Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet H-4010 Debrecen, Pf. 12 +3652512900 office.math@science.unideb.hu Megyei Matematika Szakkör Feladatsorok A foglakozások hétfő délutánonként 16.30-tól kezdődnek a Matematikai Intézet M402-es tantermében. Debrecen, 2014
Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet H-4010 Debrecen, Pf. 12 +3652512900 office.math@science.unideb.hu A foglakozások témái és a témák vezetői Név: Intézmény: Téma: Balázs Tivadar Fazekas Mihály Gimnázium Gyanús vonalak, gyanús pontok Bessenyei Mihály DE Matematikai Intézet Kábelrakás kis költséggel Deli Lajos Hőgyes Endre Gimnázium A skatulya-elv Katonka Pál Bocskai István Gimnázium Komplex számok Kovács Gábor DE Kossuth Gyakorló Gimnázium Projektív geometria Márkus Imre DE Kossuth Gyakorló Gimnázium Számelmélet, oszthatóság Orvos Viola Fazekas Mihály Gimnázium Rácsgeometria Paulovits György Bethlen Gábor Közg. Szakközép Szélsőérték feladatok Szalóki Szilvia Bocskai István Gimnázium Geometria a versenyfeladatokban Tóth Mariann Fazekas Mihály Gimnázium Halmazok
Időpont: 2014.09.15; Vezeti: Tóth Mariann; Megjegyzés: 1. Feladat. Az A halmaz a pozitív egész számokat tartalmazza 1-től 2001-ig bezárólag. Megadható-e néhány A i (i = 1, 2,..., n; n 2) részhalmaz úgy, hogy teljesüljenek a következő feltételek: (i) A 1 A 2... A n = A; (ii) A i A j =, i j, i, j = 1, 2,..., n; (iii) az A i (i = 1, 2,..., n) halmazban a számok közül a legnagyobb egyenlő az összes többi szám összegével. 2. Feladat. Határozzuk meg az összes olyan n pozitív egész számot, amely a következő tulajdonságú: Az {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5} halmaz úgy bontható fel két, közös elemet nem tartalmazó és nem üres halmazra, hogy az egyik részhalmaz elemeinek a szorzata a másik részhalmaz elemeinek a szorzatával egyenlő. 3. Feladat. A pozitív egész számok A és B halmaza hasonló, ha vannak olyan a, b 2 természetes számok, hogy A mindegyik elemét a-val szorozva ugyanahhoz a halmazhoz jussunk mintha B mindegyik elemét b-vel szoroznánk. Bontsuk fel a pozitív egész számok halmazát két diszjunkt halmazra úgy, hogy azok hasonlók legyenek! 4. Feladat. Bontsuk fel a pozitív egész számok halmazát megszámlálhatóan végtelen sok diszjunkt halmazra úgy, hogy azok páronként hasonlók legyenek! 5. Feladat. Ki lehet-e színezni a pozitív racionális számokat pirossal és kékkel úgy, hogy piros és kék szám is keletkezzen, és (i) a piros számok összege piros, a kék számok összege kék legyen; (ii) a piros számok szorzata piros, a kék számok szorzata kék legyen? 6. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy bármely tíz, páronként különböző kétjegyű természetes számból álló halmaznak mindig van két, közös elem nélküli részhalmaza, amelyben az elemek összege egyenlő egymással. 7. Feladat. Legyen A az S = {1, 2,..., 1000000} halmaz egy 101 elemű részhalmaza. Bizonyítsuk be, hogy találhatók olyan t 1,..., t 100 számok az S halmazban, amelyekre az A j = {x + tj x A} j = 1, 2,..., 100 halmazok páronként diszjunktak. 8. Feladat. Egy hételemű halmaz háromelemű részhalmazait kell kiszíneznünk úgy, hogy ha két részhalmaz metszete üres, akkor színük különböző. Legalább hány színre van ehhez szükségünk?
Időpont: 2014.09.22; Vezeti: Márkus Imre; Megjegyzés: 9. Feladat. Egy téglalap oldalainak és átlójának mérőszáma egész. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a téglalap területének mérőszáma osztható 12-vel! 10. Feladat. Melyik az a legkisebb háromjegyű pozitív egész n, amelyre 2 n + 3 n osztható 7-tel? 11. Feladat. Egy rezervátumban 13 zöld, 15 barna és 17 szürke színű kaméleon van. Ha két különböző színű találkozik, akkor színüket a harmadik színre változtatják. Előfordulhat-e, hogy egy idő után már csak egyféle színű kaméleonok lesznek? Hogyan módosul a válasz, ha eredetileg 25 barna kaméleon volt a rezervátumban? 12. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az n4 +3n 2 +1 n 3 +2n tört nem egyszerűsíthető egyetlen természetes n szám esetén sem! 13. Feladat. Legyenek p > s > z prímek! Egy dobozban elhelyezünk p 4 darab piros, s 4 darab sárga és z 4 darab zöld golyót. Legyen k az a legkisebb pozitív szám, ahány golyót ki kell vennünk a dobozból ahhoz, hogy biztosan legyen a kivett golyók között három különböző, továbbá n az a legkisebb szám, ahány golyót ki kell vennünk a dobozból, hogy biztosan legyen a kivett golyók között három egyforma. Összesen hány golyó van a dobozban, ha k + n + 5 ugyancsak prímszám? 14. Feladat. Válasszuk meg az n természetes szám értékét úgy, hogy a 2n 2 n 36 kifejezés egy prímszám négyzete legyen! 15. Feladat. Oldjuk meg a természetes számok halmazán az x 2 4y 2 + 3x 6y = 2014 egyenletet! 16. Feladat. Melyek azok az abcd 4000 prímszámok, amelyek az alábbi két tulajdonsággal rendelkeznek: (i) első két jegyük olyan kétjegyű prím, amelyben a számjegyek szorzata 1-től különböző négyzetszám, (ii) második két számjegyük olyan kétjegyű prím, amely számjegyeinek szorzatát fordított sorrendben felírva ismét négyzetszámot kapunk. 17. Feladat. Hundred-foot -ot, a Százlábú Robotot üzemi baleset érte. Lábfejeit javítani kell. Lábfejeit amelyek libasorban helyezkednek el egymás után egy fogaskerék elforgatta ugyanabba az irányba 30 -kal. Ezután egy második fogaskerék elforgatta minden második lábfejét az előzővel megegyező irányba 30 - kal. Majd egy harmadik fogaskerék minden harmadik lábfejét, egy negyedik fogaskerék minden negyedik lábfejét és így tovább (a k-adik fogaskerék minden k-adik lábfejét, k 100) elforgatta mindig ugyanabba az irányba 30 -kal. A mérnöki konzílium megállapítása szerint a robotnak minden olyan lábfejét cserélni kell, amelyik nincs olyan állásban, mint amelyben eredetileg volt. Mely lábfejeit nem kell cserélni Hundred-foot-nak?
Időpont: 2014.09.29; Vezeti: Balázs Tivadar; Megjegyzés: 18. Feladat. Az ABC háromszög A csúcsból induló szögfelezője K-ban metszi a BC oldalt. Az ABK háromszögbe írt körnek és az ABC háromszög köré írt körének a középpontja egybeesik. Mekkorák az ABC háromszög szögei? 19. Feladat. Az ABCD négyzet AB oldalára befelé, BC oldalára kifelé ABP és BCR szabályos háromszögeket írunk. Mutassuk meg. hogy D, P, R egy egyenesen vannak! 20. Feladat. Az ABC derékszögű háromszög átfogóján választunk egy P pontot, onnan merőlegeseket bocsájtunk a befogókra, majd összekötjük a talppontokat. Az így kapott szakasz hossza P mely helyzetére lesz a legrövidebb? 21. Feladat. Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldalának összege (b + c), a harmadik oldal, és a c oldallal szemközti szög! 22. Feladat. Az ABC egyenlőszárú háromszögben a szárak által bezárt szög nagyobb 30 -nál. D a BC alap olyan pontja, amelyre BAD szög 30, E pedig az AC szárnak az a pontja, amelyre AE = AD. Mekkora az EDC szög? 23. Feladat. Az ABC derékszögű háromszög hegyesszögeinek felezői D ill. E pontokban metszik a szemközti befogót. D-ből és E-ből merőlegest állítunk az AB átfogóra, a talppontok K és L. Mekkora a KCL szög? 24. Feladat. Az ABC háromszögben az egyik szög 60 -os. A háromszögbe írt kör középpontja K. Egy K középpontú kör a KA, KB, KC félegyeneseket rendre P, Q, R pontokban metszi. Igazoljuk, hogy a P QR háromszögnek is van 60 -os szöge! 25. Feladat. Az ABC háromszög B csúcsnál levő szögének egyik harmadolója a C csúcsnál levő szögének egyik szögének harmadolóját a magasságpontban metszi. Mutassuk meg, hogy ezen szögek másik harmadolói a háromszög köré írt körének középpontjában metszik egymást! 26. Feladat. Az ABC háromszög beírt köre az egyik súlyvonalat három olyan szakaszra osztja, amelyekre igaz, hogy a körön kívüli szakaszok hossza egyenlő. Igazoljuk, hogy ekkor a háromszög egyik oldala fele egy másiknak. 27. Feladat. Az ABC derékszögű háromszög BC befogója, mint átmérő fölé kört rajzolunk, ez a kör az AB átfogót a D pontban metszi. A körhöz a D pontban érintőt húzunk, ez az AC befogót E-ben metszi. Igazoljuk, hogy EA = ED. 28. Feladat. Az ABC hegyesszögű háromszög A csúcsából induló magasságának talppontja Q. Mekkora a háromszög AB oldallal szemközti szöge, ha a P Q szakasz felezőpontjának és az AB oldal felezőpontjának távolsága AB/4? 29. Feladat. Legyen AB és CD egy kör húrjai, amelyeknek nincs közös pontjuk, továbbá K a CD húr egy belső pontja. Szerkesszük meg a kör kerületén a P pontot úgy, hogy a CD húrnak az ABP háromszögbe eső szakaszát a K pont felezze.
Időpont: 2014.10.06; Vezeti: Paulovits György; Megjegyzés: 30. Feladat. Legyen az x és y pozitív valós számok szorzata 50, továbbá x > y! Határozzuk meg az (x 2 + y 2 )/(x y) kifejezés minimumának értékét! Adjuk meg az x/y aránynak azt az értékét, amelyre a kifejezés a minimumát felveszi! 31. Feladat. A hegyesszögű háromszög AB oldalának mely P belső pontjára lesz a P A 2 + P C 2 összeg minimális? 32. Feladat. Az ABCD négyzet oldalai 10 cm hosszúak. Legyen az AB oldal felezőpontja E, a BC felezőpontja F, az EF szakaszé pedig M. Az AD szakaszon felvesszük az N, a CD-n pedig a P pontot úgy, hogy DN = DP teljesüljön. Határozzuk meg az N és a P pontok helyét úgy, hogy az MNP háromszög területe maximális legyen! 33. Feladat. Legyenek x, y pozitív számok. Határozzuk meg a következő kifejezés minimumát: K(x, y) = x16 y x y16 x8 + 16 16 y y8 8 x + x4 8 y + y4 4 x x2 4 y y2 2 x + x 2 y + y x. Állapítsuk meg, milyen x, y értékeknél veszi fel ezt a minimumot! 34. Feladat. Igazoljuk, hogy ha egy háromszög területe 1/2 területegység, akkor a kerületére K > 3 teljesül! 35. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha x, y, z > 1 valós számok, akkor teljesül! Mikor áll fenn egyenlőség? log xy xyz2 log yz yzx2 log zx zxy2 1 36. Feladat. Egyenlő szárú derékszögű háromszög alakú lemezből ugyanilyen alapú dobozt készítünk azonos magasságú oldallapokkal. Milyen magasság mellett lesz a doboz térfogata maximális? 37. Feladat. Legyen a + b + c = 12, a, b, c > 0! Határozzuk meg a K = ab 2 c 3 kifejezés maximumát! Milyen a, b, c értékek mellett veszi fel K ezt a maximumot? 38. Feladat. Legyen x, y [0, 12], továbbá xy = (12 x) 2 (12 y) 2! Határozzuk meg a K = xy kifejezés maximumát! 39. Feladat. Legyenek a háromszög oldalai a, b, c, területe pedig t! Bizonyítsuk be, hogy fennáll az a 2 + b 2 + c 2 4 3t egyenlőtlenség! Milyen esetben áll fenn egyenlőség? 40. Feladat. Az ABC háromszög AB, BC, CA oldalán vegyük fel rendre a tetszés szerinti, de a csúcsoktól különböző M, K, L pontokat! Bizonyítsuk be, hogy az MAL, KBM, LCK háromszögek közül legalább az egyiknek a területe nem nagyobb az ABC háromszög területének a negyedénél! 41. Feladat. Melyik hegyesszögű háromszögben lesz minimális a tan α tan β tan γ szorzat értéke (hacsak α, β, γ a háromszög szögei)?
Időpont: 2014.10.13; Vezeti: Remeténé Orvos Viola; Megjegyzés: 42. Feladat. Bizonyítsuk be,hogy rácspontnak tetszőleges rácsszakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe szintén rácspont. 43. Feladat. Igaz-e, hogy minden rácssokszög területének kétszerese egész szám? 44. Feladat. Lássuk be, hogy ha egy egyenes tartalmaz két rácspontot, akkor végtelen sokat is tartalmaz! 45. Feladat. Milyen szabályos sokszögek vannak a négyzetrácson? 46. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy üres rácsháromszög egyik oldala tetszés szerinti nagyságot elérhet, pontosabban: van olyan üres rácsháromszög, amelynek egyik oldala hosszabb, mint egy adott tetszőleges szakasz. 47. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az üres rácsháromszög területe 1/2. 48. Feladat. Mutassuk meg, hogy páratlan csúcsszámú üres rácssokszög területe nem lehet egész szám. 49. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha egy rácsháromszög oldalain a csúcsokon kívül nincs rácspont és a belsejében egy rácspont van, akkor ez a háromszög súlypontja. 50. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha egy zárt töröttvonal csúcsai rácspontok és a töröttvonal egyenlő szakaszokból áll, akkor oldalszáma nem lehet páratlan. 51. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a végtelen sakktáblán egy huszár csak páros számú lépés után térhet vissza kiindulási pontjára. 52. Feladat. Egy racionális egyenesen két szomszédos rácspont távolsága d. Bizonyítsuk be, hogy nincs az egyenesen kăívül olyan rácspont, amelynek az egyenestől mért távolsága 1/d-nél kisebb. 53. Feladat. Egy tetszőleges rácssokszög határán h, belsejében b darab rácspont van. Hány üres rácsháromszögre vágható szét ez a rácssokszög? 54. Feladat. Egy rombusz csúcsai: A( 99; 0); B(0; 101); C(99; 0); D(0; 101). Hány belső rácspontot tartalmaz a rombusz?
Időpont: 2014.10.20; Vezeti: Deli Lajos; Megj.: bármely évfolyamnak 55. Feladat. Pillantsunk ki a matematika intézet tantermének ablakán. Látunk néhány embert, akik most véletlenül és egymástól függetlenül a látóterünkbe kerültek. Igazoljuk, hogy ezen személyek között van kettő, akiknek ugyanannyi ismerősük van a látott személyek között! ( Az ismeretség kölcsönös.) 56. Feladat. Két falu 65 tehene egyetlen csordát alkotva legelészget a két falu közötti réten. Mindegyik tehén vagy fehér, vagy vörös, vagy fekete, vagy tarka. Mutassuk meg, hogy ha nincs öt különböző korú, azonos színű tehén a csordában, akkor van három azonos színű, egyidős tehén a csordában, melyek ugyanabból a faluból valók. 57. Feladat. Egy 24cm oldalú, négyzet alakú lapon beszíneztek 100 pontot. Igazoljuk, hogy ráhelyezhető a lapra egy 2, 5cm sugarú korong úgy, hogy a beszínezett pontok közül legalább hármat lefedjen! 58. Feladat. (HF.) Egységnyi élű kocka belsejében beszíneztek 400 pontot. Igazoljuk, hogy van olyan 4/23 sugarú gömb, amelyik a belsejében tartalmaz ezek közül a pontok közül legalább 4-et! 59. Feladat. Egy 1km oldalú négyzet alakú erdőben 4500 fa van. Egyik fa átmérője sem nagyobb, mint 50cm. Mutassuk meg, hogy van az erdőben focizásra alkalmas 10m 20m-es téglalap alakú rét! 60. Feladat. Egy szabályos háromszöget lefedtek 5 darab egybevágó szabályos háromszöggel. Igazoljuk, hogy az öt lefedő háromszög közül már néggyel is le lehet fedni az eredeti háromszöget! 61. Feladat. Egy négyzetrácsos síkon beszíneztünk 5 rácspontot, majd megrajzoltuk a pontpárokat összekötő tíz szakaszt. Mutassuk meg, hogy e szakaszok valamelyike tartalmaz a végpontjain kívül további rácspontot! 62. Feladat. A következő évszám, amelyik prímszám a 2017. Igazoljuk, hogy a 2017-nek van olyan többszöröse, amelyik csupa azonos számjegyből áll! 63. Feladat. (HF.) Igazoljuk, hogy a 3-nak van olyan pozitív egész kitevős hatványa, amely 0001-re végződik! 64. Feladat. Mutassuk meg, hogy a Fibonacci sorozat tagjainak utolsó két számjegyéből álló sorozat periodikus! 65. Feladat. Véletlenszám generátorral kiválasztottak 2014 különböző pozitív e- gész számot. Igazoljuk, hogy kiválasztható e számok közül néhány (esetleg egy), melyek összege osztható 2014-gyel! 66. Feladat. Mutassuk meg, hogy a sík bármely 50 egyenese közül kiválasztható 8, amelyek párhuzamosak egymással, vagy pedig páronként metszik egymást! 67. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy a π; 2π;... ; 100π számok között van olyan, amelyik valamelyik egész számtól 1/100-nál kevesebbel különbözik!
Időpont: 2014.11.3; Vezeti: Katonka Pál; Megjegyzés: 68. Feladat. Végezzük el az alábbi műveleteket a z 1 = 1 + 2i, z 2 = 1, z 3 = 3i, z 4 = 1 i, z 5 = 1 + i komplex számokkal! (z 1 + z 2 )z 3 ; (z 2 + z 3 )z 1 ; (z 4 z 3 )z 2 ; (z 5 + z 4 )z 3. 69. Feladat. Képezzük a megadott komplex számok additív inverzét (ellentettjét)! 3 2i 5 + i 3 + 2i; 0.5 3i; ; ; 5; i. 2 3 70. Feladat. Adjuk meg a következő komplex számok konjugáltját! 7 + 2i 1 i 2 3i; 0; ; ; i; 5i. 4 2 71. Feladat. Végezzük el a következő osztásokat! 1 i 2 + i ; 3 + 3i 2 2i ; 5 3i ; 2i i + 1 ; 4 2i 2 i. 72. Feladat. Számítsuk ki a következő hatványokat! i 8 ; ( i) 7 ; (1 2i) 2 ; (2 + 2i) 3 ; (6 + 2i) 0 ; ( 1 2; ( i 4; ( 3 ) 3. 2 + i) 3) 2i 73. Feladat. Határozzuk meg a következő komplex számok abszolút értékét! 2 + i 3 + 5i; 2 + 4i; i; 0.5i; 9.5; 3 ; 3 1 + i. 74. Feladat. Legyen z 1 = 5 + 10i és z 2 = 2 + i. Határozzuk meg a z 1 + z 2, z 1 z 2, z 1 z 2, z 2, z 2, z 1 /z 2, 1/z 1, z1, 2 z2 3 értékeket!
Időpont: 2014.11.10; Vezeti: Dobóné Szalóki Szilvia; Megjegyzés: 75. Feladat. Adott konvex négyszögbe rajzoljunk olyan rombuszt, melynek oldalai párhuzamosak a négyszög átlóival és a csúcsai a négyszög egy-egy oldalán helyezkednek el! Igazoljuk, hogy a rombuszcsúcsok a négyszög átlóinak arányában osztják a megfelelő négyszögoldalt! 76. Feladat. Két egymást nem metsző kör középpontjának távolsága nagyobb a sugarak összegénél, és közös szimmetriatengelyük (centrálisuk) a köröket rendre az A, B, C és D pontokban metszi. Igazoljuk, hogy a körök közös külső érintőjének az érintési pontok közé eső szakasza mértani közepe az AC és BD szakasznak! 77. Feladat. Legyen az ABC derékszögű háromszög átfogója AB. A B csúcsból induló belső szögfelező az AC oldalt D-ben, a háromszög köré írt körét E-ben metszi. Igazoljuk, hogy az AE szakasz mértani közepe az ED és az EB szakasznak! 78. Feladat. Egy 60 -os körcikkbe írjunk kétféleképpen négyzetet! I. mód: a négyzet 2 csúcsa illeszkedjen egyik sugárra, a harmadik a másik sugárra, a negyedik pedig a körívre. II. mód: a négyzet két csúcsa illeszkedjen egy-egy sugárra, a másik kettő pedig a körívre, és a négyzet szimmetria tengelye felezze a szöget! Melyik négyzetnek nagyobb a területe, és hány százalékkal? 79. Feladat. Az ABC háromszög BC oldalának felezőpontja F, az AB oldal egy belső pontja T, az AF és CT szakaszok metszéspontja M. Az AT M háromszög területe 8, a CF M háromszög területe 15 egység. Mekkora lehet az ABC háromszög területe? 80. Feladat. Az ABCD konvex négyszög csúcsai egy körön vannak. A szomszédos oldalak felezőpontjait összekötő szakaszok a négyszögből négy háromszöget vágnak le. Igazoljuk, hogy e négy háromszög körülírt körei egy ponton haladnak át! 81. Feladat. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójának tetszőleges pontja P, C-ből induló magasságának talppontja C 1. P vetülete az AC befogón A 1, a BC-n B 1. (i) Bizonyítsuk be, hogy a P, A 1, C, B 1, C 1 pontok egy körön vannak. (ii) Bizonyítsuk be, hogy az A 1 B 1 C 1 és az ABC háromszögek hasonlók. 82. Feladat. Szerkesszük meg az ABC háromszöget, ha adott az AB és AC oldalak hossza, valamint az A csúcsnak a BC oldal C-hez közelebbi harmadolópontjától mért távolsága.