Vektoralgebrai feladatok 1. Vektorok összeadása és szorzatai, azok alkalmazása 1.1 a) Írja fel a és vektorokat az és átlóvektorok segítségével! b) Milyen hosszú az + ha =1? 1.2 Fejezze ki az alábbi vektorokat az a, b és c vektorok segítségével! 1.3 a) Egy szabályos hatszög középpontjából két szomszédos csúcsába mutató vektorok a és b. Írja fel ezek segítségével a hatszög oldal és átló vektorait! b) Egy szabályos hatszög egyik csúcsából két szomszédos csúcsába mutató vektorok a és b. Írja fel ezek segítségével a hatszög oldal és átló vektorait! 1.4 Az O pontból az AB szakasz végpontjaihoz vezető vektorok a és b. Írja fel ezek segítségével az AB szakasz azon P pontjához vezető vektort, melyre =! 1.5
Bontsa fel az ABC háromszög A csúcsából a szemközti oldalt 1:3 arányban osztó pontjaihoz vezető vektorokat az A csúcsból kiinduló két oldalvektorral párhuzamos összetevőkre! 1.6 a) Az ABC háromszög A pontját tükrözze a B-re. A tükörkép legyen az A. Bontsa fel a vektort C-ből induló oldalvektorokkal párhuzamos összetevőkre! b) Jelölje az ABCD négyszög AD és BC oldalainak felezőpontjait rendre E és F. Határozza meg az vektort az és vektorok segítségével! 1.7 Egy 300 méter széles 3km/h sebességű folyón kel át egy halász a csónakjával. Ha a csónak sebessége állóvízben 4 km/h és a partra a merőleges irányt tartja, akkor a folyó sodrása miatt lejjebb fog kikötni. a) Mennyivel lejjebb? b) Mennyi idő alatt ér át a túlpartra? 1.8 Legyen a(2;-3), b(-1;5), c(0;3). Írja fel a következő lineáris kombinációk eredményét: a) a+b+c b) a-b-c c) 2a-b-c d) a-3c e) 3(2a-b) 1.9 Állítsuk elő a vektort b1, b2 vektorok lineáris kombinációjaként, ha a = b1 = b2 = 1.10 Állítsuk elő a vektort b1, b2, b3 vektorok lineáris kombinációjaként, ha 1.11 a = b1 = b2 = b3 = Mit írna a p paraméter helyére, ahhoz, hogy az a=, b=, c= vektorok LK-ja előállítsa a d= vektort? 1.12
Mekkora volt a kezdősebesség, ha 4 s elteltével a pillanatnyi sebesség (-4;11;8) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s2? 1.13 Számítsd ki az alábbi vektorok skalárszorzatát! g=(14; 2,3; 6,8) h=(3,4; 15; 2,8) 1.14 Csúcsaival adott az alábbi háromszög. Számítsd ki a kerületét és a legnagyobb szögét! A=(12;33;23); B=(14;36;33); C=(22;12;38) 1.15 Add meg az alábbi, csúcsaival adott háromszög A csúcsába mutató magasságvektorát! A=(23;11;34) B=(14; 9; 22) C=(18; 27; 33) 1.16 Számítsd ki a háromszögek területét: a) A(1; 6; 6); B(5; 0; 1); C(2; -1; -4)! 1.17 Add meg az ABC pontok által határolt sík egyenletét? D pont rajta van a síkon? Milyen messze van a síktól? A (8; -1; 2); B (-5;1;0); C (7;-2;2); D (0; 2;8) 1.18 Egy parallelepipedon egy csúcsba futó élvektorai a(12;20;16); b(11;22;33); c(14;7;21). Mekkora az b,c és a,c élű oldallapok hajlásszöge? 1.19 Számítsd ki az alábbi, egy csúcsba futó élvektoraival adott parallelepipedon térfogatát! a(3; 5; 12); b(9; 15; 7); c(1; 8; 2) 1.20 Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s2? 1.21 Mekkora a pillanatnyi sebesség 8 s elteltével, ha a kezdősebesség (8;-6;27) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s2? 1.22 Mekkora volt a kezdősebesség, ha 4 s elteltével a pillanatnyi sebesség (-4;11;8) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s2?
1.23 Számítsa ki az alábbi vektorok skalárszorzatát! a) a=(13;34) b=(24;19) b) a=(3;4;7) b=(6;8;9) c) x=(45;12,5) y=(19,5;28) d) g=(14; 2,3; 6,8) h=(3,4; 15; 2,8) e) a=(2;3;6) b=(4;7;10) c=(8;5;9) f) a=(11;13;15) b=(3;7;18) c=(2;4;9) 1.24 Vízszintes talajon húzunk 120 N erővel 5 m-es távon egy testet. Az elmozdulás és az erőhatás vektora párhuzamos. Mekkora munkát végeztünk? 1.25 Mekkora munkát végeztünk, ha az erő F=(12; 23,5; 3,4) N, az út pedig s=(2; 11; 14,3) m? 1.26 230 N erőt fejtettünk ki, és 1620 J munkát végeztünk. Mekkora volt az elmozdulás, ha az erővektor és az elmozdulás-vektor 60 -ot zártak be? 1.27 Mekkora munkát végeztünk, ha az erő F=(34; 24,3; 18,9) N, az út pedig s=(21; 13,2; 8,9) m? 1.28 Mekkora az x irányú elmozdulás, ha a kifejtett erő F=(10;8;6) N, az y irányú elmozdulás 2m, a z irányú 4m, a munka pedig 420 J? 1.29 Számítsd ki a két vektor által meghatározott szöget! a) a (2; 10; 7) b(8; -3; 3) b) a=(-3;6;23) és b=(14;-5;11) c) a=(-6;26;31) és b=(-13;-5;41) 1.30 Csúcsaival adott egy háromszög. Számítsuk ki kerületét és a bezárt szögeket! a) A(12;6;18) B(23;7;19) C(4;18;33) b) A(21;16;8) B(21;27;9) C(3;8;13) c) A=(2,5; 3,8; 6,2); B=(6,4; 3,2; 4,4); C=(5,2; 2,4; 6,8) d) A=(12;33;23); B=(14;36;33); C=(22;12;38)
1.31 Ortogonálisak, azaz merőlegesek-e az alábbi vektorok? a) a=(3,6; 2,8); b=(3,5; -6) b) x=(3; 4,5); y=(-9; 6) c) a=(2; 6; 7) b=(3; -1; 0) 1.32 Adjuk meg úgy b vektor hiányzó koordinátáját, hogy b merőleges legyen a-ra! a) a=(2,4; -3,2; 5,6); b=(-1,2; 5,6; z) b) a=(2,3; 4,3; -8,6) b=(3,4; y; 12,5) c) a=(3,3; -4,5; 2,1) b=(x; 2,3; 1,1) d) a=(13,7; 0,5; 2,3) b=(2,2; 0,6; z) 1.33 Adjuk meg az a vektor b vektorra vetített szakasz hosszát! a) a= (2,5; 6,3; 7,8); b= (3,3; 4,4, 2,1) b) a= (8,6; -3,4; 2,6); b= (4,6; 7,4; -3,2) 1.34 Add meg a b vektorra vetített a vektort! a) a = (3;-5;8) b = (4,1,-1) b) a(-2;3;4) b(5;-6;8) c) a(23,5; 34,2; 28,6) b(23,2; 11,4; 35,4) 1.35 Add meg az alábbi háromszög A csúcsába mutató magasságvektorát! a) A (1,5; 3,5; 7) B(1;3;5) C(2;4;6) b) A (2; 3,4; 6) B (0; 1,2; 3) C (3; 7; 8,2) c) A=(23;11;34) B=(14; 9; 22) C=(18; 27; 33) 1.36 Számítsuk ki az alábbi vektoriális szorzatokat! a) (2;3;4) (1;4;7 ) b) ( -12;6;-9) (13;5;-7 ) c) (23;-32;11 ) (13;5;-7 ) d) (33;45;2 ) (11;0;7 ) e) (-3,4; 5, 6; -1,2 ) (8; -2,3; 0) 1.37 Számítsd ki az alábbi paralelogramma területét! A(2;3;5) B(5;3;5) C(6;6;5) D(3;6;5) 1.38 Számítsd ki a háromszögek területét! a) A(2,3; 4,5; 1,8) B(3,2; 5,6; 0,1) C(0; 3,2; 2,6) b) A(2; 5; 7); B(3; 6; 8); C(0; 1; 9) c) A(1; 6; 6); B(5; 0; 1); C(2; -1; -4)
1.39 Számítsd ki a háromszög területét, melynek 2 oldalvektora (1;2;3) és (4;0;8)! 1.40 Add meg az alábbi A,B,C pontokkal meghatározott síkok egyenletét! a) A(2; 4; 8); B(0; 3; 6) C(3;7;10) b) A(1; -5; 0); B(-4; 2; 1) C(2;-7;11) c) A(4; 6; -3); B(2; 4; -7); C(-1; 3; 4) 1.41 Add meg az ABC pontok által határolt sík egyenletét! D pont rajta van a síkon? a) A (5; -4; 2); B (0; 7; -3); C (3; -1; 8); D (3; 0,4; 0) b) A (-3; -5; 2) B (-5;-10; 0) C (-2;-6;1) D (4; 3; -2) c) A (5; -4; 2); B (0; 7; -3); C (3; -1; 8); D (3; 0,4; 0) d) A (8; -1; 2); B (-5;1;0); C (7;-2;2); D (0; 2;8) 1.42 Számítsuk ki az A,B,C pontok által meghatározott sík és D pont távolságát, ha A(2;2;2;) B(3;4;5) C(8;6;4) D(10;6;8) 1.43 A,B,C,D pontok meghatároznak egy tetraédert. Mekkora a test D csúcsába húzott magassága, ha a) A(2;3;4;) B(-5; 10; 8) C(0; -4; 9) D(12; 6; 3) b) A(2;5;-6;) B(-7; 20; -18) C(10; 14; 12) D(-8; 7; 13) c) A(12;3;6;) B(17; 2; 8) C(0; 4; 22) D(28; 12; 3) 1.44 Számítsd ki az alábbi síkok hajlásszögét! 2x+3y-z=2 x-5y+2z=8 1.45 Határozd meg az ABCD tetraéder q lapja (ACD) és egy normálvektorával adott sík szögét! A (1; 2; -3) B (5; 0; 1) C (3; -1; -2) D (4; 5; 1) n(-3,1,5) 1.46 Egy tetraéder négy csúcsa: A(2;4;6); B(8;9;10); C(-6;-4;-2); D(-7;5;-3). Add meg az ABC és BCD lapok hajlásszögét! 1.47 Egy parallelepipedon egy csúcsba futó élvektorai a(12;20;16); b(11;22;33); c(14;7;21). Mekkora az a,b és a,c élű oldallapok hajlásszöge?
1.48 Egy parallelepipedon egy csúcsba futó élvektorai a(12;20;16); b(11;22;33); c(14;7;21). Mekkora az a,b és b,c élű oldallapok hajlásszöge? 1.49 Egy parallelepipedon egy csúcsba futó élvektorai a(12;20;16); b(11;22;33); c(14;7;21). Mekkora az b,c és a,c élű oldallapok hajlásszöge? 1.50 Számítsd ki az alábbi, egy csúcsba futó élvektoraival adott parallelepipedon térfogatát! a) a(12; 16; 20); b(8; 10; 12); c(9; 18;27) b) a(3; 5; 12); b(9; 15; 7); c(1; 8; 2) c) A(4; 8; 12); B(3;7;9); C(7;15;23); D(13;11;9) 1.51 Add meg a háromszög kerületét, és területét! A (2; -1; 6) B (1; 4; 5) C (-1; 3; -3) 1.52 Egy rombusz három csúcsa A(2;3;5); B(-1;0;8); C(6;-9;2). Add meg a negyedik csúcsot! 1.53 Egy parallelepipedon A (0;2;13) csúcsba futó éleit az B (-5; 3; 2); C (8; 14; -11) és D (2; -4; 16) csúcsok határolják. 1.54 Oldja meg az alábbi, összefüggő feladatokat! a) Milyen messze vannak egymástól az A(1,2,3) és a B(4,-2,6) pontok? b) Számítsa ki az A, B és a C(-3,4,-2) pontok által meghatározott háromszög kerületét, területét, szögeit, C csúcsán áthaladó magasságvektorának koordinátit! c) Írja fel az A, B és a C(-3,4,-2) pontok által meghatározott sík egyenletét ax+by+cz=d formában! A sík tartópontjaként használja az A pontot! Adja meg az imént meghatározott sík és a (2, 3, 2) helyvektor által bezárt szöget! d) Bontsa fel az a vektort a b vektorral párhuzamos és arra merőleges összetevőkre!) a= (1, 1, b=(1, 0, 1). Mekora e két vektor által kifeszített háromszög területe? 1.55 A szögek kiszámítása nélkül döntse el, hogy az alábbi vektorpárok hegyes-, derék- vagy tompaszöget zárnak-e be. A megadott koordináták az i, j, k bázisra vonatkoznak: a) (4,-2, 6) és (-3,4,-2) ;
b) (1,2,3) és (4,-2,6); c) (1,1,1) és (-10, 7, 3); 1.56 Legyen az ABC háromszög három csúcsa: A(2,4,3), B(-3,1,6), C(0,-4,4). Számítsa ki a háromszög X-Y síkra vett merőleges vetületének területét! 1.57 Legyen az ABC háromszög három csúcsa: A(2,4,3), B(-3,1,6), C(0,-4,4). Számítsa ki a a háromszög legnagyobb szögét, és az X-Y síkra vett merőleges vetületének területét! 1.58 Adottak a következő pontok: A(1; 2;0),B(2,3,1),C( 1,2,2), D(3,1,4). a.) Írja fel az A ponton átmenő, BCD síkkal párhuzamos sík egyenletét! b.) Mekkora az a.) -ban kiszámított sík és az x 2y + z + 3 = 0 egyenlettel megadott sík által bezárt szög? 1.59 Egy Nap körül keringő űrszonda háromszög alakú napelem panelével fedezi energiaszükségletét. A panelt három egymásra merőleges, a háromszög csúcsaiba futó kar tartja, és egy merevítő rúd, amelyik a háromszög közepe táján érintkezik a panellel, és merőleges a felületére. Mind a négy rúd a szonda oldalán, egy pontban van rögzítve. Az egymásra merőleges karok hosszúsága 2m, 2m illetve 3m, s ez utóbbi éppen a Nap irányába mutat. Azoknak a fotonoknak a fluxusa, amelyekre a napelem érzékeny, 1,125 1018 1/(m2s), azaz a Nap irányára merőlegesen 1 m2 felületre másodpercenként 1,125 1018 db hasznos foton érkezik. Ha minden foton két elektront lök ki a napelem félvezetőjének paneljéből, akkor mennyi elektron termelődik egy másodperc alatt? Mekkora szögben esik a napfény a napelem felületére (azaz mekkora a felület normálisa és a Nap iránya által bezárt szög)? Milyen hosszú az a merevítő rúd, amely a háromszög alakú panelre merőleges? 1.60 Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: A(-2; -1), B(4; -3), C(4; 5). A B csúcsból induló magasságvonal az AC oldalt a T pontban metszi. Mekkora az AT szakasz hossza? 1.61 a)az a( 3; 4) és b(1; y) vektorok 60 -os szöget zárnak be egymással. Mekkora az y? b) Határozza meg a skalárszorzat felhasználásával a c = (2, y0, z0) vektort úgy, hogy merőleges legyen az a = (2, 3, 0) és a b = (1, 2, -2) vektorokra! 1.62 Mekkora szöget zár be egymással egy kocka két kitérő helyzetű lapátlóegyenese?