Vagyoneloszlás a társadalmakban - egy fizikus megközelítése - Néda Zoltán Babeş-Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar, Kolozsvár Fizika szakkollégium, BBTE, 2006
Fizika a XX. század előtt: az érzékelhető dolgok fizikája - klasszikus és elméleti mechanika, elektromosságtan és mágnesesség, optika, hőtan és termodinamika A fizika módszereinek az alapjai: kísérletek, mérések, modellálás, absztraktizálás, matematikai leírás, általánosságok keresése, determinisztikus folyamatok előrejelzése, modellek és elméletek tesztelése A XX. század fizikája: a szélsőségek fizikája a mikróvilág: - atomfizika, nukleáris fizika, elemirész fizika, kvantumfizika a makróvilág: - kozmológia, általános relativitáselmélet nagyon sok részecske: - statisztikus fizika szélsőséges hőmérsékletek és nyomások: - szilárdtest-fizika, gázok, folyadékok és plazmák fizikája, a kvark-gluon plazma nagy sebességek: - általános relativitáselmélet szélsőséges mérések: - mikroelektronika, elektromikroszkópia, atomerő és tunel mikroszkópia, részecskegyorsítók, óriás teleszkópok, precíz spektroszkópia, magmágneses rezonancia, elektronspin rezonancia, röntgendiffrakció,... extrém számítási sebességek: - személyi számítógépek, szuper-számítógépek, párhuzamos számítások A XXI. század fizikája: az interdiszciplinaritás fizikája A fizika módszereinek és eszközeinek az alkalmazása más tudományágakban: - biológia, kémia, anyagtudományok, orvostudományok, meterológia, geológia, számítástechnika, szociológia, közgazdaságtan
Fizika a közgazdaságtanban: az ökonofizika (econophysics) divatos ága a Komplex Rendszerek Fizikájának Közgazdaság és a társadalomtudományok makróskálán egy megfelelő rendszer a fizika egyes módszereinek az alkalmazására (makróskála: az egyének individualitása elhanyagolható és átlagos viselkedéssel helyetesíthető) -olyan folyamatok amelyben sok egyed komplikált módon kölcsönhat - vannak nyilvánvaló ok-okozati kapcsolatok, habár egy bizonyos makrószinten a folyamatok stochasztikusnak (véletlenszerűnek) tünnek - vannak univerzális és ismétlődő törvényszerűségek - lehet mérni, modellezni és kísérletezni ezen rendszerekben - létezik egy általános elv amely ezen rendszerek evolucióját vezérli: a maximális nyereség elve Néhány divatos ökonofizika téma: Kondor Imre Bank és kockázat (Mindentudás Egyeteme, 2004, május 24) fizikusi értelemben komplex rendszer komplex modellekkel megközelíthető -tözsdeindexek és árak fluktuációinak a tanulmányozása, korrelációk ezek között... -a piac és tözsde modellezése -gazdasági és kereskedelmi kapcsolatok hálójának leírása és modellezése, ezen kapcsolathálókon levő tranzakciók és infomáció-áramlások modellezése -banki kockázatok tanulmányozása és kezelése - a társadalomban levő pozíciók, jövedelmek és vagyoneloszlások leírása és modellezése
A Pareto törvény* vagyonleszlás a társadalmakban -Az össz társadalmi vagyonnak a nagy része egy aránylag kis társadalmi réteg kezében öszpontosul -A híres 80-20 törvény: a társadalom 20% -a az össz vagyon 80%-át birtokolja... (a vagyoneloszláson kivül sok más társadalmi vagy gazdasági folyamatra igaz...) -A Pareto törvény a társadalmi vagyoneloszlás skála-invariáns matematikai formájából ered. -Pareto mérései szerint a társadalom gazdag rétegeire (álatalában a felső 5-10%-ra) igaz, hogy: annak a valószínűsége, hogy egy egyénnek a vagyona nagyobb legyen mint egy w érték hatványfüggvényszerűen esik (a: a Pareto exponens), általában: α [1,2.5] társadalmakként változik -A Pareto-törvény szerint, ha sorba rakjuk a társadalom tagjait vagyonok szerint, majd az i sorszámot a w i vagyon függvényében ábrázoljuk akkor i ~ P w = >= ( i ) K w -A Pareto törvény igaz a jövedelmek eloszlására is α i P ( w = > ) C α w Vilfredo Pareto (1848-1923) ln[ P ( w)] = lnc α ln[ w] > * V. Pareto, Cours d Economie Politique, vol. 2, Macmillian, Paris, 1897
Az eloszlásfüggvény 1. Diszkrét eloszlású valószínűségi változó estén (pl. kockadobás) P i =1/6 eloszlásfüggvény P >= (i), P <= (i) kummulatív eloszlásfüggvények 2. Folytonos eloszlású valószínűségi változó esetén (pl. egy véletlenszerűen kiválasztott felnőtt egyén magassága) P i nincs értelme (0) P(h, h+dh) P(h, h+dh)=r(h) Dh r(h) eloszlás sűrűség-függvénye >= h) = h P ( ρ( h) dh h kummulatív eloszlásfüggvények P< ( h) = 1 P>= ( h) = ρ( h) dh 0 A vagyon (w) folytonos eloszlású valószínűségi változó, értelmezhető: r(w) és P >= (w) C K Ha w >> w P w =, >= ( ) ρ ( w) = α + α w w 1 ln[ P ( w)] = ln( C) α ln( w) >= w< w P ( w) = C exp( βw) >= ln[ P( w)] = ln( C) βw
A Pareto törvény t különböző társadalmakban 1. A jövedelem j eloszlására nézve Évi jövedelem eloszlása az egész emberi társadalomra (2000)
Évi övedelem eloszlása az Egyesült Államokban (2000)
Évi jövedelem eloszlása Japánban (1986-2000) Évi jövedelem eloszlása Olaszországban (1977-2002) Kummulatív eloszlásfüggvények logaritmikus skálán
A Pareto törvény t különböző társadalmakban 2. A vagyoneloszlásra nézve Kevesebb kísérleti adat (nehezen és általában csak indirekt módon mérhető) Kummulatív vagyoneloszlás a magyar nemesség körében 1500 körül * (logaritmikus skála) Vagyoneloszlás az ókori Egyiptomban (az adott nemesi család birtokában levő jobbágyporták alapján) * Hegyi Géza & Néda Zoltán (BBTE, Fizika Kar)
Vagyoneloszlás az India társadalom leggazdagabb 100 családja között (2002, 2003) Vagyoneloszlás Nagy Brittániában (2000), (az örökösödési adatokból) * Kummulatív eloszlásfüggvény Vagyon a sorszám függvényében logaritmikus skálán a kapott hatványfüggvény a Pareto törvényt igazolja * R. Coelho, Z. Neda and M.A. Santos, 2005
Mérési adatok a Pareto exponensre Pareto eredeti mérései a-ra V. Pareto, Cours d Economie Politique, vol. 2, Macmillian, Paris, 1897 C P >= ( w) = a: a Pareto exponens α w Évi jövedelem eloszlása Japánban (1986-2000) aœ[1.8, 2.2] Évi jövedelem eloszlása Olaszországban (1977-2002) aœ[1.6,1.9] Évi övedelem eloszlása az Egyesült államokban (2000) a=2.1 Vagyoneloszlás a magyar nemesség körében 1500 körül a=0.95 Vagyoneloszlás az India társadalom leggazdagabbjai között (2002, 2003) a=0.81; a=0.93 Vagyoneloszlás Nagy Brittániában (2000), (az örökösödési adatokból) a=2.52 α : 0.8 Minnél élénkebb gazdasági kapcsolatok vannak a vizsgált társadalom tagjai között annál nagyobb a Pareto exponens! 2.6
Pareto törvényhez hasonló más társadalmi törvények 1. Városok nagyság szerinti eloszlása r(x)~1/x 2 ; P >= (x)~1/x 2. Weblapok felhasználok száma szerinti eloszlása r(x)~1/x 2 USA nagyvárosok nagyság szerinti eloszlása 4. webdokumentumok nagyság szerinti eloszlása 3. Nevek gyakoriságának az eloszlása
Miért érdekes a Pareto törvény egy fizikus számára? 1. Egy univerzális törvényszerűség nagyszámú kölcsönható egyedből álló rendszerre 2. Hatványfüggvény eloszlás skálainvariancia egy elég nagy doméniumban (a fizikában általában kritikus állapotban levő, vagy spontánul önszerveződő rendszerekben jelenik meg) 3. A Pareto törvényhez hasonló eloszlások a fizikában is ismertek: lavinák nagyság szerinti eloszlása, földrengések nagyság szerinti eloszlása... 4. (1) és (2) alapján a statisztikus fizika módszerei megfelelőnek igérkeznek 5. Modellezés lehetősége (a feladat megértéséhez releváns leglényegesebb paraméterek és jelenségek felismerése) 6. A modellek analitikus és számítógép-szimulációs tanulmányozása 7. A modell eredményeinek a tesztelése sok kísérleti adat léte
A Pareto törvény t fizikusi megközelítése -egy analitikus átlagtér elmélet- - Mindenki mindenkivel kölcsönhat (vagyont cserél)! W i : az egyedek vagyonai; J(i,j) az egyedek közti kölcsönhatás erőssége; h i (t): egy normális (Gauss) eloszlású véleltlenszerű változó 2 i η i ( t) = 0 2 η ( t) η ( t) = 2σ i J.-P. Bouchod, M. Mezard; Physica A, vol. 282, pp.536-542 (2000) 2 A feladat másztersz egyenlete (a vagyonok időbeli evolucióját vezérlő egyenlet) dw dt i = η ( t) W i =1,2,...N i i + j( i) J ( j, i) W N j j( i) J ( i, j) W i az átlagtér közelítés: az átlagtér megoldás: J α = 1+ σ 2 J ( i, j) = J N ( α 1) exp[ ] w w ρ ech( w) = A 1+ α Pareto exponens
Az átlagtér közelítésen túl... Egy család ádhálóáló modell * -A valódi társadalmakban a vagyoncsere nem egy teljesen összekötött hálon történik (nem mindenki mindenkivel hat kölcsön). - A társadalmi háló fogalma és topologiája (szerkezete) fontos a vagyoncsere mechanizmusának a leírásához! (ki kivel van összekötve?) - A vagyoncsere mechanizmusában a családi háloknak van kitüntetett szerepe! - Milyen a családi hálónak a szerkezete??? - A családi háló és vagyoneloszlás között szoros kapcsolat van! Barabási Albert László, A hálozatok csodálatos világa, (Mindentudás Egyeteme, 2005 okt. 10) családháló vagyoneloszlás -Egy helyes (komplex) modellnek generálnia kell úgy a helyes vagyoneloszlást mint az őt meghatározó társadalmi hálót - A modellnek realisztikus és lehetőleg egyszerű törvényszerűségeket kell tartalmaznia - A modell a bonyolult hálószerkezet miatt valószínűleg analitikusan nem tanulmányozható - Monte Carlo tipusú számítógépes szimulációk szükségesek... * R. Coelho, Z. Neda, J.J. Ramasco şi M.A. Santos; Physica A, 2005 Szociális Háló, V. Hugo Nyomorultak
a csomópontok a kötések A családháló modell a családok az elsőrangú családi kapcsolatok minden (i) csomópontnak van vagyona W(i) + és kora A(i) A modell állandói: - a családok száma - az összvagyon a rendszerben Kezdeti feltételek: - egy véletlenszerű háló - a vagyonok egyenletes eloszlása a (0,1) intervallumon - a családok kora a csomópontok (i) sorszáma A modell dinamikája (1) A legöregebb csomópontot (i) eltávolítjuk. A vagyonát egyenletesen elosztjuk azon csomópontok között amellyel kötései voltak (ha nincs kötése senkivel, akkor a vagyonát preferenciálisan szétosztjuk az összes csomópont között) az örökösödési folyamat (2) Az eltávolított csomópont (i) 0 korral visszakerül (születés), és két olyan (j és k) csomóponthoz kapcsolódik amelyeknek a vagyona nagyobb mint: q (egy új család megalakítása pénzbe kerül). A q vagyon levónódik j és k vagyonából és preferenciálisan szétosztódik a családok között (az új család megalapításából a társadalomnak nyeresége van). A j és k családok a megmaradt vagyonuk p-ed részét az új i családnak adják (megindulási vagyon) (3) Minden csomópont kora egységgel nő. Kétparaméteres modell: q és p W W W ' ( i ) ' ( k ) ' ( j ) = = [ W = [ W [ W ( j ) ( k ) ( j ) q ] p q ]( 1 q ]( 1 + [ W p ) p ) ( k ) q ] p (2)
A vagyoneloszlás A családháló modell eredményei A modell a helyes vagyoneloszlást és a hálóstrukturát is generálja! - q=0.7-0.9 és p=0.2-0.3 értékekre a P >= (w) kummulatív vagyonelszolás görbék megfelelőek - a társadalom felső 10%-ra érvényes a Pareto törvény - a kis vagyonok esetén P >= (w) exponenciális -az a-ra kapott értékek: 1.8 2.0 Számítógép-szimulációs eredmény a családháló modellre. Kummulatív eloszlásfüggvény log-log skálán. - p=0.3, q=0.7 (N=10000 csomópont, 10 generációs szimuláció) A számított Pareto exponens a=1.8
A családháló topológiája -A P(k) fokszám-eloszlás (a csomópontokból kiinduló kötések számának, k, eloszlása) exponenciális - k prob =2; <k>=1.9 (realisztikus) - a kialakuló családháló kis-világ (small-word) tipusú (általában ez jellemző a valós társadalmi hálókra) Számítógép-szimulációs eredmények a generált háló fokszámeloszlására. Normál-log skála, N=10000 család (csomópont ) és 10 generációs szimuláció
Korreláció a vagyon és fokszám között -kis p esetén (p=0.1) hosszú távon pozítiv korreláció (rövid időre azonban anti-korreláció) - p>0.2 és q>0.7 esetén antikorreláció p=0.1 p=0.3 p=0.3 Számítógép-szimulációs eredmények a fokszám és vagyon közti korrelációra. N=10000 családra való szimuláció, 10 generáció után
Következtetések A modern fizika jelentős mértékben túllépte klasszikus határait... A fizikai klasszikus módszerei (modellezés, analitikus számítások és számítógépszimulációk) sikerrel alkalmazhatók a társadalom-tudományok terén a makró-skálán levő folyamatok megértésére. A jelen előadásban példaként egy konkrét feladatot tekintettünk: a Pareto törvény megértését és egy modell kidolgozását amely realisztikusan írja le a társadalmi vagyoneloszlást. Két különböző megközelítést mutattunk be, amelyekkel a Pareto törvény magyarázható és modellezhető Mindkét esetben a kísérleti eredményekkel jól egyező eredményeket kaptunk. A családháló modellünk segítségével sikerült generálnunk úgy a helyes vagyoneloszlás görbét mint a családháló realisztikus topologiáját.