Négylábú asztal Egyik könyvemet [ 1 ] lapozgatva érdekes feladatot találtam, szokatlan megoldási móddal. Ez arra ösztönzött, ogy továbbgondoljam a problémát. Így született meg ez a dolgozat, amely olyan árom az egyben - termék. A feladat: a négylábú asztal lábaiban fellépő támaszerők megatározása 1. ábra. 1. ábra Ennek jellegzetessége, ogy a ( a )x( b ) méretű, vízszintes elyzetű asztallap O(, ) mértani középpontjáoz képest az ( x, y ) pontban külpontosan ató, függőleges atásvonalú P erő atására az egyenlő osszúságú, azonos anyagú és keresztmetszetű lábakban ébredő i ( i : 1,,, ) támaszerők megatározása statikailag egyszeresen atározatlan feladat, iszen a darab ismeretlenre csak statikai egyensúlyi egyenletet tudunk felírni. Az alábbiakban ennek a feladatnak árom különböző megoldási módját mutatjuk be. I. Megoldás Ennek lényegét egy korábbi dolgozatunkban címe: ugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak megatározása - II. rész már kifejtettük, így ez most már csak ismétlés, illetve gyakorlás. A lényeg: az asztallap, mint merev lemez a terelések atása alatt is sík marad, azaz S i ( i : 1,,, ) sarokpontjai függőleges e i elmozdulásvektorainak végpontjai egy ferde síkra illeszkednek.
Az asztal - sík egy A( x, y ) pontjának függőleges elmozdulása. ábra:. ábra e(x, y) e e1 e ; ( 1 ) 1 y e x, ( ) e x y. ( ) Most ( 1 ), ( ) és ( ) - mal: e(x, y) e x y. ( ) y x A sarokpontok elmozdulásai: 1 e (a,b) e a b; ( 5 ) S y x e (a, b) e a b ; ( 6 ) S y x e ( a, b) e a b ; ( 7 ) S y x e ( a, b) e a b. ( 8 ) S y x Az egyes támaszerőkre: i S i k e, ( 9 ) aol már felasználtuk a lábak azonos kialakítása miatt fennálló
ki k, i :1,,, összefüggést is. ( 1 ) A k mennyiség jelentését az alábbiak világítják meg. A Szilárdságtan tanítása szerint [ ] a osszúságú, E rugalmassági modulusú, S keresztmetszeti területű rúd összenyomódása nagyságú nyomóerő atására: ; ( 11 ) E S esetünkben ( 11 ) - ből: i i, ( 1 ) E S ES i i. ( 1 ) Továbbá: e, ( 1 ) i S i így ( 1 ) és ( 1 ) - gyel: ES i e S i, ( 15 ) majd ( 9 ) és ( 15 ) összeasonlításával: ES k. ( 16 ) Ezek szerint a k mennyiség jelentése: az oszloplábak merevsége nyomásra. Most ( 5 ) és ( 9 ) - cel: 1 k e y a x b ; ( 17 ) majd ( 6 ) és ( 9 ) - cel: k e y a x b ; ( 18 ) ezután ( 7 ) és ( 9 ) - cel: k e y a x b ; ( 19 ) végül ( 8 ) és ( 9 ) - cel: k e y a x b. ( ) Az egyszerűbb írásmód kedvéért bevezetjük az
A e, B, C y x jelöléseket. ( 1 ) Most ( 17 ), ( 18 ), ( 19 ), ( ) és ( 1 ) - gyel: 1 ka Ba Cb, k A B a C b ; k A B a C b ; k A B a C b. Ezután felírjuk az egyensúlyi egyenleteket. A z - tengelyre vett vetületi egyenlettel: F : P, z 1 1 ( ) P. ( ) Az y - tengelyre vett nyomatéki egyenlettel: M : P x a a a a, y 1 x ( ) a 1 P. Az x - tengelyre vett nyomatéki egyenlettel: M : P y x 1 b b b b, y 1 P. ( 5 ) b Most ( ) és ( ) - mal: ka Ba Cb k A B a C b k A B a C b k A B a C b P, P A1 111 Ba a a a Cbbb b, k és
5 P A. k Majd ( ) és ( ) - gyel: ka Ba Cb k A B a C b x A B a C b k A B a C b P, a P x A1 111 Ba a a a Cbb bb, k a és P x B. k a Most ( ) és ( 5 ) - tel: ka Ba CbkA B a C b y ka B a C b k A B a C b P, b P y A111 1 Ba a a a Cb b b b, k b és P y C. k b Ezután ( 1 ), ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) - cal: P e, k P x y, k a P y x. k b ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) Most ( 17 ) és ( 9 ) - cel: P P x P y P P x P y P x y 1 k a b 1, k k a k b a b a b
6 teát: P x y a b ( ) 1 1. Majd ( 18 ) és ( 9 ) - cel: P P x P y P P x P y P x y k a b 1, k k a k b a b a b teát: P x y a b ( 1 ) 1. Ezután ( 19 ) és ( 9 ) - cel: P P x P y P P x P y P x y k a b 1, k k a k b a b a b teát: P x y a b ( ) 1. Végül ( ) és ( 9 ) - cel: P P x P y P P x P y P x y k a b 1, k k a k b a b a b teát: P x y a b 1. ( ) Összegyűjtve ( ), ( 1 ), ( ), ( ) - at:
7 P x y a b P x y a b P x y a b P x y a b 1 1 ; 1 ; 1 ; 1. ( ) Az ránézésre látszik, ogy ( ) teljesül. Ezzel a reakciók megatározását elvégeztük. Még néány érdekes összefüggésez jutatunk, az alábbiak szerint. Először ( 16 ), ( 1 ) és ( 9 ) - ből: P e, E S P x y, ES a P y x. ES b ( 5 ) Majd ( ) és ( 5 ) - tel: P P x P y e(x, y) x y ES ES a ES b P x x y y 1, ES a b teát a sík szerinti eltolódások általában: P x x y y e(x, y) 1. ES a b ( 6 ) Most vegyük szemügyre a ( ) kifejezéseket! Tudjuk, ogy az asztal lábai általában csak támaszkodnak, vagyis nekinyomódnak a padlónak. Ha felemelkednek, akkor nem támasztanak, kivéve, a például le vannak csavarozva. Ez utóbbi esetet most kizárjuk. A felemelkedés atárán az reakció nagysága zérussá válik, vagyis ( ) - ből általában kell, ogy a zárójeles mennyiségek nemnegatívok legyenek:
8 x y x 1 y b 1 ; a b a x y x 1 y b 1 ; a b a x y x 1 y b 1 ; ( 7 ) a b a x y x 1 y b 1. a b a A ( 7 ) képletek egyenlőség esetén egy - egy egyenest jelentenek, vagyis a P erő támadáspontja a megfelelő egyenesek alatt / felett kell, ogy elelyezkedjen, a azt várjuk, ogy a lábak ne emelkedjenek fel a padlóról. A atár - egyenesek egyenletei a könnyebb áttekintetőség végett dimenziónélküli x, a y ( 8 ) b koordinátákkal: 1, 1, 1, ( 9 ) 1. A ( 9 ) egyeneseket és az általuk atárolt tartományt a. ábra szemlélteti.. ábra
9 II. megoldás Az alakváltoztató munka minimumának elve [ ] alapján járunk el. Esetünkben ez a munka csak a lábak deformálódnak : W 1. ES Az egyensúlyi egyenletek, az előzőek szerint: 1 P; x 1 P ; a y 1 P. b ( 1 ) ( ) Most fejezzük ki 1,, - at - gyel! Ezt úgy tesszük, ogy - et átvisszük ( ) jobb oldalára, minta ismert mennyiség lenne, majd megoldjuk az 1,, - ra vonatkozó lineáris egyenletrendszert. észletezve: 1 P ; x 1 P ; a ( ) y 1 P. b Most ( ) első két egyenletének összeadásából: P x 1 1 ; a ( ) majd ( ) első két egyenletének egymásból való kivonásával: P x 1 ; a ( 5 ) Ezután ( ) második és armadik egyenletének összeadásával: P x y 1 ; a b ( 6 ) majd ( 5 ) és ( 6 ) - tal: P y 1 1. b ( 7 ) Most ( ) és ( 7 ) - tel:
1 P x y. a b ( 8 ) Ezután ( 1 ), ( 5 ), ( 7 ), ( 8 ) - cal: W 1 ES P y P x y P x 1 1. ES b a b a ( 9 ) Az alakváltoztató munka minimum, a W. ( 1 ) Most ( 9 ) és ( 1 ) - zel: P y P x y 1 1 1 b a b, ES P x 1 1 a P y P x y P x 1 1, b a b a vagy P y P x y P x b a b a 1 1, azaz x a y b P 1, P x y a b 1. ( 11 )
11 Most ( 5 ) és ( 11 ) - gyel: P x P x P x y 1 1 1 a a a b P P x P y P x y 1, a b a b teát: P x y a b ( 1 ) 1. Majd ( 7 ) és ( 11 ) - gyel: P y P y P x y 1 1 1 1 1 b b a b P P y P x P x y 1, b a a b teát: P x y a b ( 1 ) 1 1. Ezután ( 8 ) és ( 11 ) - gyel: P x y P x y P x y 1 a b a b a b P P x P y P x y 1, a b a b teát: P x y a b ( 1 ) 1.
1 Összegyűjtve a ( 11 ), ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ) képleteket: P x y a b P x y a b P x y a b P x y a b 1 1 ; 1 ; 1 ; 1. ( 15 ) ( 15 ) megegyezik az I. megoldás ( ) képleteivel. III. megoldás Ez a Lagrange - féle multiplikátorok módszerével történik [ ]. Lényege: keressük a W 1,,, 1 ES ( 1 ) függvény szélsőértékét a 1 1,,, 1 P, ( ) x 1,,, 1 P, ( ) a y 1,,, 1 P ( ) b feltételek mellett. Eez képezzük az F W 1,,, 1 1,,, 1,,, 1,,, ( 5 ) segédfüggvény feltétel nélküli szélsőértékét [ ]! észletezve az első egyenletet: F 1,,, ; ( 6 ) 1 most ( 5 ) és ( 6 ) - tal: W 1 ; ( 7 ) 1 1 1 1
ámde ( 1 ) - ből: W 1 1; 1 ES ES majd ( ), ( ), ( ) - ből: 1 1, 1, 1, 1 1 1 így ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) - cel: 1. ES 1 Teljesen asonlóan kapjuk a többi egyenletet is:, E S, E S. E S Most adjuk össze ( 1 ) és ( 1 ) - t! 1 ES ; majd összeadva ( 11 ) és ( 1 ) - at: ES ; ezután ( 1 ) és ( 15 ) - ből: 1, ES 1 ( 8 ) ( 9 ) ( 1 ) ( 11 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 15 ). ( 16 ) Most gyűjtsük össze a lényeges egyenleteinket! ( ), ( ), ( ) é s ( 16 ) szerint: 1 P, ( 17 ) x 1 P, a ( 18 ) y 1 P, b ( 19 ) 1. ( )
1 Most végezzük az alábbi, kijelölt műveleteket! x y ( 17 ) + ( 18 ) + ( 19 ) + ( ) : 1 P 1, a b P x y a b ( 1 ) 1 1. x y ( 17 ) + ( 18 ) ( 19 ) ( ) : P 1, a b P x y 1. a b ( ) x y ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) + ( ) : P 1, a b P x y 1. a b ( ) x y ( 17 ) ( 18 ) + ( 19 ) ( ) : P 1, a b P x y 1. a b ( ) Ezek az eredmények megegyeznek a korábbiakkal. Ezzel a feladatot megoldottuk. Megjegyzések: M1. A árom megoldási mód ugyanazokat a reakcióerő - eredményeket szolgáltatta. Ez természetesen megnyugtatóan at a feladat megoldójára. M. A második és a armadik megoldási mód csak a kivitelezés mikéntjében tér el egymástól, mert a lényeg ugyanaz: a árom egyensúlyi egyenlet mellé egy negyediket is szolgáltatni, a negyedik ismeretlen megatározásáoz, ugyanazon a fizikai alapon. M. Vannak azonban meglepő mozzanatok is. Ilyen az, ogy az első megoldási móddal valójában akárány lábú asztal esetét is vizsgálatjuk, a feltesszük, ogy az asztallap végtelenül merev; így síkja ( A, B, C ) paramétereinek ismerete a feladat megoldását adja, akárány láb esetében is. Ez azért tűnet meglepőnek, mert ekkor a árom statikai egyensúlyi egyenlet elegendő a négy ismeretlen támaszerő megatározásáoz. Itt az a trükk, ogy a lábak merevségi tényezői nem lényegesek a reakciók megatáro-
15 zása szempontjából, iszen a globális elmozdulásoz igazodik a lokális elmozdulás. Ezt fejezik ki az ( I. / ) képletek is, mivelogy bennük nem fordul elő a k mennyiség. Úgy is fogalmazatunk, ogy a ismeretlen megatározásáoz szükséges egyenletek: ~ a árom egyensúlyi egyenlet; ~ a globális elmozdulás előírása. Nem lenne kötelező a globális elmozdulás e(x, y) A Bx C y ( * ) sík szerinti felvétele sem; tény, ogy ekkor a legegyszerűbbek a számítások. Például egy e(x, y) A B x C x y ( ** ) alakú elmozdulás - függvény felvétele sem jelentene nagyobb gondot, iszen itt is csak a árom darab ( A, B, C ) paramétert kellene megatározni, a árom darab egyensúlyi egyenletből. Azonban például egy e(x, y) A Bx Cy Dx y ( *** ) alakú elmozdulás - függvénnyel dolgozva a agyományos árom egyensúlyi egyenlet kevés lenne a négy darab ( A, B, C, D ) paraméter megatározásáoz. Nem véletlen az a tény, ogy a Szilárdságtanban is leginkább a ( * ) alakú elmozdulás - eloszlást részesítik előnyben Bernoulli ~ Navier - modell; a ( *** ) alak, amely például a rudak felsőbb szilárdságtani elméletében is megjelenik Vlaszov modellje, komoly többlet - munkát igényel, az előzőöz képest. M. Persze, átra van még egy lényeges kérdés megválaszolása: ogyogy ugyanazt az eredményt szolgáltatja a árom megoldási mód. Láttuk, ogy a II. és a III. mód lényege ugyanaz, csak a matematikai eljárás más; a lényeg: az alakváltozási munka minimalizálása. Nyilvánvaló, ogy a csak az asztal lábait tekintjük deformálatónak, az asztal lapját nem, akkor a minimalizálás is csak a lábakat érinti, a lapot nem. Lényeges, ogy a lábak nem különálló, anem együttműködő mivoltát itt az egyensúlyi egyenletek fejezik ki ugyanannak a testnek a részei a lábak is. Az I. módnál kimondtuk, ogy az asztallapot végtelen merevnek, teát nem deformálatónak tekintjük. Máris előttünk áll a közös nevező: az asztallap nem deformálató mivolta, függetlenül attól, ogy kimondva vagy kimondatlanul alkalmaztuk e feltételt. Abban az esetben, a a II. és III. módnál gondolatban az asztallapot is agynánk deformálódni, akkor a belső munka is, így annak minimuma is nagyobb lenne, így az I. és a II. + III. mód más eredményeket adna. Ekkor azonban a számítási munka roamosan megnőne, iszen az asztallap például peremtartókkal alátámasztott lemeznek tekintető, a négy sarkában koncentrált támaszerőkkel. Egyéb merevítők is bezavaratnak, és az alkalmazott anyagok akár inomogén, anizotróp jellegűek is leetnek pl. faanyag. M5. Ne felejtsük el, ogy a pontosan egyforma anyagú, alakú és méretű lábak feltevése nem túl valóságközeli; ez azt is jelenteti, ogy az asztal valójában mindig csak árom lábon áll. Hogy melyik árom működik, azt a lábak tényleges ossza mellett a külpontosság iránya és mértéke szabatja meg.
16 Irodalom: [ 1 ] Jean oux: ésistance des matériaux par la pratique Tome Éditions Eyrolles, 1995. [ ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. [ ] A. F. Bermant: Matematikai analízis - II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1951. Sződliget, 1. augusztus 19. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár