Az egyszeres feszítőmű erőjátékáról

Átírás

1 Az egyszeres feszítőmű erőjátékáról Sok évvel ezelőtt sajtóhibára bukkantam a kiváló, ámde már akkor is ritkaságnak számító [ ] szakkönyvben Akkoriban levezettem a képletek javított változatát Most ezt a régi számítást elevenítem fel, némileg átdolgozva és kiegészítve Ugyanis: úgy tűnik, hogy a hagyományos faszerkezetek manapság mintegy újjászületnek: ~ a látszó faszerkezetek iránti igény fokozódásával, ~ a régi - új rétegelt faanyag alkalmazásának mind gyakoribbá válásával, ~ a számítógéppel segített tervezés és kivitelezés térhódításával Továbbá: szükség van az elemi megoldási módokra, a számítógépek mellett is A téma, ami egykor felkeltette figyelmemet: a feszítőmű - ok legkedvezőbb hajlás - szögéről mondottak A kifejtéshez tekintsük az ábrát is! ábra Ezen azt szemléltettük, hogy az A és B végein alátámasztott folytatólagos endatartót a pontban alulról két ferde támasztja meg A pontban a ok felső végén egy függőleges S* segéderőt működtetünk, amelyet a okban ébredő erők egyensú - lyoznak ki Minthogy a szerkezet statikailag határozatlan, ezért megoldásához alakválto - zási feltételi egyenletre is szükség lesz Fordítsuk ezért most figyelmünket a pont be - süllyedésére! ( Átmenetileg képzeljük úgy, hogy a enda nincs is rajta a okon! ) Az A összenyomódása: S l, ( ) E F ahol S a ban ébredő nyomóerő nagysága, ( EF / l ) pedig a nyomó - merevsége

2 Hasonlóan a B megrövidülése: S l E F Továbbá az ábra szerint: a l, sin b l sin ( ) ( 3 ) Most fejezzük ki a erőket S* - gal! Ehhez tekintsük a ábrát is! A pont egyensúlyát kifejező zárt vektorháromszögből szinusz - tétellel: S sin sin, S* sin 80 sin innen: sin S S* ( 4 ) sin Hasonlóan: S S sin sin innen:, sin sin sin sin S S S* S*, sin sin sin sin tehát: sin S S* sin ábra ( 5 ) Most a ( ), ( ), ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: S l S* sin a, E F E F sin sin S l S* sin b, E F E F sin sin

3 3 tehát a - összenyomódások: S* a sin, E F sin sin S* b sin E F sin sin ( 6 ) A pont függőleges elmozdulásának meghatározásához is tekintsük a 3 ábrát is! 3 ábra Itt az látható, hogyan veszi fel a rudazat az új helyzetét: a ok összenyomódnak, majd megrövidült tengelyük elfordul, amíg össze nem metsződnek a pontban A közvetlen feladat itt az e eredő elmozdulásvektor v függőleges és u vízszintes összete - vője nagyságának meghatározása Ezt itagorász tételének alkalmazásával végezzük Eközben feltesszük, hogy ~ a mondott mozgások egy függőleges síkban zajlanak le, valamint, hogy ~ a ok tengelyvonalai nem görbülnek meg, vagy ha mégis, akkor ez elhanyagolható mértékű A 3 ábra szerint:

4 4 a u y0 v l ; ( 7 ) kifejtve: a a u u y0 y0 v v l l ; ( 8 ) minthogy az igen kicsi mennyiségek négyzete elhanyagolható, fennáll, hogy u 0, v 0, 0, ( 9 ) így ( 8 ) és ( 9 ) - cel: a a u y0 y0 v l l ; ( 0 ) most figyelemmel az a y0 l ( ) kapcsolatra is, ( 0 ) és ( ) - gyel: au y v l ( E ) 0 Ismét a 3 ábráról: bu y 0 y v l ; ( ) kifejtve: b bu u y y y y v v l l ; ( 3 ) 0 0 most a szintén fennálló u 0, v 0, 0, kapcsolattal is ( 3 ) - ból: 0 0 ( 4 ) b bu y y y y v l l ; ( 4 ) most figyelemmel a b y y l ( 5 ) 0 kapcsolatra is, ( 4 ) és ( 5 ) - tel: bu y y v l ( E ) 0 Az ( E ) és ( E ) egyenletek egy elsőfokú, kétismeretlenes egyenletrendszert képeznek, az ( u, v ) ismeretlenekre:

5 5 a u y v l ; 0 0 b u y y v l ( E ) ( E ) megoldása a ramer - szabállyal az alábbi: l y 0 l y y l y y l y a y a y y b y u ; b y y a számlálót is és a nevezőt is elosztva l l - vel: y0 y y0 l l u ; a y0 y y0 b l l l l a 3 ábráról leolvashatók az alábbi összefüggések is: a sin, l y 0 cos, l b sin, l y y l 0 cos ; most ( 7 ) és ( 8 ) - cal: ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) cos cos cos cos sin cos cos sin sin u, tehát: cos cos sin u ( 9 )

6 6 Folytatva ( E ) megoldását: a l b a b l l a l b l l v, a y0 ay0 y b y a y 0 0 y y0 b b y y l l l l 0 ( 0 ) majd ( 8 ) és ( 0 ) - szal: sin sin sin v ( ) Most a ok rövidüléseit behelyettesítve, ( 6 ) és ( 9 ) - cel: S* a sin S* b sin u cos cos sin E F sin sin E F sin sin a sin b sin S* cos cos E F sin sin E F sin sin a sin b sin S*, E F sin sin E F sin sin tehát: u ku S*, ( / ) ahol: a sin b sin k u E F sin sin E F sin sin ( / ) Hasonlóan ( 6 ) és ( ) - gyel: S* a sin S* b sin v sin sin sin E F sin sin E F sin sin a sin b sin S*, E F sin sin E F sin sin tehát:

7 7 v k v S*, ( 3 / ) ahol: a sin b sin k ( 3 / ) v E F sin sin E F sin sin A ( ) képlet szerint a csomópont az S* erő hatására vízszintesen nem mozdul el, ha u = 0, azaz S* 0 miatt k u = 0 ; vagyis ha fennáll, hogy: a sin b sin 0 E F sin sin E F sin sin ( 4 ) A ( 4 ) feltétel teljesül abban az egyszerű estben is, ha fennállnak az alábbi kapcsolatok: l l l,, b a l sin, E F E F EF ( 5 ) A továbbiakban a ( 5 ) szerinti speciális esettel folytatjuk a vizsgálatot Az ennek megfelelő szerkezet szemléltető vázlatrajza a 4 ábrán látható 4 ábra Ekkor a ( 3 / ) és ( 5 ) képletekkel: l sin sin l sin l sin kv,spec E F sin sin E F sin E F sin l l sin l E F sin cos E F cos, EF cos

8 tehát: l k v,spec EF cos Ekkor ( 3 / ) és ( 6 ) - tal: l S* v kv,spec S* EF cos Most újra a ( 5 ) - ből vett a l sin képlettel és ( 7 ) - tel: S* a v EF sin cos 8 ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) A Graph programmal a v( γ ) függvény lefutását is meg tudjuk mutatni ld 5 ábra! Látjuk, hogy e függvénynek minimuma van γ min 35º - nál, egyezően az [ ] - ben megadott eredménnyel Megjegyezzük, hogy a 4 ábrát azért nem γ 35º felvételével rajzoltuk, mert így az ábra túl nagy lett volna [ ] is említi, hogy meredek ok alkalmazása nem gazdaságos; a ok hajlásszögét ld az ábrát is! leginkább úgy szokás megválasztani, hogy az α = 90º γ min = 90º 35º = 55º szög helyett α = 35º ~ 45º legyen A 4 ábra is α = 45º - kal készült 90 y = f ( x ) f(x)=/(sin(x)*( cos(x) )^) f(x)= r(t)= /cos(t) 0 x = gamma ( fok ) xmin = 35, ábra

9 A szerkezet vizsgálatának következő szakasza: valamely adott / felvett terhelési mód esetére az igénybevételek meghatározása Ehhez felhasználhatjuk korábbi dolgozataink eredményeit is; ld pl: ~ ( KD - ): A szimmetrikus háromtámaszú pontonhídról - I rész, ~ ( KD - ): A szimmetrikus háromtámaszú pontonhídról - II rész! 9 Az egyszeres feszítőmű működését a következőképpen képzelhetjük el A vízszintes endára működő ( többnyire ) függőleges terhek hatására a enda ~ A és B támaszai függőlegesen nem mozdulnak el, megtámasztják a enda - végeket; ~ a támasz lesüllyed, a enda által rá kifejtett erő hatására, majd egy, a függőleges elmozdulással egyenesen arányos nagyságú, függőleges támaszerőt fejt ki a endára Utóbbi tény matematikai megfogalmazása: v, k v,spec ( 30 ) hiszen a ( 7 ) - ből adódó v v k v,spec S* kv,spec ( 3 ) S* összefüggés szerint k v,spec jelentése: az egységnyi nagyságú függőleges erő hatására létrejövő függőleges támaszelmozdulás nagysága Ha meghatároztuk az támaszerőt, szokás szerint szilárdságtani összefüggésekkel, akkor az erőtani számítás a méretezés, illetve az ellenőrzés már elvégezhető, a statikai egyensúlyi egyenletek segítségével A közvetlen feladat tehát meghatározása Legyen a teherfajta: függőleges koncentrált erő, a enda x koordinátájú keresztmetszete felett 6 ábra 6 ábra

10 0 meghatározásához ( 30 ) szerint v - t kell meghatároznunk Ha nem lenne a támasz, akkor a enda behajlása középen, az erő hatására lenne Ha csak terhelné a endát, akkor a enda behajlása középen w lenne A tényleges behajlás - nél e kettő algebrai összegeként: v w w ( 3 ) A Szilárdságtan szerint [ ] a 6 ábra első összeadandójának esetére a behajlási vonal egyenlete: L x x w(x) L x x x, 6EI L ( 33 ) 0 x x Ebből x = L / - vel: L L x L w w x L x x EI 4 Másképpen felírva: w ( 34 ) w, ( 35 ) ahol: Lx L L x x EI 4 ( 36 ) Majd ( 34 ) - ből, helyett - t írva, x = L / - vel: 3 L x L L w Lx x EI 4 L 48 EI x ( 37 ) Másképpen felírva: w, ( 38 ) ahol: 3 L 48 EI Most ( 30 ), ( 3 ), ( 35 ), ( 37 ) - tel: ( 39 )

11 k, v,spec k ; v,spec k ; v,spec végül: k v,spec Most a ( 6 ), ( 36 ), ( 39 ) és ( 40 ) képletekkel: L x L L x x EI 4 3 l L EF cos 48 EI Alakítsunk ( 4 ) számlálóján! L x L L x L x x L x x 8 4 EI 4 EI 4 L L 3 L x x x 8 4, 48EI L L L tehát: 3 L x x x EI L L L 3 l L EF cos 48 EI ( 40 ) ( 4 ) ( 4 ) Tovább alakítva, egy még szebb és kényelmesebb képlet - alak reményében: x x x x x x L L L L L L, l 48EI l EF 3 cos L E F cos 3 L 48 EI

12 tehát: x x x 8 4 L L L 4EI l L E F cos 3 ( 43 ) A tört számlálója függvényének lefutása a 7 ábrán szemlélhető y x f(x)=(-x)*(8*x-4*x*x-) ábra Azt látjuk, hogy az 0 x 0,5 L szakaszon a függvény értékei valahol negatívok lesznek; pedig tudjuk, hogy a erő által okozott behajlás a erő irányával megegyező irányú Hogyan lehet ez? A magyarázathoz tekintsük a 6 ábrát is! Ennek első összeadandójánál a ( 33 ) képlet szerint úgy rendelkeztünk, illetve a w( x ) függvény levezetésénél az adódik [ 3 ], hogy 0 x x Ez azt jelenti, hogy a erőtől balra lévő keresztmetszetek behajlásának meghatározására jó e képlet

13 Amint x < 0,5 L, úgy a keresztmetszet már nem balra, hanem jobbra van a erő hatásvonalától, így a képlet közvetlenül már nem használható Ekkor az 3 x x ' Lx paraméter - csere alkalmazható, a szimmetria miatt, ahogyan az a 8 ábráról is leolvasható Ekkor pl a 9 ábra szerinti grafikonhoz jutunk 8 ábra y f(x)=(-x)*(8*x-4*x*x-) ,5 x x ábra

14 4 Ezek szerint a módosított véedmény: x x x 8 4 L L L x 4EI l L L E F cos, 0,5 3 ( 44 ) További specializációval: ha x = 0,5 L, akkor ( 44 ) - ből: * 4EI l 3 L EF cos ( 45 ) Eszerint: ha a teher a enda közepén hat, akkor is (! ) általában < Az helyzet csak akkor állhat elő, ha a nevező második tagja zérushoz tart Ez a nagyon hajlékony enda és / vagy nagyon merev ok esete A közbenső támaszerő ismeretével minden külső erő meghatározott, így a szerkezet további számítása már elvégezhető Más ( függőleges ) terhelési módoknál is hasonlóan járhatunk el [ ] Egy alkalmazásként tekintsük a 4 ábra esetét, amikor a enda és a ok egyező anyagúak és s x m méretű téglalap keresztmetszetűek! Ekkor: EI 3 I sm / m, EF F sm a a a l a, sin sin 45 ( a ) cos cos 45 Ekkor ( 44 ) nevezője: 4EI l 4 m N a 3 3 L EF cos L 4 a a m m 4 3 L L L ( b )

15 5 Most ( 44 ) és ( b ) - vel: x x x 8 4 L L L x, 0,5 a m L 4 L L Majd az x = 0,5 L esetben, ( 45 ) és ( b ) - vel: * a m 4 L L ( 46 ) ( 47 ) Továbbá legyen m / L = /, valamint a / L = 9 /! Ezekkel az adatokkal és ( b ) - vel: 9 N 4, , majd ( 47 ) - tel is: * 0, , Látjuk, hogy ebben az esetben a közbenső támasztás hatása jelentős, szinte a merev támaszéval egyező: a ok szinte teljesen felveszik a enda közepén terhelő erőt, ezzel tehermentesítve a endát Ekkor helyénvaló lehet a merev támaszok feltételezése A magyar nyelvű sajnos eléggé hiányos szakirodalomban leginkább az erre a felte - vésre alapozott számítás képleteivel találkozhatunk [ ] Megjegyzések: M A nyomott ok külpontos nyomásra, illetve kihajlása lehetnek / vannak igénybe véve A ok viszonylagosan nagy nyomómerevségét biztosító nagyobb keresztmet - szeti méretek egyben a ok hajlítómerevségét, ezzel együtt pedig a kihajlással szem - beni biztonságát is növelik M A szerkezet minden rúdeleme az önsúlya hatására hajlításra is igénybe van véve Ez a rúdelemek tengelyvonalának meggörbülését, ezzel együtt pedig a rúdvégi csomó - pont elmozdulását is okozhatja A fenti számítás során csak az egyenesnek képzelt ok tengelyirányú összenyomódásából származó támasz - elmozdulásra ügyeltünk, a hajlí - tásból származóra nem M3 A járulék - képletek alkalmazásán alapuló, itt bemutatott számítás során nem vettük figyelembe a nyírási alakváltozást sem Zömök elemeknél ez is szerepet kaphat

16 6 M4 Mivel a beépített anyag itt főként a faanyag minősége, szilárdsági jellemzői alapvetően meghatározzák a számított eredmények használhatóságát, törekedni kell jó minőségű faanyagok beépítésére, illetve a beépítés előtti akár helyszíni minőség - ellenőrzésre M5 Az Olvasónak feltűnhet a végi elmozdulás számításának sajátos, nem kifeje - zetten megszokott módja Erről annyit, hogy ez tűnik egy korrekt megoldásnak, amely nem igényli az utólagos magyarázatot Az ilyenfajta részletezést gyakran kerülik a tan - könyvek, szakkönyvek szerzői Talán azért, mert ez amúgy is nyilvánvaló? M6 A szakirodalom többször említett állapotához kapcsolódva megemlítjük, hogy a címbeli és a vele rokon szerkezetek pontosabb számítása is megoldott feladat, bár meg - lehetősen bonyolult képletek állnak elő Erről az érdeklődő Olvasó meg is győződhet a [ 4 ], [ 5 ] munkák tanulmányozása során A nagy kérdés most is az: vajon nem ágyúval lövünk - e verébre, amikor a brutális képleteket erőltetjük, holott esetleg fogalmunk sincs a számítás során alkalmazott feltevések teljesüléséről, a paraméterek valós értékéről [ ] szerint az ilyen szerkezetek pontos méretezése nem látszik szükségesnek M7 Bár a hagyományos faszerkezetek gyakran nehezen áttekinthető erőjátékúak, ám jól beváltak és szépek Érdemes újra felfedeznünk ezeket Irodalom: [ ] Hilvert Elek: Faszerkezetek Tankönyvkiadó, Budapest, 956 [ ] Anderlik Előd ~ Feimer László: Mechanika allas Irodalmi és Nyomdai t, Budapest, 934 [ 3 ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 98 [ 4 ] Heinrich Müller - Breslau: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen, 4 Auflage Alfred Kröner Verlag in Leipzig, 93 [ 5 ] udolf Sali: raktische Statik, 6 Auflage Franz Deuticke, Wien, 949 Sződliget, 0 április 3 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár