Bevezetés 1. előadás, 2021. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra gyakorlat Előadás: főleg modellek, elemzési módszerek Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számonkérés: 50%: gyakorlat alapján (beadandó feladat, házi feladatok + órai munka) 50%: ZH az utolsó gyakorlaton az előadás anyagából 60% az előadás anyagából és 40% gyakorlat Információk: zempleni.elte.hu/aring21.html Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 1 / 24 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 2 / 24 Tematika Módszerek Stabilis eloszlások, vonzási tartományok Extrém-érték modellek egy-és többdimenzióban Kopulák Boostrap Véletlen mátrixok Kockázati mértékek ARCH-GARCH modellek Pénzügyi kérdések: portfólióoptimalizálás, Aktuális kérdések, a 2007-es válság tanulságai, gépi tanulás, szabályozók stb. Cikk/könyvfeldolgozás Minden előadás végén irodalomjegyzék Matematikai modellek, de az alkalmazásokra koncentrálva Példák illusztrációként (részletesen a gyakorlaton) Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 3 / 24 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 4 / 24
Stabilis eloszlások Alkalmazásuk Definíció. X stabilis eloszlású, ha tetszőleges a, b-re megadható c és d, hogy ax + by eloszlása (X, Y független, azonos eloszlású) éppen cz + d eloszlása (Z is X eloszlású) Definíció. Vonzási tartomány. F a G vonzási tartományába tartozik, ha X 1, X 2,..., X n,... független, F eloszlásúakra megadható a n, b n normáló sorozat, hogy X 1 + + X n a n b n G Fizikai törvényszerűségek (pl. a Lévy eloszlás a Brown mozgás adott szint eléréséhez szükséges idő eloszlása) Általános határeloszlás-tétel (Pontosan a stabilis eloszlásoknak van nemüres vonzási tartománya) Vastag szélű (heavy tailed) eloszlások, pl. pénzügyekben eloszlásban (gyengén). Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 5 / 24 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 6 / 24 Szimmetrikus stabilis eloszlások Általános stabilis eloszlások Karakterisztikus függvényük exp t α ahol 0 < α < 2 paraméter (α = 2: normális eloszlás, α = 1: Cauchy, α = 0, 5: Lévy) Minden stabilis eloszlás abszolút folytonos, sűrűségfüggvényük végtelen sokszor deriválható, de általában nem adhatók meg zárt alakban Mindegyik unimodális, de a módusz általában nem adható meg zárt alakban Az α < 2 paraméterű stabilis eloszlás r-edik momentuma pontosan r < α esetén véges Paraméterek: α index β ferdeség γ skála δ hely α < 1 és β = 1 esetén félegyenesre koncentrált Egyébként az egész számegyenesre Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 7 / 24 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 8 / 24
Példák A ferdeségi paraméter szerepe Nevezetes stabilis eloszlások 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Normális(0,sqrt(2)): st(2,0) Cauchy: st(1,0) Levy: st(0.5,1) E(X) = δ βγ tan πα (α > 1). 2 Spec: δ = 0, β = 0 esetén E(X) = 0 De β 0 esetén E(X), ha α 1 pedig a módusz 0 α = 2 esetén E(X) = δ (β-nak nincs szerepe) 4 2 0 2 4 ábra: A legismertebb stabilis eloszlások Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 9 / 24 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 10 / 24 A többi paraméter szerepe Példák 2 Stabilis eloszlások A jól ismert kvantilistranszformáció működik: ha q a γ = 0, δ = 0 (standard) eloszlás kvantilise, akkor qγ + δ a γ, δ paraméterű eloszlás azonos kvantilise. A szórásnégyzet additivitásának szerepét a γ α = γ1 α + γα 2 veszi át. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 st(1.5,0.5) st(1,0.5) st(0.5,0.5) 4 2 0 2 4 ábra: A ferdeség és az α kapcsolata Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 11 / 24 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 12 / 24
Cauchy-eloszlás Lévy-eloszlás f (x) = γ π((x δ) 2 + γ 2 ) X/Y eloszlása standard Cauchy (γ = 1, δ = 0), ha X, Y független standard normális. Ebből adódóan megegyezik az 1 szabadságfokú t-eloszlással is. Szimmetrikus, tehát β = 0. Világítótorony-probléma: γ magasságú, δ távolságban levő világítótorony véletlenszerű irányba világít. Az x tengelyen a vetület eloszlása Cauchy (0, γ, δ) f (x) = c 1 c exp{ } (x > 0) 2π x 3/2 2x 1/Y 2 eloszlása standard Lévy (c = 1), ha Y standard normális. Stabilis, (0.5, 1, c, 0) paraméterekkel Brown mozgásnál egy p 0 pont elérési ideje Lévy eloszlású, c = p 2 paraméterrel Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 13 / 24 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 14 / 24 Példák 3 Határeloszlás-tétel Suruségfüggvény Eloszlásfüggvény 0 10 20 30 st(0.2,0) st(0.2,0.5) st(0.2,1) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Tétel. Legyenek X, X 1, X 2,..., X n,... független, azonos eloszlású valószínűségi változók. Tegyük fel, hogy P( X > x) x α L(x), ahol L lassú változású fv. a végtelenben (L(cx)/L(x) 1, ha x, c > 0). Ekkor megadható a n, b n hogy a n (X 1 + X 2 + + X n ) b n Z ahol Z éppen α rendű stabilis eloszlás. (Azaz X a Z vonzási tartományában van) 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 ábra: Igen szélsőséges példák Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 15 / 24 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 16 / 24
Gyakorlati kérdések Michael-féle szórásstabilizált P-P plot Paraméterbecslés: maximum likelihood a leghatásosabb (konfidencia intervallum is konstruálható) Illeszkedésvizsgálat Sűrűségfv. becslésből: paraméteres vs. nemparaméteres ("középen" jó) PP plot QQ plot (általában előnyösebb, mert az eloszlás széleit is mutatja, de ezek itt eltúlzottak lehetnek) A PP plotnál a szélső pontok szórása kicsi (a QQ plotnál általában a középsőké) S = 2 arcsin(u 1/2 )/π : sűrűségfüggvénye sin(πx)- szel arányos, a rendezett minta elemeinek szórása aszimptotikusan azonos. Az ábrázolandó pontok: r i = (2/π) arcsin[(i 0.5)/n 1/2 ] s i = (2/π) arcsin[f 1/2 (y i m)/s] Tesztstatisztika is számolható: max r i s i Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 17 / 24 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 18 / 24 Becslés kvantilis módszerrel Legyen x p, a p-kvantilise a becsülendő eloszlásnak, ˆx p pedig a mintáé. Legyen ν α = x 0.95 x 0.05 x 0.75 x 0.25, ez független γ-tól és δ-tól és szigorúan csökkenő α függvényében. Ennek megfelelően ˆν α = ˆx 0.95 ˆx 0.05 ˆx 0.75 ˆx 0.25 konzisztens becslése lesz ν α -nak Legyen ν β = x 0.95 + x 0.05 2x 0.5 x 0.75 x 0.25 és ˆν β tapasztalati érték az előzőek szerint ν β becslése, mely szintén független γ-tól és δ-tól, és szigorúan monoton növő β-ban. A ν α és ν β függvények α és β függvényei, invertálva α és β becsléseit adják. Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 19 / 24 Becslés kvantilis módszerrel/2 Az inverz függvények zárt alakban nem adhatóak meg. Bizonyos pontokban kiszámoljuk az értékeiket, és a köztes értékeket interpolációval kaphatjuk meg. A γ és δ paraméterek becslése: Lemma Legyen X S(α, β, γ, δ) és Z S(α, β) és legyen x p és z p rendre X és Z p-kvantilise. Ekkor bármely 0 < p 1, p 2 < 1-re, ahol p 1 p 2 teljesül, hogy Ezek alapján a konzisztens becslések γ = x p 2 x p1 z p2 z p1 és δ = x p1 γz p1. (1) ˆγ = ˆx 0.75 ˆx 0.25 ẑ 0.75 ẑ 0.25, ˆδ = ˆx0.5 ˆγẑ 0.5, Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 20 / 24
Szimuláció (Chambers, 1976) Illusztráció: részvény-idősorok Legyen U egyenletes [0, π], W pedig exponenciális eloszlású λ = 1 paraméterrel és függetlenek. Ekkor Daily log returns of a stock (%) Z = sin(αu) cos U 1/α { cos((α 1)U) (α,0) paraméterű szimmetrikus stabilis eloszlású. Legyen U 0 = arctan(β tan(πα/2))/α és Z = sin(α(u 0 + U)) (cos(αu 0 ) cos U) 1/α W } (1 α)/α { cos(αu0 + α 1)U) pedig (α,β) paraméterű stabilis eloszlású (ha α 1). W } (1 α)/α Frequency 0 200 400 600 60 40 20 0 20 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 21 / 24 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 22 / 24 Havi aggregálás Hivatkozások Monthly aggregation of daily log returns of a stock (%) Frequency 0 5 10 15 20 Chambers, J.M., Mallows, C. and Stuck, B.W.: A method for simulating stable random variable (1976) Michael, P.: The stabilized probability plot (1983) Nolan, J. P.: Modeling financial data with stable distributions (2005) Nolan, J. P.: Stable distributions (2009) 300 200 100 0 100 200 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 23 / 24 Zempléni András (ELTE) 1. előadás, 2021. február 11. Áringadozások előadás 24 / 24