pontokt z lábbi feltételekkel dunk meg: ( ) ( ) M AC,N AB és AMAN= bbncm Keresse meg BM és CN egyenesek P metszéspontjánk mértni helyét! Első megoldás Tekintsük zt D pontot CB egyenesen melyre B D és C közé esik, és AD = CD (5 Ábr) Az ABC és DAC hsonló háromszögekből zt kpjuk, hogy b CD = Az AD és CN egyenesek Q metszéspontj eleget tesz : QA CD NB = összefüggésnek, QD CB NA ezért Tehát, QA NA MC QA MC QA MC = =, zz = vgyis = QD b NB MA CD QA b MC CD b QA CD b AC = = = következik, hogy BMC és CQA hsonlók MC b B C Ez igzolj, hogy = 5 Ábr MBC NCA, hol ( ) = 8 ( ) BPC B konstns, miből beláthtó, hogy P nnk körnek BC körívét írj le, mely AB és AC egyeneseket rendre B és C pontokbn érinti Második megoldás Legyen R z AB szksznk z pontj, melyre AR = AM Következik:
RA AN AM AN AC = =, RB NB MC NB BC ACR = BCN, Steiner tétel lpján Mivel ABM = BCN ugynhhoz tehát következtetéshez jutunk, mint z előbbi esetben 7 Fejezet SZERKESZTÉSI FELADATOK 7 Feldt Szerkessze meg zt z háromszöget, melynek dott C szöge, h hol <γ< 8, mgsság és z súlyvonl ABC AD BC, AD = h, CM = m, ACB = γ Megoldás Anlízis Tegyük fel, hogy z c ABC =γ m c háromszöget megszerkesztettük, és (6 Ábr, 7 Ábr) A derékszögű ACD háromszög megszerkeszthető z dott elemekkel: i) ACD =γ, AD = h (6 Ábr); vgy ii) ACD, AD h (7 Ábr) = 8 γ = C m C D A h h / E B D 6 Ábr A h mc M C γ h E B
7 Ábr Megszerkesztjük z ponthlmz metszéspontj, h ME BC szkszt Megjegyzendő, hogy ME = Így M két M M М, hol M C középpontú és mc sugrú kör, és M BC vel párhuzmos egyenes, mely ttól h távolságr vn Szerkesztés Megszerkesztjük z ADC háromszöget, melyben AD = h és ACD =γ vgy ACD = 8 γ, hol γ vgy hegyesszög, vgy tompszög Ezután megszerkesztjük z M,M ponthlmzokt, és z M metszéspontjukt A keresett B pont z AM és CD metszéspontj lesz Elemzés A feldtnk, vgy megoldás vn, következő feltételektől függően: h h h m c >, m c =, mc < (lásd z CME -et) Bizonyítás Szerkesztés szerint AD = h, ACB = ACD = γ hegyesszög (6 Ábr) és AD= h, ACD = 8 ACB = 8 - γ, h γ egy γ, h egy tompszög (7 Ábr) Az M pont z AB szksz közepe, mivel szerkesztés szerint z M h AD h pontnk BC-től mért távolság = és ME = z ABD háromszögben CM = m Következésképpen megkptuk keresett Továbbá, szerkesztés szerint, ABC háromszöget 7 Feldt Szerkesszen háromszöget, melyben dott z egy csúcsához trtozó súlyvonl, szögfelező és mgsság Rövid elemzés és szerkesztés H z dott mgsság, szögfelező és súlyvonl rendre CD, CL, és CM, kkor megszerkeszthetők CDL és CDM derékszögű háromszögek A p egyenes, melyre M p, p MD, CL egyenest z N pontbn metszi (p z AB felezőmerőlegese) Ekkor CN z ABC háromszög köréírt körének húrj (minek középpontj O és sugr OC) A kör O középpontj CD és MN szkszok felezőmerőlegeseinek metszéspontj Az így megszerkesztett kör z MD t z A és B pontokbn metszi 8 Fejezet TRANSZFORMACIÓK: FORGATÁS, HASONLÓSÁG, INVERZIÓ 8 Feldt Adott egy ABC háromszög és z egyenlő oldlú PQR háromszög (8 Ábr) ADB = BDC = CDA = ABC Tegyük fel, hogy z háromszögben Igzolj, hogy Megoldás x = u+ v+ w Meg fogjuk szerkeszteni PQR egyenlő oldlú háromszöget, és ki fogjuk muttni, hogy z oldlink hossz u+ v+ w Elforgtjuk B pont körül6 -l BCD
háromszöget z órmuttó járásávl ellenkező iránybn BFE -vel jelölt helyzetbe (9 Ábr) Vegyük észre, hogy BDE és BCF háromszögek egyenlő oldlúk, tehát DE = v és CF =, Most z ADE és DEF szögek egyenesszögek, mi + 6 összegből dódik, tehát, AF = u + v + w Szerkesszük meg továbbá z egyenlő oldlú háromszöget z AF oldlr, Ábr AFG szerint Most kkor AF = FG, CF = BF és CFA = BFG = 6 AFB Tehát, CFA és BFG hsonló háromszögek Következik, hogy BG = AC = b, tehát z AFG keresett egyenlő oldlú háromszög, melynek oldli x = u+ v+ w Végül meg kell jegyeznünk, hogy D pont z ABC háromszög egy izogonikus középpontj és úgy szerkeszthető meg, hogy z ABC háromszög oldlir kívülről megszerkesztjük BCP, CAP és ABP 3 egyenlő oldlú háromszögeket Ekkor z AP, BP és CP3 metszik egymást D-ben Az x következő képlettel számíthtó: x = + b + c + 4 3F ABC, hol F ABC ABC háromszög területe A R b u c x c x w D v M b C B P x Q A 8 Ábr A C u D v E w c v v B C b c 6 B b G F F
Ábr 9 Ábr Feldt 8 Keresse meg következő egyenletrendszer mértni értelmezését: x + xy+ y = y + yz+ z = b + + = + z zx x b és számíts ki z x + y+ z összeget Megoldás H x,y,z kkor x,y,z z ABC derékszögű háromszög (BC és CA z és b befogók) csúcspontjink távolsági egy olyn M ponttól, mely háromszög belsejében vn, és melyből z oldlk szög ltt látsznk Ahhoz, hogy z x + y+ zösszeget meghtározzuk, forgssuk el CMA háromszöget C körül egy 6 -os szöggel z ABC háromszögön kívülre A forgtás z M és A pontokt rendre z A pontokb viszi át ( Ábr) Ekkor BMM A egy egyenesbe esnek, és M és következik, hogy А x + y + z = BM + CM + AM = BA = + b + b b M A y b C z y M Ábr x 3 Hsonlón, tekintsük zt z esetet, mikor z egyik változó, mondjuk z B y <, negtív és AMB =, AMC = BMC = 6, CM = y > ( Ábr) A többi esetet hsonlón tárgyljuk A feldt megoldás: x y z b b + + = + ± 3 P b -y C A z x B M Ábr
83 Feldt Legyen sík négy pontj Az ZT szkszokt kkor mondjuk kpcsoltnk h létezik síknk egy olyn O pontj, melyre z OXY és OZ T háromszögek egyenlő szárúk, és O -bn derékszögűek Legyen ABCDEF egy konvex htszög, melyben z hogy kpcsoltk X,Y,Z,T [ XY ] és [ ] AB, CE és BD, EF szkszok páronként kpcsoltk Igzolj, A, C,D és F egy prllelogrmm csúcsi és BC és AE szkszok is Megoldás Mértni trnszformációkt tekintünk feldt megoldásához Legyen z és egyenlőszárú derékszögű háromszögek közös csúcspontj, O O OAB OCE OBD OEF és legyen z és egyenlőszárú derékszögű háromszögek közös π i = Oi szöggel történő A = R B, B= R D és trnszformációk összetételét lklmzv, R i, ) csúcspontj H, (, jelöli z középpont szerinti és forgtást, kkor ( ) ( ) A = ( Ro R)( D) Hsonlón, E = R ( C ), F = R ( E ), zz = ( o )( ) = ( o ) ( ) Megjegyzendő, hogy ( o ) hogy( o ) = ( o ) F R R C R R C R R egy π szöggel történő forgtás Ebből z is következik, R R R R és, következésképpen, A és F pontok D és C pontokból, ACDF egy rendre, egy π szöggel történő forgtássl érhetők el Ebből következik, hogy prllelogrmm ABCD 84 Feldt Tekintsük z négyszöget, melynek oldli és átlói rendre z AB =,BC = b,cd = c,da= d és AC = d,bd = d Igzolj, hogy létezik egy háromszög, minek oldli rendre z szorztokkl egyenlők Ötlet Az In k cdd c,bd,d d -el jelölt inverziót lklmzhtjuk, melynek középpontj együtthtój Az ' ' ' = A In( A ), B In( B ), C In( C) D pont és = = = inverzióvl kpott ' ' ' ' ' ' ' ' ' A BC háromszög oldlir A B c, BC bd, C A dd = = = 9 Fejezet SPECIÁLIS TÉTELEK 9 Feldt (Leibniz tétele) Legyen M sík egy tetszőleges pontj és G z ABC háromszög súlypontj Igzolj következő zonosságot 3 MG = MA + MB + MC ( AB + BC + CA ) 3 Megoldás Legyenek z dott A,B,C és z M pontok koordinátái derékszögű A x,y,b x,y,c x,y,m x,y Ekkor G koordinátrendszerben rendre z: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 pont koordinátái: x+ x + x3 y+ y + y3 G, 3 3
Az állítás most következő zonosság felhsználásávl következik: x+ x + x3 = 3 x 3 ( ) ( ) = x x ( ) ( ) + x x + x x 3 x x + ( x x3) + ( x3 x 3 hol z ordinátákr is hsonló összefüggés írhtó fel 9 Feldt (Bretschnider tétele) Legyenek,b,c,d egy négyszög oldli, vlmint m és n z átlói, hol A és C szemben fekvő szögek A következő összefüggés teljesül négyszögben: Megoldás Az ( ) mn = c + bd bcdcos A+ C ABCD négyszögben (3 Ábr) felírhtó AB =, BC = b, CD = c, DA = d, AC = m, BD = n ) C b c B n D K m d M A Ábr 3 Az AB oldlr kívülről szerkesszük meg z ACD háromszöggel hsonló AKB háromszöget, hol BAK = DCA, ABK = CAD, és AD oldlr kívülről szerkesszük meg z háromszöget, hol DAM = BCA, ADM = CAB ABC A megfelelő hsonlósági rányokból következőket kpjuk: c bd d AK =, AM, KB DM m = m = = m Ezenfelül háromszöggel hsonló AMD KBD + MBD = CAD + ABD + BDA + CAB =8 vgyis, KBDM négyszög prllelogrmm Tehát, KM = BD = n De ugynkkor KAM = A + C H KAM háromszögben cos tételt lklmzzuk, kkor zt kpjuk,,
és, tehát, n c bd c bd = + cos( A+ C ), m m m m ( ) mn c bd bcdcos A C = + + Fejezet METRIKUS FELADATOK ABC Feldt Legyen egy egyenlő oldlú háromszög, melynek minden oldl, és M z ABC háromszög középpontjától egy tetszőleges d távolságr levő pont Igzolj, hogy z MA, MB és MC oldlkkl szerkeszthető háromszög területe következő képlettel fejezhető ki 3 F = 3d Megoldás Vegyük zt z esetet, mikor z M háromszög belsejébe esik (4 Ábr) B M M 3 M A C M 4 Ábr 6 -os szöggel, mely B pontot C AM Cháromszög egybevásó z ABM háromszöggel; z AMM Forgssuk el z ABM háromszöget z A körül egy pontb viszi át A kpott háromszög egyenlő oldlú, következésképpen, CMM MA, MB, MC szkszokkl egyenlők Az M,M 3 pontokt hsonlón kphtjuk meg AM CM BM htszög területe z ABC Az 3 3 háromszög oldli éppen kívánt háromszög területének kétszerese, zz Másrészt, ennek htszögnek területe z AMM, CMM 3, BMM egyenlő oldlú háromszögek területének és kívánt három, egybevágó háromszög területének z összegeként is kifejezhető Következésképpen,
( ) 3 3 3F + MA + MB + MC = 4 A Leibniz tételét felhsználv 3 3 3F 3d 4 3 F d + ( + ) =, honnn = ( 3 ) Az M pont helyzetének más eseteit hsonlón tárgylhtjuk Feldt (Fermt tétele) Tegyük fel, hogy ABCD egy tégllp, melyre: AB =, BC = Szerkesszünk z AB oldlár, mint átmérőre kívülről egy félkört Legyen M ennek félkörnek egy tetszőleges pontj H z MD z AB -t N-ben, és z MC-t L-ben metszi, számíts ki z AL + BN összeget Megoldás Legyen P z M vetülete z AB re és legyen AP = + x (5 Ábr) Ekkor és, hsonlón Innen, 5 Ábr ( ) PB = x, MP = y = x, AN = + x + y, ( + ) x y NB = ( + x) = + y + y ( + + ) x y AL = + y 4 ( ) ( ) + y AL + NB = + y + y + x, =
4 = + + + ( ) y y y = 4 ( + y) Fejezet SÍKMÉRTANI EGYENLŐTLENSÉGEK Feldt Legyen AB egy sugrú kör egy átmérője, és vegyük fel és E (különböző) pontokt körön, z AB átmérő egyik oldlán H CD és EF párhuzmos húrok z AB átmérőt rendre 45 -os szög ltt metszik P és Q pontokbn, igzolj, hogy PC QE+ PD QF < Megoldás A számtni-mértni közép egyenlőtlenség lpján (6 Ábr): PC QE+ PD QF ( PC + QE ) + ( PD + QF ), Legyen M CD középpontj Ekkor OM merőleges CD -re Felírhtjuk, hogy ( ) ( ) ( ) PC + PD = CM PM + DM + PM = CM + OM = hsonlón, QE + QF =, tehát PCQE + PDQF Mivel PC QE, z egyenlőség nem teljesülhet, és így PCQE + PDQF < C 6 Ábr ABC O, OB, OC A,B,C pontokbn metszik, és tegyük fel, hogy R,R,R,R 3 rendre z OBC,OCA,OAB, ABC háromszögek köré írt körök sugri Igzolj, hogy OA OB OC R+ R + R3 R AA BB CC Feldt tekintsük z háromszöget és legyen egy pont háromszög belsejében Tegyük fel, hogy z OA egyenesek háromszög oldlit rendre z Megoldás Nyilvánvló, hogy OA F OBC OB OC BC 4R = = AA F 4R AB BC CA, zz ABC
OA R R = OB OC BC, etc AA AB BC CA Be kell bizonyítnunk, hogy OB OC BC AB BC CA Oo,A,Bb,Cc Ekkor z előző Tekintsük következő komplex számokt: ( ) ( ) ( ) ( ) egyenlőtlenség átírhtó: b c b c b b c c, mi zt jelenti, hogy és ez nyilvánvlón igz b c c b b + bc + c b b c c 3 Feldt Igzolj Finsler-Hdwiger egyenlőtlenséget: () + + 4 3+ ( ) + ( ) + ( ) b c F b b c c, hol, b, c, F rendre egy tetszőleges háromszög oldlink hosszát és területét jelöli Megoldás A következő jelöléséket hsználjuk s = x,s b= y,s c= z, hol s z dott háromszög félkerülete, és x,y,z > A 4F 3 tgok z egyenlőtlenség jobb oldlán hgyv, és () egyenlőtlenség bloldlát átlkítv, (z: ( ) 4( )( ) képlet b c = s b s c = 4yz stb lpján) és z F-et Heron F = s( s )( s b)( s c ), szerint helyettesítve, következő egyenlőtlenséget kpjuk () + + 3( + + ) xy yz zx x y z xyz A ()-es egyenlőtlenség mindkét oldlát helyettesítéseket elvégezve, xyz -el végigosztv és következő xy yz zx u =, v =, w= ( x= uw, y = vu, z = wv ), z x y egy lábbi, z előzővel ekvivlens egyenlőtlenséget kpjuk u+ v+ w 3( uv+ vw+ wu ) Ezt négyzetre emelve, jól ismert egyenlőtlenséget kpjuk u + v + w uv+ vw+ wu Ami nyilván igz ( ) >, u v egyenlőtlenségre vezet 4 Feldt Igzolj, hogy h egy tetszőleges háromszög súlyvonlink hosszát és területét rendre és F jelöli, kkor () m,m,m b c + + mm mm mm F b c c b ABC, b, c, F, m, m, m c ABC 3 Megoldás Alklmzzuk egy tetszőleges háromszög elemeire már szokásosnk mondhtó jelöléséket Az háromszög súlyvonlivl b
megszerkeszthető z AAM súlyvonl-duális háromszög (7 Ábr), hol BBMA és AMCC négyszögek prllelogrmmák: 7 Ábr Továbbá nyilvánvló, hogy z AAM súlyvonl-duális háromszög 3 Fm = F Vlóbn, 4 F F AA N AN 3 4 m = = F F AA C AC = F m területének értéke Így () egyenlőtlenség lpján (3) 3 + + mm mm mm 4F,b,c,F m, m b, m c, F m b c c b m Most -t írv z, (3) egyenlőtlenség következő lesz vgyis (4) F F F + + b bc c 3 3 4 3 3 sin A + sin B + sinc, 3 mi egy jól ismert egyenlőtlenség Egy rövid bizonyítás érdekében megjegyezzük, hogy sin függvény [ o,π] intervllumon konkáv és így Jensen egyenlőtelenség lpján, sin A + sin B + sinc A + B + C π 3 sin = sin 3 3 3 Most (4) lpján könnyen beláthtó (3), vgy () = 5 Feldt Tegyük fel, hogy egy tetszőleges háromszög oldlink hossz,b,c Az,b,c függvényében htározz meg z dott háromszög köré írhtó egyenlő oldlú háromszögek közül z F legngyobb, és z dott háromszögbe írt egyenlő oldlú háromszögek közül z F legkisebb háromszögek területét Ötlet Két egyenlő oldlú háromszög hlmz létezik melynek elemei z dott háromszög köré írhtók Fejezet VEKTOROK ALKALMAZÁSA A SÍKMÉRTANBAN
ABC Feldt Legyen M z háromszög BC oldlánk egy tetszőleges pontj Tekintsük rendre z ABC,ABM,ACM háromszögekbe írt köröket, és jelölje I C C,C,C kör középpontját Igzolj, hogy C,C körök kkor és cskis kkor érintő körök, h Tegyük fel, hogy M IS s középpontji Igzolj, hogy z I, S, D pontok kollineárisk és = ID M C C és legyenek D és C rendre BC és AM szkszok Megoldás i) A következő eredményt fogjuk felhsználni: tegyük fel, hogy z ABC beírt köre z AB, BC, CA oldlkt rendre pontokbn érinti, (8 Ábr) Ekkor C,A,B AB + AC BC AB = AC = = s 8 Ábr T,T C,C C,C T = T Jelöljük -vel rendre zokt pontokt, melyekben z AM egyenes köröket érinti (9 Ábr) A körök kkor és cskis kkor érintik egymást, h, vgyis h AT = AT Az előző eredményt felhsználv ez zzl ekvivlens, hogy AM + + =, AB BM = AC ( BC BM ) vgy AB + BC AC BM = = BA és így M A C, mint zt elvártuk 9 Ábr
ii) Legyen ABC háromszög oldlink hossz rendre, b,c és tekintsük BC oldl és BAC szög AI szögfelezőjének L metszéspontját (3 Ábr) A belső szögfelező tétele lpján következik, hogy LB AB = LC AC, ie LB = AB BC AB + AC uuur uuur uuur uuur uuur A megoldás lpötlete z, hogy z AD, AS, AI vektorokt felírhtjuk z AB, AC vektorok lineáris kombinációjként Így (5) AD ( AB A ) 3 Ábr uuur uuur uuur = + C, uuur uuur uuur uuuur CM uuur BM uuur ( s c) AB+ ( s b) AC AS = AM = AB + AC = BC BC (6) ( ) és Az ABL Következésképpen, (7) uuur uuur uuur LC uuur LB uuur AC uuur AB uuur bab + cac AL = AB + AC = AB + AC = BC BC AB + AC AB + AC b + c szög BI szögfelezőjét tekintve, felírhtó AI AB c b+ c AI b+ c = = =, ie = IL BL c AL s b+ c uur bab uuur cac uuur + AI = s uur uuur uuur s AI AS s AD Az Most (4), (5) és (6) lpján könnyen beláthtó, hogy = + ( ) s + = egyenlőség zt muttj, hogy I z SD szkszon vn és s s IS s = ID ABCD H,H,H,H Feldt Legyen egy húrnégyszög és M köréírhtó kör egy tetszőleges pontj Jelölje 3 4 mgsságpontjit Igzolj, hogy i) HHHH 3 4 négyszög prllelogrmm; rendre z MAB, MBC, MCD, MDA háromszögek
ii) HH 3 CD = EF, hol E és F rendre z AB és szkszok középpontj Megoldás Vektorlgebrát hsználunk megoldáshoz Mind négy háromszög, MAB, MBC, MCD, MDA köré ugynz kör írhtó, melynek középpontj O Innen Sylvester képlettel, zt kpjuk, hogy További számítások lpján Tehát HHHH 3 4 uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur OH = OM + OA + OB; OH = OM + OB + OC; uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur OH 3 = OM + OC + OD; OH 4 = OM + OD + OA uuuuuur uuuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuuur uuuuuur H H = OH OH = OC OA = OH OH = H H 3 4 4 3 egy prllelogrmm H ismét vektorokt hsználjuk, kkor zt kpjuk, hogy (3 Ábr): uuuuuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur H H OH OH OC OD OA OB AD BC EF 3 = 3 = + = + = HH 3 = EF Tehát Ábr 3